Der aktuelle Lernstand Mathematik. Diagnose und Fördermöglichkeit

93 Pages·2006·1.35 MB·German

Saarland, Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft (Hg.):
(ohne Erscheinungsjahr)

Der aktuelle Lernstand Mathematik.
Diagnose und Fördermöglichkeit

Autorengruppe: Herbet Krämer, Hildegard Fries, Stephan Lehberger,
Burkhard May, Barbara Meyer-Wirth, Uschi Roos,
Steffi Schuck, Edeltrud Seithel, Thomas Seiwert

Die Autorengruppe wurde fachlich beraten von Prof. Dr. Reinhard Kutzer,
Marburg (†) und Dr. Charlotte Zwack Stier, Marburg

Wir danken dem Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft für die
freundliche Nachdruckgenehmigung.
Der Text wurde original übernommen.

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Mathematik in der Grundschule

Der aktuelle Lernstand Mathematik

Diagnose und Fördermöglichkeiten

Saarland

Ministerium für Bildung,
Kultur und Wissenschaft

Hohenzollernstraße 60 66117 Saarbrücken
www.saarland.de
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Inhalt

Vorwort S. 4

Einführung S. 6

1 Eigenschaften S. 8

2 Zuordnung und Mächtigkeit S. 16

3 Invarianz S. 29

4 Klassifikation und Seriation S. 40

5 Beziehungsaspekt S. 53

6 Additive Operationen S. 60

7 Positionssystem S. 73

Literatur S. 93

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VORWORT
Es ist eine bekannte Tatsache, daß es in jeder rücksichtigt und mit den strukturellen Anfor-
Grund- und Sonderschulklasse Kinder gibt, derungen in Einklang gebracht werden. Nur
die vor allem im Mathematikunterricht die so ist ein Abholen der Schüler von ihrem ak-
angestrebten Lernziele nicht oder nur unzu- tuellen Lernstand und ein Fördern der Kin-
reichend erreichen können. Oft ist man ge- der in der Zone der nächsten Entwicklung
neigt, diesen Tatbestand alleine durch eine möglich.
geminderte „mathematische Begabung" oder
Im Wissen darum, daß traditionelle didakti-
Lernfähigkeit der betroffenen Kinder erklä-
sche Konzepte dies nicht hinreichend leisten,
ren zu wollen. hat Herbert Krämer am Landesinstitut für
Ein solcher Interpretationsversuch birgt die Pädagogik und Medien in Dudweiler eine
Gefahr, daß die Bedingungen, unter denen Arbeitsgruppe eingerichtet, in der engagier-
Lernergebnisse entstehen, nicht reflektiert te Kolleginnen und Kollegen, denen die oben
und damit auch nicht verändert werden. Wie aufgezeigte Problematik heutigen Unterrichts
unsere Untersuchungen, die wir in Marburg bewußt war, nach Wegen einer Verbesserung
seit zwanzig Jahren zur Struktur, zum Ver- der Hilfen für den Lehrer in den genannten
lauf und zu den Bedingungen der Optimie- Bereichen und damit zu einer Verbesserung
rung von mathematischen Lernprozessen der Lernbedingungen der Schüler suchten. In
durchführen, zeigen, ist der traditionelle fast nicht mehr zu zählenden Arbeitsgruppen-
Mathematikunterricht aufgrund des unzurei- sitzungen wurden neuere didaktische For-
chenden lernpsychologischen und didakti- schungsergebnisse und Lernkonzepte analy-
schen Forschungsstandes weit davon ent- siert und auf ihre möglichen Beiträge zu ei-
fernt, für die einzelnen Schüler gezielt Lern- ner besseren Lernstandsdiagnose und damit
situationen mit bestmöglichen Lernbedin- zu einer besseren Förderung der Kinder be-
gungen schaffen zu können. Dies wirkt sich fragt. So diskutierte die Arbeitsgruppe auch
