Déformations de bigèbres de Lie

20 Pages·2011·0.347 MB·French

by  Anthony Mansuy

Déformations de bigèbres de Lie
Anthony Mansuy
Laboratoire de Mathématiques, Université de Reims
Moulin de la Housse - BP 1039 - 51687 REIMS Cedex 2, France
e-mail : [email protected]
Juin 2011
Table des matières
1 Topologie h-adique 1
2 Déformations formelles 6
2.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Théorie cohomologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Structure de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Le groupe quantique U (sl(2,k)) 16
h
1 Topologie h-adique
Rappels sur les limites projectives.
Un système projectif de groupes abéliens (A ,p ) est une famille (A ) de groupes
n n n≥0 n n≥0
abéliens et de morphismes de groupes (p : A → A ) . Étant donné un tel système, on
n n n−1 n>0
peut définir la limite projective notée limA par
←− n
 
 Y 
limA = (x ) ∈ A | p (x ) = x , ∀n > 0 .
←− n n n≥0 n n n n−1
 
n≥0
Q Q
C’estunsous-groupedugroupe A .Laprojectionnaturellede A surA serestreint
n≥0 n n≥0 n k
en un morphisme de groupe π : limA → A , définit par π ((x ) ) = x . Si p est surjective
k ←− n k k n n k n
∀n, alors les applications π sont aussi surjectives.
n
Par définition de la limite projective, nous avons : ∀n > 0,
p ◦π = π .
n n n−1
Nous avons la propriété universelle suivante :
Proposition 1 Pour tout groupe abélien C et pour toute famille (f : C → A ) de
n n n≥0
morphismes de groupes tels que p ◦f = f , ∀n > 0, il existe un unique morphisme de groupe
n n n−1
f : C → limA tel que π ◦f = f , ∀n ≥ 0.
←− n n n
Q
Preuve. La famille (f ) définie un unique morphisme f : C → A . Par hypothèse,
n n≥0 n≥0 n
p ◦f = f , donc l’image de f est un sous-groupe de limA . Cela prouve l’éxistence et la
n n n−1 ←− n
1
2 ANTHONY MANSUY
condition π ◦f = f implique l’unicité. 2
n n
On peut définir un morphisme d’un système projectif (A ,p ) dans un autre système
n n n≥0
projectif (A0 ,p0 ) comme une famille (f : A → A0 ) de morphismes de groupes telle que
n n n≥0 n n n n≥0
p0 ◦f = f ◦p , ∀n > 0.
n n n−1 n
Proposition 2 Sous les hypothèses précédentes, il existe un unique morphisme de groupes
f = limf : limA → limA0
←− n ←− n ←− n
tel que π0 ◦f = f ◦π , pour tout n ≥ 0.
n n n
Preuve. La famille (f ◦π : limA → A0 ) satisfait aux hypothèses de la proposition 1.
n n ←− n n n≥0
Alors il existe un unique morphisme f tel que π0 ◦f = f ◦π , pour tout n ≥ 0. 2
n n n
Remarques.
1. Il est possible de composer les morphismes de systèmes projectifs, et on obtient
(limf )◦(limg ) = limf ◦g .
←− n ←− n ←− n n
2. La limite projective d’un système projectif (A ,p ) possède une topologie naturelle,
n n n≥0
appelée la topologie de la limite projective. On la définie comme suit : pour tout n ≥ 0,
on munit A de la topologie discrète; la topologie de la limite projective sur limA est
n ←− n
Q
la topologie induite de la topologie produit sur A . Par définition, les applications
n≥0 n
π : limA → A sont continues. De plus, une application f d’un espace topologique dans
k ←− n k
limA estcontinuesietseulementsilesapplicationsπ ◦f àvaleursdansA sontcontinues
←− n n n
pour tout n ≥ 0.
3. On peut remplacer dans tout ce qui précède "groupe abélien" par "anneau", "module" ...
Soit k un corps. On notera K = k[[h]] l’algèbre des séries formelles à une indéterminée h.
C’est une k-algèbre commutative, intègre et locale, avec comme unique idéal maximal l’idéal (h)
engendré par h.
Soit n > 0. Notons K = k[h]/(hn), et π : K → K la surjection qui, à une série formelle
n n n
P a hk associe la classe Pn−1a hk modulo (hn). Son noyau est l’idéal (hn) engendré par hn
k≥0 k k=0 k
dans K. Alors π induit un isomorphisme d’algèbres
n
k[[h]]/(hn) ∼= k[h]/(hn). (1)
Pour tout n > 0, notons p : K → K la surjection canonique, de sorte que l’on peut
n n n−1
considérerlesystèmeprojectifd’algèbres (K ,p ) etlimK la limiteprojective. Remarquons
n n n≥0 ←− n
quep ◦π = π ,∀n > 0.Laproposition1permetdemontrerqu’ilexisteununiquemorphisme
n n n−1
d’algèbres π : K → limK tel que la composition avec la projection de limK sur K soit égale
←− n ←− n k
à π . Alors on a la
k
Proposition 3 L’application π : K → limK est un isomorphisme d’algèbres.
←− n
Preuve. π est injective car son noyau, qui est l’intersection de tous les idéaux (hn), est nul.
Pour la surjectivité, considérons (f ) un élément ∈ limK . Par définition, f ∈ K et
n n≥0 ←− n n n
admet un représentant de la forme f = Pn−1a(n)hk modulo (hn). De plus, p (f ) = f ,
