Denkweisen großer Mathematiker: Ein Weg zur Geschichte der Mathematik

296 Pages·1990·10.6 MB·German

by  Herbert Meschkowski (auth.)

Herbert Meschkowski
Denkweisen großer Mathematiker
Geschichte der Mathematik ____- --....
~---_
Dokumente zur Geschichte der Mathematik
herausgegeben von w. Scharlau
Briefwechsel mit Cantor, Dedekind, Heimholtz,
Kronecker , Weierstraß und anderen
von R. Lipschitz
Analysis und Zahlentheorie
Vorlesung Hamburg 1920
von E. Hecke
Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen
Vorlesung Berlin 1878
von K. Weierstraß
Mathematische Institute in Deutschland 1800-1945
Ein Jahrhundert Mathematik 1890-1990
Festschrift zum Jubiläum der DMV
Denkweisen großer Mathematiker
Ein Weg zur Geschichte der Mathematik
von H. Meschkowski
Geschichte der Mathematik 1700-1900
Ein Abriß
herausgegeben von J. Dieudonne
Mathematik im Wandel der Kulturen
von H. L. Resnikoff / R. o. WeHs
______V ieweg ____________
~-- ~
Herbert Meschkowski
Denkweisen
großer Mathematiker
Ein Weg zur Geschichte der Mathematik
11
Vleweg
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Meschkowski, Herbert:
Denkweisen grosser Mathematiker: ein Weg
zur Geschichte der Mathematik / Herbert
Meschkowski. - Stark erw. und überarb.
Ausg. - Braunschweig: Vieweg, 1990
(Geschichte der Mathematik)
ISBN-13: 978-3-322-85074-4 e-ISBN-13: 978-3-322-85073-7
DOI: 10.1007/978-3-322-85073-7
Dieses Buch ist die stark erweiterte und überarbeitete Ausgabe des Werkes Denkweisen
großer Mathematiker, das 1961 in einer 1. und 1967 in einer 2., überarbeiteten Auflage
im Verlag Vieweg erschienen ist.
Das Bild des Schutzumschlags zeigt Euklid nach einem Relief am Dom zu Florenz
(Bildstelle des Deutschen Museums, München).
Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International.
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1990
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1990
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich
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lässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen,
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Verarbeitung in elektronischen Systemen.
ISBN-13: 978-3-322-85074-4
Vorwort
Lichtenberg, der geistreiche Spötter, hat über die Mathematiker einmal
gesagt:
Die Mathematik ist eine gar herrliche Wissenschaft, aber die Mathe
matiker taugen oft den Henker nicht. Es ist fast mit der Mathematik
wie mit der Theologie. So wie die der letztern Beflissenen, zumal wenn
sie in )fmtern stehen, Anspruch auf einen besondern Kredit von Heilig
keit und eine nähere Verwandtschaft mit Gott machen, obgleich sehr
viele darunter wahre Taugenichtse sind, so verlangt sehr oft der soge
nannte Mathematiker für einen tiefen Denker gehalten zu werden, ob es
gleich darunter die größten Plunderköpfe gibt, die man nur finden
kann, untauglich zu irgendeinem Geschäft, das Nachdenken erfordert,
wenn es nicht unmittelbar durch jene leichte Verbindung von Zeichen
geschehen kann, die mehr das Werk der Routine, als des Denkens sind. 1)
In diesem Buch soll gezeigt werden, daß die Mathematiker nicht alle "Plunder
köpfe" im Sinne Lichtenbergs sind. Gerade die Beschäftigung mit der Mathe
matik hat zu allen Zeiten zu originellem Denken angeregt; ja, man ist auf
diese Weise zu Erkenntnissen gekommen, die weit über die Mathematik
hinaus von hoher Bedeutung sind. Wir erinnern an die Folgerungen, die die
Pythagoreer aus der Existenz inkommensurabler Strecken gewonnen haben.
Weiter ist die Begründung der formalen Logik zu erwähnen und die moderne
Grundlagenforschung mit ihren erkenntnistheoretischen Aussagen. Auf der
anderen Seite haben Forscher wie Archimedes oder John von Neumann es
verstanden, die Einsichten einer formal interpretierten Mathematik für die
Lösung schwieriger technischer Probleme zu nutzen. Freilich, wenn man erst
herausgefunden hat, wie man das macht, können auch kleine Geister den
vorgegebenen Kalkül nutzen.
Die Denkweisen der Großen in der Mathematik sind durchaus verschieden.
Da gibt es Forscher, die die strenge Axiomatik lieben; andere schätzen die
schöpferische Intuition. In diesem Buch soll der Versuch gemacht werden,
die Denkweisen bedeutender Mathematiker, von der Pythagoreern bis zu den
Forschern des 20. Jahrhunderts, verständlich zu machen. Es werden For-
1) G. E. Lichtenberg, Tag und Dämmerung, Leipzig 1941, S. 305.
V
schungsergebnisse dargestellt, und meist kommen auch die Mathematiker
selbst zu Wort. Da aber das Buch für sich lesbar sein soll, konnten nur Bei
spiele ausgewählt werden, die einigermaßen elementar sind.
Die beiden ersten Auflagen dieses Buches hatten nur neun Kapitel. Es wurden
jetzt sechzehn weitere Beiträge hinzugefügt, u.a. über Euklid, Emmy Noether
und John von Neumann. Dem Verlag ist zu danken, daß auch die Ausstattung
erheblich verbessert werden konnte.
Für treue Hilfe bei der Herstellung des Manuskripts danke ich Frau Hildegard
Frey, Frau Anneliese Mallach und Herrn Christian Rose.
Berlin, im Dezember 1988 Herbert Meschkowski
VI
Inhaltsverzeichnis
I Die Pythagoreer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Der Orden . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Der Weg zu den "pythagoreischen Zahlen" ............ 4
3 Die Entdeckung der stetigen Teilung ................ 7
11 Euklid ..................................:... 17
1 Zur Biographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
2 Der Aufbau der "Elemente" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
3 Definitionen und Grundsätze ..................... 20
4 Euklidische Beweistechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
111 Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
1 Die Anwendbarkeit der Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . .. 25
2 Die Oberfläche der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
3 Ein heuristisches Verfahren ...................... 33
IV Nikolaus von Cues .............................. 37
Von der "wissenden Unwissenheit" ............. . . .. 37
2 Die Quadratur des Kreises ....................... 40
V Cardano und TartagIia: Kubische Gleichungen . . . . . . . . . . .. 45
1 Anfänge der Gleichungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
2 Zwei Mathematiker der Renaissance . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
3 Ein Gelehrtenstreit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50
4 über die Regel, die ein Negatives postuliert . . . . . . . . . . .. 53
VI Pierre de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
1 Der Amateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
2 Begründung der modemen Zahlentheorie ............. 56
3 Marginalien zu "Diophant" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