besonders bei den Kindern negativ aus, die das von mir in Zusammenarbeit mit mehre-
bereits durch Anlage und Umwelt benach- ren Kolleginnen und Kollegen entwickelte
teiligt sind. Konzept Struktur- und niveauorientierten
Lernens.
Soll Unterricht dem Kinde, der Sache und
der Struktur der Lernprozesse gemäß ver- Dieses Konzept beruht auf Erkenntnissen, die
laufen, so muß er sich u. a. an den strukturel- durch intensive Analysen der Struktur ele-
len Anforderungen des Gegenstandes/Lern- mentarer mathematischer Lerninhalte/Lern-
ziels und an den entsprechenden subjektiven ziele und des Verlaufs von Lernprozessen
Voraussetzungen der Kinder ausrichten. Au- gewonnen wurden. Da mit den Ergebnissen
ßerdem muß der Unterricht den Kindern da- dieser Analysen sowohl die sachstrukturellen
bei helfen, von konkreten strukturierten Anforderungen und mit ihnen die aktuelle
Handlungserfahrungen ausgehend zu entspre- Lernsituation der Kinder als auch der Ver-
chenden gedanklichen Handlungen zu gelan- lauf von Lernprozessen in Richtung auf vor-
gen, diese zu generalisieren und damit die gegebene Ziele besser als bisher erfaßt wer-
Voraussetzung für das Verdichten dieser den können, ist damit ein wichtiger - si-
Handlungserfahrungen zu Erkenntnissen zu cherlich jedoch immer noch nicht hinreichender
schaffen. -Schritt in Richtung auf eine kind- und
sachgemäßere Diagnose und Lernförderung
Für diese sehr schwierige Aufgabe brauchen
getan.
die Lehrerinnen und Lehrer Hilfen. Sie müs-
Genau an diesem Punkt setzten nun die Über-
sen z. B. mit Lehrplänen und Unterrichts-
legungen der Arbeitsgruppe im LPM in
werken arbeiten können, welche alleine durch
Dudweiler an: Wenn es so ist, daß durch die
ihre bessere Orientierung an Sach- und Lern-
in Marburg gewonnenen Erkenntnisse Lern-
strukturen einen höheren Lernerfolg garan-
stände der Kinder genauer ermittelt und Lern-
tieren; sie müssen diagnostische Verfahren zur
prozesse genauer erfaßt werden können, dann
Verfügung gestellt bekommen, die aufzeigen,
müßten den Lehrerinnen und Lehrern in der
welche strukturellen Anforderungen des Ziels
Praxis in Form von Diagnose- und Förder-
die Kinder bereits gemeistert haben. Schließ-
materialien Hilfen an die Hand gegeben wer-
lich muß ein Lernkonzept vorgegeben sein,
in dem die Stufen der Verinnerlichungen be- den, welche diese Erkenntnisse berücksich-
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möglich, wenn die Lehrer Sach- und Lern-
tigen. In mehrjähriger Arbeit wurden so un-
strukturen so weit verinnerlicht haben, daß
ter der Regie von Herbert Krämer und Char-
Reaktionen der Schüler sofort hinsichtlich
lotte Zwack-Stier Materialien zur Diagnose
möglicher Lernfortschritte analysiert und mit
des aktuellen Lernstandes und Hinweise zu
adäquaten didaktischen Konsequenzen be-
einer dem Lernstand adäquaten Förderung
dacht werden können. Um dieses Ziel errei-
der Kinder entwickelt. Diese Materialien, die
chen zu können, braucht man die vorliegen-
nun mit dem vorliegenden Beitrag den Leh-
de Arbeit als unverzichtbaren Zwischen-
rerinnen und Lehrern zur Verfügung gestellt
schritt.
werden können, erheben nicht den Anspruch,
Daß dieser Zwischenschritt in der vorliegen-
nicht mehr verbesserungsfähig zu sein. Dies
den Qualität gelungen ist, muß der außerge-
