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B - I-HOCHSCHULTASCHENBÜCHER 293* DETERMINANTEN UND MATRIZEN VON A. C. AITKEN M.A., D.So., F.R.S. PBOFESSOB OF MATHEMATICS IN THE UNIVERSITY OF EDINBURGH BI BIBLIOGRAPHISCHES INSTITUT MANNHEIM/WIEN[ZÜRICH HOCHSCHULTASCHENBÜCHER-VERLAG Dieenglische Originalausgabeerschien unter dem Titel DETERMINANTS ANDMATRICES in der Sammlung . THE UNIVERSITY MATHEMATICAL TEXTS Verlag OLIVER AND BOYD, LTD.; Edinburgh and London General Editors: Alexander C.Aitken, D. So., F.B..8. Daniel E.Rutherford, D.So., Dr.Math. Übersetzt ausdem EnglischendurchWinfriedNilson AlleRechtevorbehalten.Nachdruck.auchauszugsweise,verboten Deutsche Übersetzung0BibliographischesInstitutAG-Mannheim1069 Originalausgabe0byOliverandBoyd1964 Sat:undDruck:ZechnerscheBuchdruckerei,Speyer Bindearbeit:Lachenmaler,Reutlingen PrintedinGermany A INHALTSVERZEICHNIS KAPITELI DefinitionenundgrundlegendeOperationenmitMatrizen . Einleitung....................... — . LineareGleichungenundTransformationen ........ n. DieBezeichnungderMatrizen .............. 11 w. Matrizen, Zeilenvektoren, Spailtenvektoren, Skalare ..... eDieOperationenderMatrizenalgebra ........... 13 w Matrizenmultiplikation. Links-undRechtsmultiplikation . . 15 9 ProduktevondreiundmehrMatrizen........... 18 s wTransposition:VertauschenvonZeilenundSpalten ..... 21 °‚DieTransponierteeinesProduktes: dieUmkehrregel . . . . 23 _.°. Darstellung algebraischer Ausdrücke und Beziehungen in Matrizenschreibweise .................. 24 . ZerlegteMatrizenundihreMultiplikation ......... 27 _‚_ KAPITELII DefinitionundEigenschaftenderDeterminanten 12. Lösungvon Gleichungssystemen ......... _ . . . . 32 13. HaupteigenschaftenderDeterminanten . . '........ 33 14. Inversionen, Transpositionen, gerade und ungerade Permuta- tionen ........................ 15. DefinitionundBezeichnungenderDeterminante ...... 34 16. DieIdentitätderKlassenkonjugierterPermutationen . . . . 38 17. GrundlegendeEigenschaftenderDeterminanten ...... 40 18. DieUnzerlegbarkeiteinerDeterminante .......... 41 19. VerschiedeneDarstellungsformeneinerDeterminante . . . 42 20. PraktischeBerechnungvonDeterminantendurchVerdichtung ‘49 KAPITELIII DieadjungierteunddieinverseMatrix.Lösunglinearer Gleichungssysteme. Rang und lineare Abhängigkeit 21. Dieadjungierte‚MatrixeinerquadratischenMatrix ..... 54 22. LösunglinearerGleichungenimregulärenFall ....... 57 23. DieUmkehrregelfürdieInverseeinerProduktmatrix . . . . 59 Inhaltsverzeichnis . OrthogonaleundunitäreMatrizen ............ 59 25. DieLösunghomogenerlinearer Gleichungssysteme 61 26. RangundExzeßeinerMatrix .............. 62 27. LineareAbhängigkeitvonFunktionen,VektorenundMatrizen 63 28. BedingungenfürdieLösbarkeithomogenerGleichungssysteme 64 29. ZurückführungeinerMatrixaufeineäquivalenteForm . . . 67 30. VerträglichkeitundLösunginhomogenerGleichungen. . . . 70 KAPITELIV CauchyscheundLaplacescheEntwicklung. Mult$likationssätze 31. Entwicklung einer Deterrninante nach den Elementen einer ZeileundeinerSpalte .................. 75 32. Komplementäre Unterdeterminanten: algebraische Komple- . menteoderAdjunkten ................. 76 33. DieLaplacescheEntwicklungeinerDeterminante ...... 78 34. MultiplikationvonDeterminanten ............ 80 35. Verallgemeinerung der Laplaceschen und der Cauchyschen Entwicklung...................... 81 36. DieDeterminanteeinesProduktesrechteckigerMatrizen. . . 84 37. DieEntwicklungeinerDeterminantenachDiagonalelementen 87 KAPITELV AbgeleiteteMatrizenundDeterminanten. Dualitätssätze 38. AbleitungundadjungierteAbleitungeinerMatrix...... 90 39. Der Satz von BINET-CAUCHY über das Produkt abgeleiteter Matrizen ....................... 92 . DieinverseMatrixeinerregulärenabgeleitetenMatrix. . . 94 41. Aussagen über den Rang einer Matrix mit Hilfe abgeleiteter Matrizen ....................... 95 42. JACOBIS Satz über die Unterdeterminanten der adjungierten Matrix ......................... 96 43. DerSatzvonFRANKEüberdieUnterdeterminanteneinerabge- leiteten Determinante.................. 99 . DiegemischtenAbleitungenvonBAZINundREISS...... 100 A(J-. KomplementäreIdentitäten: erweiterteIdentitäten ..... 