Der Kreisel: Seine Theorie und seine Anwendungen

358 Pages·1920·17.27 MB·German

by  Dr. R. Grammel (auth.)

Der Kreisel
Der Kreisel
Seine Theorie und seine Anwendungen
Von
Dr. R. Grammel
ord. Professor an der Technischen Hochschule Stuttgarl
Mit 131 Abbildungen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
1920
Alle Rechte vorbehalten.
©Springer Fachmedien Wiesbaden 1920
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, Germany 1920
Softcover reprint of the bardeover 1st edition 1920
ISBN 978-3-663-19847-5 ISBN 978-3-663-20184-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-20184-7
Vorwort.
Dieses Buch ist entstanden aus Vorlesungen, die der Verfasser
an der Technischen Hochschule Danzig und an der Universität Halle
wiederholt gehalten hat. Jene Vorlesungen mußten, der verschieden
artigen Zuhörerschaft sich anpassend, an beiden Orten ein verschiedenes
Gepräge tragen: der Mathematiker und Physiker wird hauptsächlich
vom abstrakten Erkenntnistrieb geleitet, der Ingenieur sieht mehr auf
die konkrete Nützlichkeit. Der große Reiz des Gegenstandes aber
liegt beim Kreisel unzweifelhaft in der Verbindung von Theorie und
Praxis; und diese Verknüpfung, welche auch immer den gemeinsamen
Leitgedanken jener Vorlesungen bildete, will das vorliegende Buch
so harmonisch, als es nur möglich war, ausdrücken und darstellen.
Ein solches ~rogramm umfaßt zwei Aufgaben: erstens die theoreti
schen Entwickelungen unmittelbar anschaulich und begrifflich einfach
zu formen; zweitens alle praktischen Anwendungen auf eine sichere
Grundlage zu stellen, also stets anzugeben, an welcher Stelle der
allgemeinen Theorie sie abzweigen. Die zweite Aufgabe ist leicht,
die erste dagegen schwer und nur dadurch zu lösen, daß man jeden
undurchsichtigen Formalismus zu vermeiden trachtet. Auf mich hat
stets einen tiefen Eindruck die kristallklare Darstellungsweise gemacht,
deren sich W. Thomson und P. G. Tait in ihrem Treatise on Natural
Phil0sophy bedienen, um nahezu ohne Rechnung und doch ohne Weit
schweifigkeit auf die schwierigsten dynamischen Fragen quantitativ
gerraue Antworten zu geben. Die Formel kann in der reinen Mathematik
einen hohen Selbstzweck haben; in der Mechanik ist sie lediglich ein
scharfgeschliffenes Werkzeug, und sie soll nie zum Automaten werden,
der, taktmäßig ablaufend, am Schluß ein zwar vielleicht richtiges,
aber schemenhaftes Ergebnis zum Vorschein bringt, welches dann erst
wieder mit Fleisch und Blut gefüllt werden muß. Ganz abgesehen
VI Vorwort.
davon, daß die meisten Denkfehler in der Mechanik durch solchen
Formalismus entstehen, ist der Erkenntnistrieb nur dann einigermaßen
befriedigt, wenn jede Formel selber sagt, was sie bedeutet und warum
sie da ist, wenn also in keinem Augenblick der Zusammenhang der
Formel mit dem mechanischen Geschehen verloren geht. Wer ein
feines Gefühl für die Ökonomie der Gedanken hat, verlangt allerdings
noch weit mehr, als daß von der Wurzel bis zum Gipfel Begriff an
Begriff sich lückenlos reihe; er fordert, daß der Aufwand das Ergebnis
lohne, daß der Weg entweder der kürzeste oder der schönste sei.
Die blinde Formel ·verführt manchmal zu bequemen Umwegen. Ein
fache Tatsachen aber müssen sich auch auf einfache Weise erklären
lassen, sonst ist die Erklärung noch nicht richtig im strengsten Sinne.
