Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen

441 Pages·2014·10.72 MB·German

by  Dietmar Herrmann (auth.)

Dietmar Herrmann
Die antike
Mathematik
Eine Geschichte der griechischen
Mathematik, ihrer Probleme
und Lösungen
Die antike Mathematik
Dietmar Herrmann
Die antike Mathematik
Eine Geschichte der griechischen
Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen
DietmarHerrmann
Anzing,Deutschland
ISBN978-3-642-37611-5 ISBN978-3-642-37612-2(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-37612-2
MathematicsSubjectClassification(2010):01A20
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Vorwort
Vondemjenigennun,derdieGeschichteirgendeinesWissensüber-
liefernwill,könnenwirmitRechtverlangen,daßerunsNachricht
gebe,wiediePhänomenenachundnachbekanntgeworden,was
mandarüberphantasiert,gewähnt,gemeintundgedachthabe.
(J.W.vonGoethe:AusdemVorwortderFarbenlehre)
Da die Geschichte der Mathematik kein prüfungsrelevantes Vorlesungsfach an deut-
schen Hochschulen ist, kann ein ergänzendes Buch von Interesse sein. Es bietet für alle
Mathematik-Lehrendenund-Interessierten eineganzneuartigeSichtaufdievielfältigen
Problemstellungen, die im Laufe eines Jahrtausends (Thales 580 v. Chr. bis Proklos 420
n.Chr.) inder antiken griechischen Mathematikentwickelt wurden.AusUmfangsgrün-
den können nur Facetten der verschiedenen Werke gezeigt werden, die sich jedoch zu
einemKaleidoskopderWissenschaftzusammensetzen.EinbreitesSpektrumvonAufga-
ben, Konstruktionen und Algorithmen summiert sich zu einem neuen Gesamtbild, das
mehrEinsicht verschafftalsherkömmlichesummarischeBeschreibungen.Dieausgeklü-
geltenMethoden,diediegriechischenForschererdachthaben,ringenauchdemheutigen
BetrachterRespektundAnerkennungab.
Diese erstaunlichen Leistungen sind ohne jegliche Hilfsmittel wie Rechenmaschinen
undmoderneKommunikationentstanden.EswurdeWertdaraufgelegt,dieganzeBand-
breite dergriechischenMathematikzuschildern,insbesondereauchliterarischeQuellen
wieEpigrammeundLehrgedichteundauchdenKontextderpythagoreisch-platonischen
Philosophie einzubringen. Es gibt drei Möglichkeiten einer historischen Aufarbeitung:
strengchronologisch,biografisch-personenbezogenodersachgebundenmithilfespezieller
Themenkreise.DievorliegendeDarstellungwählteineMischungderbeidenletztgenann-
ten.
EinerstesProblembeiderDarstellungantiker Mathematikwirdvondemberühmten
ArtikelOntheNeedtoRewritetheHistoryofGreekMathematicsvonSabetaiUnguruauf-
geworfen.DerVerfasseräußertdarindieAuffassung,dassesprinzipiellunangemessensei,
antikeErkenntnissemitmodernenFormelndarzustellen.DerFormel-undBegriffsapparat
dermodernenMathematikbeinhalteteKonzepteundAbstraktionen,diedasAuthentische
am historischen Vorgehen möglicherweise verschleiern. Als Beispiel sei die binomische
V
VI Vorwort
Formel gewählt. In der modernen Mathematik gilt sie für alle abstrakten Elemente ei-
nes kommutativen Rings; eine solche Begriffsbildung isteinem Euklid völlig fremd. Ein
ProduktzweierZahlenodereinQuadratistbeiEuklidstetsmiteinemFlächeninhaltver-
bundenundkannnurmitGrößengleicherDimensionverknüpftwerden.Dasgriechische
Wortαριθμoς(=arithmos)mussimphythagoreisch-platonischenUmfeldgesehenwerden
undkannnichtmitdemWortZahladäquatübersetztwerden.UmdieDarstellungenlesbar
zumachenundkompaktzuhalten,wirddiegewöhnlicheFormelspracheverwendetund
dielesendePersondaraufhingewiesen.ModerneBeweisewerdenstetsalssolchegekenn-
zeichnet.
