Détermination finie sur un espace de Stein

0.23 MB·French

by  Mauricio Garay

DE´TERMINATION FINIE SUR UN ESPACE DE STEIN
MAURICIO GARAY
3
R´esum´e. On g´en´eralisele th´eor`emede d´etermination finie sur les
1
0 singularit´es isol´es au cas des espaces analytiques de Stein.
2

n
a Introduction
J

1
Lad´emonstration classique duth´eor`eme ded´etermination finie, pour
1
les singularit´es isol´ees, utilise fortement les propri´et´es de l’alg`ebre lo-

]
G cale. Elle ne s’adapte donc pas de mani`ere directe au cas des vari´et´es
de Stein, `a moins d’hypoth`eses drastiques. Le but de cet article est
A
d’´etendre et de g´en´eraliser ce th´eor`eme au cas d’une fonction sur une
.
h
vari´et´e de Stein pour un id´eal quelconque.
t
a
m Avant d´enoncer ce th´eor`eme, commenc¸ons par rappeler l’´enonc´e du
[ th´eor`eme classique dans un cadre holomorphe. Notons On l’alg`ebre des

germes de fonctions analytiques `a l’origine dans Cn. L’id´eal jacobien du
1
v germe f, not´e Jf, est l’id´eal de O engendr´e par les d´eriv´ees partielles
n
9 de f. Il revient au mˆeme de dire que l’origine est un point critique isol´e
3
de f ou bien que l’espace vectoriel O /Jf est de dimension finie. Le
4 n
2 nombre
.
1 µ(f) := dim O /Jf
C n
0
3 est alors appel´e le nombre de Milnor de f.
1
v: L’anneau On est local et on note Mn l’id´eal maximal des germes qui
s’annulent en l’origine. La puissance k-i`eme de cet id´eal maximal est
i
X
´egale aux germes dont le d´eveloppement en s´erie de Taylor a` l’origine
r
a s’annule `a l’ordre k.
Th´eor`eme ([11, 17, 18]). Pour tout germe de fonction holomorphe
f ∈ O et tout germe g ∈ Mµ(f)+2, il existe un germe d’application
n n
biholomorphe
ϕ : (Cn,0) −→ (Cn,0)
tel que f ◦ϕ = f +g.
Parexemple, pourunefonctionf avecunpointcritiquenon-d´eg´en´er´e
`a l’origine, on a µ(f) = 1. Le germe f se ram`ene alors `a un polynoˆme
dedegr´e 2, par unchangement de variables holomorphe. C’est lelemme
de Morse complexe.
1
2 MAURICIO GARAY
Consid´erons`apr´esent lecasplusg´en´eralquifaitl’objetdecetarticle.
Soit K ⊂ X un compact d’un espace analytique complexe X. Pour tout
voisinage U,U′ de K avec U ⊂ U′, la restriction induit un morphisme
d’alg`ebres
Γ(U′,O ) −→ Γ(U,O )
X X
ou` Γ(−,−) d´esigne le foncteur des sections globales. On a ainsi un
syst`eme direct dont on note O la limite. Un ´el´ement de O est
X,K X,K
une fonction holomorphe d´efinie sur un voisinage de K dans X, mais
on ne pr´ecise pas quel est ce voisinage. On note M ⊂ O l’id´eal des
K X,K
fonctions identiquement nulles sur K.
On dit que K est un compact de Stein s’il admet un syst`eme fon-
damental de voisinages de Stein. Pour tout id´eal I ⊂ O , on a une
X,K
filtration
O ⊃ I ⊃ I2 ⊃ ....
X,K
Pour tout ´el´ement f de O , on note I(f) l’image de l’application
X,K
M2 ⊗ Der (I) −→ O , a⊗v 7→ av(f).
K OX,K OX,K X,K
Th´eor`eme 1. Soit K un compact de Stein d’un espace analytique com-
plexe X et f ∈ O un germe de fonction holomorphe. Supposons qu’il
X,K
existe ν ∈ N tel que Iν soit contenu dans l’id´eal I(f). Pour tout germe
g ∈ Iν, il existe un germe d’application biholomorphe
ϕ : (X,K) −→ (X,K)
tel que f ◦ϕ = f +g.