102 . Entwicklungen von Quotienten von Deterrninanten nach SCHWEINS ....................... 106 Inhaltsverzeichnis 7 KAPITELVI Spezielle Determinanten: Altemanten, persymmetrische, bigradiente und zentralsymmetrischeDeterminanten,Jacobische,Hessescheund WronskischeDeterminanten 47. AlternierendeMatrizenundDeterminanten ........ 110 48. Symmetrische Grundfunktionen und vollständige homogene symmetrischeFunktionen ................ 112 49. DiebialtemierendensymmetrischenFunktionenvonJACOBI . 114 50. KontinenteoderdifferenzierteAltemanten ......... 117 51. Persymmetrische,zirkulanteundzentralsymmetrischeTypen . 120 52. DialytischeElimination. BigradienteMatrix ........ 124 53. KontinuanteMatrizenundKontinuanten ......... 125 54. Jaeobische, HessescheundWronskischeMatrizen...... 126 WeitereBeispiele...................... 132 Register ......................... 140 KAPITEL I DEFINITIONEN UND GRUNDLEGENDE OPERATIONEN MIT MATRIZEN ]. Einleitung DieBezeichnungsweisedergewöhnlichenAlgebrakannalseinzweck- mäßiges Kurzschriftsystem, als ein knapper und angemessener „Code“ zur Beschreibung der logischen Beziehungen zwischen Zahlen ange- sehen werden. Die Bezeichnungsweise bei den Matrizen ist lediglich eine Weiterentwicklung dieser Kurzschrift, bei der gewisse Operatio- nen und Ergebnisse noch kürzer dargestellt werden können. Es gibt dabei nur wenige einfache Rechengesetze, ähnlich denen der gewöhn- lichenAlgebra;darüberhinausistdieBezeichnungsweisebeidenMatri- zensoknappundflexibel,daßessinnvoll schien,diesesBuchmiteinem Abschnitt über Matrizen und Matrizenalgebra zu beginnen und die Theorie der Determinanten unter Zuhilfenahme der Matrizenschreib— weise abzuleiten. Dabei soll die Darstellung die sich wechselseitig be- einflussende Entwicklung der beiden Gegenstände deutlich werden lassen. Dieses erste Kapitel ist der Erklärung des „Code“ gewidmet. Der Leser sollte es mit der notwendigen Intensität lesen und dabei stets selbst Beispiele bilden, insbesondere im Zusammenhang mit der Transposition von Matrizenprodukten und der Multiplikation von zer- legten Matrizen. Besonders wichtigistes,die ErgebnissezumVergleich sowohl in der gewöhnlichen als auch in der Matrizenschreibweise dar- zustellen. Die Sicherheit, die bei einem solchen Verfahren erworben wird, wird sich als ständige Hilfe beim Studium der späteren Kapitel erweisen. 2. Lineare Gleichungen und Transformationen DieTheoriederMatrizenundDetermmantenentwickeltesichausder Notwendigkeit heraus, Systeme linearer Gleichungen zu lösen und fiir den Umgangmit linearenTransformationen eineknappe Darstellungs- weisezufinden.AufdenunterstenStufenderelementarenAlgebrafinden wireinfacheGleichungenerstenGradesderForm ax=h. (Ü 10 DefinitionenundgrundlegendeOperationenmitMatrizen Später begegnen wirdann Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten alx+bly=hl, a:x+bzy=hz‚ (2) mitdreiUnbekannten a1x+bly+clz=hl, apc+b‚y+c;z=h„ (3) a3x+b3y+c3z=h3 und so weiter. Die Lösungsmethode durch sukzessive Elimination so- wie Bedingungen fiir die Existenz eindeutiger Lösungen werden dem Leservielleichtbekanntsein. Wieder aufeiner höheren Stufe— in der analytischen Geometrie der Ebene — haben wires mit verschiedenen linearen Transformationen zu tun,z.B.mit x=x’cos.9—y’sin.9, y=x’sin8+y’cosß. (4) DieseTransformationstellteineDrehungeinesrechtwinkligen Koordi- natensystems um den Winkel 8 mit dem Ursprung als Drehzentrum dar. Im dreidimensionalen Raum haben wir entsprechend x=l‚x’ +lzy' +1‚z’, y=m‚x’+m‚y'+m‚z’, (5) z=npc’ +n,y’ +n_„z’, worin die I„ m„ n„ die Richtungscosinus sind. Tatsächlich treffen wir überall inder MathematikauflineareTransformationen, unddasallein rechtfertigtschondasSuchennacheinemangemessenenKalkül. DasallgemeineSystemvonmGleichungeninnUnbekanntenist auxt+aizxz+ +a1nxn=hr‚ “21x1+azzxz+ +a2nxn=h2, ‘(6) amlxl+am2xz+ +amnxn=hnn und die allgemeine lineare Transformation, bei der m Veränderliche y„y„...,y„l alslineareFunktionenvon nVeränderlichen x„x2,...,x,l dargestellt werden, hat dieselbe Form, nur stehen aufder rechten Seite des Gleichungssystems (6) die Veränderlichen y‚- anstelle der Konstan- ten hi.