EinzweitesZielistdieSchilderungdespolitisch-kulturellenUmfelds,indemsichder
griechische Wissenschaftlerbefindet. Das kulturelle Erblühen Athens in einer Phasere-
lativenFriedenszwischendenPerserkriegen–aufgrundihrerFührungsrolleimBündnis
gegen die Perser – ermöglichte den Bau einer Akademie, die Bildungswillige – wie Ari-
stoteles – aus ganzGriechenland anzog.Alexander befreite Ägypten vonder persischen
Besatzung und bewirkte eine Machtverschiebung nach Südosten. Die nach seinem Tod
durchdieReichsteilungentstehendeägyptisch-syrischeProvinzwurdemitihrerHaupstadt
Alexandria intellektuelles und wirtschaftliches Zentrum des Mittelmeerraums. Die dort
gegründeten SchulenamMuseionundSerapeionüberstandendenZusammenbruchdes
PtolemäerreichsundgediehenauchunterderrömischenBesatzung.ErstdasAufkommen
des Christentums als Staatsreligion beendet das Schicksal der noch an der platonischen
LehrehängendenWissenschaftler,wiemanamSchicksalderHypatiasieht.
Ein weiteres Anliegen istdasEinbeziehen von neuen,kritischen Gesichtspunkten im
VergleichzurvorliegendenLiteratur.Geschichten,wiederVegetarierPythagorasbeider
EntdeckungeinesLehrsatzesmehrereStieregeopferthatoderwieArchimedesmitBrenn-
spiegelndieSegelderrömischenFlotteinBrandgesetzthat,kannmanalsMärchenabtun.
EinemoderneInterpretation vonDiophantos,Kritisches zum Werkdes Ptolemaios und
Heron und neue Übersetzungen von Nikomachos und Theon von Smyrna liefern eine
neuartigeSichtaufdiegriechischeMathematik.DasumfangreicheWerkvonPapposwird
völligneubewertet.DieverwendetenMethodensetzenmeistnurmittlereKenntnissevor-
aus.Ergänzendwirdbeizahlentheoretischen,algebraischenundKegelschnitt-Themenauf
dasNachwirkeninderMathematikdesMittelaltersbzw.derRenaissanceeingegangen.Ein
eigenesKapitelistdemFortwirkenderhellenistischenMathematikinRom,Konstantinopel
undBagdadgewidmet.EinigeGlanzlichterderEuklidischenGeometrieseitdemBeginn
derNeuzeitfindensichimletztenKapitel.DieGeometrietrittgegenwärtiginderAusbil-
dungetwas in den Hintergrund; dies istaber kein hinreichender Grunddie Euklidische
GeometrieganzabzuschaffennachdemMottovonJ.Dieudonne(MitglieddesBourbaki-
Kreises)Euclidmustgo.
DerAutorwünschteineanregendeLektüre!
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 ZumStanddermathematikgeschichtlichenForschung . . . . . . . . . . . 1
1.2 ZumInhaltdesBuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 WiediegriechischeWissenschaftbegann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 DieEntstehungderMathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 ThalesvonMilet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 MathematischesWirken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 WeitereBerichteüberThales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 PythagorasunddiePythagoreer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 MathematischeErkenntnissederPythagoreer . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 FigurierteZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 DerSatzdesPythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 PythagoreischeZahlentripel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 HeronischeDreieckeundAnwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 PythagorasunddieMusik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7 MittelwertederPythagoreer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.8 DieBlumedesThymaridas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 HippokratesvonChios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1 QuadraturnachAlexandervonAphrodisias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 QuadraturennachEudemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 AthenunddieAkademie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7 Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.1 DieschönstenDreieckePlatons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2 AusdemBuchMenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3 PlatonischeKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
7.4 PlatonsLambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5 DieRollederMathematikbeiPlaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8 AristotelesunddasLykeion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.1 MathematikbeiAristoteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9 DieMathematikerderAkademie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1 EudoxosvonKnidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2 TheodorosvonKyrene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3 TheaitetosvonAthen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10 Alexandria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.1 DieBibliothek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11 EuklidvonAlexandria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.1 AusdemBuchIderElemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.2 AusBuchIIderElemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.3 DieKreissätzeimBuchIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.4 VollkommeneundbefreundeteZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11.5 DerEuklidischeAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.6 DerPrimzahlsatzvonEuklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.7 DasParallelenaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.8 GleichwertigePostulatezumParallelenaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.9 BuchderFlächenteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.10 DasAxiomensystemderEuklidischenGeometrie . . . . . . . . . . . . . . 144
11.11 Didaktisches:WiedieAnschauungindieIrreführenkann . . . . . . . . 147
12 DieklassischenProblemedergriechischenMathematik . . . . . . . . . . . . . 149
12.1 DieInkommensurabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.2 DieKonstruierbarkeitnachEuklid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.3 DieWinkeldreiteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.4 KonstruktionenzurWinkeldreiteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.5 DieQuadraturdesKreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
