Dep. Matemática FCUP ´ALGEBRA LINEAR e GEOMETRIA ANALÍTICA

250 Pages·2011·2.11 MB·Portuguese

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Dep. Matem´atica
FCUP
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ALGEBRA LINEAR e
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GEOMETRIA ANALITICA
Resumo das aulas te´oricas e pr´aticas
1.o ano da licenciatura em Matem´atica, F´ısica
Astronomia
Ano lectivo de 2010/2011
Jo˜ao Nuno Tavares
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INDICE:
1 Um curso r´apido de ALGA apenas em R2 1
1.1 A´lgebra Linear em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Aplica¸c˜oes `a geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica em R3 27
2.1 A´lgebra Linear em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Espa¸cos vectoriais 57
3.1 Espa¸cos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Subespa¸cos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 ALGA I. Aplica¸c˜oes lineares. Isomorfismos lineares 70
4.1 Aplica¸c˜oes lineares. Isomorfismos lineares. Operadores lineares.
Funcionais lineares. O espa¸co dual V∗ . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimens˜ao 74
5.1 Bases, coordenadas e dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 C´alculos com coordenadas. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Mudan¸cas de base e de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 ALGA I. Representa¸c˜ao matricial das aplica¸c˜oes lineares 95
6.1 Matriz de uma aplica¸c˜ao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1
2
6.2 C´alculo do nu´cleo e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Matriz da composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 GL(n). Pontos de vista passivo e activo. . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5.1 Defini¸c˜ao e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5.2 Determinante de um produto . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.5.3 C´alculo da matriz inversa. Matriz adjunta . . . . . . . . . 103
6.6 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.7 Determinante de um operador linear . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7 ALGA I. Espa¸cos vectoriais com produto interno 110
7.1 Espa¸cos Euclideanos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2 Espa¸cos Hermitianos (ou Unit´arios) complexos . . . . . . . . . . 113
7.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.5 Bases ortonormadas num espa¸co vectorial com produto interno . 119
7.6 M´etodo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . 119
7.7 Decomposi¸c˜ao ortogonal.
Teorema da aproximac¸˜ao ´optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.8 Aplica¸c˜oes. M´ınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.9 M´etododosm´ınimosquadrados. Aproximac¸˜aodedadosporuma
recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.10 Transforma¸c˜oes ortogonais e unit´arias. Exemplos . . . . . . . . . 134
7.11 Transforma¸c˜oes unit´arias em C2. Os grupos U(2) e SU(2) . . . . 135
7.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8 ALGAI.Subespa¸cosinvariantes. Subespa¸cospr´oprios. Valores
pr´oprios 142
8.1 Conjuga¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2 Subespa¸cos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.3 Valores e vectores pr´oprios de um operador linear. Operadores
diagonaliza´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4 C´alculo de valores e vectores pr´oprios . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.5 Sistemas dinˆamicos lineares discretos . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3
8.6 Nu´meros de Fibonacci. Nu´mero de ouro . . . . . . . . . . . . . . 153
8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9 ALGA I. Operadores auto-adjuntos (sim´etricos e hermitianos).
Teorema espectral 162
9.1 Operadores auto-adjuntos (sim´etricos e hermitianos) . . . . . . . 162
9.2 Teorema espectral
para operadores auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.3 Diagonaliza¸c˜ao de formas quadr´aticas reais . . . . . . . . . . . . 167
9.4 Propriedades extremais dos valores pr´oprios . . . . . . . . . . . . 171
9.5 Operadores comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10 ALGA I. C´onicas e qu´adricas afins 175
10.1 Par´abola, Elipse e Hip´erbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.2 Qu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.3 C´onicas e qu´adricas afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.4 Redu¸c˜ao `a forma can´onica da equa¸c˜ao geral de uma c´onica . . . 189
11 Quaterni˜oes e Rota¸c˜oes 197
11.1 Defini¸c˜oes e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.2 Rota¸c˜oes no espa¸co dos quaterni˜oes puros . . . . . . . . . . . . . 200
12 O homomorfismo SU(2)→SO(3). Parˆametros de Cayley-Klein209
12.1 Transforma¸c˜oes e matrizes hermitianas em C2. . . . . . . . . . . 209
12.2 Matrizes hermitianas de tra¸co nulo. Matrizes de Pauli . . . . . . 210
12.3 O homomorfismo SU(2)→SO(3). Parˆametros de Cayley-Klein . 213
13 Rota¸c˜oes infinitesimais. A´lgebra do momento angular 217
13.1 so(3) e su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.2 A´lgebra doo momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.3 Representa¸c˜oes de sl(2,C). Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
14 Geometria de Minkowski em R4 224
1
14.1 Produto escalar de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
14.2 Intervalo ou separa¸c˜ao espa¸co-temporal . . . . . . . . . . . . . . 226
4
14.3 Car´acter causal. Cones de Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.4 Cones temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
14.5 Linhas de universo de observadores inerciais . . . . . . . . . . . . 228
14.6 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
14.7 O espa¸co f´ısico de um observador inercial . . . . . . . . . . . . . 229
14.8 Desigualdade de Cauchy-Shwartz oposta, ˆangulo hiperb´olico . . . 229
14.9 Sistemas de coordenadas inerciais. O Factor de Lorentz . . . . . 233
14.10O Factor de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
15 OgrupodeLorentzO(1,3). OhomomorfismoSL(2,C)→SO(1,3)↑236
15.1 Transformac¸˜oes de Lorentz no
espa¸co de Minkowski R4. O grupo de Lorentz O(1,3) . . . . . . . 236
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ALGEBRA LINEAR e
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GEOMETRIA ANALITICA
Referˆencias bibliogr´aficas
1. T.M.Apostol: “Calculus,vol.1evol.2”. XeroxCollegePublishingInter-
national Textbook series, 1969.