4 Extremalprobleme ............................ 61
VII Blaise Pascal .................................. 65
1 Der Weg eines Wunderkindes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65
VII
2 Das Prinzip der vollständigen Induktion .............. 67
3 "Vom geometrischen Beweis" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74
VIII Gottfried Wilhelm Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
1 Der Polyhistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
2 Das "harmonische Dreieck" ...................... 79
3 Die Leibnizsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83
4 Das "Unendliche Kleine" 85
IX Die Bruder Bemoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
1 Die Conqistadoren ............................ 89
2 Johann Bernoullis "Vorlesungen über Differentialrechnung". 92
3 Anfange der Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
4 Das "Gesetz der großen Zahlen" ................... 96
X Leonhard Euler ................................ 103
Die frühen Petersburger Jahre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
2 Die Berliner Jahre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105
3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107
4 Die zweite Petersburger Epoche. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110
5 "Vollständige Anleitung zur Algebra" . . . . . . . . . . . . . . .. 112
XI earl Friedrich Gauß ............................. 113
"Princeps Mathematicorum" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113
2 Analytischer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra ... 117
XII Bemard Bolzano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123
1 Zwischen Theologie und Mathematik . . . . . . . . . . . . . . .. 123
2 Beiträge zur mathematischen Grundlagenforschung . . . . . .. 126
3 Paradoxien des Unendlichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128
XIII Bolyai und Lobatschewsky: Nichteuklidische Geometrie ..... 133
1 Die Dissertation von Klügel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 133
2 Bolyai, Vater und Sohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 134
3 Das Bild auf der Briefmarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 139
4 Nikolai Lobatschewsky ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141
5 Der Parallelwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143
VIII
XIV Ernst Eduard Kummer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149
1 Von der Theologie zur Mathematik ................. 149
2 Das Fermatsche Problem .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 150
3 Kummer als Hochschullehrer ..................... 150
4 Eine Leibniz-Rede ............................ 151
xv
George Boote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155
1 Der Autodidakt .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155
2 Eine neue Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 159
3 Anwendung auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . .. 164
4 Boolesche Algebra heute ........................ 165
XVI Weierstraß und seine Schule 169
Arithmetisierung der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169
2 Ein Brief von H. A. Schwarz an Georg Cantor .......... 172
XVII Bernhard Riemann .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 175
Vita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175
2 Geometrische Funktionentheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 177
3 "Über die Hypothesen, welche der Geometrie
zu Grunde liegen" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 179
XVIII Georg Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 185
1 Ein umstrittenes "Paradies" .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 185
2 Ein Brief von Georg Cantor an F. Goldscheider ......... 189
3 Beispiel einer nicht abzählbaren Menge . . . . . . . . . . . . . .. 196
XIX Felix Klein ................................... 199
Universität und Schule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 199
2 Der Forscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201
3 Wissenschaft und Technik ....................... 203
4 Das Kleinsehe Modell der nichteuklidischen Geometrie .... 204
xx
Henri Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 211
1 Die mathematischen Physiker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 211
2 Die Uniformisierung ..................... _ . . . .. 212
3 Nichteuklidische Geometrie ...................... 215
IX
4 Das Poincare-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 218
5 Grundlagenfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 220
XXI David Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223
1 Mathematische Fantasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223
2 Lebensgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 224
3 Die "Grundlagen der Geometrie" . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226
4 Die "Neubegründung" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 229
5 Einwände .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233
XXII Erhard Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235
1 Der baltische Aristokrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235
2 Von Dorpat nach Berlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 236
3 Die Rektoratsrede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 237
4 Beiträge zur Forschung ......................... 242
XXIII Luitzen Egbertus Jan Brouwer ...................... 245
1 Der Vorläufer ............................... 245
2 Beiträge zur Topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 246
3 Der Intuitionismus .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 248
4 Auseinandersetzung mit Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 251
5 Der "Krieg der Frösche und der Mäuse" . . . . . . . . . . . . .. 252
6 Konstruktive Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253
XXN Emmy Noether ................................ 255
1 Frauen in der Mathematik ....................... 255
2 Lebensgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 258
3 "Moderne Algebra" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 260
4 Rationale Funktionenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261
xxv John von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 265
1 "Doctor miraculus" ........................... 265
2 Der Brief an Zermelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 268
3 Axiomatisierung der Mengenlehre .................. 273
4 Rechentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 277
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279
Bildquellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 286
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