12.6 DieWürfelverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12.7 KonstruierbarkeitdesFünfecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12.8 KonstruierbarkeitdesSiebenecks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
12.9 QuadrierbarkeitvonMöndchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.10 DiestetigeTeilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
13 ArchimedesvonSyrakus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
13.1 ÜberdieSchwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
13.2 ProblemdergebrochenenSehne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
13.3 DasreguläreSiebeneck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Inhaltsverzeichnis IX
13.4 DasBuchderKreismessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
13.5 AusdemBuchderSpiralen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.6 DasBuchderLemmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
13.7 DieQuadraturderParabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.8 DasPalimpsest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
13.9 DasStomachion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
13.10 DieMethode,Satz2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
13.11 GrabfigurdesArchimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.12 WeitereWerkeArchimedes’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
14 EratosthenesvonKyrene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
14.1 EratosthenesalsGeograf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
15 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
15.1 DieParabel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
15.2 DieEllipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
15.3 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
16 ApolloniosvonPerga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
16.1 AusdemBuch3derConica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
16.2 DerKreisdesApollonios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
16.3 DasBerührproblemdesApollonios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
17 AnfängederTrigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
17.1 AristarchosvonSamos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
17.2 HipparchosvonNicäa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
17.3 SatzdesMenelaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
17.4 SatzdesCeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
18 HeronvonAlexandria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
18.1 AusdenDefinitiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
18.2 AusderGeometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
18.3 AusderMetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
18.4 AusderStereometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
18.5 DieFlächenformelvonHeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
18.6 WürfelverdopplungnachHeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
18.7 WeitereSätzevonHeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
18.8 FlächedesregelmäßigenFünfecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
18.9 WeitereWerkevonHeron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
18.10 WurzelziehenbeidenGriechen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
X Inhaltsverzeichnis
19 KlaudiosPtolemaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
19.1 TrigonometrieimAlmagest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
19.2 AnwendungenbeiderDreiecksberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
19.3 SatzdesPtolemaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
19.4 DasAdditionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
19.5 KonstruktiondesFünfecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
19.6 Konstruktiondes15-Ecks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
20 NikomachosvonGerasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
20.1 AusderArithmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
20.2 ProportionenundMittelwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
20.3 TheoremvonNikomachos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
20.4 AusdemKommentardesIamblichos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
21 TheonvonSmyrna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
21.1 DieSeiten-bzw.Diagonalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
21.2 GeometrischeInterpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
21.3 DerAlgorithmusvonTheon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
21.4 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
21.5 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
22 DiophantosvonAlexandria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
22.1 AusDiophantos’BuchII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
22.2 AusDiophantos’BuchIVundV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
22.3 AusDiophantos’BuchVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
22.4 AusDiophantos’BücherninarabischerSprache . . . . . . . . . . . . . . . 342
22.5 EinigemathematischeErkenntnisseDiophantos’ . . . . . . . . . . . . . . . 344
22.6 LineareDiophantischeGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
22.7 DasProblemderkongruentenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
22.8 VergleichmitvorgriechischerMathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
23 PapposvonAlexandria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
23.1 AusBuchVIIderCollectio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
23.2 RegelvonPappos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
23.3 BerührproblemdesPappos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
23.4 DasTheoremvonPappos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
23.5 DerSatzPapposVII,122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
23.6 DasvollständigeVierseit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
23.7 HarmonischeTeilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
23.8 DasVier-Geraden-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
23.9 WeitereProblemedesPappos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
23.10 SyntheseundAnalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376