Didaktik der Analysis: Aspekte und Grundvorstellungen zentraler Begriffe

312 Pages·2016·7.134 MB·German

by  Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Gilbert Greefrath
Reinhard Oldenburg
Hans-Stefan Siller
Volker Ulm
Hans-Georg Weigand
Didaktik der
Analysis
Aspekte und Grundvorstellungen
zentraler Begriffe
Didaktik der Analysis
Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Herausgegeben von
Prof. Dr. Friedhelm Padberg, Universität Bielefeld,
und Prof. Dr. Andreas Büchter, Universität Duisburg-Essen
Bisher erschienene Bände (Auswahl):
Didaktik der Mathematik
P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder – Diagnostik und Förderung (P)
C. Benz/A. Peter-Koop/M. Grüßing: Frühe mathematische Bildung (P)
M. Franke/S. Reinhold: Didaktik der Geometrie (P)
M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P)
K. Hasemann/H. Gasteiger: Anfangsunterricht Mathematik (P)
K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 1 (P)
K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 2 (P)
F. Käpnick: Mathematiklernen in der Grundschule (P)
G. Krauthausen: Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule (P)
G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P)
K. Krüger/H.-D. Sill/C. Sikora: Didaktik der Stochastik in der Sekundarstufe (S)
G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P)
F. Padberg/C. Benz: Didaktik der Arithmetik (P)
P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P)
A.-S. Steinweg: Algebra in der Grundschule (P)
G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S)
R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S)
C. Geldermann/F. Padberg/U. Sprekelmeyer: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe II (S)
G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S)
G. Greefrath/R. Oldenburg/H.-S. Siller/V. Ulm/H.-G. Weigand: Didaktik der Analysis
für die Sekundarstufe II (S)
K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe I (S)
F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S)
H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S)
H.-J. Vollrath/J. Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S)
H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S)
H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S)
Mathematik
M. Helmerich/K. Lengnink: Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie (P)
F. Padberg/A. Büchter: Einführung Mathematik Primarstufe – Arithmetik (P)
F. Padberg/A. Büchter: Vertiefung Mathematik Primarstufe – Arithmetik/Zahlentheorie (P)
K. Appell/J. Appell: Mengen – Zahlen – Zahlbereiche (P/S)
A. Filler: Elementare Lineare Algebra (P/S)
S. Krauter/C. Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie (P/S)
H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S)
T. Leuders: Erlebnis Algebra (P/S)
T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S)
F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S)
F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S)
A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S)
B. Schuppar/H. Humenberger: Elementare Numerik für die Sekundarstufe (S)
G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S)
P: Schwerpunkt Primarstufe
S: Schwerpunkt Sekundarstufe
Weitere Bände in Vorbereitung
(cid:2) (cid:2)
Gilbert Greefrath Reinhard Oldenburg
(cid:2) (cid:2)
Hans-Stefan Siller Volker Ulm
Hans-Georg Weigand
Didaktik der Analysis
Aspekte und Grundvorstellungen zentraler
Begriffe
GilbertGreefrath VolkerUlm
UniversitätMünster UniversitätBayreuth
Münster,Deutschland Bayreuth,Deutschland
ReinhardOldenburg Hans-GeorgWeigand
UniversitätAugsburg UniversitätWürzburg
Augsburg,Deutschland Würzburg,Deutschland
Hans-StefanSiller
UniversitätKoblenz-Landau
Koblenz,Deutschland
MathematikPrimarstufeundSekundarstufeI+II
ISBN978-3-662-48876-8 ISBN978-3-662-48877-5(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-48877-5
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Einleitung
„3000 Jahre Analysis“ ist der Titel eines Buches von Thomas Sonar (2011), in dem die
jahrtausendealteAuseinandersetzungmitLängen-,Flächen-undVolumenberechnungen,
mitdemBegriffdesUnendlichen,mitKurvenundTangentenoderSteigungenvonGra-
phen geschildert wird. Damit verglichen hat Analysis in der Schule eine relativ kurze
Geschichte. Erst mit der Meraner Reform von 1905 (Gutzmer 1908, Schimmack 1911)
wurdedieForderungerhoben,Analysisals„KrönungdesfunktionalenDenkens“inden
Mathematikunterricht aufzunehmen. Es dauerte dann noch bis zur Mitte des 20. Jahr-
hunderts, bis Analysis zu einem obligatorischen Teilgebiet des Mathematikunterrichts
(zumindestinDeutschland)wurde.
HeuteistdieAnalysiseinwichtigesGebietdesMathematikunterrichtsindergymna-
sialenOberstufe,mitdemverschiedeneZieleerreichtwerdensollen.SogibtderAnalysis-
unterrichteinenEinblickindieEntstehungundEntwicklungwissenschaftlicherBegriffe.
Mit ihm ist die Entwicklung eines Denkens verbunden, das über die in der Umwelt ge-
wonnenenErfahrungenhinausgehtundeinePräzisierungderSpracheerfordert.Weiterhin
tragenKenntnisseinAnalysisdazubei,dassvieleVorgängeinunsererUmweltmitande-
renAugengesehenundtechnischeErrungenschaftenbessereingeschätztwerdenkönnen.
