Despre autori Dumitru Busneag Este absolvent al Facult˘atii de Matematic˘aa Universit˘atii din

194 Pages·2013·0.82 MB·Romanian

Despre autori
Dumitru Bu(cid:24)sneag
Este absolvent al Facult˘a¸tii de Matematic˘a a Universit˘a¸tii din Bucure¸sti, promo¸tia
1974.
In perioada 1974-1980 a func¸tionat ca profesor de matematic˘a ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul
preuniversitar (la Liceul de Industrie alimentar˘a ¸si Colegiul Na¸tional ≪ Carol I ≫ din
Craiova).
Dinanul1980devineAsistentuniversitarlaFacultateadeMatematic˘a-Informatic˘a
a Universit˘a¸tii din Craiova.
In anul 1985ˆı¸si sus¸tine teza de doctorat intitulat˘a Contribu(cid:24)tii la studiul algebrelor
HilbertˆıncadrulInstitutuluiCentraldeMatematic˘adinBucure¸stisubcoordonareadom-
nului Dr. Doc. Nicolae Popescu-Membru corespondent al Academiei Romˆane.
Dinanul1995ocup˘afunc¸tiadidactic˘adeProfesorlaCatedradealgebr˘a¸sigeometrie
a Facult˘a¸tii de Matematic˘a-Informatic˘a a Universit˘a¸tii din Craiova.
Din anul 1978 este membru al Comisiei Centrale a MEdC pentru concursurile de
matematic˘a ale elevilor, iar din anul 2000 Pre¸sedinte al Comisiei de organizare al Con-
cursului interjude¸tean de matematic˘a ≪ Gheorghe T¸i¸teica ≫ pentru echipaje de elevi,
concurs ajuns la a XXIX-a edi¸tie.
Florentina Chirte(cid:24)s
Esteabsolvent˘aaFacult˘a¸tiideMatematic˘a-Informatic˘aaUniversit˘a¸tiidinCraiova,
promo¸tia 1997.
In anuluniversitar1997-1998 urmeaz˘a Studiile aprofundate de algebr˘a¸sigeometrie
la Facultatea de Matematic˘a-Informatic˘a a Universit˘a¸tii din Craiova.
Inanul1999devinePreparatoruniversitar,ˆınanul2003Asistentiardin2007Lector
laCatedradealgebr˘a¸sigeometrieaFacult˘a¸tiideMatematic˘a-Informatic˘aaUniversit˘a¸tii
din Craiova.
Din 2000 face parte din Comitetul de organizare al Concursului interjude¸tean de
matematic˘a ≪ Gheorghe T¸i¸teica ≫ pentru echipaje de elevi.
In anul 2007, pe 26 ianuarie ¸si-a sus¸tinut teza de doctorat intitulat˘a Contribution
to the study of LM -algebras ˆın cadrul Facult˘a¸tii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a a Uni-
n
versit˘a¸tii din Bucure¸sti sub coordonarea domnului Prof. univ. dr. Sergiu Rudeanu.
1
Dana Piciu
Esteabsolvent˘aaFacult˘a¸tiideMatematic˘a-Informatic˘aaUniversit˘a¸tiidinCraiova,
promo¸tia 1997.
In perioada 1997-1999 a func¸tionat ca profesoar˘a de matematic˘aˆınˆınv˘a¸t˘amˆantul
preuniversitar iarˆın anul universitar 1997-1998 urmeaz˘a Studiile aprofundate de algebr˘a
¸si geometrie la Facultatea de Matematic˘a-Informatic˘a a Universit˘a¸tii din Craiova.
Inanul1999devinePreparatoruniversitarlaFacultateadeMatematic˘a-Informatic˘a
a Universit˘a¸tii din Craiova.
In anul 2004 ˆı¸si sus¸tine teza de doctorat intitulat˘a Localizations of MV and BL-
algebras ˆın cadrul Facult˘a¸tii de Matematic˘a¸si Informatic˘a a Universit˘a¸tii din Bucure¸sti
sub coordonarea domnului Prof. univ. dr. George Georgescu.
