Derivadas y aplicaciones

135 Pages·2013·2.91 MB·Spanish

Derivadas y aplicaciones
C´alculo Infinitesimal
Grado en Matem´aticas
Renato A´lvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla
http://euler.us.es/˜renato/clases.html
RenatoA´lvarez-NodarseUniversidaddeSevilla Derivadasyaplicaciones
Un poco de historia: derivada de una funcio´n
Uno de los problemas m´as antiguo de la Geometr´ıa y por tanto de
la Matem´atica era el problema de encontrar las rectas tangentes y
normales a una curva dada. Este problema tiene un sinf´ın de
aplicaciones pr´acticas:
1 Calcular el a´ngulo entre dos curvas (Descartes)
2 Construir telescopios (Galileo)
3 Encontrar m´aximos y m´ınimos (Fermat)
4 Velocidad y aceleraci´on del movimientos de cuerpos (Galileo,
Newton)
5 Astronom´ıa, movimiento de los cuerpos celestes (Kepler,
Newton)
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Un poco de historia: derivada de una funcio´n
Para algunas curvas los griegos sab´ıan como encontrar dichas
tangentes. Por ejemplo, la circunferencia.
y y=m x+n
y=p x+q
x=a
x
0
Figura: La recta y =mx +n tangente a una curva f(x) y recta normal
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Un poco de historia: derivada de una funcio´n
Para algunas curvas los griegos sab´ıan como encontrar dichas
tangentes. Por ejemplo, la circunferencia.
y y=m x+n
y=p x+q
x=a
x
0
Figura: La recta y =mx +n tangente a una curva f(x) y recta normal
El problema es m´as complicado para una curva en general.
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Un poco de historia: derivada de una funcio´n
Intentemos calcular la pendiente m de la recta tangente.
y
f(x)
y=m x+n
f(a+h)
b
f(a)
x
0 s a a+h
s+h
De la figura podemos comprobar que la pendiente toma el valor:
f(a) b b f(a)
m = = = − .
s s +h h
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derivada de una funcio´n
f(a) b b f(a)
m = = = −
s s +h h
Si h es “muy” pequen˜o b f(a+h)
≈
f(a+h) f(a)
m − .
≈ h
Fermat usaba la f´ormula anterior s´olo
para aquellas curvas donde desapa-
rec´ıa el t´ermino h del denominador y
luego sustitu´ıa h = 0.
Por ejemplo: Sea la par´abola y = x2
(a+h)2 a2
m − = 2a+h m = 2a.
≈ h ⇒
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derivada de una funcio´n
f(a) b b f(a)
m = = = −
s s +h h
Si h es “muy” pequen˜o b f(a+h)
≈
f(a+h) f(a)
m − .
≈ h
Fermat usaba la f´ormula anterior s´olo
para aquellas curvas donde desapa-
rec´ıa el t´ermino h del denominador y
luego sustitu´ıa h = 0.
Por ejemplo: Sea la par´abola y = x2
(a+h)2 a2
m − = 2a+h m = 2a.
≈ h ⇒
Esto no funciona para funciones m´as “complicadas”: f(x) = sinx
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Un poco de historia: derivada de una funcio´n
Otro genial matem´atico que considero´ el problema fue Barrow
y
f(x)
y=m x+n
(x+h,y+k)
C
k
(x,y)
A h B
x
0
Barrow ten´ıa un m´etodo geom´etrico muy ingenioso para las curvas
definidas por la ecuaci´on f(x,y) =0.
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Un poco de historia: derivada de una funcio´n
Ejemplo: la hip´erbola f(x,y) = xy p = 0, p R.
− ∈
f(x +h,y +k)= 0 = (x +h)(y +k) p = 0
− ⇒
(x y p)+h y +x k +h k = 0,
· − · · ·
=0
por tanto
| {z }
k y
h y +x k = 0 = .
· · ⇒ h −x
Los dos m´etodos descritos se hace uso de “cantidades
infinit´esimales”, pero ¿qu´e son esas cantidades infin´ıtesimales?
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Un poco de historia: derivada de una funcio´n
Para evitar el uso de las cantidades
infinitesimales Newton considera que
lascantidadesmatem´aticasest´andes-
critas por un movimiento continuo:
“Las curvas son descritas y de esta
forma generadas, no por una disposi-
cio´n de partes, sino por el continuo
movimiento de puntos. ”
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