Dep. Matemática Pura. FCUP ´ALGEBRA LINEAR e GEOMETRIA ANALÍTICA

149 Pages·2009·1.25 MB·Portuguese

Dep. Matem´atica Pura. FCUP
´
ALGEBRA LINEAR e
´
GEOMETRIA ANALITICA
Resumo das aulas te´oricas e pr´aticas
1.o ano da licenciatura em Matem´atica, F´ısica
Astronomia
Ano lectivo de 2009/10
Jo˜ao Nuno Tavares
´
INDICE:
1 ALGA I. Um curso r´apido de ALGA apenas em R2 2
1.1 A´lgebra Linear em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Aplica¸c˜oes `a geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 ALGA I. A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica em R3 21
2.1 A´lgebra Linear em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 ALGA I. Espa¸cos vectoriais 46
3.1 Espa¸cos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Subespa¸cos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 ALGA I. Aplica¸c˜oes lineares. Isomorfismos lineares 57
4.1 Aplica¸c˜oes lineares. Isomorfismos lineares. Operadores lineares.
Funcionais lineares. O espa¸co dual V∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimens˜ao 61
5.1 Bases, coordenadas e dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 C´alculos com coordenadas. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Mudan¸cas de base e de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 ALGA I. Representa¸c˜ao matricial das aplica¸c˜oes lineares 79
6.1 Matriz de uma aplica¸c˜ao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 C´alculo do nu´cleo e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Matriz da composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.4 GL(n). Pontos de vista passivo e activo. . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5.1 Defini¸c˜ao e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1
2
6.5.2 Determinante de um produto . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.5.3 C´alculo da matriz inversa. Matriz adjunta . . . . . . . . . . 86
6.6 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.7 Determinante de um operador linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 ALGA I. Espa¸cos vectoriais com produto interno 92
7.1 Espa¸cos Euclideanos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.2 Espa¸cos Hermitianos (ou Unit´arios) complexos . . . . . . . . . . . 95
7.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.5 Bases ortonormadas num espa¸co vectorial com produto interno . . 99
7.6 M´etodo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . 100
7.7 Decomposi¸c˜ao ortogonal.
Teorema da aproximac¸˜ao ´optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.8 Aplica¸c˜oes. M´ınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.9 M´etodo dos m´ınimos quadrados. Aproximac¸˜aode dados por uma
recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.10 Transforma¸c˜oes ortogonais e unit´arias. Exemplos . . . . . . . . . . 112
7.11 Transforma¸c˜oes unit´arias em C2. Os grupos U(2) e SU(2) . . . . . 114
7.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8 ALGA I. Subespa¸cos invariantes. Subespa¸cos pr´oprios. Valores
pr´oprios 119
8.1 Conjuga¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2 Subespa¸cos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3 Valores e vectores pr´oprios de um operador linear. Operadores di-
agonaliz´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.4 C´alculo de valores e vectores pr´oprios . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.5 Sistemas dinˆamicos lineares discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.6 Nu´meros de Fibonacci. Nu´mero de ouro . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9 ALGA I. Operadores auto-adjuntos (sim´etricos e hermitianos).
Teorema espectral 136
9.1 Operadores auto-adjuntos (sim´etricos e hermitianos) . . . . . . . . 136
9.2 Teorema espectral
para operadores auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.3 Diagonaliza¸c˜ao de formas quadr´aticas reais . . . . . . . . . . . . . 141
9.4 Propriedades extremais dos valores pr´oprios . . . . . . . . . . . . . 143
9.5 Operadores comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1
9.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Referˆencias
1. T.M. Apostol: “Calculus, vol.1 e vol.2”. Xerox College Publishing Inter-
national Textbook series, 1969.
2. Postnikov M.: “Le¸cons de G´eom´etrie, vol.1 e 2”. E´ditions MIR,
Moscou,1981.
3. Banchoff T., Wermer J.. “Linear Algebra through Geometry”. UTM,
Springer-Verlag, New York, 1983.
