Dicționar de Analiză matematică

467 Pages·1989·53.501 MB·Romanian

by  Cristescu (coord.)

DICŢIONAR
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
Coordonator
prof. uiv. dr. doc. ROMULUS CRISTESCU
Membru corespondent al Academiei R. S. România
Autori:
lect. univ. dr. ION CHIŢESCU {LC.)
prof. univ. dr. doc. ROMULUS CRISTESCU {R,C.)
lect. univ. dr. GHEORGHE GRIGORE {GhGr,)
cercet. şt. dr. GEORGE GUSSI (G.G.|
prof. univ. dr. doc. ARISTIDE HALANAY {AM.)
prof. univ. dr. MARTIN JURCHESCU (M./.)
prof. univ. dr. doc. SOLOMON MARCUS (S.M.)
Redactare şi coordonare lexicografică
MĂRIA BORICEAN
DICŢIONAR
DE ANALIZĂ
MATEMATICĂ
fi , Y ^^ * ^ * ^
^ ^ t. s
(fi'
Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică
Bucureşti, 1989
NOTAŢII
€ ~ semnul de apartenenţă la o mulţime
1^ — semnul de neapartenenţă la o mulţime
c: — semnul de incluziune a mulţimilor
|Zf — semnul de neincluziune a mulţimilor
U — semnul de reuniune a mulţimilor
f) — semnul de intersecţie a mulţimilor
V — cuantificatorul universal („oricare ar fi'')
i — cuantificatorul existenţial („există")
«> — semnul de implicaţie logică
<» — semnul de echivalenţă logică
0 — mulţimea vidă
{x€XlP{x)} — mulţimea elementelor din X care au proprietatea P
i^iiiel ~~ ^â-niiîie de elemente
X\^, Cx-^ > C^ — complementara în X a mulţimii A
A\B — diferenţa a două mulţimi A şi B
A X B — produsul cartezian al mulţimilor A şi B
X^ — produsul cartezian a n mulţimi egale cu X
Y\ — semn pentru un produs (cartezian) de mulţimi sau de
numere
ŢŢ — semnul de reuniune disjunctă
Y^ — mulţimea funcţiilor definite pe X cu valori în Y
f:A-*B — funcţia / definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B 1
f{A) — imaginea directă a mulţimii A prin funcţia /; f{A) =*
= {f(,x)\xeA}
7 NOTAŢII
/~^(vf) — imaginea inversă a mulţimii A prin funcţia f; f~^(A] «»
= {x\f{x)eA}
/-l — inversa funcţiei bijective/
0 — semnul de compunere a două funcţii
supp, spt ~ suportul unei funcţii, măsuri, distribuţii
N — mulţimea numerelor naturale; N == (1, 2,...)
R — mulţimea numerelor reale (dreapta r)
R^ — mulţimea numerelor reale pozitive; R^. ={;(?€ R \x'^0}
R ~ dreapta reală extinsă; R = Ru{—oo,-|- oo}
C — mulţimea numerelor complexe (planul complex)
C — planul complex extins C = CU {oo}
Q — corpul numerelor raţionale
Z -- inelul numerelor întregi
ic,^],[cipb), {a, &], (a, b) — intevale în R
\ a \ — modulul lui a
z — conjugatul numărului complex z
Re z, re ^ — partea reală a numărului complex z
Im z, ivaz — partea imaginară a numărului complex z
log, In ~ logaritm în baza e
c°*, expa — funcţia exponenţială în baze e
b
var x{t), \J x— variaţia totală a funcţiei A;:[a, 6] -*• R
1 e [a, b\ a
— semnul de integrală
fx — derivata parţială a funcţiei / în raport cu x
f — derivata funcţiei /
d;. '
f{n) _ derivata de ordin n a funcţiei/
Ker / — nucleul aplicaţiei liniare /; Ker / = {A; \f{x) =» 0}
max A — cel mai mare element al mulţimii A
NOTAŢII
min A ~ cel mai mic element al mulţimii A
nîA — marginea inferioară a mulţimii A
sup A — marginea superioară a mulţimii A
hm, lim sup — limita superioară
lim, lim inf — limita inferioară
lim Xn — limita şirului {xn}^^^
n-*co
I>""
— suma unei seni
«=1
S — semn pentru suma unei familii sumabile de elemente