ist in Anbetracht der schwierigen Aufgabe
wöhnlichen Kompetenz und dem besonde-
und des immer noch unzureichenden didak-
ren Engagement der Arbeitsgruppenmitglie-
tischen Forschungsstandes auch kein erreich-
der zugeschrieben werden. Wie immer ist je-
bares Ziel. Außerdem mußte bei der Abfas-
doch die Entstehung eines solchen Werkes
sung des Textes darauf Rücksicht genommen
durch die Arbeit einer Arbeitsgruppe an Per-
werden, daß bei weitem nicht alle Kollegin-
sonen gebunden, welche durch ihre richtungs-
nen und Kollegen die Marburger Forschungs-
weisenden Vorschläge und durch ihren uner-
ergebnisse und das daraus abgeleitete müdlichen Einsatz solch ein Projekt ermög-
Didaktikkonzept Struktur- und niveau- lichen. Ich möchte an dieser Stelle zunächst
orientierten Lernens kennen. Dies hatte not- Herbert Krämer meinen besonderen Dank
wendig eine allgemeinere - und damit weni- aussprechen. Ich habe ihn während der vie-
ger präzise - Fassung zur Folge. len Jahre unserer Zusammenarbeit nicht nur
wegen seines unermüdlichen Einsatzes für die
Dennoch sind m. E. die zwei zentralen Ziele
Erlangung des vorgegebenen Zieles, sondern
der Arbeitsgruppe hervorragend umgesetzt:
auch wegen seiner redlichen Art, mit seinem
Es wird zum einem ein Testinstrumentarium
Wissen unaufdringlich und sensibel umzuge-
vorgelegt, das sich an den neuesten Ergeb-
hen, sehr schätzen gelernt. Frau Zwack-Stier
nissen von Sach- und Lernstrukturanalysen
hat sich einmal mehr als Expertin hinsicht-
orientiert. Damit werden in einer bisher noch
lich des Konzepts strukturorientierten Ler-
nicht erreichten Genauigkeit Aussagen über
nens ausgewiesen und damit wesentlich die
den Lernstand von Kindern ermöglicht. Zum
Qualität des vorliegenden Materials mitbe-
anderen können mit den genaueren Kennt-
stimmt.
nissen des Lernstandes auch genauere Aus-
Schließlich möchte ich es nicht versäumen, den
sagen über die nächsten Lernschritte mög-
Kolleginnen und Kollegen in Schule, Schul-
lich werden. Auch diese liefert beispielhaft
verwaltung und Ministerium zu danken, die
das vorliegende Material
das Projekt konkret oder ideell unterstützt ha-
Es ist zu erwarten, daß viele Lehrerinnen und
ben. Besonders möchte ich Herrn Ministeri-
Lehrer, die sich an dem vorliegenden Mate-
alrat Buschauer vom Saarländischen Kultus-
rial orientieren, auch selbst eine differenzier-
ministerium und Herrn Schulrat Gachot für ih-
tere Sichtweise von Lernzielen gewinnen als
re unermüdliche Unterstützung danken.
sie z. B. in vielen Lehrplänen und Unterrichts-
Manchmal beneide ich das Saarland um solche
werken zum Tragen kommt. So können di-
didaktisch versierten und engagierten Mitar-
daktische Fehlentscheidungen eingeschränkt,
beiter in der höheren Schulverwaltung.
durch Schule bedingtes Lernversagen redu-
ziert und die Lernmotivation gestärkt wer- Bleibt zum Schluß nur noch zu wünschen,
den. Vielleicht sind solche mögliche Erfah- daß die Mühen der Arbeitsgruppe durch ein
rungen der Lehrerinnen und Lehrer die intensives Studium ihres Beitrages honoriert
Voraussetzung dafür, daß damit der erstre- werden. Ganz gewiß ist die Arbeitsgruppe
benswerte Schritt von der im vorliegenden für jede Rückmeldung und konstruktive Kri-
Material notwendig noch vorwiegend grob- tik dankbar.
diagnostischen Feststellung punktueller ak-

