Dictaat bij het college Analytische Mechanica WJP Beenakker

62 Pages·2017·0.46 MB·Dutch

Dictaat bij het college Analytische Mechanica
W.J.P. Beenakker
Jaargang 2007{2008
Inhoud van het college:
1) De Lagrangiaan in de klassieke mechanica
2) Bewegingen van starre lichamen
3) Via de Hamiltoniaan naar de kwantummechanica
Nuttige literatuur (goed naslagwerk dat dieper op de stof ingaat dan strikt nodig is):
H. Goldstein, C.P. Poole and J.L. Safko, \Classical Mechanics",
third edition (Addison{Wesley, 2002), delen van Hst. 1, 2, 4, 5, 8{10.
Inhoudsopgave
1 De Lagrangiaan in de klassieke mechanica 1
1.1 Lagrange-vergelijking voor (cid:19)e(cid:19)en vrijheidsgraad . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Lagrange-vergelijkingen voor meerdere vrijheidsgraden . . . . . . . . . . . 4
1.3 De implementatie van randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Een slinger met oscillerend ophangpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Het variatieprincipe van Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Behoudswetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Bewegingen van starre lichamen 17
2.1 Het massamiddelpunt en relatieve co(cid:127)ordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Bewegingsvergelijkingen voor rotaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Rotaties en hoeksnelheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Het gyroscopisch e(cid:11)ect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Traagheidsmomenten en deviatiemomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Rotaties van een star lichaam rond een vaste as . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Rekenregels voor de bepaling van traagheidsmomenten . . . . . . . . . . . 29
2.8 Overgang naar een versneld co(cid:127)ordinatenstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9 De bewegingsvergelijkingen van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Het tennisracket-theorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.11 De aarde als vrije symmetrische tol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12 Hoeken van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.13 Lagrangianen voor roterende starre lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Via de Hamiltoniaan naar de kwantummechanica 48
3.1 Het Poissonhaakje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Kanonieke transformaties en Hamilton{Jacobi vergelijking . . . . . . . . . 52
3.3 De oude kwantumtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 De Schr(cid:127)odinger-vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1 De Lagrangiaan in de klassieke mechanica
In de klassieke mechanica worden de relevante bewegingsvergelijkingen van een systeem
geschreven in termen van vectoren, zoals plaatsvectoren, snelheden, krachten, etc.. Met de
term systeem wordt hier het geheel bedoeld van alle puntdeeltjes die we willen beschouwen,
inclusief de krachten die op deze puntdeeltjes inwerken. Een puntdeeltje met constante
massa m en Cartesische inertiaalco(cid:127)ordinaten ~r = x~e +y~e +z~e ten opzichte van een
x y z
niet-versnelde waarnemer voldoet in de klassieke mechanica aan de 2e wet van Newton:
d2~r(t) d d~r(t)
m m = F~ = de kracht op het puntdeeltje :
dt2 (cid:17) dt dt
Een bewegingsvergelijking van dit type heeft een tweetal onplezierige eigenschappen. Ten
eerste verandert het sterk van vorm bij overgang naar een ander co(cid:127)ordinatenstelsel, waar-
bij er alleen niets verandert onder Galilei-transformaties ~r(t) ~r (t) = ~r(t)+~vt voor
0
!
constante snelheden ~v. Als er bijvoorbeeld een versneld co(cid:127)ordinatenstelsel wordt gebruikt,
dan zullen er schijnkrachten in rekening moeten worden gebracht (zoals zal worden uitge-
legd in Hst.2). Ten tweede moeten alle krachten op alle relevante puntdeeltjes bekend zijn
om een systeem zinvol te kunnen beschrijven.