4. Smith L.: “Linear Algebra”. UTM, Springer-Verlag, New York, 1978.
5. Curtis C.W.: “Linear Algebra, An Introductory Approach”. UTM,
Springer-Verlag, New York, 1974.
6. Lipschutz S.: “Linear Algebra”. Schaum’s Outline Series. McGraw-Hill
Book Company,1968.
7. Hern´andezE.: “A´lgebrayGeometr´ıa”(2.aedicion). Addison-Wesley/Universidad
Aut´onoma de Madrid, 1994.
M´odulo 1
ALGA I. Um curso r´apido
2
de ALGA apenas em R
Neste primeiro m´odulo vamos retomar alguns conceitos aprendidos no ensino se-
cund´ario, e fazer uma ponte para os assuntos mais sofisticados que precisamos de
aprender na disciplina de ALGA. Tentamos por agora usar as nota¸c˜oes que s˜ao
mais familiares ao leitor.
Contents
1.1 A´lgebra Linear em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Aplica¸co˜es `a geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
(cid:73) Palavras chave
Vectores. R2 como espa¸co vectorial real. Subespa¸cos . Dependˆencia e in-
depˆendencia linear. Base can´onica. Bases, coordenadas e dimens˜ao. Aplica¸c˜oes
Lineares. Matriz de uma aplica¸c˜ao linear. Determinantes. Valores e vectores
pr´oprios.
Geometria Euclideana em R2. Produto interno (euclideano). Norma (eu-
clideana). Aˆngulo. Ortogonalidade. Rectas vectoriais e afins. Projec¸c˜ao ortogo-
nal. Interpreta¸c˜ao geom´etrica de det e de detA. Reflex˜oes numa recta. Trans-
forma¸c˜oes ortogonais em R2. Os grupos O(2) e SO(2).
(cid:73) Nota¸c˜oes
x,y,u,v,w... vectores, em vez de (cid:126)x,(cid:126)y,(cid:126)u,(cid:126)v,...
a,b,c,...,λ,η,µ,ξ,... escalares, isto ´e, nu´meros reais (para j´a).
(cid:73) Nu´mero de aulas
2 te´oricas e 2 te´orico-pr´aticas.
(cid:73) Objectivos
Umforteintui¸c˜aogeom´etricasobreosprincipaisconceitosdaALGA.Resolver
os sistenmas que aparecem obrigatoriamente pelo m´etodo de elimina¸c˜ao de
Gauss.
2
1.1. A´lgebra Linear em R2 3
1.1 A´lgebra Linear em R2
Vectores
(cid:73) 1.1 Um vector x em R2 ´e por defini¸c˜ao um par ordenado de nu´meros reais,
representado,ounaformax=(x ,x ),oudispostossegundoumamatriz-coluna
1 2
de duas linhas: (cid:181) (cid:182)
x
x= 1
x
2
Os nu´meros reais x , i = 1,2, dizem-se as componentes do vector x ∈ R2.
(cid:181)i (cid:182)
x
Geom`etricamente x= 1 ser´a representado como na figura seguinte:
x
2
R2 como espa¸co vectorial real
(cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182)
x y
(cid:73) 1.2 Dadosdoisvectoresx= 1 ey= 1 , emR2, define-searespec-
x y
2 2
tiva soma vectorial, como sendo o vector x+y, dado por:
(cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182)
x y x +y
x+y= 1 + 1 = 1 1
x y x +y
2 2 2 2
Geom`etricamente x+y ´e obtido atrav´es da seguinte regra do paralelogramo:
(cid:181) (cid:182)
x
(cid:73) 1.3 Dado um vector x= 1 em R2, e um escalar (i.e., um nu´mero real)
x
2
λ ∈ R, define-se a multiplica¸c˜ao do escalar λ pelo vector x, como sendo o
vector λx dado por:
(cid:181) (cid:182)
λx1
λx=
λx2
(cid:73) 1.4 E´ f´acilprovarqueasduasopera¸c˜oesdefinidasanteriormente, satisfazemas
propriedades seguintes:
[EV1]. x+y=y+x (1.1.1)
[EV2]. (x+y)+z=x+(y+z) (1.1.2)
[EV3]. 0+x=x+0=x ∀x∈R2 (1.1.3)
[EV4]. ∀x,∃(−x):x+(−x)=0 (1.1.4)
[EV5]. λ(x+y)=λx+λy (1.1.5)
[EV6]. (λ+η)x=λx+ηx (1.1.6)
[EV7]. λ(ηx)=(λη)x (1.1.7)
[EV8]. 1x=x (1.1.8)
(cid:181) (cid:182)
0
onde x,y,z∈R2, λ,η ∈R, 0= ´e o vector nulo de R2, e −x=(−1)x.