intA, A — interiorul mulţimii A
Ă — închiderea mulţimii A
J2(X, Y) — spaţiul operatorilor liniari şi continui definiţi pe X şi cu
valori în Y
J2{X) — spaţiul operatorilor liniari şi continui definiţi pe X cu va­
lori în X
C^{T) — mulţimea funcţiilor de clasă C^ pe T
C°°(r) —mulţimea funcţiilor de clasă C* pe T
det A — determinantul matricii A
— combinări de n elemente luate cîte k
(:)-=
nî — n-factorial; n\ ~ 1 • 2 •... • w
Bij — simbolul lui Kronecker; Bi} = O dacă ÎT^J şi Bt§ = î dacă
O — elementul nul într-un spaţiu liniar
ABREVIERI
a.p.t. = aproape peste tot
ex. = exemplu
t.e, (%d est) = adică
obs. s= observaţie
rel. = relativ la
V. = vezi
A
abatere medie pătratică (a două funcţii reale / şi g pe Intervalul compact
[a, 6]), expresia / f (yţ^^.) „ ^(_^))2 ^^^ p^că A = -TT, i - TT, iar g parcurge
polinoamele trigonometrice de ordin n, atunci a.m.p. a funcţiilor/ şi g îşi atinge
valoarea minimă de îndată ce g este polinomul Fourier de ordin n asociat lui
/ pe [-7c,7r]. (S.M.)
acces perfect (al unei funcţii într-un punct) Fie /."^cR -> R. Un a.p.
al lui /în X e A este o mulţime perfectă F czA care se acumulează în x atît
la stînga cit şi la dreapta astfel încît restricţia/ | V este continuă în x, O func­
ţie de prima clasă Baire în intervalul compact / are proprietatea lui Darboux
dacă şi numai dacă admite un a.p. în fiecare punct din / (la extremităţi acu­
mularea va fi unilaterală). (S.Af.)
acoperire, familie {F>i}^^j de părţi ale mulţimii St avînd proprietatea
U ^i = ^- Se numeşte subacoperire a a. {Di}.^rO subfamilie {Di}- j, Jcl
iei ^"^
astfel încît U Di = 9C. Dacă mulţimea / este finită a. se numeşte finită. Dacă
9C este un spaţiu topologic şi toate mulţimile Di sînt deschise se spune că a.
{Di}^^j este a, deschisă. Dacă {Dj}^ ^^ ^^ {-^jUeJ ^^^^ două a. ale lui 9C şi dacă
pentru orice j e J există iei astfel încît FjCzDi, se spune că a. {Fj}j^j este
subordonată a. {Di}^^j- (sau că {Fj}j^ r este înscrisă în {Dtj^gj). (Gh.Gr.)
acoperire convexă v. spaţiu liniar
acoperire echilibrată v. spaţiu liniar
acoperire liniară v. spaţiu liniar
acoperire local finită v. familie local finită de mulţimi
acoperire plină v. mulţime ordonată
acoperire solidă v. spaţiu liniar ordonat
acoperire Vitali Fie {X, d) un spaţiu metric, 93 tribul borelienelor lui X şi
p.: ^ -• R^ o măsură numărabil aditivă cu proprietatea că \i(A) < oo pentru
orice bilă închisă A<zX. Fie ACLX o mulţime şi S- un sistem de mulţimi
închise şi mărginite ale lui X. Vom spune că 9^ este o a.V. pentru A sau că A
este acoperită în sensul lui Vitali de 9* dacă fiecare mulţime din 9^ are măsură
strict pozitivă finită şi, în plus, există un număr strict pozitiv a şi un număr
b>2 astfel încît pentru orice x din A şi orice e > O putem găsi J^ e 9- cu pro­
prietăţile: a) xeF; b) \i(F) < e; c) IJL{B(F, b S(F)))lii(F)^a, unde S(F) este
diametrul lui F iar B(F, S(F)) bila deschisă de centru F si rază S(F) (i.e.
B(F,S(F)) = {xeX\d(x,F) <^{F)}).
Teorema de acoperire a lui Vitali. Dacă [X, d) este un spaţiu metric compact
şi 9^ o a.V. pentru o mulţime AczX, atunci există o parte finită sau un şir {Fn}n
de elemente din 9', mutual disjuncte, astfel încît mulţimea ^ \| U F« j
este ^-neglijabilă.
