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Didaktik der Analysis: Aspekte und Grundvorstellungen zentraler Begriffe PDF

312 Pages·2016·7.134 MB·German
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Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Gilbert Greefrath Reinhard Oldenburg Hans-Stefan Siller Volker Ulm Hans-Georg Weigand Didaktik der Analysis Aspekte und Grundvorstellungen zentraler Begriffe Didaktik der Analysis Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Herausgegeben von Prof. Dr. Friedhelm Padberg, Universität Bielefeld, und Prof. Dr. Andreas Büchter, Universität Duisburg-Essen Bisher erschienene Bände (Auswahl): Didaktik der Mathematik P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder – Diagnostik und Förderung (P) C. Benz/A. Peter-Koop/M. Grüßing: Frühe mathematische Bildung (P) M. Franke/S. Reinhold: Didaktik der Geometrie (P) M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P) K. Hasemann/H. Gasteiger: Anfangsunterricht Mathematik (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 1 (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 2 (P) F. Käpnick: Mathematiklernen in der Grundschule (P) G. Krauthausen: Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule (P) G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P) K. Krüger/H.-D. Sill/C. Sikora: Didaktik der Stochastik in der Sekundarstufe (S) G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P) F. Padberg/C. Benz: Didaktik der Arithmetik (P) P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P) A.-S. Steinweg: Algebra in der Grundschule (P) G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S) R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S) C. Geldermann/F. Padberg/U. Sprekelmeyer: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe II (S) G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S) G. Greefrath/R. Oldenburg/H.-S. Siller/V. Ulm/H.-G. Weigand: Didaktik der Analysis für die Sekundarstufe II (S) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe I (S) F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S) H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S) H.-J. Vollrath/J. Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S) H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S) H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S) Mathematik M. Helmerich/K. Lengnink: Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie (P) F. Padberg/A. Büchter: Einführung Mathematik Primarstufe – Arithmetik (P) F. Padberg/A. Büchter: Vertiefung Mathematik Primarstufe – Arithmetik/Zahlentheorie (P) K. Appell/J. Appell: Mengen – Zahlen – Zahlbereiche (P/S) A. Filler: Elementare Lineare Algebra (P/S) S. Krauter/C. Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie (P/S) H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S) T. Leuders: Erlebnis Algebra (P/S) T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S) F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S) F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S) A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S) B. Schuppar/H. Humenberger: Elementare Numerik für die Sekundarstufe (S) G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S) P: Schwerpunkt Primarstufe S: Schwerpunkt Sekundarstufe Weitere Bände in Vorbereitung (cid:2) (cid:2) Gilbert Greefrath Reinhard Oldenburg (cid:2) (cid:2) Hans-Stefan Siller Volker Ulm Hans-Georg Weigand Didaktik der Analysis Aspekte und Grundvorstellungen zentraler Begriffe GilbertGreefrath VolkerUlm UniversitätMünster UniversitätBayreuth Münster,Deutschland Bayreuth,Deutschland ReinhardOldenburg Hans-GeorgWeigand UniversitätAugsburg UniversitätWürzburg Augsburg,Deutschland Würzburg,Deutschland Hans-StefanSiller UniversitätKoblenz-Landau Koblenz,Deutschland MathematikPrimarstufeundSekundarstufeI+II ISBN978-3-662-48876-8 ISBN978-3-662-48877-5(eBook) DOI10.1007/978-3-662-48877-5 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2016 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtaus- drücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Das giltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEin- speicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesemWerk be- rechtigtauch ohnebesondere Kennzeichnung nicht zuderAnnahme, dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebung alsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenin diesemWerkzumZeitpunkt derVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnoch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit,Gewähr für den Inhalt des Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen. Planung:UlrikeSchmickler-Hirzebruch GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier. SpringerSpektrumistTeilvonSpringerNature DieeingetrageneGesellschaftistSpringer-VerlagGmbHBerlinHeidelberg Einleitung „3000 Jahre Analysis“ ist der Titel eines Buches von Thomas Sonar (2011), in dem die jahrtausendealteAuseinandersetzungmitLängen-,Flächen-undVolumenberechnungen, mitdemBegriffdesUnendlichen,mitKurvenundTangentenoderSteigungenvonGra- phen geschildert wird. Damit verglichen hat Analysis in der Schule eine relativ kurze Geschichte. Erst mit der Meraner Reform von 1905 (Gutzmer 1908, Schimmack 1911) wurdedieForderungerhoben,Analysisals„KrönungdesfunktionalenDenkens“inden Mathematikunterricht aufzunehmen. Es dauerte