In de analytische mechanica zullen we gaan werken met zogenaamde scalaire grootheden
die betrekking hebben op het systeem in zijn geheel, namelijk de totale kinetische energie
en potenti(cid:127)ele energie (arbeid). Meer zal niet nodig blijken te zijn om alle relevante bewe-
gingsvergelijkingen te kennen. Het feit dat scalaire grootheden geen ruimtelijke richting
hebben zalonsinstaatstellen ombewegingsvergelijkingen teconstrueren diedezelfde vorm
hebben voor willekeurige co(cid:127)ordinatenstelsels. Deze nieuwe aanpak
voldoet dus aan het relativiteitsprincipe en vormt dan ook een goed startpunt voor
(cid:15)
de mechanica van relativistische systemen;
is systematisch en vereist geen volledige kennis van alle krachten als het systeem aan
(cid:15)
bepaalde randvoorwaarden moet voldoen (zie beneden);
vormt een goed startpunt om de link met de kwantummechanica te leggen.
(cid:15)
Alvorens de nieuwe bewegingsvergelijkingen af te leiden voeren we eerst even een paar
begrippen in. Het aantal onafhankelijke co(cid:127)ordinaten die nodig zijn om de bewegingen van
alle puntdeeltjes van een systeem volledig te beschrijven noemen we de vrijheidsgraden van
het systeem. Een systeem bestaande uit N vrije puntdeeltjes heeft bijvoorbeeld 3N onaf-
hankelijke Cartesische co(cid:127)ordinaten x ; y ; z (k = 1;2; ;N), een puntdeeltje dat in het
k k k
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
xy-vlak beweegt heeft twee onafhankelijke Cartesische co(cid:127)ordinaten x en y, een puntdeeltje
in een slingeropstelling heeft (cid:19)e(cid:19)en hoekco(cid:127)ordinaat, etc.. In de laatste twee voorbeelden was
er sprake van een randvoorwaarde (\constraint"), d.w.z. een kinematische relatie die als
1
beperking aan de beweging van het systeem is opgelegd. Om een randvoorwaarde te imple-
menteren dienen krachten te worden toegevoegd die ervoor zorgen dat aan de beweging de
desgewenste beperking wordt opgelegd. In zulke gevallen zal het verstandig blijken te zijn
om de keuze van het co(cid:127)ordinatenstelsel expliciet aan deze randvoorwaarden aan te passen!
Voorbeeld: een deeltje dat op het oppervlak van een bol z
met straal R beweegt is het eenvoudigst aan de hand van
de bolco(cid:127)ordinaten r; (cid:18) en (cid:30) te beschrijven, waarbij
x = rsin(cid:18) cos(cid:30) ; y = rsin(cid:18) sin(cid:30) ; z = rcos(cid:18) : (1) (cid:18)
r
O y
Immers, de afstandvan het deeltje tothet middelpunt van
(cid:30)
de bol, d.w.z. de oorsprong van het bolco(cid:127)ordinatenstelsel,
blijft constant gedurende de beweging. Er is dus sprake
van (cid:19)e(cid:19)en randvoorwaarde, r = R = constant, zodat de
x
beweging van het deeltje wordt vastgelegd door de hoeken
(cid:18) en (cid:30) die vrij te vari(cid:127)eren zijn. We hebben hier dus te maken met twee vrijheidsgraden.
Let wel: het gebruik van de transformatie (1) in de bewegingsvergelijking van Newton leidt
in het algemeen tot een tamelijk gecompliceerde set gekoppelde di(cid:11)erentiaalvergelijkingen.
Tevens zal een extra kracht moeten worden toegevoegd zodanig dat de beweging van het
deeltje uitsluitend op het boloppervlak kan plaatsvinden. In de nieuwe aanpak die we
nu gaan a(cid:13)eiden zullen dit soort randvoorwaarden zonder toegevoegde complexiteit in
rekening kunnen worden gebracht.
1.1 Lagrange-vergelijking voor (cid:19)e(cid:19)en vrijheidsgraad
Gezocht: een slimme combinatie vande vergelijkingen vanNewton zodanig dateen bewe-
gingsvergelijking ontstaat die dezelfde vorm heeft voor willekeurige co(cid:127)ordinatenstelsels.