ADERENŢA UNEI MULŢIMI 10
Considerăm acum cazul X = Ici. Fie X măsura Lebesgue în R şi ^ cR o
mulţime mărginită. Se spune că o familie de intervale Ş nedegenerate şi măr­
ginite este o a.V. pentru A dacă pentru orice x în A şi orice e > O există un
interval / e Ş cu ;r e / şi X(I) < e. Teorema de a.V. spune că dacă g) este
o a.V. pentru AczlEi, atunci există o parte finită sau un şir {/„}„ de elemente
din 9> mutual disjuncte, astfel încît mulţimea £:\ TU-^») este neglijabilă. (/. C.)
aderenţa unei mulţimi v. punct aderent
adevăratul maxim v. spaţii L^, spaţii £^{\i) şi L^{[i) (în raport cu o măsură
Radon), funcţie total măsurabilă
adjunctul formal (al unui operator diferenţial liniar) Fie r{x, D) —
= 5J <^aM ^^ u^ operator diferenţial liniar; aici a = (ax,..., a») este un
a 1 5
multimdice, D" = Dj ... D^ , unde Dfc = . I a | = ai + ... + a», iar
coeficienţii aQ,{x) sînt funcţii de clasă cel puţin C^ într-o mulţime deschisă
din R". Notînd cu (u, v) — \ u{x) v{x) dx produsul scalar din L^(Q,) a.f.
(sau algebric, sau transpusul) operatorului P, notat cu P (sau *P), este unicul
operator diferenţial ce verifică (Fu, v) = {u, Pv) pentru orice ue C^(Cl),
V e C°°. Expresia lui P este Pv = Yi (" ^)'''' ^«(^«(A;) i'). (G. G.)
|al^w
adjunctul unui operator v. operator autoadjunct, operator simetric
algebra Grassmann (a unui spaţiu vectorial real finit-dimensional V), o
R-algebră asociativă cu element 1, notată /\{V), cu proprietăţile următoare:
1) V este un subspaţiu vectorial al lui/\(F) şi vAv = 0 pentru orice veV^
unde prin y\ se notează înmulţirea în /\(V); 2) Algebra /\(F) este generată
de elementul unitate împreună cu elementele lui V; 3) /\(V) este un spaţiu
vectorial de dimensiune 2**, unde n este dimensiunea lui V. Sin.: algebră ex­
terioară. Explicităm, mai întîi, o construcţie efectivă a a.G. /\(V*), unde F*: =
= Hom-o(F, R) este dualul lui F, i.e. spaţiul tuturor funcţionalelor (formelor)
liniare pe F. Amintim că dacă W,Vi, ..., Vp sînt spaţii vectoriale, o aplicaţie
/: FjX ... xVp —*• W se numeşte aplicaţie p-liniară (sau aplicaţie multiliniarâ
de grad p) dacă, pentru orice ie {!,..., p] şi orice sistem de vectori v^e Vj,
ji^i, aplicaţia parţială
ViBv I->/(fi,..., î/^-i, V, Vij^i,..., Vp) eW
este liniară; se utilizează termenul de aplicaţie biliniarâ pentru o aplicaţie
multiliniară de grad ^ = 2. Pentru orice număr natural p se pune F^ : =
= Fx ... XF (de p ori). Se numeşte p-iensor covariant {sa.u tensor covariant de
grad p, sau funcţională multiliniară de grad p, sau formă p-liniară) pe F orice
aplicaţie ^-liniară /: F^ -> R. Mulţimea tuturor ^-tensorilor covarianţi pe spa­
ţiul vectorial F are o structură evidentă de spaţiu vectorial; acest spaţiu vec­
torial se notează prin T^{V*) şi se numeşte a p-a. putere tensorialâ a lui F*.
Avem T'^(V*) = F* şi se pune, prin definiţie, T°{V*): = IR. (i.e. un tensor
covariant de grad zero pe F este, prin definiţie, un număr real). în fine, se
pune
X(F*): = 0 T^{V*) (suma directă de spaţii vectoriale).