SchließlichlernenwirinderAnalysisgrundlegendemathematischeBegriffekennen,wie
etwa Grenzwert, Ableitung und Integral, die als eine notwendige Vorbereitung auf vie-
le – insbesondere auch nicht naturwissenschaftliche – Studienfächer angesehen werden
müssen.
DieDidaktikderAnalysisbeschäftigtsichmitLehr-undLernprozessenzumVerstehen
dieseszentralenmathematischenGebietes.SiehatinsbesonderediefolgendenAufgaben:
(cid:2) dasAufzeigenderEntwicklungzentralerBegriffeimSinneeinerKonstitutionmentaler
ObjektebeidenLernenden,
(cid:2) die Diskussion der von Lernenden zu erwerbenden Kompetenzen, also des zentralen
Wissens,derFähigkeitenundFertigkeitenimBereichderAnalysis,
(cid:2) die Analyse und Bewertung von Lehr- und Lernprozessen sowie das Entwickeln von
KonzeptenundLernumgebungen.
V
VI Einleitung
Dieses Buch baut auf aktuellen Erkenntnissen über das Lehren und Lernen von Ana-
lysis auf und diskutiert unterschiedliche Konzepte und Vorschläge im Hinblick auf die
Umsetzung im Analysisunterricht. Es wendet sich an Studierende des Lehramts Mathe-
matik,anReferendarinnenundReferendaresowieanpraktizierendeLehrkräfteundzeigt
Grundlagen für einen verständnisorientierten Analysisunterricht auf. Es ist von Auto-
ren geschrieben, die sich seit vielen Jahren mit grundlegenden Fragen des Lehrens und
Lernensvon Mathematik und der Verbesserungdes Mathematikunterrichtsauseinander-
setzen.
InhaltedereinzelnenKapitel
InKap.1werdendieZieledesAnalysisunterrichtsdargestelltunddieBeziehungenzuden
StandardsundKompetenzenimSinnederKMK-Bildungsstandardsaufgezeigt.Allgemei-
neundinhaltlicheZieledesAnalysisunterrichtswerdenanhandprototypischerBeispiele
erläutert.DabeiwirdinsbesondereaufdiefürdiesesBuchzentralenBegriffeAspekteund
Grundvorstellungeneingegangen.
Das Kap. 2 ist der Entwicklung des Funktionsbegriffs im Mathematikunterricht ge-
widmet. Im Zentrum stehen Analysen, wie Schülerinnen und Schüler ausgehend von
vielfältigen Phänomenen Grundvorstellungen zum Funktionsbegriff entwickeln können
undwiedieszueinerDefinitiondesBegriffsführenkann.Hierbeispieltauchderverständ-
nisvolleUmgangmitverschiedenenDarstellungsformenvonFunktioneneinewesentliche
Rolle.
Kap.3behandeltdieWechselbeziehungenzwischendemFolgen-,Grenzwert-undUn-
endlichkeitsbegriff.AusgehendvonderEntwicklungsgeschichtederMathematikwirddie
BedeutungdieserBegriffeimgesamtenMathematikunterrichtdargestellt.Dazuwirdins-
besondere auf die Entwicklung eingegangen, die zu der heutigen Situation im Hinblick
auf die Behandlung der grundlegenden Begriffe der Analysis im Mathematikunterricht
geführthat,undeswerdenPerspektivenfüreinenzukünftigen,vorallemauchcomputer-
unterstütztenAnalysisunterrichtaufgezeigt.
InKap.4wirdderBegriffderAbleitungthematisiert.Ausgehendvonderhistorischen
Entwicklung und der fachlichen Klärung des Begriffs werden Grundvorstellungen der
Ableitung – lokale Änderungsrate,Tangentensteigungsvorstellung,lokaleLinearitätund
Verstärkungsfaktorvorstellungkleiner Änderungen– vorgestellt, erläutertund diskutiert.
Darauf aufbauend ist die verständnisorientierte Entwicklung der Differenzialrechnung
das zentrale Ziel, das sich im Analysisunterricht in Zugängen und Aktivitäten wider-
spiegelt, die diese Grundvorstellungen adäquat zu konstruieren versuchen. Dann führen
AbleitungsfunktionenundAbleitungsregelnzurUntersuchungundCharakterisierungvon
Funktionsklassen undderenGraphen.Schließlich gibtdas(mathematische) Modellieren
mithilfe der Differenzialrechnung anhand verschiedener, konkreter Beispiele einen Ein-
blickindieAnwendungendiesesThemenbereichs.
Einleitung VII
Kap. 5 ist dem Begriffdes Integralsgewidmet. Ausgehend von der historischen Ent-
wicklungundfachlichenKlärungdesIntegralbegriffssowiederFlächen-undVolumenbe-
rechnunginderSekundarstufeIwerdenausführlichdieAspekteundGrundvorstellungen
zum Integralbegriffdiskutiert. Zu denGrundvorstellungenzähltnebenderFlächen-, der
Rekonstruktions-undderMittelwertsvorstellungauchdiederKumulation.Insbesondere
werdenviertypischeZugängezurIntegralrechnungimAnalysisunterrichtbehandeltund
ankonkretenBeispielenerläutert.