Beschouweensysteembeschrevendoor(cid:19)e(cid:19)enCartesischeinertiaalco(cid:127)ordinaat x(t) dievoldoet
aan de bewegingsvergelijking van Newton
mx(cid:127) = F(x;x_;t) ; (2)
waarbij x_ dx=dt en x(cid:127) d2x=dt2. Gavervolgens over opdegegeneraliseerde co(cid:127)ordinaat
(cid:17) (cid:17)
q q(x;t) ; met inverse transformatie x = x(q;t) : (3)
(cid:17)
De Cartesische snelheid is dan als volgt te herschrijven:
dx @x @x
(3)
x_ ==== q_ + x_(q;q_;t) ; (4)
(cid:17) dt @q @t (cid:17)
waarbij is gebruikt dat x een functie van zowel q als t kan zijn. De parti(cid:127)ele afgeleiden
2
zijn op de gebruikelijke manier gede(cid:12)nieerd. Zo betekent bijvoorbeeld @x(q;t)=@q dat de
afgeleide wordt genomen naar q terwijl t wordt vastgehouden. Door q; q_ en t hier als
onafhankelijke variabelen te beschouwen zijn de volgende identiteiten af te leiden:
@x_ @x d @x @2x @2x @x_
(4) (4)
==== en = + q_ ==== : (5)
@q_ @q dt @q @t@q @q2 @q
Stap 1, de kinetische energie: de Cartesische impuls p van het deeltje kan worden verkre-
gen uit de kinetische energie volgens
dT 1
p mx_ = ; met T(x_) = mx_2 = kinetische energie : (6)
(cid:17) dx_ 2
De(cid:12)nieer vervolgens de met q geconjugeerde impuls (gegeneraliseerde impuls)
@T dT @x_ @x_ @x
(6) (6) (5)
p ==== ==== p ==== p p (q;q_;t) : (7)
q q
(cid:17) @q_ dx_ @q_ @q_ @q (cid:17)
Uit de bewegingsvergelijking van Newton
(2);(6)
p_ ==== F(x;x_;t) (8)
volgt dan
d @x @x d @x @x dT @x_ @x @T
(7) (5);(6) (6);(8)
p_ ==== p = p_ +p ==== p_ + ==== F + : (9)
q
dt @q @q dt @q @q dx_ @q @q @q
(cid:16) (cid:17)
De term F @x=@q is te interpreteren als gegeneraliseerde kracht, terwijl de term @T=@q
de schijnkrachten in rekening brengt behorende bij de gebruikte co(cid:127)ordinatentransformatie.
Stap 2, de potenti(cid:127)ele energie: schrijf nu
d
F V(x) + F ; (10)
0
(cid:17) (cid:0) dx
waarbij V(x) de potenti(cid:127)ele energie (potentiaal)isbehorende bij hetconservatieve gedeelte
van het krachtveld F. Met F wordt verder het resterende gedeelte van F bedoeld dat
0
we niet kunnen of willen schrijven in termen van een potentiaal. Op overeenkomstige wijze
kan F @x=@q worden herschreven tot
@x dV @x @x @V @x @V
F = + F = + F + Q ; (11)
0 0 0
@q (cid:0) dx @q @q (cid:0) @q @q (cid:17) (cid:0) @q
waarbij de term @V=@q kan worden ge(cid:127)(cid:16)nterpreteerd als de gegeneraliseerde conservatieve
(cid:0)
kracht. De grootheid Q bevat alle gegeneraliseerde krachten F @x=@q die wel op het
0 0
deeltje werken, maar die niet in de conservatieve potentiaal V zijn opgenomen. Denk
hierbij aan wrijvingskrachten of de rekkracht van een onuitrekbare slingerdraad (zie 1.3).
x
3
Nu hebben we alle ingredi(cid:127)enten voor de nieuwe bewegingsvergelijking. Deze bewegingsver-
gelijking zal worden geformuleerd in termen van de zogenaamde Lagrangiaan
L(q;q_;t) T x_[q;q_;t] V x[q;t] ; (12)
(cid:17) (cid:0)
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
die is gede(cid:12)nieerd in termen van de Cartesische inertiaalco(cid:127)ordinaat x(t). De gegenerali-
seerde impuls kan worden verkregen uit de Lagrangiaan volgens
@T @L
(7) (12)
p ==== ==== ; (13)
q
@q_ @q_
zodat de bewegingsvergelijking (9) samen met vergelijking (11) aanleiding geeft tot de
Lagrange-vergelijking
d @L @L
= Q : (14)
0
dt @q_ (cid:0) @q
(cid:16) (cid:17)
Deze vergelijking hangt qua vorm niet meer af van de gekozen co(cid:127)ordinatentransformatie.