La d´emonstration que je donnerai repose fortement sur les propri´et´es
des vari´et´es de Stein. Par cons´equent, je ne sais pas si, a` l’instar du
r´esultat classique, ce th´eor`eme reste vrai dans un cadre C∞. En re-
vanche, on a une variante analytique r´eelle imm´ediate de ce r´esultat.
On d´efinit l’id´eal jacobien de f comme l’image de l’application
Der (O ) −→ O , v 7→ v(f).
OX,K X,K X,K
Pour l’id´eal Mk, on peut am´eliorer la borne ν donn´ee par le th´eor`eme
pr´ec´edent :
Th´eor`eme 2. Soit K un compact de Stein d’un espace analytique com-
plexe X et f ∈ O un germe de fonction holomorphe. Supposons qu’il
X,K
existe µ ∈ N tel que Mµ soit contenu dans l’id´eal jacobien de f. Pour
K
tout germe g ∈ Mµ+2, il existe un germe d’application biholomorphe
K
ϕ : (X,K) −→ (X,K)
tel que f ◦ϕ = f +g.
Pour tout ideal I de codimension k dans un anneau local A, la puis-
sance k-i`eme de l’id´eal maximal est contenue dans I. Ainsi, dans le cas
DE´TERMINATION FINIE 3
ou` X = Cn et K est un point, on retrouve le th´eor`eme de d´etermination
finie classique.
A` titre d’exemple, prenons X = (C/2πZ)×C = {(θ,r)} et soit K le
cercle r´eel :
K = {(θ,r) ∈ (C/2πZ)×C : θ ∈ R/2πZ, r = 0}.
Les ´el´ements de O sont des s´eries de la forme a rmeinθ. Pre-
X,K m,n m,n
nons
P
f : (r,θ) 7→ rk.
Le th´eor`eme affirme alors que toute s´erie de la forme rk + rk+1g(r,θ)
se ram`ene `a rk par un changement de variables biholomorphe. Ce qui
se v´erifie directement en utilisant le changement de variables
ϕ : (θ,r) 7→ (θ,r k 1+rg(r,θ)).
Chacundesth´eor`emespr´ec´edentsppeut-ˆetrereformul´eentermesd’ac-
tions de groupes, par exemple :
Th´eor`eme 3. Soit I un id´eal de O , f ∈ O et ν tel que Iν ⊂ I(f).
X,K X,K
L’espace affine f + Iν est contenu dans l’orbite de f sous l’action du
groupe des automorphismes de l’alg`ebre O .
X,K
Le module des d´erivations de l’alg`ebre O constitue l’analogue, en
X,K
dimension infinie, de l’alg`ebre de Lie de son groupe d’automorphismes.
On semble donc reconnaˆıtre un th´eor`eme qui relie l’action d’un groupe
avec celle de sa lin´earisation. Ce point de vue heuristique est d´evelopp´e
rigoureusement dans cet article, prolongeant ainsi le r´esultat de [5].
§1 La cat´egorie des espaces vectoriels ´echelonn´es
1.1. Echelonnement d’un espace vectoriel topologique. Une S-
´echelle de Banach est une famille d´ecroissante d’espaces de Banach
(E ), s ∈]0,S[, telle que les inclusions
s
E ⊂ E , s ∈]0,S[, σ ∈]0,S−s[
s+σ s
soient de norme au plus 1.
Soit E un espace vectoriel topologique. Un S-´echelonnementde E est
une ´echelle (E ) de sous-espaces de Banach de E telle que
s
i) E = limE = E ;
s s
−→
s∈]0,S[
[
ii) la topologie limite directe de la topologie des espaces de Banach
E co¨ıncide avec celle de E.
s
L’intervalle ]0,S[ s’appelle l’intervalle d’´echelonnement. Si F est un
sous-espace vectoriel ferm´e d’un espace vectoriel ´echelonn´e E alors E/F
est ´echelonn´e par les espaces de Banach E /(E∩F) .
s s
4 MAURICIO GARAY
La notion d’´echelonnement vise `a transf´erer les propri´et´es de E aux
espaces de Banach E , mais l’objet que l’on ´etudie reste E et non pas
s
l’´echelle de Banach. Lorsque le param`etre S ne joue pas de rˆole par-
ticulier, nous parlerons simplement d’´echelle de Banach ou d’espace
vectoriel ´echelonn´e.