11 ALGEBRA GRASSMANN
Dacă p si q sînt numere naturale, produsul tensorial a doi -^ensori covarianţi
/e r^(F*) şi ^e T^{V*) este tensorul covariant / ® ge T^+'i(V*) definit prin
pentru v^, ..., -y^+g G V. Cînd ^ = O, / = c e R şi se pune / ® g = cg; în mod
similar se tratează cazul g = 0. Produsul tensorial este o operaţie biliniară şi
asociativă, dar necomutativă în grade p, q "^l. Această operaţie se extinde
prin liniaritate la o înmulţire pe spaţiul vectorial T{V*), care face din acest
spaţiu vectorial o R-algebră, numită algebra tensorialâ a lui F*. Pentru orice
număr natural p, grupul 5p al permutărilor mulţimii {l,...,p} acţionează
la stînga pe spaţiul vectorial T'^{V*) prin aplicaţia Sp X r^(F*) 9 (a,/) l->
l~>CT/e T^(V'') definită prin
cf(v^,.,.,vjp): =/(î^a(l)>-'^a(/>))
pentru orice ^-uplu de vectori v^, ...,VpeV. Un ^-tensor covariant/ pe spaţiul
vectorial F se numeşte alternat (sau exterior) dacă a/ = e(a)/ pentru orice
«jeSp, unde e(a) este semnul permutării a, i.e. e(a) = 1 cînd a este pară şi
c(a) = — 1 cînd a este impară. Mulţimea tuturor j!?-tensorilor covarianţi alter­
naţi pe F este un subspaţiu vectorial al lui T^{V*), care se notează prin/\î'(F*)
şi se numeşte puterea exterioară de grad p a lui F*. Avem /\-^(F*) = T'^[V*) =
= F* şi se pune, prin definiţie, /\°(F*): = T°(V*) = R. în fine, se pune
f\{V*) == 0 A^(^^*) (sumă directă de spaţii vectoriale).
Pentru orice număr natural p avem o aplicaţie liniară Alt: T^(V*) -*• r^(F*),
numită aplicaţia de alternare, definită prin
Alt(/): = i- Yi ^(")«/-
•6! «O(G=S5-;P^
Această aplicaţie are proprietăţile următoare: 1) Pentru orice/e r^(F*), re­
zultă Mt(f)ef\^V*)\ 2) Dacă fe /\^[V*), atunci Alt (/) =/; 3) Alt (a/) =
= e(a) Alt (/); 4) Alt (Alt (/) ® g) = Alt (/ ® Alt(g)) = Alt (/ ® g) pentru
/e T^(V*) şige T^V*)] 5) Alt(g(g)/) = (-ip» Alt(/®g) pentru/e T^(V*)
şi g€ T^(F*). Dacă p şi q sînt numere naturale, produsul exterior a doi tensori
alternaţi/€/\î'(F*) şi g 6/\^(F*) este tensorul alternat f ^ g e /\^+^{V*)
definit prin
f/\g=^_Jt±jll-Alt{f®g)=^~-^ Yi £(a)a(/®g).
plql p\q\ oe5p+g
Cînd ^ = O, / = c e R şi se pune c/\g — cg] în mod similar se tratează ca­
zul ^ = 0. Produsul exterior este o operaţie biliniară, asociativă şi, în plus,
anticomutativă, i.e.ff\g — (— l)^^gA/ dacă/ este de grad p şi g de grad q',
în particular, /A/ = O cînd / este de grad impar. Menţionăm că dacă
/i» "'*fN sînt tensori alternaţi pe F de grade p^, ..., pjsf respectiv, atunci
/^^ ... A/^ = i^L±_::i±i^ Alt (A (g)... ®/^).
Pi \... PN !
Produsul exterior se extinde prin liniaritate la o înmulţire pe spaţiul vectorial
J\[V*) şi face din acest spaţiu vectorial o R-algebră, numită a.G. a lui F*.
ALGEBRA 12
Teorema bazei. Dacă/^,...,/» este un reper al lui F*, atunci produsele exterioare
de forma /^^ A ••• A/^^ cu l^u < ... < i^^n formează un reper în spaţiul
vectorial y\^(F*); în particular acest spaţiu vectorial are dimensiunea
I : = ^ cînd O'^p^^n şi | 1 : = O cînd j>> n, deci spaţiul
p) p\[n-p)\ \p)
vectorial /\(F*) este de dimensiune 2^.
