Deutung des Begriffs ”physikalische Theorie” und axiomatische Grundlegung der Hilbertraumstruktur der Quantenmechanik durch Hauptsätze des Messens

484 Pages·1970·11.149 MB·German

by  G. Ludwig (auth.)

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Lecture Notes
in Physics
Edited by J. Ehlers, Austin, K. Hepp, Zürich and
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Managing Editor: W. Beiglböck, Heidelberg
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G. Ludwig
Institut für Theoretische Physik
der Universität Marburg
Deutung des Begriffs "physikalische
Theorie" und axiomatische Grund
legung der Hilbertraumstruktur der
Quantenmechanik durch Hauptsätze
des Messens
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg GmbH 1970
ISBN 978-3-662-24271-1 ISBN 978-3-662-26384-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-26384-6
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© by Springer· Verlag Berlin Heidelberg 1970. Library of Congress Catalog Card Nurober 73-129624. Tide No. 3323.
Originally published by Springer-Verlag in 1970
VORWORT
Die Quantenmechanik hat seit ihrem Beginn immer wieder diskutierte Pro
bleme in Bezug auf ihre "Interpretation" gestellt. Auch heute noch wer
den die Fragen nach der Rolle des Bewußtseins, nach Objektivität oder
Subjektivität, nach der Bedeutung der sogenannten "Reduktion der Wellen
pakete" mit aller Leidenschaftlichkeit diskutiert. Viele meinen, daß nur
eine Änderung der klassischen Aussagelogik zu einer mehrwertigen "Wahr
scheinlichkeitslogik" es ermöglicht, die Quantenmechanik zu interpretieren.
Die Leidenschaftlichkeit, mit der alle diese Fragen diskutiert werden,
zeigt zweierlei:
1. Daß die Grundaussagen der Quantenmechanik begrifflich viel zu ver
schwommen sind, so daß die einzelnen durchaus verschiedene In
halte bei Benutzung desselben Wortes meinen. Solche unklaren Be
griffe sind "Zustand", "Observable", "Beobachter", "Eigenschaft",
"Aussage" (Proposition) und ähnliche.
2. Daß die Diskussion der vermeintlich nur physikalischen Fragen tat
sächlich in der Tiefe beherrscht wird von "philosophisch - weltan
schaulichen" Vorentscheidungen.
Die entscheidende Grundstruktur derQuantenmechanik, die zu den erwähn
ten Fragestellungen führt, ist die Benutzung von Operatoren des Hilbert
raumes zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeit von Meßergebnissen, wie
es kurz in Kapitel I rekapituliert wird.
Kapitel I versucht die bekannte Zusammenfassung der quantenmechanischen
Grundpostulate nach J. v. Neumann zu formulieren, damit der Leser an
Bekanntes anschließen kann. Kapitel I erhebt daher keinen Anspruch, eine
systematische axiomatische Formulierung im Sinne der Mathematik zu sein;
IV
im Gegenteil soll Kapitel I als Zusammenfassung heuristischer Prinzipien
noch einmal, kurz die "Bedürftigkeit" nach einer echten Grundlegung der
Quantenmechanik aufweisen.
Der Weg für eine wirkliche Klärung der Probleme, ist daher genau vorge
schrieben:
1. Zunächst ist unabhängig von jeder speziellen physikalischen Theorie
zu skizzieren, was man unter einer physikalischen Theorie über
haupt versteht. Hierbei fällt eine gewisse "weltanschauliche" Vor
entscheidung. Der Verfasser gibt in Kapitel II eine solche Skizze,
wobei die Vorentscheidung fällt, daß es eine physikalische Theorie
nur mit objektiven Tatsachen {wie durchgeführte Messungen), zu tun
hat, daß das Bewußtsein eines Subjektes keine Rolle bei physikali
sehen Aussagen spielt. Hier fällt auch die Vorentscheidung, nur
die klassische Logik zu benutzen, da die in Kapitel II skizzierte
Methode darin besteht, Erfahrungstatsachen in einer mathematischen
Sprache und damit in der von der Mathematik benutzten klassischen
Logik aufzuschreiben, um sie dann mit der mathematischen Theorie
vergleichen zu können.
