Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am Beispiel der Geschichte der Distributionen

274 Pages·2004·2.44 MB·German

Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am
Beispiel der Geschichte der Distributionen
Eine historische Untersuchung u¨ber die Grundlagen
der Physik im Grenzbereich zu Mathematik,
Philosophie und Kunst
Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades des Fachbereichs Mathematik der
Universit¨at Hamburg
vorgelegt von
Klaus-Heinrich Peters
aus Gu¨tersloh
Hamburg 2004
Als Dissertation angenommen vom Fachbereich
Mathematik der Universit¨at Hamburg
auf Grund der Gutachten von Prof. Dr. G. Wolfschmidt
und Prof. Dr. K. Fredenhagen
Hamburg, den 18.6.2003
Prof. Dr. A. Kreuzer
Dekan des Fachbereichs Mathematik
Klaus-Heinrich Peters
Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am Beispiel der
Geschichte der Distributionen
Eine historische Untersuchung u¨ber die Grundlagen
der Physik im Grenzbereich zu Mathematik,
Philosphie und Kunst
Der kaum ver¨anderte Text dieser Arbeit erscheint als Buch unter dem Titel Sch¨onheit,
”
Exaktheit, Wahrheit“ im Verlaufe des Jahres 2004 im GNT-Verlag.
Vorwort
Die Geschichte der Physik ist reich an Beispielen fu¨r die intuitiv richtige Verwendung
mathematischer Gr¨oßen, die innerhalb der zeitgen¨ossischen Mathematik noch unverstan-
den waren oder ihr sogar offen widersprachen. Im Allgemeinen l¨aßt sich aber beobachten,
dass sich eine korrekte mathematische Theorie fru¨her oder sp¨ater einstellt, die den genau-
en Sinn und Anwendungsbereich der von den Physikern geahnten Rechenregeln festlegt.
W¨ahrend sich in diesem Prozess das Befremden der Mathematiker in ein befriedigendes
Verst¨andnis wandelt, so dass sie sich dem n¨achsten Problem zuwenden k¨onnen, ergibt sich
fu¨r den Historiker und Philosophen gerade die Gelegenheit, fragend bei diesem Prozess
zu verweilen. Denn in der Phase, wenn physikalische und mathematische Erkenntnis aus
dem Takt kommen, enthu¨llt sich die Grenze und damit auch der innere Zusammenhang
von Mathematik und Physik. Die Natur physikalischer Einsicht zeigt sich dort am Deut-
lichsten, wo sie der Mathematik (wenn auch vorl¨aufig) widersprechen muss; umgekehrt
zeigt sich die spezifische Wichtigkeit mathematischer Exaktheit in der Physik gerade im
Kontrast von mathematisch-rigorosem und mathematisch-intuitivem Theorieansatz.
DieGeschichte derDistributioneninderPhysik bietet einenbesonders ergiebigenRahmen
sich diesen Fragen zuzuwenden. Wir finden eine fast 20-j¨ahrige Geschichte der mathema-
tischen Unsicherheit von Diracs erster Definition der δ-Funktion bis zu Schwartz’ Theorie
der Distributionen. In dieser Zeit unterstu¨tzt die δ-Funktion maßgeblich den Siegeszug
der Quantenmechanik, um sp¨ater ebenso maßgeblich am zwischenzeitlichen Niedergang
der Quantenfeldtheorie mitzuwirken. Dabei zeigt sich das Fu¨r und Wider von intuitiver
und strenger Mathematik nicht nur ahistorisch im Vergleich von damaligem zu modernem
Wissen. Mit von Neumanns Spektraltheorie steht n¨amlich fast von Anfang an auch ei-
ne mathematisch strenge Alternativformulierung der Quantentheorie zur Disposition, die
das Problem der δ-Funktion schon im Keime umgeht. Damit entsteht natu¨rlich auch eine
historische Diskussion, die fu¨r die geschichtlich-philosophische Untersuchung ungemein
wichtig ist.
Ich habe in diesem Buch versucht, die Frage nach dem Zusammenhang von Mathe-
matik und Physik durch die Perspektive der Hauptbeteiligten an der Diskussion um die
Distributionen zu betrachten. Dabei dr¨angte sich im Laufe der Untersuchung durch Di-
racs ¨asthetisch motiviertes Denken auch noch der Bereich des Sch¨onen ins Blickfeld der
Arbeit, so dass neben Mathematik, Physik und Geschichte nun auch die Kunst in die
Untersuchung einbezogen werden musste. Ich befu¨rchte, dass ich es bei dieser interdiszi-
plin¨aren Bandbreite wohl keinem Spezialisten wirklich recht machen konnte. Andererseits
denke ich, dass sich gerade in dieser Breite fu¨r jeden etwas Besonderes findet, denn der
Weg querfeldein durch alle Disziplinen ergibt oft ganz u¨berraschende Ausblicke.