AusblickundDank
Zu diesem Buch gibt es eine eigene Internetseite www.didaktik-der-analysis.de, auf der
weitereMaterialienbereitgestelltwerden.
Danken möchten wir Herrn Kollegen Friedhelm Padberg für die Aufnahme in die-
se Reihe des Springer Spektrum Verlages sowie für viele konstruktive Anregungen am
Gesamtmanuskript. Auch bei den beiden Kollegen Torsten Linnemann und Jörg Meyer
möchten wir unssehr herzlich für dasKorrekturlesen des Manuskriptsund dievielfälti-
genAnregungenbedanken,dieunsimmerwiederAnlasszurReflexiondesvorliegenden
Buchesgegebenhaben.
Februar2016 DieAutoren
Inhaltsverzeichnis
1 ZielederAnalysis,AspekteundGrundvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Ziele,Standards,Kompetenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 AllgemeineZieledesAnalysisunterrichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 PragmatischerGesichtspunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 KulturellerGesichtspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 ErkenntnistheoretischerGesichtspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Kognitiv-konstruktiverGesichtspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5 Sprachlich-kommunikativerGesichtspunkt . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6 Schöpferisch-kreativerGesichtspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.7 Mathematisch-deduktiverGesichtspunkt. . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 InhaltlicheZieledesAnalysisunterrichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 ZentraleBegriffederAnalysiskennenlernen . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Argumentieren,BegründenundBeweiseninderAnalysis . . . . . 10
1.3.3 GrundlegendeVerfahrenderAnalysisanwenden. . . . . . . . . . . 11
1.3.4 MitAnalysisAnwendungenundModellebearbeiten . . . . . . . . 11
1.4 DigitaleMathematikwerkzeugeeinsetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 EntdeckenmathematischerZusammenhänge . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Darstellungsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 ReduktionschematischerAbläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.4 Kontrollmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 AspekteundGrundvorstellungenzumathematischenBegriffen . . . . . . 16
1.5.1 Aspekte,GrundvorstellungenundihreBeziehungenzueinander . 16
1.5.2 Unterscheidung:UniverselleundindividuelleGrundvorstellungen 18
1.5.3 Unterscheidung:PrimäreundsekundäreGrundvorstellungen . . . 19
1.5.4 NutzenvonGrundvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 HistorischeEntwicklungdesFunktionsbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 DerFunktionsbegriffvonNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 DerFunktionsbegriffvonLeibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 DerFunktionsbegriffvonEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
IX
X Inhaltsverzeichnis
2.1.4 DerFunktionsbegriffvonDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.5 DerFunktionsbegriffvonBourbaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 ReelleZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 DarstellungreellerZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 WarumAnalysisaufRundnichtaufQ? . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 DieVollständigkeitderMengeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 PhänomenezurEntwicklungdesFunktionsbegriffsinderSchule . . . . . 36
2.3.1 ZeitlicheEntwicklungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Kausalzusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.3 WillkürlichgesetzteZusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.4 EigenschaftenvonObjekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.5 FunktionaleZusammenhängebeiRechentermen. . . . . . . . . . . 39
2.3.6 GeometrischeAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.7 DynamischeGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.8 VonPhänomenenzurDefinitiondesBegriffsderFunktion . . . . 42
2.3.9 SinneinerDefinitionvonFunktioneninderSchule . . . . . . . . . 44
2.4 AspekteundGrundvorstellungenzuFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 AspektedesFunktionsbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.2 GrundvorstellungenzumFunktionsbegriff. . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 DarstellungsformenvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.1 RealesituativeDarstellungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.2 GrafischeDarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.3 TabellarischeDarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.4 DarstellungenmitTermen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.5 VerbaleDarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.6 WechselvonDarstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6 FunktionenmitParametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6.1 EinflussvonParameternaufFunktionsgraphen. . . . . . . . . . . . 57
2.6.2 FunktionaleAbhängigkeitenzwischenParameternundGraphen . 64
2.6.3 OrtskurvenvonPunktenaufFunktionsgraphen. . . . . . . . . . . . 66
2.7 FunktionalesDenken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 FolgenundGrenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1 HistorischeEntwicklungundfachlicheKlärung. . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.1 DynamischeundstatischeVorstellungenvomUnendlichen . . . . 74
3.1.2 DiehistorischeEntwicklungdesGrenzwertbegriffs . . . . . . . . . 76
3.1.3 DieformaleDefinitiondesGrenzwertes . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.4 ZumLehrendesGrenzwertbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.5 DerformaleGrenzwertbegriffimMathematikunterricht . . . . . . 79
3.1.6 DerintuitiveoderpropädeutischeGrenzwertbegriff . . . . . . . . . 80
3.1.7 DerpropädeutischeGrenzwertbegriffindenBildungsstandards . 82