Pour un ensemble A ⊂ Cn, nous noterons ˚A son int´erieur. Une suite
croissante de compacts K = (K ), s ∈ [0,S] est appel´e une famille
s
exhaustive de compacts si K est contenu l’int´erieur de K pour tout
s s′
s′,s avec s′ > s.
Exemple 1. Soit (K ), s ∈ [0,S] une famille exhaustive de compacts de
s
Cn. Les espaces vectoriels
E := C0(K ,C)∩Γ(K˚,O )
s s s Cn,0
sont des espaces de Banach pour la norme
|f| := sup |f(z)|.
s
z∈Ks
Ilsd´efinissent un´echelonnement del’espacevectorieltopologiqueO .
Cn,K
Les suites (E ), (E ) donnent d’autres exemples d’´echelonnement de
s2 3s
O , avec les mˆemes espaces de Banach (voir section 4 pour plus de
Cn,K
d´etails).
L’utilisation d’´echelles de Banach en analyse remonte aux fonde-
ments de l’analyse fonctionnelle. On la trouve par exemple dans la
d´emonstration du th´eor`eme de Cauchy-Kovalevska¨ıa donn´ee en 1942
par Nagumo [12] (voir ´egalement [14]). Elle est ´egalement a` la base
de la d´emonstration propos´ee par Kolmogorov du th´eor`eme des tores
invariants [8].
Cependant ces auteurs ne consid`erent qu’une ´echelle fixe, l’id´ee de
consid´erer toutes les ´echelles possibles d’un sous-espace vectoriel topo-
logiqueestd´ej`apr´esentedanslath`esedeGrothendieck[7].Enrevanche,
Grothendieckn’utilisepaslechoixd’unparam´etragedel’´echellecomme
une donn´ee suppl´ementaire.
1.2. Filtration d’un espace vectoriel ´echelonn´e. Soit E un espace
vectoriel ´echelonn´e. Les sous-espaces vectoriels
E(k) = {x ∈ E : ∃C,τ, |x| ≤ Csk, ∀s ≤ τ}
s
filtrent l’espace E :
E := E(0) ⊃ E(1) ⊃ E(2) ⊃ ··· .
Exemple 2. Consid´erons les polycylindres
K = {(z ,z ,...,z ) ∈ Cn : |z | ≤ s,..., |z | ≤ s}.
s 1 2 n 1 n
Comme pr´ec´edemment, ´echelonnons l’espace vectoriel
O := O ,K = {0} ⊂ Cn
n Cn,K
DE´TERMINATION FINIE 5
par les espaces de Banach
E := C0(K ,C)∩Γ(K˚,O ).
s s s Cn,0
L’anneau O est local d’id´eal maximal
Cn,K
M := {f ∈ O : f(0) = 0}.
n Cn,K
La filtration d’espace vectoriel ´echelonn´e co¨ıncide avec celle donn´ee par
les puissances de l’id´eal maximal :
(O )(k) = Mk.
n n
D´efinition 1.1. Soit E un espace vectoriel ´echelonn´e. L’ordre d’un
vecteur x ∈ E est le plus grand k ≥ 0 tel que x ∈ E(k).
1.3. Morphismes d’un espace vectoriel´echelonn´e. SoitE,Fdeux
espaces vectoriels S-´echelonn´es.
Nous dirons d’une application lin´eaire que c’est un morphisme entre
des espaces vectoriels ´echelonn´es E,F, si pour tout s′ ∈]0,S[, il existe
s ∈]0,S[tel quel’espace deBanachE est envoy´e continuˆment dansF .
s′ s
Nous avons ainsi d´efinit la cat´egorie des espaces vectoriels ´echelonn´es.
Nous d´esignerons par L(E,F) l’espace vectoriel des morphismes de
E dans F et lorsque E = F, nous utiliserons la notation L(E) au lieu de
L(E,E). Il n’y pas de raison, a priori, pour que L(E,F) co¨ıncide avec
l’espace des applications lin´eaires continues de E dans F, mais dans les
exemples concrets que nous allons traiter ce sera toujours le cas.
Sik·kd´esignelanormed’op´erateursurl’espacedeBanachL(E ,F ),
s′ s
nous noterons kuk la norme de l’op´erateur d´efini par restriction de u a`
E .
s′
Le noyau d’un morphisme u : E −→ F entre espaces vectoriels S-
´echelonn´es est un espace vectoriel S-´echelonn´e par :
(Keru) = E ∩Keru, s ≤ S.
s s
Venons-en `a la notion de convergence d’une suite de morphismes.