Din anul 2005 ocup˘a func¸tia didactic˘a de Lector la Catedra de algebr˘a¸si geometrie
a Facult˘a¸tii de Matematic˘a-Informatic˘a a Universit˘a¸tii din Craiova.
Din 2000 face parte din Comitetul de organizare al Concursului interjude¸tean de
matematic˘a ≪ Gheorghe T¸i¸teica ≫ pentru echipaje de elevi.
2
Prefa(cid:24)t(cid:21)a
Aceast˘a lucrare esteˆın esen¸t˘a o edi¸tie revizuit˘a¸siˆımbun˘at˘a¸tit˘a a lucr˘arii [6] elabo-
rat˘adeaceea¸siautori¸siacoper˘aatˆatprogramaanalitic˘aacursuluideTeoria elementar(cid:21)a
a numerelor ¸tinut de autori studen¸tilor de la Facultatea de Matematic˘a-Informatic˘a a
Universit˘a¸tii din Craiova, cˆat ¸si programa tradi¸tionalelor concursuri de matematic˘a ale
elevilor dinˆınv˘a¸t˘amˆantul preuniversitar.
Lucrarea este structurat˘a pe 9 capitole ¸si ˆın cea mai mare parte are un caracter
elementar, fapt ce o face accesibil˘a unor categorii destul de numeroase de cititori: elevi,
studen¸ti, profesori precum ¸si tuturor celor ce iubesc matematicile elementare.
Tehnoredactarea ¸si corectura sunt efectuate de autori.
Craiova, 11 mai 2007 Autorii
3
4
Cuprins
1 Elemente de aritmetic(cid:21)a 7
1.1 Divizibilitate pe N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Divizibilitate pe Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Teorema fundamental˘a a aritmeticii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Congruen¸te pe Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Frac¸tii periodice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Teoremele lui Euler, Fermat ¸si Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Teorema chinezeasc˘a a resturilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 R˘ad˘acini primitive modulo un num˘ar prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Reprezentarea numerelor naturaleˆıntr-o baz˘a dat˘a . . . . . . . . . . . . . 27
2 Mul(cid:24)timea numerelor prime 35
2.1 Teoreme referitoare la infinitatea numerelor prime . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Ciurul lui Eratostene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Teorema Bertrand-Cebˆı¸sev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Inegalit˘a¸tile lui Cebˆı¸sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Teorema lui Scherk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 Exist˘a func¸tii care definesc numerele prime? . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Numere prime gemene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Func(cid:24)tii aritmetice 55
3.1 Generalit˘a¸ti. Opera¸tii cu func¸tii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Func¸tii multiplicative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Func¸tia Jordan J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
k
3.4 Func¸tia von Sterneck H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
k
3.5 Func¸tii complet multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Resturi p(cid:21)atratice 63
4.1 Generalit˘a¸ti. Simbolul lui Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Legea reciprocit˘a¸tii p˘atratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Alte cazuri particulare ale teoremei lui Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . 66
5
5 Frac(cid:24)tii continue 69
5.1 Frac¸tii continue. Propriet˘a¸ti elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Aproxim˘ari ale numerelor reale prin numere ra¸tionale . . . . . . . . . . . 74
5.3 Frac¸tii periodice ¸si pur periodice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Teoreme de reprezentare pentru numere^(cid:16)ntregi 83
6.1 Reprezentarea unui num˘ar natural ca sum˘a de dou˘a p˘atrate de numere
ˆıntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Reprezentarea numerelor naturale ca sum˘a de patru p˘atrate de numere
ˆıntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3 Scrierea numerelor naturale sub forma x2+2y2 . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4 Alte teoreme de reprezentare a numerelorˆıntregi . . . . . . . . . . . . . . 93
7 Ecua(cid:24)tii diofantice 99