2. Blyth T.S. and Robertson E.F.: “Basic Linear Algebra”. SUMS,
Springer-Verlag, New York, 2002.
3. Mansfield L.E.: “Linear Algebra with Geometric Applications”.
Marcel Dekker, Inc., 1976.
4. Postnikov M.: “Le¸cons de G´eom´etrie, vol.1 e 2”. E´ditions MIR,
Moscou,1981.
5. BanchoffT.,WermerJ.. “LinearAlgebrathroughGeometry”. UTM,
Springer-Verlag, New York, 1983.
6. Smith L.: “Linear Algebra”. UTM, Springer-Verlag, New York, 1978.
7. CurtisC.W.: “Linear Algebra, An Introductory Approach”. UTM,
Springer-Verlag, New York, 1974.
8. LipschutzS.: “Linear Algebra”. Schaum’sOutlineSeries. McGraw-Hill
Book Company,1968.
9. Hern´andezE.: “A´lgebrayGeometr´ıa”(2.aedicion). Addison-Wesley/Universidad
Aut´onoma de Madrid, 1994.
M´odulo 1
Um curso r´apido de ALGA
2
apenas em R
Neste primeiro m´odulo vamos retomar alguns conceitos ensinados no ensino
secund´ario,efazerumaponteparaosassuntosmaissofisticadosqueprecisamos
de aprender na disciplina de ALGA. Tentamos por agora usar as nota¸c˜oes que
s˜ao mais familiares ao leitor.
Contents
1.1 A´lgebra Linear em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Aplica¸co˜es `a geometria . . . . . . . . . . . . . . . . 23
(cid:73) Palavras chave
Vectores. R2 como espa¸co vectorial real. Subespa¸cos . Dependˆencia e in-
depˆendencia linear. Base can´onica. Bases, coordenadas e dimens˜ao. Aplica¸c˜oes
Lineares. Matriz de uma aplica¸c˜ao linear. Determinantes. Valores e vectores
pr´oprios.
Geometria Euclideana em R2. Produto interno (euclideano). Norma (eu-
clideana). Aˆngulo. Ortogonalidade. Rectas vectoriais e afins. Projec¸c˜ao or-
togonal. Interpreta¸c˜ao geom´etrica de det e de detA. Reflex˜oes numa recta.
Transforma¸c˜oes ortogonais em R2. Os grupos O(2) e SO(2).
(cid:73) Nota¸c˜oes
x,y,u,v,w... vectores, em vez de (cid:126)x,(cid:126)y,(cid:126)u,(cid:126)v,...
a,b,c,...,λ,η,µ,ξ,... escalares, isto ´e, nu´meros reais (para j´a).
(cid:73) Nu´mero de aulas
1
2
2 te´oricas e 2 te´orico-pr´aticas.
(cid:73) Objectivos
Um forte intui¸c˜ao geom´etrica sobre os principais conceitos da ALGA. Re-
solverossistemasqueaparecemobrigatoriamentepelom´etododeelimina¸c˜ao
de Gauss.