0
Por isso, diz-se que R2 ´e um espa¸co vectorial real.
1.1. A´lgebra Linear em R2 4
(cid:73) Exerc´ıcio 1.1 ... Demonstre as 8 propriedades (2.1.1) a (1.1.8).
Subespa¸cos
(cid:73) 1.5 Um subconjunto S ⊆ R2 diz-se um subespa¸co vectorial de R2, se S ´e
fechado relativamente `as opera¸c˜oes de soma de vectores e de multiplica¸c˜ao de
escalares por vectores, i.e.:
• Sex,y∈S tamb´em x+y∈S (1.1.9)
• Seλ∈R,e x∈S tamb´em λx∈S (1.1.10)
Em R2 os subespa¸cos s˜ao de dois tipos:
• triviais: S={0} e S=R2
• n˜ao triviais: S={λv : λ∈R}, onde v (cid:54)=0, que representa uma recta que
passa na origem, gerada por v(cid:54)=0.
(cid:73) Exerc´ıcio 1.2 ... Diga quais dos seguintes conjuntos s˜ao subespa¸cos vectoriais de
R2 :
(cid:169) (cid:170) (cid:169) (cid:170)
a) A= (x,y)∈R2 :x=y ; e) E= (x,y)∈R2 :3x−y=1 ;
(cid:169) (cid:170) (cid:169) (cid:170)
b) B= (a,−a)∈R2 :a∈R ; f) F= (x,y)∈R2 :|x+2y|=3 ;
(cid:169) (cid:170)
c) C= (x,y)∈R2 :x+y(cid:54)=2 ; g) G={(b,2a+b):a,b∈R}.
(cid:169) (cid:170)
d) D= (x,y)∈R2 :x+5y=0 ; g) H={(b,2a+1):a,b∈R}.
Combina¸c˜ao linear
(cid:73) 1.6 Um vector x ∈ R2 diz-se uma combina¸c˜ao linear dos vectores a e b de
R2 se existirem escalares λ,η ∈R tais que:
x=λa+ηb (1.1.11)
Oconjuntodetodasascombina¸c˜oes linearesdosvectoresaeb,isto´e,detodos
osvectoresdaformaλa+ηb,ondeosescalaresλ,η ∈Rs˜aoarbitr´arios,chama-se
o espa¸co gerado por a e b e representa-se por span{a,b}:
span{a,b}={λa+ηb: λ,η ∈R} (1.1.12)
(cid:73) Exerc´ıcio 1.3 ... Em cada uma das al´ıneas que se seguem, verifique se x ∈
span{a,b}:
a) x=(1,0), a=(1,1), e b=(0,1); b) x=(2,1), a=(1,−1), e b=(1,1);
c) x=(1,0), a=(1,1), e b=(2,2); d) x=(1,1), a=(2,1), e b=(−1,0);
e) x=(4,3), a=(1,−1), e b=(−2,2). f) x=(0,0), a=(2,−1), e b=(−4,2);
(cid:73) Exerc´ıcio 1.4 ... Em cada um dos casos, calcule o subespa¸co gerado por a e b,
onde
a) a=(1,1),b=(2,2), em R2; b) a=((1,0),b=(5,0), em R2;
c) a=(2,−1),b=(1,0), em R2; d) a=(2,1),b=(0,0), em R2;
1.1. A´lgebra Linear em R2 5
Dependˆencia e independˆencia linear
(cid:73) 1.7 Dois vectores x e y em R2, dizem-se linearmente dependentes, se um
deles´emu´ltiploescalardooutro. Sex=0(ouy=0)ent˜aoxeys˜aolinearmente
dependentes. Geom`etricamente x e y s˜ao linearmente dependentes, sse eles s˜ao
colineares.