So zeigt sich, um einige Beispiele zu nennen, in der Auslegung von Diracs Werk die
iii
M¨oglichkeit eines direkten Bezuges von mathematischer Sch¨onheit und wissenschaftlicher
Wahrheit. Zuvor bietet die Interpretation der Mathematik als Medium einen neuartigen
begrifflichen Ansatzpunkt der Diskussion um die Rolle der Mathematik in der Physik.
Dagegen enthu¨llt die Diskussion der Arbeiten von Neumanns einen unvorhergesehenen
Zusammenhang der axiomatischen Methode mit der Kopenhagener Deutung der Quan-
tenmechanik, die dadurch neue Transparenz und Plausibilit¨at erh¨alt.
Dazu habe ich mich bemu¨ht, in den rein theoriengeschichtlichen Darstellungen der Quan-
tenmechanik und Quantenfeldtheorie sowie der verallgemeinerten Funktionen in der Phy-
sik eine brauchbare Einfu¨hrung auf mittlerem Niveau (sowohl in der L¨ange als auch im
mathematischen Schwierigkeitsbereich) bereitzustellen. Ich gaube, dass die Lektu¨re dieser
Teile fu¨r jeden Physikstudenten eine wertvolle Erg¨anzung zum Verst¨andnis dieser The-
mengebiete sein kann.
Die vorliegende Arbeit entstand am Hamburger Institut fu¨r Geschichte der Naturwis-
senschaften undwurdeimJuni2003vomFachbereich Mathematikangenommen.Dement-
sprechend geht der erste Dank an meine beiden Betreuer Prof. Gudrun Wolfschmidt vom
IGN und Prof. Klaus Fredenhagen vom II. Institut fu¨r theoretische Physik, die diese
Arbeit erm¨oglicht und in vielerlei Hinsicht unterstu¨tzt haben. Auch das Programm zur
Doktorandenf¨orderungder Universit¨at Hamburg hatdurch wertvolle Finanzspritzen einen
entscheidenden Anteil an der Enstehung der Dissertation gehabt. Klaus Frieler verdanke
ich erhellende Diskussionen, die die Arbeit vorangebracht und einige dunkle Punkte ge-
kl¨art haben. Dem Lesekomitee Dietlind Frieling, Dierk Janssen und Jan-Philip Heymann
verdanke ich verschiedene Korrekturen und Anregungen. Danke auch an das Deutsche
Museum Mu¨nchen fu¨r die Benutzung des Archivs, in dem ich wertvolle Quellen einsehen
konnte; an Karin Reich und das ganze Team vom IGN fu¨r großartige Unterstu¨tzung im
Arbeitsalltag; an Robert und Francois Huguenin; und all die vielen Kollegen, Bibliothe-
kare, Sekret¨are ..., die inhaltlich oder logistisch weitergeholfen haben.
Zum Schluss noch ein besonderes “Danke sch¨on” an Paul Jurij Hempel, Andrea Hempel,
Bernd Kensicki, Astrid Kulas, Renate Golletz und meine Eltern.