dann noch bis zur Mitte des 20. Jahr- hunderts, bis Analysis zu einem obligatorischen Teilgebiet des Mathematikunterrichts (zumindestinDeutschland)wurde. HeuteistdieAnalysiseinwichtigesGebietdesMathematikunterrichtsindergymna- sialenOberstufe,mitdemverschiedeneZieleerreichtwerdensollen.SogibtderAnalysis- unterrichteinenEinblickindieEntstehungundEntwicklungwissenschaftlicherBegriffe. Mit ihm ist die Entwicklung eines Denkens verbunden, das über die in der Umwelt ge- wonnenenErfahrungenhinausgehtundeinePräzisierungderSpracheerfordert.Weiterhin tragenKenntnisseinAnalysisdazubei,dassvieleVorgängeinunsererUmweltmitande- renAugengesehenundtechnischeErrungenschaftenbessereingeschätztwerdenkönnen. SchließlichlernenwirinderAnalysisgrundlegendemathematischeBegriffekennen,wie etwa Grenzwert, Ableitung und Integral, die als eine notwendige Vorbereitung auf vie- le – insbesondere auch nicht naturwissenschaftliche – Studienfächer angesehen werden müssen. DieDidaktikderAnalysisbeschäftigtsichmitLehr-undLernprozessenzumVerstehen dieseszentralenmathematischenGebietes.SiehatinsbesonderediefolgendenAufgaben: (cid:2) dasAufzeigenderEntwicklungzentralerBegriffeimSinneeinerKonstitutionmentaler ObjektebeidenLernenden, (cid:2) die Diskussion der von Lernenden zu erwerbenden Kompetenzen, also des zentralen Wissens,derFähigkeitenundFertigkeitenimBereichderAnalysis, (cid:2) die Analyse und Bewertung von Lehr- und Lernprozessen sowie das Entwickeln von KonzeptenundLernumgebungen. V VI Einleitung Dieses Buch baut auf aktuellen Erkenntnissen über das Lehren und Lernen von Ana- lysis auf und diskutiert unterschiedliche Konzepte und Vorschläge im Hinblick auf die Umsetzung im Analysisunterricht. Es wendet sich an Studierende des Lehramts Mathe- matik,anReferendarinnenundReferendaresowieanpraktizierendeLehrkräfteundzeigt Grundlagen für einen verständnisorientierten Analysisunterricht auf. Es ist von Auto- ren geschrieben, die sich seit vielen Jahren mit grundlegenden Fragen des Lehrens und Lernensvon Mathematik und der Verbesserungdes Mathematikunterrichtsauseinander- setzen. InhaltedereinzelnenKapitel InKap.1werdendieZieledesAnalysisunterrichtsdargestelltunddieBeziehungenzuden StandardsundKompetenzenimSinnederKMK-Bildungsstandardsaufgezeigt.Allgemei- neundinhaltlicheZieledesAnalysisunterrichtswerdenanhandprototypischerBeispiele erläutert.DabeiwirdinsbesondereaufdiefürdiesesBuchzentralenBegriffeAspekteund Grundvorstellungeneingegangen. Das Kap. 2 ist der Entwicklung des Funktionsbegriffs im Mathematikunterricht ge- widmet. Im Zentrum stehen Analysen, wie Schülerinnen und Schüler ausgehend von vielfältigen Phänomenen Grundvorstellungen zum Funktionsbegriff entwickeln können undwiedieszueinerDefinitiondesBegriffsführenkann.Hierbeispieltauchderverständ- nisvolleUmgangmitverschiedenenDarstellungsformenvonFunktioneneinewesentliche Rolle. Kap.3behandeltdieWechselbeziehungenzwischendemFolgen-,Grenzwert-undUn- endlichkeitsbegriff.AusgehendvonderEntwicklungsgeschichtederMathematikwirddie BedeutungdieserBegriffeimgesamtenMathematikunterrichtdargestellt.Dazuwirdins- besondere auf die Entwicklung eingegangen, die zu der heutigen Situation im Hinblick auf die Behandlung der grundlegenden Begriffe der Analysis im Mathematikunterricht geführthat,undeswerdenPerspektivenfüreinenzukünftigen,vorallemauchcomputer- unterstütztenAnalysisunterrichtaufgezeigt. InKap.4wirdderBegriffderAbleitungthematisiert.Ausgehendvonderhistorischen Entwicklung und der fachlichen Klärung des Begriffs werden Grundvorstellungen der Ableitung – lokale Änderungsrate,Tangentensteigungsvorstellung,lokaleLinearitätund Verstärkungsfaktorvorstellungkleiner Änderungen– vorgestellt, erläutertund diskutiert. Darauf aufbauend ist die verständnisorientierte Entwicklung der Differenzialrechnung das zentrale Ziel, das sich im Analysisunterricht in Zugängen und Aktivitäten wider- spiegelt, die diese Grundvorstellungen adäquat zu konstruieren versuchen. Dann führen AbleitungsfunktionenundAbleitungsregelnzurUntersuchungundCharakterisierungvon Funktionsklassen undderenGraphen.Schließlich gibtdas(mathematische) Modellieren mithilfe der Differenzialrechnung anhand verschiedener, konkreter Beispiele einen Ein- blickindieAnwendungendiesesThemenbereichs. Einleitung VII Kap. 5 ist dem Begriffdes Integralsgewidmet. Ausgehend von der historischen Ent- wicklungundfachlichenKlärungdesIntegralbegriffssowiederFlächen-undVolumenbe- rechnunginderSekundarstufeIwerdenausführlichdieAspekteundGrundvorstellungen zum Integralbegriffdiskutiert. Zu denGrundvorstellungenzähltnebenderFlächen-, der Rekonstruktions-undderMittelwertsvorstellungauchdiederKumulation.Insbesondere werdenviertypischeZugängezurIntegralrechnungimAnalysisunterrichtbehandeltund ankonkretenBeispielenerläutert. AusblickundDank Zu diesem Buch gibt es eine eigene Internetseite www.didaktik-der-analysis.de, auf der weitereMaterialienbereitgestelltwerden. Danken möchten wir Herrn Kollegen Friedhelm Padberg für die Aufnahme in die- se Reihe des Springer Spektrum Verlages sowie für viele konstruktive Anregungen am Gesamtmanuskript. Auch bei den beiden Kollegen Torsten Linnemann und Jörg Meyer möchten wir unssehr herzlich für dasKorrekturlesen des Manuskriptsund dievielfälti- genAnregungenbedanken,dieunsimmerwiederAnlasszurReflexiondesvorliegenden Buchesgegebenhaben. Februar2016 DieAutoren Inhaltsverzeichnis 1 ZielederAnalysis,AspekteundGrundvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Ziele,Standards,Kompetenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 AllgemeineZieledesAnalysisunterrichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 PragmatischerGesichtspunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 KulturellerGesichtspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 ErkenntnistheoretischerGesichtspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Kognitiv-konstruktiverGesichtspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.5 Sprachlich-kommunikativerGesichtspunkt . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.6 Schöpferisch-kreativerGesichtspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.7 Mathematisch-deduktiverGesichtspunkt. . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 InhaltlicheZieledesAnalysisunterrichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 ZentraleBegriffederAnalysiskennenlernen . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Argumentieren,BegründenundBeweiseninderAnalysis . . . . . 10 1.3.3 GrundlegendeVerfahrenderAnalysisanwenden. . . . . . . . . . . 11 1.3.4 MitAnalysisAnwendungenundModellebearbeiten . . . . . . . . 11 1.4 DigitaleMathematikwerkzeugeeinsetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 EntdeckenmathematischerZusammenhänge . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Darstellungsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 ReduktionschematischerAbläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.4 Kontrollmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 AspekteundGrundvorstellungenzumathematischenBegriffen . . . . . . 16 1.5.1 Aspekte,GrundvorstellungenundihreBeziehungenzueinander . 16 1.5.2 Unterscheidung:UniverselleundindividuelleGrundvorstellungen 18 1.5.3 Unterscheidung:PrimäreundsekundäreGrundvorstellungen . . . 19 1.5.4 NutzenvonGrundvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1 HistorischeEntwicklungdesFunktionsbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 DerFunktionsbegriffvonNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 DerFunktionsbegriffvonLeibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.3 DerFunktionsbegriffvonEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 IX X Inhaltsverzeichnis 2.1.4 DerFunktionsbegriffvonDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.5 DerFunktionsbegriffvonBourbaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 ReelleZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 DarstellungreellerZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 WarumAnalysisaufRundnichtaufQ? . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3 DieVollständigkeitderMengeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 PhänomenezurEntwicklungdesFunktionsbegriffsinderSchule . . . . . 36 2.3.1 ZeitlicheEntwicklungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 Kausalzusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.3 WillkürlichgesetzteZusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.4 EigenschaftenvonObjekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.5 FunktionaleZusammenhängebeiRechentermen. . . . . . . . . . . 39 2.3.6 GeometrischeAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.7 DynamischeGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.8 VonPhänomenenzurDefinitiondesBegriffsderFunktion . . . . 42 2.3.9 SinneinerDefinitionvonFunktioneninderSchule . . . . . . . . . 44 2.4 AspekteundGrundvorstellungenzuFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.1 AspektedesFunktionsbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.2 GrundvorstellungenzumFunktionsbegriff. . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5 DarstellungsformenvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.1 RealesituativeDarstellungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.2 GrafischeDarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.3 TabellarischeDarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5.4 DarstellungenmitTermen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.5 VerbaleDarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.6 WechselvonDarstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6 FunktionenmitParametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.6.1 EinflussvonParameternaufFunktionsgraphen. . . . . . . . . . . . 57 2.6.2 FunktionaleAbhängigkeitenzwischenParameternundGraphen . 64 2.6.3 OrtskurvenvonPunktenaufFunktionsgraphen. . . . . . . . . . . . 66 2.7 FunktionalesDenken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3 FolgenundGrenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1 HistorischeEntwicklungundfachlicheKlärung. . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.1 DynamischeundstatischeVorstellungenvomUnendlichen . . . . 74 3.1.2 DiehistorischeEntwicklungdesGrenzwertbegriffs . . . . . . . . . 76 3.1.3 DieformaleDefinitiondesGrenzwertes . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1.4 ZumLehrendesGrenzwertbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.1.5 DerformaleGrenzwertbegriffimMathematikunterricht . . . . . . 79 3.1.6 DerintuitiveoderpropädeutischeGrenzwertbegriff . . . . . . . . . 80 3.1.7 DerpropädeutischeGrenzwertbegriffindenBildungsstandards . 82

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