tueller Lernstände hin zur unterrichts-
immanenten Feindiagnose erfolgt: Dies ist Reinhard Kutzer
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EINFÜHRUNG
Nachdem im Saarland 1986 die ersten lern- Kind fruchtbar wer-
behinderten Kinder integrativ an Grundschu- den, sowohl vom Untersuchungsverfahren
len unterrichtet wurden, stellte sich bei den her als auch didaktischmethodisch eine
Lehrerinnen und Lehrern die Frage, wie ein Einheit bilden.
Unterricht aussehen könnte, der sowohl die
Das vorliegende Diagnostikum beginnt mit
Interessen der nichtbehinderten als auch die
dem praenumerischen Bereich und endet mit
Interessen der behinderten Kinder, bezogen
dem Positionssystem. Es umfaßt somit die
auf die Sozialformen und die Lernbereiche,
Grundlagen der Mathematik, die ein erfolg-
gleichermaßen berücksichtigt. Für den Be-
reiches Rechnen in den drei folgenden Klas-
reich der Mathematik wurde daraufhin beim
senstufen voraussetzen (Zahlbegriffserwerb,
Landesinstitut für Pädagogik und Medien die
Operationsverständnis, Einsicht in die Struk-
Arbeitsgruppe „Zieldifferenter Mathematik-
tur mehrstelliger Zahlen).
unterricht in der Grundschule" eingerichtet.
Ihr gehörten Lehrerinnen und Lehrer aus Theoretische Grundlage der hier vorliegen-
Grund- und Sonderschulen an. Aufgabe die- den Arbeitsergebnisse sind die von R. Kutzer
ser Arbeitsgruppe war zunächst der Vergleich und H. Probst ausgearbeiteten „Struktur-
der Lehrpläne und der Didaktiken beider bezogenen Aufgaben zur Überprüfung ma-
Schulformen. Mit dem Unterschied, daß an thematischer Einsichten (Teil 1 und 2)". Sie
Schulen für Lernbehinderte mehr Zeit für die versuchen konsequent - ohne Orientierung
Aneignung neuen Unterrichtsstoffes vorge- an äußeren Kriterien -, die individuelle Lern-
sehen ist, erbrachte der Vergleich keine wei- ausgangslage bezogen auf mathematische
teren gravierenden Differenzen. Lerninhalte zu bestimmen, um darauf auf-
bauend individuelle Förderung zu organisie-
In einer weiteren Phase der Arbeit der Grup-
ren.
pe wurden Unterrichtswerke analysiert, die
in Schulen für Lernbehinderte eingesetzt Wir hoffen, daß die Lehrerinnen und Lehrer
werden. Es zeigte sich dabei, daß insbeson- vor Ort anhand dieser diagnostischen Mate-
dere das Unterrichtswerk von Prof. Reinhard rialien mit einem vertretbaren Zeitaufwand
Kutzer uns wichtige Ansätze zu einem ver- den aktuellen Lernstand eines Kindes bezo-
änderten Unterricht bot. Der diesem Unter- gen auf mathematische Inhalte feststellen
richtswerk zugrundeliegende Leitgedanke können. In jedem Kapitel werden zunächst
einer mehrdimensionalen Lernproze- die höchsten Lernvoraussetzungen erfragt.
ßorganisation versucht konsequent, die Löst das Kind diese Aufgabenstellung, so
Struktur des Lerngegenstandes mit dem kann davon ausgegangen werden, daß in die-
Lernniveau des Kindes in Beziehung zu sem mathematischen Bereich keine Lern-
setzen. Sowohl in den Schulen für Lernbe- rückstände bestehen. Löst das Kind die Auf-
hinderte als auch in den Grundschulen, in gabe nicht, so wird in weiteren, in ihren An-
denen dieser Ansatz erprobt wurde", ermög- forderungen reduzierten Aufgabenstellungen,
lichte er eine Unterrichtsgestaltung, die es al- im Lernlevel absteigend der derzeitige Lern-
len Kindern erlaubte, wichtige mathemati- stand ermittelt.
sche Einsichten zu erwerben. In der folgen-
Bei den einzelnen Prüfaufgaben sind die Leh-
denden Zeit kam es zu häufigen Arbeitstref-
rerinnen und Lehrer nicht an feste Anweisun-
fen mit Prof. Reinhard Kutzer und Dr. Char-
gen gebunden. Es ist beabsichtigt und er-
lotte Zwack-Stier.
wünscht, daß das Kind auch während des
Im Jahre 1993 wurde a 1 die Arbeitsgruppe
„Tests" Lernfortschritte machen kann. Wie
„Zieldifferenter Mathematik-Unterricht"
bereits mehrfach erwähnt, war es uns wich-
durch das Ministerium für Bildung, Kultur
tig, eine enge Verzahnung zwischen Diagno-
und Wissenschaft der Wunsch herangetragen,
se und Förderung herzustellen. Im
ein Diagnostikum zu erstellen, damit Grund-
Anschluß an viele Prüfaufgaben haben wir
schüler mit deutlichen Schwächen im mathe-
uns deshalb bemüht, spezielle Fördervor-
matischen Bereich gezielt gefördert werden
schläge, die sich bereits vielfältig in der Pra-
können. Der Arbeitsgruppe war klar, daß ein
xis bewährt haben, für die einzelnen Bereiche
solches Diagnostikum eng verzahnt werden
zu formulieren. Sie sind ais eine mögliche
muß mit einer Didaktik. Diagnose und För-
Hilfestellung, keinesfalls als ausreichende
derung müssen, sollen sie für das einzelne
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oder für jedes Kind adäquate Vorgehens-
weise zu verstehen.
Wir erwarten, daß diese Veröffentli-
chung auch den Sonderschullehrerin-
nen und Sonderschullehrern, die mit der
Überprüfung lernschwacher Kinder in der
Grundschule befaßt;sind,, eine wichtige
Hilfe bei der Erstellung ihres Gutachtens
sein wird.
Unser besonderer Dank gilt Prof. DL Rein-
hard Kutzer, ohne dessen fachliche Bera-
tung und tatkräftige Unterstützung die Er-
stellung dieser Diagnostik nicht möglich
gewesen wäre.
Für die Arbeitsgruppe
Charlotte Zwack-Stier
Stephan Lehberger
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1 Eigenschaften