Dacă W este un alt spaţiu vectorial de dimensiune finită, se asociază fiecărei
aplicaţii liniare A:W-^V un morfism de R-algebre A*: /\(F*) -^/\(W*)
definit, pentru orice/e/\î'(F*), prin^*(/): =/o^^, unde A^: = Ax ... xA
(de p ori), cînd p ^ l şi A*{f}: == f cînd p = 0; tensorul alternat A*(f) are
acelaşi grad cu / şi se numeşte imaginea inversă a lui / prin aplicaţia liniară
A. Aplicaţiile F l—>/\(F*) şi A i-->^* definesc un functor contravariant de
la spaţii vectoriale de dimensiune finită la R-algebre.
Teorema determinantului. Dacă A este un endomorfism al lui F, atunci, pentru
orice n-tensor alternat/ pe V, unde n este dimensiunea lui V, avem A*{f) =
= det{A)f.
(Amintim că determinantul det(^) al unui endomorfism A al lui F se defi­
neşte folosind un reper al lui F care identifică F cu R"; definiţia nu depinde
de alegerea acestui reper.) Dăm în continuare o construcţie a algebrei exterioare,
a lui F. Fie F**: = Hom (F*, R) dualul lui V*; aplicaţia V3vi~>v** e F**,
definită prin v**(f): = f{v) pentru fe V*, este un izomorfism de spaţii vec­
toriale. Acest izomorfism se utilizează pentru a identifica spaţiile vectoriale
F şi F**. Vom defini deci algebra exterioară a lui F punînd /\^(F): =y\^(F**)
pentru orice ^ ^ O şi deci/\(F): =/\(F**). Aplicaţia canonică 6: V*^ -*
-*/\^(V*) definită prin Q{fi,...,fp)=fiA-"Afp este ^-liniară alterna­
tă, i.e.
^faiih "-JaiP)) = ^{^) Hfv'-Jp)
pentru orice/j, ...JpSV* şi a e Sp, iar aplicaţia d*:/\P{V*)*-*/\P(V), definită
prin 9 1—* 90 6, 9 e A^(^*)*' ^^te un izomorfism de spaţii vectoriale. Astfel
spaţiul vectorial /\^(F) este canonic izomorf cu dualul spaţiului vectorial
/^^(V*). Există construcţii mai generale care permit definirea algebrei ten-
soriale T(M) şi a algebrei exterioare /\(M) pentru orice J-modul M, unde
A este un inel comutativ cu element unitate, în rest arbitrar. Menţionăm aici
numai că se pot construi puterea exterioară /\^(F) şi a.G. /\(F) pentru un
spaţiu vectorial complex finit-dimensional F după modelul prezentat mai sus
în cazul real. (M. J.)
algebră, spaţiu liniar X înzestrat şi cu o „operaţie de înmulţire a elemen­
telor", i.e. o aplicaţie (x,y) -* xy d. hii X x X în X cu următoarele proprie­
tăţi: x(yz) == (xy) z; x(y -h 2) = xy •\- xz\ (y + z) x = yx + zx; {OLX) (Py) ==
= (a[3) {xy), unde a, P sînt scalari. O a. -X" se spune că este o a. reală sau o
a. complexă, după cum X este un spaţiu liniar real sau un spaţiu liniar complex.
Se spune că o a. X este comutativă dacă xy = yx oricare ar fi elementele x, y
din X. Se numeşte a. cu unitate o a. J^ în care există un element u cu proprieta­
tea: xu = ux oricare ar fi A; e X. Cînd un astfel de element u există el este unic.
Elementul u se numeşte element imitate. într-o a. cu unitate un element x
se spune că este inversaţii dacă există un element x^ astfel ca x'x = xx' —
= «, unde u este elementul unitate al a. Elementul x' se numeşte inversul lui
X. Cînd un element x este inversabil, inversul său x' este unic şi se notează
jur-^. O submulţime G a unei a. X se num,eşte subalgehrâ dacă din x, y eG re­
zultă că şi elementele x -\- y,0LX (unde a este un scalar oarecare) şi xy aparţin
luiG. Dacă A este o submulţime oarecare a a. X, cea mai mică subalgebră' care
conţine A se numeşte subalgebra generată de A ] eo. este mulţimea tuturor ele-