La norme d’op´erateur induit sur les espaces vectoriels L(E ,F ), une
s′ s
structure d’espace de Banach.
D´efinition 1.2. Une suite de morphismes (u ) de L(E,F) converge
n
vers un morphisme u ∈ L(E,F) si pour tout s′ ∈]0,S[, il existe s ∈
]0,S[ tel que la restriction de (u ) d´efinisse une suite de L(E ,F ) qui
n s′ s
converge vers la restriction de u.
Un sous-ensemble X de L(E,F) sera dit ferm´e si toute suite conver-
gentedepointsdeX`asalimitedansX.(L’utilisationdumot ferm´e est
≪ ≫
l´eg`erement abusive, car il ne s’agit pas a priori du compl´ementaire d’un
ouvert.)
6 MAURICIO GARAY
Exemple 3. Comme pr´ec´edemment, ´echelonnons l’espace vectoriel
O := O ,K = {0} ⊂ Cn
n Cn,K
par les espaces de Banach
E := C0(K ,C)∩Γ(K˚,O ).
s s s Cn,0
Fixons λ > 0, l’application
z
u : O −→ O , f 7→ [z 7→ f( )]
n n
λ
est un morphisme de L(O ) car
n
f ∈ C0(K ,C)∩Γ(K˚ ,C) =⇒ u(f) ∈ C0(K ,C)∩Γ(K˚ ,C).
s s λs λs
Plus g´en´eralement, on v´erifie, sans difficult´es, que l’espace vectoriel
L(O ) co¨ıncide avec celui des applications lin´eaires continues pour la
n
topologie forte.
1.4. Morphismes born´es.
D´efinition 1.3. Un morphisme u ∈ L(E,F) entre deux espace vectoriel
´echelonn´esestappel´eun τ-morphismesi pour tout s′ ∈]0,τ] etpour tout
s ∈]0,s′[, on a l’inclusion u(E ) ⊂ F et u induit par restriction une
s′ s
application lin´eaire continue
u : E −→ F .
s′,s s′ s
On a alors des diagrammes commutatifs
F
E us{′{,u{s{|E{{s{′{==// F(cid:15)(cid:15)(cid:127)s_
s′
pour tout s′ ∈]0,τ] et pour tout s ∈]0,s′[, la fl`eche verticale ´etant
donn´ee par l’inclusion F ⊂ F.
s
Exemple 4. L’application u construite dans l’exemple du n˚pr´ec´edent
n’est pas un τ-morphisme alors que tout op´erateur diff´erentiel d´efinit
un τ-morphisme.
D´efinition 1.4. Un τ-morphisme u : E −→ F d’espaces vectoriels
S-´echelonn´es est dit k-born´e, k ≥ 0 s’il existe un r´eel C > 0 tel que :
|u(x)| ≤ Cσ−k|x| , pour tous s ∈]0,τ[, σ ∈]0,τ −s], x ∈ E .
s s+σ s+σ
Un morphisme est dit k-born´e (resp. born´e) s’il existe τ (resp. τ et
k) pour lequel (resp. lesquels) c’est un τ-morphisme k-born´e. Lorsque
E = E et F = F sont des espaces de Banach, on retrouve la d´efinition
s s
habituelle de morphismes born´es. (Nous n’utiliserons pas la notion plus
g´en´erale d’application lin´eaire born´ee d’un espace localement convexe,
notre terminologie ne devrait donc pas porter `a confusion.) L’espace
DE´TERMINATION FINIE 7
vectoriel des τ-morphismes (resp. des morphismes) k-born´es entre E
et F sera not´e Bk(E,F) (resp. Bk(E,F)). On note Nk(u) la plus petite
τ τ
constante C v´erifiant l’in´egalit´e de la d´efinition 1.4.
Exemple 5. Consid´erons, l’´echelonnement de O d´efinit a` l’aide des
n
polycylindres K . D’apr`es lesin´egalit´es deCauchy, tout op´erateur diff´e-
s
rentiel d’ordre k est k-born´e.
Proposition 1.1. Consid´erons un diagramme exact d’espaces vecto-
riels ´echelonn´es
F // E // E /F // 0
1 1 1 1
u v
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
F // E // E /F // 0
2 2 2 2
Si u est un τ-morphisme k-born´e alors v est´egalement un τ-morphisme
k-born´e et de plus
Nk(v) ≤ Nk(u).