Merkmalblöcke

1.1 nach drei vorgegebenen Eigenschaften aussuchen

1.1.1 nach zwei vorgegebenen Eigenschaften aussuchen

1.1.2 nach einer vorgegebenen Eigenschaft aussuchen
Fördervorschlag zu 1.1.2
Merkmalblöcke

1.2 mit drei Eigenschaften bezeichnen
1.2.1 mit zwei Eigenschaften bezeichnen

Fördervorschlag zu 1.2.1

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Aufgabe 1.1 EIGENSCHAFTEN

Lernziel: Das Kind sucht Klötzchen mit drei vorgegebenen Eigenschaften
(Größe, Form und Farbe) aus einer Menge von Klötzchen aus.
Material: Kasten mit großen und kleinen Dreiecken, Quadraten, Rechtecken
und Kreisscheiben in den Farben rot, gelb, grün und blau
Handlungsanweisung: „Gib mir ein großes, blaues Dreieck!" (ein gelbes, kleines Quadrat....)
Mehrmals mit unterschiedlichen Begriffen wiederholen; dabei sollen
jeweils drei Merkmale kombiniert werden.
Evtl. helfen: „Da, ich hab' eines gefunden: Es ist groß, blau, dreieckig-
ein großes, blaues Dreieck."
Langsam sprechen: „Gib mir ein gelbes, kleines Quadrat!"
Auswertung
Das Lernziel ist erreicht, wenn das Kind Klötzchen nach den drei vorgegebenen Eigenschaf-
ten richtig aussucht (wobei die Entscheidungen auch sukzessiv fallen können: Das Kind
nimmt erst alle gelben, dann daraus alle kleinen Quadrate usw.) Notieren Sie die abgefragten
Kombinationen und die Lösung des Kindes. Lassen sich Lösungsmuster, Kompetenzen in
Teilbereichen und/oder systematische Schwierigkeiten erkennen?

wenn (+) (cid:198) Aufgabe 1.2

wenn (-) (cid:198) Aufgabe 1.1.1
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EIGENSCHAFTEN Aufgabe 1.1.1

Lernziel: Das Kind sucht Klötzchen mit zwei vorgegebenen Eigenschaf-
ten (Größe, Form oder Farbe) aus einer Menge von Klötzchen
aus.

Material: wie 1.1

Handlungsanweisung: „Gib mir ein großes Quadrat!" (rotes Rechteck ...)
Mehrmals mit unterschiedlichen Begriffen wiederholen; dabei
sollen jeweils zwei Merkmale kombiniert werden. Alle Formen
und Farben sollen mindestens einmal vorkommen.
Achten Sie auf systematische Schwierigkeiten (z.B. bei einer
bestimmten Form oder Farbe)!

Auswertung:
Das Lernziel ist erreicht, wenn das Kind Klötzchen nach den zwei vorgegebenen Eigen-
schaften richtig aussucht. Notieren Sie die Lösungen des Kindes! Lassen sich systemati-
sche Kompetenzen und Schwierigkeiten erkennen?

wenn (+) (cid:198) Aufgabe 1.1

wenn (-) (cid:198) Aufgabe 1.1.2

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