Es ließe sich die Behauptung wagen, daß die Lehre vom Kreisel
in fast allen ihren Teilen etwas Einfaches ist; und so habe ich ver
sucht, sie auch in möglichst einfacher Form darzustellen, ohne irgend
wo an Strenge nachzugeben. Daß zur Erreichung dieses Zieles die
Vektoren als die klarsten Symbole der Mechanik beizuziehen waren,
versteht sich von selbst für jeden, der die soeben ausgesprochenen
Grundsätze billigt. Er wird vielleicht nur das tadeln, daß ich nach
langem Schwanken schließlich doch darauf verzichtet habe, auch die
Affinaren (Tensoren) zu verwenden. Sie hätten in der Tat an ein
zelnen Punkten die begriffliche Klarheit der Entwickelungen erhöht,
aber doch, wie der Kenner bemerkt, nur an so wenigen Stellen des
Buches, daß es sich kaum gelohnt hätte, die Lehre von den Affinaren
deswegen aufzurollen. Denn daß man sie heute nur bei recht wenigen
Lesern voraussetzen darf, ist leider unbestreitbar. Zur Vorsicht werden
darum in der Einleitung auch die einfachen vektoriellen Rechenregeln
abgeleitet, die späterhin zu benutzen sind, so daß selbst der Leser,
der den Vektoren bis jetzt noch fremd oder ablehnend gegenübersteht,
sich in dem Buche zurechtfinden kann. Diese Ableitung ließ sich
leicht verbinden mit einem kurzen Gang durch die elementare Kine
matik und Dynamik, deren Grundgesetze dann weiterhin als bekannt
angesehen werden. In der Bezeichnung der Vektoren bin ich nur
sehr ungerne von der meistgebräuchlichen Schreibweise (Fraktur) ab
gewichen. Weil jedoch die in der Lehre vom Kreisel wichtigsten
Vek ioren die axiale Natur von ~Winkelgeschwindigkeiten besitzen und
Vorwort. VII
nian für diese an die griechischen Buchstaben sich gewöhnt hat, und
weil eine scharfe Unterscheidung zwischen den polaren und axialen
Vektoren auch schon für das Auge nötig ist, so schien es zweckmäßig,
die ersteren durch lateinische, die letzteren durch griechische Buchstaben
darzustellen, wobei der Fettdruck den Vektorcharakter anzeigen soll.
Die Fachausdrücke der Mechanik sind einer Reform stark bedürftig.
So häufige Wörter wie Winkelgeschwindigkeit, Impulsmoment, kineti
sche Energie usw. sind zu lang für die einfachen Begriffe, die sie be
nennen. Drehschnelle zu sagen (nach dem Vorgange von R. Mehmke
und A. Stodol.a) habe ich nicht gewagt; doch scheint sich Wucht
statt kinetische Energie mehr unQ. mehr durchzusetzen. Statt Impuls
moment möge Schwung vorgeschlagen sein, insofern dieser Begriff
genau das bedeutet, was man im täglichen Leben immer schon so
bezeichnet hat [das Wort Drall möchte lieber dem Ergebnis einer
Drillung (Torsion) vorbehalten bleiben]. Auch für Trägheitsmoment·
müßte man ein kürzeres Wort erfinden.