τ τ
La d´emonstration est imm´ediate.
1.5. L’´echelle de Banach (Bk(E,F)).
τ
Proposition 1.2. Si E,F sont des espaces vectoriels S-´echelonn´es
alors les espaces vectoriels norm´es (Bk(E,F),Nk), τ ∈]0,S[, forment
τ τ
une S-´echelle de Banach.
D´emonstration. La seule difficult´e consiste `a montrer que l’espace vec-
toriel Bk(E,F) est complet pour la norme Nk, pour tout τ ∈]0,S[.
τ τ
Je dis que toute suite de Cauchy (u ) ⊂ Bk(E,F) converge vers un
n τ
morphisme u ∈ L(E,F) au sens de 1.3. Soit donc s′ ∈]0,τ[ et s ∈]0,s′[.
Comme les (u ) sont des τ-morphismes, ils induisent, par restriction,
n
des applications lin´eaires continues
v : E −→ F .
n s′ s
Par d´efinition de la norme Nk, la suite (v ) est de Cauchy dans l’espace
τ n
de Banach L(E ,F ) donc convergente. Ceci d´emontre l’affirmation.
s′ s
Montrons `a pr´esent que si une suite de Cauchy (u ) ⊂ Bk(E,F)
n τ
converge vers un morphisme u ∈ L(E,F) alors u est dans Bk(E,F).
τ
L’in´egalit´e
|Nk(u )−Nk(u )| ≤ Nk(u −u )
τ n τ m τ n m
montre que la suite (Nk(u )) est de Cauchy dans R donc major´ee par
τ n
un constante C > 0. On a alors les in´egalit´es :
|u(x)| ≤ |u(x)−u (x)| +Cσ−k|x| , pour tout n,
s n s s+σ
pour tout x ∈ E , pour tout s ∈]0,τ] et pour tout σ ∈]0,τ − s]. Par
s
cons´equent, leτ-morphisme limite u est k-born´edenorme auplus´egale
(cid:3)
`a C. La proposition est d´emontr´ee.
8 MAURICIO GARAY
La suite (Bk(E,F),Nk), τ ∈]0,S[ munit l’espace vectoriel Bk(E,F)
τ τ
d’unestructured’espacevectoriel´echelonn´e. Ainsi,l’´echelonnement des
espaces vectoriels E,F se propage `a celui des espaces de morphismes
born´es.
§2 L’application exponentielle
2.1. Convergence de la s´erie exponentielle.
Proposition 2.1. Soit u un τ-morphisme 1-born´e d’un espace vec-
toriel ´echelonn´e E. Si l’in´egalit´e 3N1(u) < s est satisfaite pour tout
s
s ≤ τ alors la s´erie
uj
eu :=
j!
j≥0
X
converge vers un morphisme de E, et plus pr´ecis´ement
(3N1(u))j 1
|eux| ≤ s |x| = |x|
λs (1−λ)jsj s 1− 3N1s(u) s
j≥0 (1−λ)s
X
pour tous λ ∈]0,1− 3N1s(u)[, s ∈]0,τ] et x ∈ E .
s s
D´emonstration. Si u,v sont des morphismes, respectivement k et k′
born´e, alors leur composition uv est (k +k′)-born´e et on a l’in´egalit´e
Nk+k′(uv) ≤ 2k+k′Nk(u)Nk′(v).
τ τ τ
En effet :
2k 2k+k′
|(uv)(x)| ≤ Nk(u) |v(x)| ≤ Nk(u)Nk′(v) |x|
s τ σk s+σ/2 τ τ σk+k′ s+σ
pour tout x ∈ E . Plus g´en´eralement :
s+σ
Lemme 2.1. Le produit de n morphismes k born´es u , i = 1,...,n,
i i
est un morphisme k-born´e avec k := n k et
i=1 i
n
P
Nk(u ···u ) ≤ nk Nki(u ).
τ 1 n τ i
i=1
Y
De plus si tous les u sont ´egaux `a un morphisme 1-born´e u, on a :
i
Nn(un)
τ ≤ 3nN1(u)n.
n! τ
D´emonstration. La premi`ere partie du lemme s’obtient en d´ecoupant
l’intervalle [s,s+σ] en n parties ´egales, comme nous l’avons fait pr´ec´e-
demment pour n = 2. Prenons tous les u ´egaux et 1-born´es. D’apr`es
i
le lemme, on a alors
Nn(un) ≤ nnN1(u)n.