In diesem Sinne wird in II zunächst kurz rekapituliert, wie eine
mathematische Theorie ~ J systematisch entwickelt werden kann.
Dabei ist es wichtig, daß zwar die benutzten Axiome intuitiv von
der Physik nahegelegt werden können, daß aber trotzdem ~ T'
in seiner typisch mathematischen Form nicht unmittelbar Aussa
Ji J
gen über die Physik enthält. Um eine mit der Physik "ver
gleichen" zu können, bedarf es Regeln, die es gestatten, die in
den Experimenten angetroffenen Vorgänge in der "Zeichensprache"
J't. T
von niederzuschreiben. Dann erst kann geprüft werden, ob
der als Erfahrung niedergeschriebene Text mit der vorher nieder
J
geschriebenen Theorie ./{ nicht im Widerspruch steht.
V
2. Die Hilbertraumstrukturart der Quantenmechanik ist aus einem sau
beren axiomatischen Aufbau herzuleiten, wobei man nur von Begrif
fen ausgehen darf, die "objektiven", als Tatsachen feststellbaren
"Meßergebnissen" entsprechen, wie es die in Kapitel II skizzier
ten Grundlagen einer physikalischen Theorie verlangen. Eine sol
che Ableitung gibt Kapitel Ill. Dabei werden erst nach längeren
Deduktionen Begriffe wie Gesamtheit, Observable eingeführt. Es
zeigt sich, daß der oft benutzte Begriff der "gleichzeitigen" Meß
barkeit ein Unsinn ist, da es sich hierbei um etwas handelt, bei
dem die "Zeit" keine Rolle spielt. Es werden statt dessen die
Begriffe "koexistenter" Effekte und "kommensurabler" Entschei
dungseffekte eingeführt (passiert z. B. ein Teilchen mehrere Zähl
rohre, so ist das Ansprechen mehrerer Zählrohre eine Gruppe von
"koexistenten" Effekten, auch wenn das eine Zählrohr erst Minuten
später als das erste passiert wird. )
Beide Teile (Kapitel li und III) sind untrennbar miteinander verknüpft, da
der Sinn der in Kapitel III gestellten Aufgabe nur aus Kapitel II deutlich
wird, und umgekehrt die Darstellung der Quantenmechanik durch das Be
griffssystem aus Kapitel III nur dann akzeptiert werden kann, wenn man
nicht aus "weltanschaulichen" Gründen die Grundauffassung aus Kapitel II
ablehnt.
Es kann niemand gezwungen werden, die in Kapitel li dargestellte Auf
fassung über das, was Physik ist, zu teilen. Bei einer solchen Frage kön
nen natürlich die Meinungen noch weiter auseinander gehen als bei der
Frage nach den Grundlagen der Mathematik. Wenn die hier vorgetragene
Auffassung über Physik und speziell über die Quantenmechanik auch nicht
von allen geteilt werden wird, so hoffe ich doch eines: Es müßte möglich
sein, jeweils genauer die entscheidenden Punkte anzugeben, wo die Auffas
sungen divergieren, denn das hier vorgetragene System ist in sich so ge-
VI
schlossen, daß es nicht möglich ist, die Voraussetzungen zu akzeptieren
und dann irgendwelche Folgerungen abzulehnen.
Diese Überlegungen legen auch sofort das Verhältnis zu der Darstellung
von V. S. Varadarajan [10] fest. Die dort dargestellten mathematischen
Strukturen müssen voll in der hier vorliegenden Darstellung benutzt werden,
aber erst an einer ziemlich späten Stelle: III, § 18, wo die in [10] dar
gestellten Ableitungen einfach übertragen werden können, um den Verband
G der Entscheidungseffekte durch den Verband der Teilräume eines Hil
bertraumes darzustellen. Die hier vorgetragene physikalische Basis ist
eine andere, da Begriffe wie "propositions" für die Elemente von G und
"implications" für die Ordnung von G hier bewußt nicht benutzt werden.