Es wird nicht nötig sein, ausführlich aufzuzählen, wo die Ent
wickelungen dieses Buches neu sind. Die schönen Poinsotschen Er
kenntnisse dürften in § 1 wohl auf ihre durchsichtigste Form gebracht
sein, wozu auch der synthetische Beweis für die ellipsoidische Gestalt
der Poinsotfläche gehört an Stelle des gebräuchlichen, doch etwas um
ständlichen analytischen. Das Programm des Buches verbot, solche
Untersuchungen aufzunehmen, die, obwohl sie sich an den Kreisel
angeschlossen haben, doch einen mehr mathematischen Charakter tragen
(man findet sie unübertrefflich klar in dem Buche von F. Klein und
A. Sommerfeld, Über die Theorie des Kreisels, dargestellt), so z. B.
die Theorie der konjugierten Poinsotbewegungen, die Diskussion der
auftretenden elliptischen und hyperelliptischen Integrale und Funktionen,
die analytischen Ansätze der Bewegung des unsymmetrischen schweren
Kreisels. Solche Ausführungen hätten den Umfang des ersten Teiles
zu stark belastet und so das Gleichgewicht zwischen beiden Teilen
gestört; und sie hätten sicherlich gerade den Leser ermüdet oder ab
geschreckt, für den das Buch bestimmt ist. Dem gleichen Grundsatze
mußten auch im zweiten Teile einige analytische Schößlinge ge
opfert werden, deren Wert in keinem Verhältnis zu ihrer Üppigkeit
steht; dafür sind aber gerade die modernsten Anwendungen des
VIII Vorwort.
Kreisels gebührend zu Wort gekommen. Der Leser übrigens, de•·
von vornherein hauptsächlich die Anwendungen kennen zu lerner
wünscht, mag sich mit den Rechnungen von §5 und §§·9 bis 13
zunächst nicht allzulange aufhalten, sondern sie erst später, wenn
er das Bedürfnis dazu hat, genauer durchgehen. Im zweiten Teile
stehen § 14, § 17 und § 21 für sich, die übrigen sind untereinander
ziemlich stark verkettet.
Der literarische Anhang will weder die geschichtliche Ent
wickelung schildern noch irgendwelche Vollständigkeit erstreben,
sondern nur diejenigen Schriften angeben, die der Leser zuerst zu
Rate ziehen sollte, wenn er in irgendein Sonderproblem tiefer ein
dri_ngen will; deswegen sind einerseits die neuesten Arbeiten auf
gezählt, andererseits von den älteren diejenigen, von denen auch
heute noch eine starke Wirkung ausstrahlt.
Bei der Herstellung der Abbildungen bin ich in dankenswerter
Weise von Fräulein cand. math. E. Rother unterstützt worden, welche
auch eine Korrektur mitgelesen hat. Das Namen- und Sach
verzeichnis ist von meiner Frau zusammengestellt. Dem Verlagshause
schulde ich Dank für das große Entgegenkommen bei allen meinen
Wünschen.
Stu ttgart, 1m Mai 1920.
R. Grammel.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Vorwort ..... . V
Inhalts verz eichn is . IX
Erster Teil.
Die Theorie des Kreisels.
Einleitttng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Der Begriff des Kreisels 3. Kinematische Grundlagen 4. Dynamische Grund
lagen 10.
Erster Ab s c h n i t t. Der kräftefreie Kreisel.
§ 1. Der unsymmetrische Kreisel ........... . 17
Drehachse und Schwungachse 17. Drehwucht und Poinsotfläche 18. Das
Poinsotsche Bild der Bewegung 22.
§ 2. Die Trägheitsmomente .................. . 25
Rechnerische Ermittelung des Trägheitsellipsoids 25. Der Steinersehe Satz 29.
Versuchsmäßige Ermittelung des Trägheitsellipsoids 30. Ausartungen des
Trägheitsellipsoids 31.
§ 3- Die Poinsotbewegung .......... . 32
Der Beginn der Bewegung 32. Schwungellipsoid und Polkurven 33. Freie
Achsen 37.
§ 4- Der symmetrische Kreisel ....... . 39
Die reguläre Präzession 39. Freie Achsen 43. Dynamische Isotropie 43.
§ s. Analytische Behandlung des kräftefreien Kreisels ..... . 44
Die Eulerschen Gleichungen und ihre Integrale 44. Die Bewegung im Falle
der trennenden Polhodie 51. Die Herpolhodieknrven 53.
Zweiter Abschnitt. Der Kreisel unter Zwang.
§ 6. Bewegung durch äußere Kräfte ................... 55
Die Verallgemeinerung der Poinsotbewegung 55. Antrieb um die Schwung
achse s6. Stoß anf eine freie Achse 59. Schneller Kreisel und pseudoreguläre
Präzession 61.