Intermezzo: hoe zat het ook alweer met conservatieve krachtvelden?
Beschouw de arbeid dA die door een krachtveld F~ wordt verricht op een puntdeeltje dat
zich over het tijdsinterval dt voortbeweegt tussen de ruimtelijke punten ~r en ~r + d~r.
Deze arbeid bedraagt per de(cid:12)nitie dA d~r F~, hetgeen we kunnen herschrijven als
(cid:17) (cid:1)
dA = dt~r_ m~r(cid:127)= d(1m~r_2) = dT. De verrichte arbeid is daarmee gelijk aan de verandering
(cid:1) 2
in kinetische energie t.g.v. de snelheden in de eindpunten. Als de kracht F~ conservatief is
en derhalve kan worden verkregen uit de potenti(cid:127)ele energie V(~r) = V(x;y;z) volgens
@V @V @V
F~ F ~e +F ~e +F ~e = ~e ~e ~e = ~ V ; (15)
(cid:17) x x y y z z (cid:0) @x x (cid:0) @y y (cid:0) @z z (cid:0)5
~
dan geldt ook dA = d~r V = dV. Voor eindige verplaatsingen hangt de arbeid dus
(cid:0) (cid:1)5 (cid:0)
alleen af van het potentiaalverschil tussen de eindpunten. Voor zo’n conservatief systeem
geldt dan dT = dV, oftewel de totale energie E = T +V is behouden.
(cid:0)
1.2 Lagrange-vergelijkingen voor meerdere vrijheidsgraden
De a(cid:13)eiding voor (cid:19)e(cid:19)en co(cid:127)ordinaat kan worden uitgebreid tot N Cartesische inertiaalco(cid:127)ordi-
naten x ;x ; ;x x en gegeneraliseerde co(cid:127)ordinaten q ;q ; ;q q .
f 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1) Ng (cid:17) f jg f 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1) Ng (cid:17) f jg
Hiertoe hoeven alleen de kinetische en potenti(cid:127)ele energie(cid:127)en vervangen te worden door de
algemene uitdrukkingen
N
1
T(x_ ; ;x_ ) = m x_2 T q ; q_ ;t = de totale kinetische energie ;
1 (cid:1)(cid:1)(cid:1) N 2 k k (cid:17) f jg f jg
k=1
X (cid:0) (cid:1)
V(x ; ;x ) V q ;t = de totale potenti(cid:127)ele energie ; (16)
1 (cid:1)(cid:1)(cid:1) N (cid:17) f jg
(cid:0) (cid:1)
waarbij m de constante massa is van het puntdeeltje met Cartesische co(cid:127)ordinaat x .
k k
4
De Lagrangiaan en gegeneraliseerde impulsen zijn dan te de(cid:12)ni(cid:127)eren als
L q ; q_ ;t T q ; q_ ;t V q ;t = de Lagrangiaan ; (17)
j j j j j
f g f g (cid:17) f g f g (cid:0) f g
alsmede (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
@T @L
p = = de met q geconjugeerde impuls (j = 1;2; ;N) : (18)
qj (cid:17) @q_ @q_ j (cid:1)(cid:1)(cid:1)
j j
De bijbehorende Lagrange-vergelijkingen worden dan simpelweg gegeven door:
d @L @L
= Q (j = 1;2; ;N) : (19)
dt @q_ (cid:0) @q 0j (cid:1)(cid:1)(cid:1)
j j
(cid:16) (cid:17)
Hieruit kunnen we onmiddellijk een belangrijke fysische consequentie a(cid:13)ezen.