Überhaupt ist nicht die Menge G der Entscheidungseffekte der Ausgangs
K L
punkt, sondern Mengen von Präparierteilen und von Effektteilen.
Auch die in III, § 2 eingeführte Menge b, von Effekten braucht nicht ein
mal ein einziges Element von G zu enthalten! Warum wir einen ganz an
deren Ausgangspunkt als eine "Logic of propositions" gewählt haben,
basiert auf II und ist in III, § 1. 1 näher begründet.
Kapitel IV gibt einige Beispiele dafür, wie man die in Kapitel II sauber
gefaßten Begriffe von "physikalisch wirklich" , von "erlaubten" und
"sicheren" Hypothesen in der Quantenmechanik anwenden kann, ohne auf
Widersprüche zu stoßen; so ist es z. B. möglich, in einem gerrau defi
nierten Sinn von einem Teilchen zu sprechen, daß zu einer Zeit t so
wohl einen bestimmten Impuls wie einen bestimmten Ort hat. Eine sol
che Aussage führt zu keinen Widersprüchen, wenn man sie eben nur nach
den in Kapitel II festgelegten Regeln benutzt.
Da die hier vorgetragenen Überlegungen, insbesondere diejenigen aus
Kapitel II, nicht nur für die Quantenmechanik von Bedeutung sind und da
manche Probleme (wiederum hauptsächlich aus Kapitel II, aber auch z. B.
die als Voraussetzungen (Vl) bis (V3) formulierten Probleme in Kapitel III)
VII
noch nicht zufriedenstellend gelöst sind, würde es der Verfasser als be
sonderen Erfolg dieses Heftes ansehen, wenn er viele kritische Zuschrif
ten, viele Vorschläge für "verbesserte" Beweise oder sogar den Nach
weis erhielte, daß einige "Axiome" aus Kapitel III als Sätze aus vorher
gehenden Axiomen folgen bzw. durch schwächere Axiome ersetzt werden
können. Falls die durch dieses Heft angeschnittenen Probleme genügend
Interesse finden sollten, könnte man daran denken, eine interfakultative
Arbeitsgemeinschaft über solche Fragen zu gründen.
Die vorliegende Darstellung stellt eine Zusammenfassung und Verbesserung
[9] .
der Arbeiten des Verfassers und seiner Mitarbeiter dar [1) bis
J
In [ 1 wurde die Grundauffassung einer nach den obigen Prinzipien auf
zustellenden axiomatischen Grundlegung der Quantenmechanik dargestellt;
in verbesserter Form wird ohne die mathematischen Konsequenzen diese
Auffassung in [ 4 ] und [ 5] noch einmal ausführlicher beschrieben;
[3 J ,
einige einfachere mathematische Konsequenzen werden in [ 2 )
[ 6 J , und [7 J gezogen, [ 8 J und [9 J geben eine erste zusammen
fassende Darstellung. Die hier in den Leerure Notes gegebene Darstel
lung ist zwar möglichst kurz gehalten, enthält aber sowohl alle wesent
lichen physikalischen Gesichtspunkte wie mathematische Konsequenzen.
Die im Text enthaltenen Hinweise (A ... ) beziehen sich auf Anmerkun
gen am Schluß des Heftes.
Zu besonderem Dank bin ich den Herren Dr. Hartkämper, Dr. Neumann
und Dr. Melsheimer verpflichtet, die sowohl kritisch vorhergehende
Manuskripte gelesen, viele Anregungen zu Verbesserungen gegeben haben
und auch die Mühen auf sich genommen haben, unter Zeitdruck für die
Herstellung des vervielfältigungsfähigen Exemplars zu sorgen. Ebenso
danke ich Herrn cand. rer. nat. Schmidt für die mühsame Arbeit des
Eintragens der Formeln und für wertvolle anregende Fragen während eines
Seminars über Kapitel II.
VIII
Ebenso danke ich dem Springer-Verlag für das Entgegenkommen, diese
Darstellung in so kurzer Zeit herauszubringen.
Marburg, April 1970. G. Ludwig