(cid:73) 1.8 DoisvectoresxeyemR2,dizem-selinearmente independentes,sen˜ao
s˜aolinearmentedependentes(oqueimplicaquex(cid:54)=0ey(cid:54)=0). Geom`etricamente
x e y s˜ao linearmente independentes, sse eles s˜ao n˜ao colineares.
Simbolicamente:
(x e y s˜ao linearmente independentes) ⇐⇒ (λx+ηy=0 =⇒ λ=η =0)
(cid:73) Exerc´ıcio 1.5 ... Verifique se os vectores que se seguem s˜ao linearmente depen-
dentes ou independentes:
a) (1,0), (2,−1) em R2; b) (1,1), (2,2) em R2;
c) (π,0), (0,1) em R2; d) (1,2), (2,3),(1,1) em R2;
Base can´onica
(cid:73) 1.9 Os vectores de R2:
(cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182)
1 0
e =i= e e =j=
1 0 2 1
s˜ao linearmente independentes, e tˆem a propriedade de que qualquer vector x =
(cid:181) (cid:182)
x
1 , se pode escrever como combina¸c˜ao linear de e e e . De facto:
x 1 2
2
(cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182)
x 1 0
x = 1 =x +x
x 1 0 2 1
2
= x e +x e (1.1.13)
1 1 2 2
Diz-se ent˜ao que C = {e ,e } ´e uma base (ordenada) - a base can´onica de
1 2
R2.
Bases, coordenadas, dimens˜ao
(cid:73) 1.10 Qualquer conjunto B = {u ,u } constitu´ıdo por dois vectores linear-
1 2
mente independentes, e que tˆem a propriedade de que qualquer vector x ∈ R, se
pode escrever como combinac¸˜ao linear de u e u :
1 2
x=x u +x u (1.1.14)
1 1 2 2
para certos escalares (u´nicos) x ,x ∈R, diz-se uma base de R2.
1 2
1.1. A´lgebra Linear em R2 6
(cid:73) 1.11 Todas as bases de R2 tˆem sempre dois elementos, e, por isso, diz-se que a
dimens˜ao (real) de R2 ´e 2:
Os escalares x ,x ∈ R, que surgem em (1.1.14), dizem-se as componentes
1 2
(ou as coordenadas) do vector x, na base B ={u ,u }. Neste caso escreve-
1 2
mos: (cid:181) (cid:182)
x
x=(x) ≡ 1 (1.1.15)
B x
2 B
(cid:73) Exerc´ıcio 1.6 ... Verifique se os conjuntos que se seguem, s˜ao ou n˜ao bases de
cada um dos espa¸cos vectoriais indicados em cada al´ınea. Calcule as coordenadas de
x=(1,−1) relativamente aos que s˜ao bases:
a) {(1,1),(3,1)} em R2; b) {(0,1),(0,−3)} em R2;
c) {(2,1),(1,−1),(0,2)} em R2; d) {(2,1),(0,0),(0,1)} em R2;
(cid:73) Exerc´ıcio 1.7 ... Calcule uma base de cada um dos subespa¸cos que se seguem, e
depois as coordenadas do vector u em cada uma das bases:
(cid:169) (cid:170)
a) S = (x,y)∈R2 :x+y=0 , u=(3,−3);
(cid:169) (cid:170)
b) S = (x,y)∈R2 :2x=−y , u=(4,−8);
Aplica¸c˜oes Lineares
(cid:73) 1.12 Uma aplica¸ca˜o A:R2 →R2 diz-se uma aplica¸c˜ao linear, se A preserva
as opera¸c˜oes que definem a estrutura vectorial de R2, i.e.:
A(x+y) = A(x)+A(y) (1.1.16)
A(λx) = λA(x) (1.1.17)
∀x,y∈R2, e ∀λ∈R.