Cyclische variabelen: als de gegeneraliseerde co(cid:127)ordinaat q in het geheel niet voorkomt in
k
de Lagrangiaan (cid:19)en Q = 0, dan is de met q geconjugeerde impuls p = @L=@q_ tijds-
0k k qk k
onafhankelijk. De co(cid:127)ordinaat q wordt dan een cyclische variabele genoemd en de tijds-
k
onafhankelijke impuls p heet een behouden grootheid (of ook: bewegingsconstante).
qk
d @L (19) @L gegeven
Bewijs: p_ = ==== + Q ======= 0.
qk dt @q_ @q 0k
k k
(cid:16) (cid:17)
Voorbeeld: beschouweendeeltjemetconstantemas-
y
sa m dat beweegt in het xy-vlak onder invloed
van een centrale potentiaal, d.w.z. een potentiaal die
slechts afhangt van de afstand r tot de oorsprong
’
r
vanhetco(cid:127)ordinatenstelsel. Hetligtdanvoordehand
x
als gegeneraliseerde co(cid:127)ordinaten de poolco(cid:127)ordinaten O
r en ’ te nemen, gede(cid:12)nieerd door
x = rsin’ en y = rcos’ : (20)
In opgave 2 van het werkcollege zal dan worden aangetoond dat de Lagrangiaan van dit
systeem wordt gegeven door
1 1
L = m(x_2 +y_2) V( x2 +y2) = m(r_2 +r2’_2) V(r) ; (21)
2 (cid:0) 2 (cid:0)
p
met V(r) de centrale potentiaal van het systeem. Op basis van het bovenstaande kan dan
worden afgeleid dat
@L
p = = mr2’_ (22)
’
@’_
een behouden grootheid is, hetgeen in feite een verschijningsvorm is van een welbekende
behoudswet (zie later).
5
1.3 De implementatie van randvoorwaarden
Ter illustratie: als voorbeeld van een systeem met
een expliciete randvoorwaarde beschouwen we de O
mathematische slinger (zie plaatje). Een puntmas-
sa met constante massa m beweegt in een verticaal
’ r=l
vlak onder invloed van de zwaartekracht (met ver-
y
rekkracht
snelling g) en de rekkracht van een massaloze onver-
m
vormbare draad waaraan het vast zit. De draad heeft
x
een vaste lengte l, d.w.z. dat de afstand van de punt-
massa tot het ophangpunt O van de slinger vastligt
mg~e
y
en dat er dus sprake is van een randvoorwaarde.
In de bewegingsvergelijkingen van Newton zijn nu niet alle krachten bekend. In de plaats
daarvan hebben we een expliciete randvoorwaarde. De onbekende rekkracht is dan een
reactiekracht die gelijk moet worden genomen aan de kracht die nodig is om de beweging
te laten voldoen aan de randvoorwaarde. Echter, het bepalen van reactiekrachten langs
deze weg is in het algemeen niet eenvoudig. Dit probleem kan e(cid:14)ci(cid:127)enter worden aange-
pakt met behulp van de Lagrangiaanmethode, gebruik makende van de volgende algemene
strategie:
vind combinaties van de bewegingsvergelijkingen van Newton zodanig dat de reac-
(cid:15)
tiekrachten afwezig zijn. Los voor deze speciale set van gegeneraliseerde co(cid:127)ordinaten
debijbehorende Lagrange-vergelijkingenoponderaannamevanderandvoorwaarden.
Ditlegtdebewegingvanhetsysteemvast. Hetaantalonafhankelijke gegeneraliseerde
co(cid:127)ordinaten van dit type wordt gegeven door de vrijheidsgraden van het beschouwde
systeem.
substitueer deze oplossing voor de beweging vervolgens in de Lagrange-vergelijkingen
(cid:15)
behorende bij de resterende co(cid:127)ordinaten. Dit legt dan de reactiekrachten vast.