7.1 Ecua¸tia ax+by+c=0,a,b,c∈Z (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Ecua¸tia x2+y2 =z2 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3 Ecua¸tia x4+y4 =z4 (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 Ecua¸tii de tip Pell: x2−Dy2 =±1(D ∈N) (5) . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.5 Ecua¸tii de tipul ax2+by2+cz2 =0, cu a,b,c∈Z (6) . . . . . . . . . . . 104
7.6 Ecua¸tii de tip Bachet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.7 Rezolvareaˆın numereˆıntregi a sistemelor de ecua¸tii liniare . . . . . . . . . 107
8 Puncte laticeale^(cid:16)n plan (cid:24)si spa(cid:24)tiu 123
8.1 Puncte laticealeˆın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Puncte laticealeˆın spa¸tiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9 Clase speciale de numere^(cid:16)ntregi 131
9.1 Numere de tip Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2 Numere de tip Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.3 Numere de tip Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.4 Alte cazuri speciale de numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10 Exerci(cid:24)tii propuse (enun(cid:24)turi) 141
10.1 Elemente de aritmetic˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 Mul¸timea numerelor prime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3 Func¸tii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.4 Resturi p˘atratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.5 Frac¸tii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.6 Teoreme de reprezentare pentru numereˆıntregi . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.7 Ecua¸tii diofantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.8 Puncte laticealeˆın plan ¸si spa¸tiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.9 Clase speciale de numereˆıntregi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6
11 Solu(cid:24)tii 151
11.1 Elemente de aritmetic˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.2 Mul¸timea numerelor prime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.3 Func¸tii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.4 Resturi p˘atratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.5 Frac¸tii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.6 Teoreme de reprezentare pentru numereˆıntregi . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.7 Ecua¸tii diofantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.8 Puncte laticealeˆın plan ¸si spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.9 Clase speciale de numereˆıntregi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
ANEXA 1 181
ANEXA 2 184
ANEXA 3 185
7
8
Capitolul 1
Elemente de aritmetic(cid:21)a
1.1 Divizibilitate pe N
De(cid:12)ni(cid:24)tia 1.1.1. Fie a,b∈N,b̸=0.Vom spune c˘a b divide a ¸si vom scrie b|a, dac˘a
exist˘a c ∈ N astfelˆıncˆat a = bc (nu definim divizibilitatea prin 0!). In acest caz vom
spune c˘a b este un divizor al lui a (sau c˘a a este multiplu de b).
In mod evident, rela¸tia de divizibilitate de pe N este reflexiv˘a, antisimetric˘a ¸si
tranzitiv˘a,adic˘a(N,|)esteomul¸timepartialordonat˘aˆıncare1estecelmaimicelement
(element ini¸tial) iar 0 este cel mai mare element (element final).
De(cid:12)ni(cid:24)tia 1.1.2. Un num˘ar p ∈ N,p ≥ 2 se zice prim dac˘a singurii s˘ai divizori
sunt 1 ¸si p.
Celemaimicinumereprimesunt2,3,5,7,etc. (vomdemonstramaitˆarziuc˘aexist˘a
o infinitate de numere prime). Astfel, singurul num˘ar prim par este 2. Reamintim c˘aˆın
[6], Corolarul 4.9 am demonstrat teoremaˆımp˘ar¸tirii cu restˆın N: dac˘a a,b ∈ N,b ≥ 1,
atunci exist˘a ¸si sunt unici c,r ∈ N astfel ˆıncˆat a = bc+r, iar 0 ≤ r < b; num˘arul c
se nume¸ste c^atul ˆımp˘ar¸tirii lui b la a, iar r restul acesteiˆımp˘ar¸tiri (evident b|a dac˘a ¸si
numai dac˘a r =0).
Teorema 1.1.3. Fiind date dou(cid:21)a numere a,b ∈ N, exist(cid:21)a d ∈ N (vom nota
d=(a,b)) astfel^(cid:16)nc^at d|a,d|b, iar dac(cid:21)a mai avem d′ ∈N astfel^(cid:16)nc^at d′|a (cid:24)si d′|b, atunci
d′|d (adic(cid:21)a^(cid:16)n mul(cid:24)timea par(cid:24)tial ordonat(cid:21)a (N,|) pentru orice dou(cid:21)a elemente a (cid:24)si b exist(cid:21)a
a∧b).