(cid:73) Site de apoio `a disciplina
http://www.fc.up.pt/cmup/alga
(cid:73) Site de apoio em temas de Matem´atica elementar
http://www.fc.up.pt/cmup/apoiomat
1.1. A´lgebra Linear em R2 3
1.1 A´lgebra Linear em R2
Vectores
(cid:73) 1.1 Um vector x em R2 ´e por defini¸c˜ao um par ordenado de nu´meros reais,
representado, ou na forma x = (x ,x ), ou dispostos segundo uma matriz-
1 2
coluna de duas linhas: (cid:181) (cid:182)
x
x= 1
x
2
Os nu´meros reais x , i=1,2, dizem-se as componentes do vector x∈R2.
(cid:181)i (cid:182)
x
Geom`etricamente x= 1 ser´a representado como na figura seguinte:
x
2
R2 como espa¸co vectorial real
(cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182)
x y
(cid:73) 1.2 Dados dois vectores x = 1 e y = 1 , em R2, define-se a
x y
2 2
respectiva soma vectorial, como sendo o vector x+y, dado por:
(cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182)
x y x +y
x+y= 1 + 1 = 1 1
x y x +y
2 2 2 2
Geom`etricamentex+y´eobtidoatrav´esdaseguinteregra do paralelogramo:
(cid:181) (cid:182)
x
(cid:73) 1.3 Dado um vector x = 1 em R2, e um escalar (i.e., um nu´mero
x
2
real) λ ∈ R, define-se a multiplica¸c˜ao do escalar λ pelo vector x, como
sendo o vector λx dado por:
(cid:181) (cid:182)
λx1
λx=
λx2
(cid:73) 1.4 E´ f´acil provar que as duas opera¸c˜oes definidas anteriormente, satisfazem
as propriedades seguintes:
[EV1]. x+y=y+x (1.1.1)
[EV2]. (x+y)+z=x+(y+z) (1.1.2)
[EV3]. 0+x=x+0=x ∀x∈R2 (1.1.3)
[EV4]. ∀x,∃(−x):x+(−x)=0 (1.1.4)
[EV5]. λ(x+y)=λx+λy (1.1.5)
[EV6]. (λ+η)x=λx+ηx (1.1.6)
[EV7]. λ(ηx)=(λη)x (1.1.7)
[EV8]. 1x=x (1.1.8)
1.1. A´lgebra Linear em R2 4
(cid:181) (cid:182)
0
onde x,y,z∈R2, λ,η ∈R, 0= ´e o vector nulo de R2, e −x=(−1)x.
0
Por isso, diz-se que R2 ´e um espa¸co vectorial real.
(cid:73) Exerc´ıcio 1.1 ... Demonstre as 8 propriedades (2.1.1) a (1.1.8).
Subespa¸cos
(cid:73) 1.5 Um subconjunto n˜ao vazio S ⊆ R2 diz-se um subespa¸co vectorial
de R2, se S ´e fechado relativamente `as opera¸c˜oes de soma de vectores e de
multiplicac¸˜ao de escalares por vectores, i.e.:
• Sex,y∈S tamb´em x+y∈S (1.1.9)
• Seλ∈R,e x∈S tamb´em λx∈S (1.1.10)
Em R2 os subespa¸cos s˜ao de dois tipos:
• triviais: S={0} e S=R2
• n˜ao triviais: S = {λv : λ ∈ R}, onde v (cid:54)= 0, que representa uma recta
que passa na origem, gerada por v(cid:54)=0.
(cid:73) Exerc´ıcio 1.2 ... Diga quais dos seguintes conjuntos s˜ao subespa¸cos vectoriais
de R2 :
(cid:169) (cid:170) (cid:169) (cid:170)
a) A= (x,y)∈R2 :x=y ; e) E= (x,y)∈R2 :3x−y=1 ;
(cid:169) (cid:170) (cid:169) (cid:170)
b) B= (a,−a)∈R2 :a∈R ; f) F= (x,y)∈R2 :|x+2y|=3 ;
(cid:169) (cid:170)
c) C= (x,y)∈R2 :x+y(cid:54)=2 ; g) G={(b,2a+b):a,b∈R}.
(cid:169) (cid:170)
d) D= (x,y)∈R2 :x+5y=0 ; g) H={(b,2a+1):a,b∈R}.
Combina¸c˜ao linear
(cid:73) 1.6 Um vector x ∈ R2 diz-se uma combina¸c˜ao linear dos vectores a e b
de R2 se existirem escalares λ,η ∈R tais que:
x=λa+ηb (1.1.11)
O conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares dos vectores a e b, isto ´e, de
todos os vectores da forma λa+ηb, onde os escalares λ,η ∈R s˜ao arbitr´arios,
chama-se o espa¸co gerado por a e b e representa-se por span{a,b}:
span{a,b}={λa+ηb: λ,η ∈R} (1.1.12)