(cid:73) 1.13 Dada uma aplica¸c˜ao linear A:R2 →R2 define-se:
• o nu´cleo de A:
kerA={x∈R2 : A(x)=0} (1.1.18)
• a imagem de A:
imA={y: A(x)=y∈R2, para algumx∈R2} (1.1.19)
(cid:73) Exerc´ıcio 1.8 ... Mostre que kerA e imA sa˜o subespa¸cos de R2.
(cid:73) Exerc´ıcio 1.9 ... Das aplica¸co˜es A : R2 −→ R2 que se seguem, indique aquelas
que s˜ao lineares. Relativamente a essas, calcule o respectivo nu´cleo e diga quais as que
s˜ao injectivas.
a) A:(x,y)(cid:55)−→(x+y,x−y) b) A:(x,y)(cid:55)−→(|x|,|y|)
c) A:(x,y)(cid:55)−→(x+1,x−y) d) A:(x,y)(cid:55)−→(0,x+y)
(cid:73) Exerc´ıcio 1.10 ... Mostre que uma aplica¸ca˜o linear A:R2 −→R2 fica completa-
mentedeterminadapelosvaloresqueassumenumabase. Maisconcretamente,se{e ,e }
1 2
´e uma base e se A(e )=f ,A(e )=f , onde f ,f sa˜o fixos de forma arbitr´aria, enta˜o
1 1 2 2 1 2
estes dados determinam de forma u´nica a imagem A(x) de um vector arbitr´ario.
1.1. A´lgebra Linear em R2 7
(cid:73) Exerc´ıcio 1.11 ... SabendoqueA´eumaaplica¸ca˜olinear,calculeemcadacasoa
imagem de um vector gen´erico:
a) Sendo A:R2 −→R2 e A(1,0)=(1,1) e A(0,1)=(1,−2);
b) Sendo A:R2 −→R2 e A(1,−1)=(1,2) e A(0,3)=(2,−2);
c) Sendo A:R2 −→R2 e A(2,1)=(−1,0) e A(−1,1)=(3,−2);
Matriz de uma aplica¸c˜ao linear
(cid:73) 1.14 Se B ={u ,u } ´e uma base fixa de R2, podemos escrever que:
1 2
A(u ) = au +bu (1.1.20)
1 1 2
A(u ) = cu +du (1.1.21)
2 1 2
A matriz:
(cid:181) (cid:182)
a c
A = (1.1.22)
b d
diz-se a matriz de A na base B, e nota-se por:
A=(A)
B
Se as coordenadas de um vector x ∈ R2, na base B = {u ,u }, s˜ao x =
(cid:181) (cid:182) 1 2
x
1 , i.e., se:
x
2 B
x=x u +x u
1 1 2 2
ent˜ao as coordenadas de A(x) na base B obtˆem-se da seguinte forma:
A(x) = A(x u +x u )
1 1 2 2
= x A(u )+x A(u )
1 1 2 2
= x (au +bu )+x (cu +du )
1 1 2 2 1 2
= (ax +cx )u +(bx +dx )u
1 2 1 1 2 2
(1.1.23)
o que significa que as coordenadas de A(x) na base B:
(cid:181) (cid:182)
y
(A(x)) = 1
B y
2 B
obtˆem-se matricialmente atrav´es de:
(cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182)(cid:181) (cid:182)
y a c x
1 = 1 (1.1.24)
y b d x
2 B 2 B
ou mais sucintamente:
(A(x)) =(A) (x) (1.1.25)
B B B
(cid:73) Exerc´ıcio 1.12 ... Emcadaumdosseguintescasosdetermineamatrizdaaplica¸ca˜o
linear A na base indicada e calcule kerA e imA:
A: R2 −→ R2
a). , na base C ={(1,0),(0,1)}
(x,y) (cid:55)−→ (3x−y,x+5y)
A: R2 −→ R2
b). , na base B={(1,1),(1,−1)}
(x,y) (cid:55)−→ (3x−y,x+5y)
A: R2 −→ R2
c). , na base B={(2,−1),(1,1)}
(x,y) (cid:55)−→ (3x,x+y)