In bovenstaand slingervoorbeeld werkt deze strategie als volgt. Om de randvoorwaarde
te isoleren wordt er overgegaan op de poolco(cid:127)ordinaten uit vergelijking (20), waarbij de
y-as in de richting van de zwaartekracht is gelegd en waarbij de oorsprong samenvalt met
het ophangpunt O van de slinger. Dit geeft aanleiding tot de eenvoudige randvoorwaarde
x2+y2 = r = l, hetgeen geformuleerd is in termen van (cid:19)e(cid:19)en gegeneraliseerde co(cid:127)ordinaat.
p
Benader de Lagrangiaan van het systeem nu door
1
L(r;’;r_;’_) ==(2=1)= m(r_2 +r2’_2) + mgrcos’ V (r) L(r;’;r_;’_) V (r) ; (23)
0 0 0
2 (cid:0) (cid:17) (cid:0)
met V(r;’) = mgrcos’ = mgy de zwaartekrachtspotentiaal en V (r) de radi(cid:127)ele
0
(cid:0) (cid:0)
potentiaal die verantwoordelijk is voor de randvoorwaarde r = l. De aanname hierbij is
6
dat de potentiaal V (r) een diep scherp minimum heeft bij r = l. Dit houdt in dat voor
0
laagenergetische radi(cid:127)ele bewegingen van het systeem de vibraties rond dat minimum een
verwaarloosbare amplitude hebben. Denk hierbij bijvoorbeeld aan een veer met zeer grote
veerconstante k (zie opgave 1 van het werkcollege).
De feitelijke beweging van het systeem: in het slingervoorbeeld wordt de slingerbeweging
vastgelegd door de hoekvariabele ’, met bijbehorende Lagrange-vergelijking
d @L @L d @L @L d
0 0 = = 0 ==(2=3) (mr2’_) + mgrsin’ = 0
dt @’_ (cid:0) @’ dt @’_ (cid:0) @’ ) dt
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
g
r=l
=== ’(cid:127) + sin’ = 0 ; (24)
) l
hetgeen we herkennen als de welbekende slingervergelijking. Hiervoor hoeven we alleen de
randvoorwaarde te kennen en niet de verantwoordelijke potentiaal.
De randvoorwaarde: de resterende Lagrange-vergelijking bij de radi(cid:127)ele co(cid:127)ordinaat r geeft
d @L @L dV (r)
0 0 = 0 mr(cid:127) mr’_2 mgcos’ + 0 = 0 : (25)
dt @r_ (cid:0) @r ) (cid:0) (cid:0) dr
(cid:16) (cid:17)
In verband met het diepe scherpe minimum van V (r) bij r = l kan hieruit de radieel
0
naar binnen gerichte rekkracht (reactiekracht) worden afgeleid:
dV (r)
Q 0 = ml’_2 mgcos’ ; (26)
0r (cid:17) (cid:0) dr (cid:0) (cid:0)
(cid:12)r=l+(cid:1)l
(cid:12)
(cid:12)
waarbij (cid:1)l de voor de rekkracht ben(cid:12)odigde zeer kleine afwijking ten opzichte van het
potentiaalminimum aangeeft. Dit kan kort worden samengevat in de vergelijking
d @L @L
Q = : (27)
0r dt @r_ (cid:0) @r
(cid:20) (cid:21)r=l
(cid:16) (cid:17)
De onbekende radi(cid:127)ele potentiaal V (r) verdwijnt zo helemaal uit de beschouwing. Omdat
0
de hoekbeweging loodrecht staat op de radi(cid:127)ele beweging valt de eerste term tussen de rech-
te haken hier weg, in verband met de afwezigheid van kruistermen r_’_, en hoeft nergens
/
de slingervergelijking te worden ingevuld. Voor niet-orthogonale co(cid:127)ordinaatkeuzes doen
beide termen mee en kan ter vereenvoudiging de bewegingsvergelijking worden ingevuld.
Let wel: de radieel naar binnen gerichte rekkracht staat loodrecht op de hoekbeweging van
de slinger en be(cid:127)(cid:16)nvloedt die dan ook niet. De rekkracht verricht zo geen arbeid tijdens de
slingerbeweging, zodat deze beweging conservatief is en dus voldoet aan energiebehoud.