Hamburg, November 2003 Klaus-Heinrich Peters
iv
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Einfu¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Methodologie und Gliederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Die δ-Funktion und die Theorie der Distributionen . . . . . . . . . . . . . 6
2 Der physikgeschichtliche Kontext 12
2.1 Tabellarische U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Relativistische Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1 Die konzeptionelle Begru¨ndung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Die 30er Jahre: Kampf gegen die Divergenzen . . . . . . . . . . . . 33
2.4.3 Der Durchbruch zu einer funktionierenden QED: Die Renormierung 39
2.5 Wissenschaftstheoretische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1 Der konservative Durchbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.2 Gru¨nde fu¨r den Stillstand in den 30er Jahren . . . . . . . . . . . . . 51
3 Der mathematikhistorische Kontext 56
3.1 Vorgeschichte der Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 U¨bersicht u¨ber Distributionen in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 δ-Funktionen vor Dirac 66
4.1 Kirchhoff: Das Huygens’sche Princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Heaviside: Operational Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Sommerfeld: Die Zackenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Courant: Die Einheitskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Lanczos: Der Einheitskern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5 Dirac 82
5.1 Biographischer U¨berblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Der Weg zur δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Diracs Transformationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.1 Die δ-Funktion in Definition und Rechnung . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.2 Die Transformationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4 Die weitere Entwicklung der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5 Die δ-Funktion in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6 Dirac und die Rolle der Mathematik in der Physik . . . . . . . . . . . . . . 99
v
Inhaltsverzeichnis
5.6.1 Die δ-Funktion und die Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6.2 Interpretation der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6.3 Mathematik als Medium: Durchsichtigkeit . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6.4 Intuitive Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6.5 Mathematik als Medium: Das Beieinander von Verschiedenem . . . 108
5.6.6 Eleganz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.6.7 Mathematical Beauty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6.8 Die mathematische Qualit¨at in der Natur . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.6.9 Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6 von Neumann 125
6.1 Biographischer U¨berblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2 Die axiomatische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.2.1 Die Idee der Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.2 Physikalische Axiome: Die Grundlagen der Quantenmechanik“ . . 133
”
6.2.3 Vom Sinn der Axiomatik: Die Rationalit¨at der Wissenschaft . . . . 137
6.2.4 Die Rolle des Formalismus: Medium und Abbildung . . . . . . . . . 142
6.2.5 Einschub: Verschiedene Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3 Mathematische Strenge: Die Spektraltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3.1 Von Neumanns A¨quivalenzbeweis: Der Hilbertraum . . . . . . . . . 150
6.3.2 Spektraltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4 Formale Strenge und physikalische Erkenntnis . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4.1 Erste Eindru¨cke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4.2 Die Signifikanz der mathematisch korrekten Theorie fu¨r die Physik . 160
6.4.3 Die Kopenhagener Ph¨anomenologie“ . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
”
6.4.4 Die Rolle der Mathematik in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.4.5 Die weitere Entwicklung der von Neumannschen Konzeption . . . . 168
7 Dirac und von Neumann: Ein Vergleich 170
7.1 Verschiedene Denkweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.1.1 Symmetrie und Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.1.2 Denkgewohnheiten und -erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.2 Stimmigkeit, Richtigkeit und Sch¨onheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.2.1 Von Neumann und mathematische Sch¨onheit . . . . . . . . . . . . 174
7.2.2 Stimmigkeit: Eleganz und Selbstkonsistenz . . . . . . . . . . . . . . 176
7.3 Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8 Pauli 181
8.1 Biographischer U¨berblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2 Verallgemeinerte Funktionen in Paulis Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.2.1 Paulis Handbuchartikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.2.2 Vertauschungsrelationen fu¨r die Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . 188
8.2.3 Eine δ-Funktion auf dem Lichtkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.2.4 Die Interpretation der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.3 Paulis Haltung zu verallgemeinerten Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.3.1 Der physikalische Kontext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.3.2 Ein Versuch zur Vermeidung der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . 193
vi
Inhaltsverzeichnis
8.3.3 Renormierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.3.4 Die Theorie der Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.4 Mathematik und Physik bei Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.4.1 Spott und Psychologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.4.2 Physikalische Idee und mathematischer Formalismus . . . . . . . . 200
8.4.3 Pauli, Dirac, von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9 Heisenberg 206
9.1 Biographischer U¨berblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.2 Mathematik und Physik bei Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.2.1 Die Irrelevanz des Formalismus fu¨r das physikalische Verst¨andnis . . 207
9.2.2 Die Priorit¨at des konzeptionellen Verstehens und die Wechselwir-
kung von Mathematik und Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.2.3 Die innere Konsistenz einer Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.2.4 Reine Mathematik und Axiomatik in der Physik . . . . . . . . . . . 214
9.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10 Entwurf eines Gesamtbildes 220
10.1 Eine Dreiecksgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.1.1 Dirac – Heisenberg und Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.1.2 Pauli und Heisenberg – von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.1.3 von Neumann – Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.2 Mathematik als Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11 Distributionen in der Quantenfeldtheorie 226
11.1 Der physikalische Grund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.2 Die Grundlagen der Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.2.1 Kurze historische Skizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.2.2 Schmidt und Baumann: Quantentheorie der Felder als Distributi-
”
onstheorie“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.2.3 A.S. Wightman: Axiomatische Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . 232
11.3 Die Probleme der Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.3.1 Gu¨ttinger: Quantum Field Theory in the Light of Distribution Ana-
lysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.3.2 Kausale St¨orungstheorie: Stu¨ckelberg und Bogolubov . . . . . . . . 236
Abbildungsnachweis 243
Literaturverzeichnis 245
Personenindex 257
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