τ τ
Une variante de la formule de Stirling montre que
nn ≤ 3nn!.
DE´TERMINATION FINIE 9
En effet, en utilisant l’expression int´egrale suivante de la fonction Γ :
+∞
n! = Γ(n+1) = nn+1 en(logt−t)dt.
Z0
et l’estimation
1
− (t−1)2 −1 ≤ logt−t,
2
il vient :
+∞
Γ(n+1) ≥ nn+1e−n e−21(t−1)2dt ≥ nn+1e−n ≥ nn3−n.
Z0
Ceci d´emontre que
Nn(un)
τ ≤ 3nN1(u)n.
n! τ
(cid:3)
Nous pouvons `a pr´esent conclure la d´emonstration de la proposition.
On a
1
|eux| ≤ |ujx| .
λs λs
j!
j≥0
X
Le morphisme uj est j-born´e et on a l’in´egalit´e :
1 (3N1(u))j
|ujx| ≤ s |x| ,
j! λs (1−λ)jsj s
(cid:3)
ce qui d´emontre la proposition.
Finalement,remarquonsquedeuxmorphismes1-born´esu,v ∈ B1(E)
quicommutentetquisatisfontauxconditionsdelapropositionpr´ec´edente
v´erifient l’´egalit´e
eu+v = euev.
En effet, si u et v commutent alors les suites
n uj n vj
A := , B = .
n n
j! j!
j=0 j=0
X X
v´erifient
n (u+v)j
A B =
n n
j!
j=0
X
et si des suites de morphismes (A ),(B ) convergent respectivement
n n
vers A,B alors (A B ) converge vers AB. Le cas particulier v = −u
n n
montre que l’exponentielle d’un morphisme 1-born´e est inversible.
Exemple 6. Consid´erons l’espace vectoriel O ´echelonn´e commepr´ec´e-
C,0
demment. L’exponentielle de λz∂ converge et donne l’automorphisme
z
d’alg`ebre
(λz∂ )n
z 7→ ( z )z = eλz.
n!
n≥0
X
10 MAURICIO GARAY
Plus g´en´eralement, toute d´erivation de la forme
zh(z)∂ , h ∈ O
z C,0
est exponentiable. En r´esum´e, l’alg`ebre de Lie g des d´erivations de O
C,0
est filtr´ee
g ⊃ g(1) ⊃ g(2) ⊃ ···
avec
g(k) = {zkh(z)∂ , h ∈ O }
z C,0
et tout ´el´ement de g(1) est exponentiable.
Notons M , l’id´eal maximal de l’anneau local O :
C,0 C,0
M = {f ∈ O : f(0) = 0}.
C,0 C,0
Lorsque v ∈ g(2) et f ∈ Mk ,on a :
C,0
evf = f +v ·f (modMk+1).
C,0
Ce qui donne un sens pr´ecis au fait que l’action infinit´esimale de ev est
donn´ee par la d´erivation le long de v. En g´en´eral, ce n’est plus vrai si
z
l’on fait seulement l’hypoth`ese v ∈ g(1). Par exemple pour v = − ∂
z
2
et f = z2, on trouve :
z2 z2
evf = z2 −z2 + +···+(−1)n +··· = e−1z2
2! n!
alors que f +v(f) = 0.
2.2. Th´eor`eme principal.
Th´eor`eme 2.1. Soit E un espace vectoriel ´echelonn´e. Soit (u ) ⊂
n
B1(E) une suite de τ-morphismes 1-born´es. Si l’in´egalit´e
τ
3 N1(u ) < s
s i
i≥0
X
est v´erifi´ee pour tout s ≤ τ alors la suite (g ) d´efinie par
n
g := euneun−1 ···eu0
n
converge vers un ´el´ement inversible de L(E).
D´emonstration. Commen¸cons par le
Lemme 2.2. Soit (u ) une suite de τ-morphismes 1-born´es exponen-
n
tiables. Pour tout s ≤ τ et tout x ∈ E , on a l’in´egalit´e
s
1
|g x| ≤ |x|
n λs 1− 3 n N1(u ) s
(1−λ)s i=0 s i
pourvu que
P
n
(1−λ)s
N1(u ) < .
s i 3
i=0
X