Resumerend: dit leidt tot het volgende e(cid:11)ectieve recept om met randvoorwaarden om te
gaan in de context van de Lagrangiaanmethode. Beschouw een systeem dat zonder rand-
voorwaarden conservatief is en N vrijheidsgraden heeft, zodat de beweging wordt bepaald
7
door de Cartesische co(cid:127)ordinaten x (t) voor j = 1;2; ;N. Voor een gegeven potentiaal
j
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
van het systeem ligt de Lagrangiaan dan vast. Neem verder aan dat als beperking op de
mogelijke bewegingen van het systeem de onafhankelijke randvoorwaarden f ( x ;t) = 0
k j
f g
zijn opgelegd voor k = 1;2; ;C. Kies nu zodanige gegeneraliseerde co(cid:127)ordinaten dat
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
C van deze co(cid:127)ordinaten worden gegeven door q = f ( x ;t) voor k = 1;2; ;C.
k k j
(cid:15) f g (cid:1)(cid:1)(cid:1)
Bijvoorbeeld: q = r l in het slingervoorbeeld.
1
(cid:0)
deoverige N C co(cid:127)ordinatenonafhankelijkzijn,zoals q = ’ inhetslingervoorbeeld.
2
(cid:15) (cid:0)
De randvoorwaarden zijn dan van de vorm q = 0 voor k = 1;2; ;C. De eigenschappen
k
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
van het systeem zijn vervolgens in twee stappen te bepalen.
1. Pas de randvoorwaarden rechtstreeks op de Lagrangiaan toe. Hieruit volgen de cor-
recte bewegingsvergelijkingen voor de feitelijke N C vrijheidsgraden van het sys-
(cid:0)
teem:
d @L @L
= 0 voor k = 1;2; ;C : (28)
dt @q_ (cid:0) @q 6 (cid:1)(cid:1)(cid:1)
(cid:20) (cid:16) k(cid:17) k (cid:21)q1=(cid:1)(cid:1)(cid:1)=qC=0
Deze bewegingsvergelijkingen zijn te vinden zonder dat de reactiekrachten expliciet
moeten worden bepaald.
2. Desgewenst kunnen de verschillende reactiekrachten worden verkregen door te kijken
naar de gegeneraliseerde co(cid:127)ordinaten q voor k C:
k
(cid:20)
d @L @L
Q = voor k = 1;2; ;C : (29)
0k dt @q_ (cid:0) @q (cid:1)(cid:1)(cid:1)
(cid:20) (cid:16) k(cid:17) k (cid:21)q1=(cid:1)(cid:1)(cid:1)=qC=0
Bij elke onafhankelijke randvoorwaarde hoort dus een bepaalde reactiekracht.
De randvoorwaarden f ( x ;t) = 0 worden holonome randvoorwaarden genoemd. Een
k j
f g
extreem voorbeeld van een systeem met zeer veel van dit soort randvoorwaarden is een
star lichaam (zie Hst.2), waarvoor geldt dat ~r ~r = d constant is voor elk paar punt-
i j ij
j (cid:0) j
deeltjes in het lichaam. We zullen zien dat dit betekent dat de bewegingen van een star li-
chaamkunnenwordenbeschreven aandehandvanslechtszesgegeneraliseerdeco(cid:127)ordinaten.
Te weten: de drie co(cid:127)ordinaten van het massamiddelpunt en drie hoeken.
Opmerking: er bestaan ook niet-holonome randvoorwaarden, bijvoorbeeld randvoorwaar-
den van het type r R of randvoorwaarden in termen van snelheden. Meestal is de
(cid:21)
Lagrangiaanmethode minder geschikt voor dit soort randvoorwaarden. In hoofdstuk 2 zul-
len we echter een geschikt 1-dimensionaal voorbeeld van deze laatste mogelijkheid tegen
gaan komen in de vorm van een bal die rolt zonder te slippen, hetgeen inhoudt dat het
raakpunt tussen de bal en de ondergrond in rust is ten opzichte van deze ondergrond.
8