§ 7. Bewegung auf vorgeschriebener Bahn ....•......... 66
Die erzwungene reguläre Präzession 66. Das Kreiselmoment des sym
metrischen Kreisels 70. Der Knrvenkreisel 72. Das Kreiselmoment des
unsymmetrischen Kreisels 76.
§ 8. Der Einfluß der Reibung ..... • . 82
Die Lagerreibung 82. Die Luftreibung 86.
Dritter Abschnitt. Der schwere Kreisel.
§ 9. Die Präzessionsbewegungen des symmetrischen Kreisels 88
Die reguläre Präzession 88. Die pseudoreguläre Präzession 93.
§ 10. Die allgemeine Bewegung des symmetrischen Kreisels. . 95
Die verallgemeinerte Poinsotbewegung 95. Die Integrale der Bewegung 96.
Die Bewegung der Kreiselspitze 101.
§ 11. Der Spielkreisel. . ...•.................. 111
Die Präzession 111. Die allgemeine Bewegung 113.
X Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 12. Der Einfluß der Reibung . . . . . . . . . . 116
Der schwere symmetrische Kreisel 116. Der Spielkreisel 123.
§ 13. Der unsymmetrische Kreisel . . . . . . . . . . . 128
Permanente Drehachsen des schweren Kreisels 128. Pseudoreguläre Prä
zessionen 134. Der aufrechte Kreisel 14 7.
Zweiter Teil.
Die .f\nwendungen des Kreisels.
Einleitung ... . . . . 161
Einteilung der technischen Kreisel 161. Die Trägheitskräfte 163.
Erster Ab schnitt. Die Kreiselwirkungen bei Radsätzen.
§ 14. Kollermühlen ..... . 166
Der gewöhnliche Kollergang 166. Die Pendelmühle 170. Zwei Verbesse
rungen 171.
Fahrzeuge ................. . 175
Kreiselmomente auf Eisenbahnen 17 5. Die Zweischienenbahn 177. Die
Hängebahn 180. Die Schwebebahn 181. Das Zweirad 183. Kreisel
momente auf Schiffen 186.
Flugzeuge . . . . . . . . . . . . ..... .
Die aerodynamischen Grundlagen 189. Die drei Kreiselwirkungen 201. Die
Eigenschwingungen des Flugzeuges 207. Der unsymmetrische Schrauben
kreisel 212.
§17. Schleudernde Scheiben 213
Die elastastatischen Grundlagen 213. Eine- einzelne Scheibe 218. Viele
Scheiben 229.
Zweiter Abschnitt. Mittelbare Stabilisatoren.
Astatische Kreisel ....................... . 235
Das Foucaultsche Gyroskop 235. Geradläufer 237. Elastische Bindung
eines Freiheitsgrades 242. Inklinations- und Deklinationskreisel 245. Der
Steuerzeiger 253.
Kompaßb-eisel •.•....... 256
Der Einkreiselkompaß 256. Die Fahrtfehler 263. Der Schlingerfehler 265.
Der Mehrkreiselkompaß 268.
Pendelkreisel ..........•
Störungstheorie der Pendelkreisel 212. Künstliche Horizonte und Lot
linien 280. Flugzeugstabilisatoren 283. Theorie der künstlichen Flugzeug
stabilisierung 285.
Dritter Abschnitt. Unmittelbare Stabilisatoren.
§ 21. Richtkreise! ..•..........•... 293
Die Erde 293. Geworfene Körper 301. Die Atome 308.
§ 22. StützkreiseL ........................... 311
Der Howell-Torpedo 311. Stabilisierung der Einschienenbahnen 316. Fahrt
fehler der Einschienenbahnen 321.
§ 23. Dämpfkreisel ........................•.. 326
Der Schiffskreisel im Wellengange 326. Günstigste Wahl von Schwung
und Bremsung 333- Zwang auf den Kreiselrahmen 338.
Anhang. Literarische Anmerkungen. 341
Namenverzeichnis 347
Sachverzeichnis .......... . 348