Demonstra(cid:24)tie. Conform teoremeiˆımp˘ar¸tirii cu rest, putem scrie a = bc +r , cu
1 1
c ,r ∈N, iar 0≤r <b.
1 1 1
Dac˘a r =0 atunci b|a ¸siˆın mod evident d=(a,b)=b.
1
Dac˘a r ̸= 0, atunci conform aceleia¸si teoreme de ˆımp˘ar¸tire cu rest putem scrie
1
b=r c +r , cu c ,r ∈N, iar 0≤r <r .
1 2 2 2 2 2 1
Dac˘a r = 0, atunci d = r . Intr-adev˘ar, din b = r c deducem c˘a d|b, iar din
2 1 1 2
a=bc +r deducem c˘a d|a . Dac˘a mai avem d′ ∈N astfelˆıncˆat d′|a¸si d′|b, atunci cum
1 1
9
r =a−bc , deducem c˘a d′|r =d.
1 1 1
Dac˘ar ̸=0,atuncidinnouputemscrier =r c +r ,cu0≤r <r ,¸sialgoritmul
2 1 2 3 3 3 2
descrispˆan˘aacumcontinu˘a,ob¸tinˆandu-seun¸sirdescresc˘atordenumerenaturaler ,r ,...
1 2
astfelˆıncˆat rj−2 = rj−1cj(j ≥ 3). Conform Corolarului 4.6. de la Capitolul 1, §4 din
lucrarea [6], ¸sirul r ,r ,r ,... este sta¸tionar.
1 2 3
Astfel, dac˘a pentru un anumit k,r = 0, atunci d = r , pe cˆand, dac˘a r = 1
k+1 k k+1
atunci d=1. (cid:4)
De exemplu: Dac˘a a=49 ¸si b=35 avem :
49 = 1·35+14 (c =1,r =14)
1 1
35 = 2·14+7 (c =2,r =7)
2 2
14 = 2·7 (c =2,r =0)
3 3
de unde deducem c˘a (49,35)=7.
Dac˘a a=187 ¸si b=35 avem:
187 = 5·35+12 (c =5,r =12)
1 1
35 = 2·12+11 (c =2,r =11)
2 2
12 = 1·11+1 (c =1,r =1)
3 3
de unde deducem c˘a (187,35)=1.
Observa(cid:24)tii.
1. Num˘arul d poart˘a numele de cel mai mare divizor comunal lui a ¸si b.
2. Algoritmul de g˘asire a celui mai mare divizor comun a dou˘a numere naturale
descris maiˆınainte poart˘a numele de algoritmul lui Euclid.
3. Dac˘a pentru a,b ∈ N avem (a,b) = 1, vom spune despre a ¸si b c˘a sunt prime
ˆıntre ele.
4. Inductivsearat˘ac˘apentruoricarennumerenaturalea ,a ,...,a (n≥2)exist˘a
1 2 n
d∈N astfelˆıncˆat d|a pentru orice 1≤i≤n ¸si dac˘a mai avem d′ ∈N astfelˆıncˆat d′|a
i i
pentru orice 1 ≤ i ≤ n, atunci d′|d . Num˘arul d se noteaz˘a prin d = (a ,a ,...,a ) ¸si
1 2 n
poart˘a numele de cel mai mare divizor comun al numerelor a ,a ,...,a .
1 2 n
1.2 Divizibilitate pe Z
De(cid:12)ni(cid:24)tia 1.2.1. Dac˘a a,b ∈ Z,b ̸= 0, vom spune c˘a b divide a (vom scrie b|a)
dac˘a exist˘a c∈Z astfelˆıncˆat a=bc ( ca¸siˆın cazul lui N nu vom defini, niciˆın cazul lui
Z, divizibilitatea prin 0).
Evident, dac˘a a∈Z atunci 1|a,−1|a ¸si a|0.
Numerele prime ˆın Z se definesc ca fiind acele numereˆıntregi p cu proprietatea c˘a
p ̸= −1,0,1, iar singurii divizori ai lui p sunt ±1,±p. Evident, numerele prime din Z
sunt numerele de forma ±p, cu p≥2 num˘ar primˆın N.
10