n k=0 k n n n−1
∀n > 0. Ainsi, a(n) = a(n−1), ∀k ∈ {0,...,n−2}. Posons f = P a hn ∈ K, avec a défini
k k n≥0 n n
par a = a(n+2) = a(n+3) = .... Alors π(f) = f . 2
n n n n
DÉFORMATIONS DE BIGÈBRES DE LIE 3
La proposition 3 permet de munir K de la topologie de la limite projective, appelée topo-
logie h-adique. Comme {0} est un ouvert de l’ensemble discret K , la famille (cid:0)π−1({0})(cid:1) =
n n n≥0
((hn)) estunebasedevoisinageouvertde0dansK pourlatopologieh-adique.Onpeutalors
n≥0
montrerquelatopologieh-adiqueestunetopologiedéfinieparunemétrique:∀f = P a hn ∈
n≥0 n
K, on pose
(cid:26)
n si a 6= 0 et a = 0,∀k < n,
w(f) = n k
+∞ si f = 0.
Alors (hn) = {f ∈ K | w(f) > n−1}. On a T (hn) = {0}, et ∀f,g ∈ K,
n≥0
w(f +g) ≥ min(w(f),w(g).
Posons, ∀f ∈ K, | f |= 2−w(f), et | 0 |= 0. Alors nous avons le lemme suivant, dont la démons-
tration est triviale :
Lemme 4 Pour tout f,g ∈ K, | f |= 0 ⇔ f = 0, | −f |=| f |, et | f +g |≤| f | + | g |.
Corollaire 5 Posons d(f,g) =| f −g |, ∀f,g ∈ K. Alors d est une distance ultrametrique
sur K, c’est-à-dire : ∀f,g,h ∈ K,
1. d(f,g) = d(g,f),
2. d(f,g) = 0 ⇔ f = g,
3. d(f,h) ≤ max(d(f,g),d(g,h)).
Ainsi (K,d) est un espace métrique. Il est évident que la famille d’idéaux ((hn)) est une
n≥0
base de voisinages ouverts de 0 pour cette métrique. La topologie associée à la distance d est
donc équivalente à la topologie h-adique.
SoitM unmoduleàgauchesurl’algèbreK.Considéronslafamille(hnM) desousmodules
n≥0
et les projections K-linéaires canoniques
p : M = M/hnM → M = M/hn−1M.
n n n−1
La famille (M ,p ) forme un système projectif de K-modules, et on peut considérer la limite
n n n≥0
projective
M = limM
h ←− n
quiaunestructurenaturelledeK-module.M aunetopologienaturelle,latopologiedelalimite
h
projective avec, comme précédemment, (hnM ) une famille de sous-modules qui est une base
h n≥0
de voisinages ouverts de 0. On dit que M est la complétion h-adique de M.
h
Les projections i : M → M induisent une unique application K-linéaire i : M → M telle
n n h
que π ◦i = i , ∀n. On a Ker(i) = T hnM.
n n n>0
Définition 6 1. Un K-module M est séparé si i est injective.
2. Il est complet si i est surjective.
Remarques. Pour tout module M, le module M/(T hnM) est séparé, et la complétion
n>0
M estcomplète.Eneffet,considéronsπ : M → M ,denoyauhnM ,quiinduitl’isomorphisme
h n h n h
de modules M /hnM ∼= M . En prenant la limite projective, on obtient que (M ) = M , ce
h h n h h h
qui prouve que M est complet.
h
Tout K-module séparé complet peut être munit de la topologie h-adique, provenant de la
∼
topologie de la limite projective sur M via l’isomorphisme M = M .
h h
4 ANTHONY MANSUY
DécrivonsunexempleimportantdeK-moduleséparéetcomplet.SoitV unk-espacevectoriel,
V[[h]] l’ensemble des séries formelles P v hn, où (v ,v ,...) est une famille infinie d’éléments
n≥0 n 0 1
de V. On peut munir V[[h]] d’une structure de K-module à gauche avec les formules
P v hn+P w hn = P (v +w )hn,
n≥0 n n≥0 n n≥0 n n
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (2)
P a hn · P v hn = P P a v hn,
n≥0 n n≥0 n n≥0 p+q=n p q
où P a hn ∈ K et P v hn,P w hn ∈ V[[h]]. Un K-module de cette forme est appelé
n≥0 n n≥0 n n≥0 n
un module topologiquement libre.
Proposition 7 Tout module topologiquement libre est séparé et complet.
Preuve. Par définition, hnV[[h]] est un sous-module formé de tout les éléments P v hn
n≥0 n
tels que v = ... = v = 0. Donc l’intersection de tous ces sous-modules est nulle. Cela
0 n−1
implique que V[[h]] est séparé.
Une preuve analogue à celle de la proposition 3 montre que V[[h]] est isomorphe à la limite
projective de la famille (V[[h]]/hnV[[h]],p ) . 2
n n>0
Remarques. Comme dans le cas V = k, la topologie h-adique sur V[[h]] induit par la
topologie de la limite projective peut être définie par une métrique construite de la même façon
que pour K.
Proposition 8 1. Soit {e } une base de l’espace vectoriel V. Alors le K-sous-module
i i∈I
engendré par la famille {e } est dense dans V[[h]] pour la topologie h-adique.
i i∈I
2. Pour tout K-module séparé complet N, il y a une bijection naturelle
∼
Hom (V[[h]],N) = Hom (V,N),
K k
où Hom (V[[h]],N) est l’espace des applications K-linéaires.
K
Remarques. Une application K-linéaire f : M → N entre deux K-modules séparés et
complets est toujours continue pour la topologie h-adique car f(hnM) est inclu dans hnN par
K-linéarité.
Preuve.
1. Soit W le sous-module de V[[h]] engendré par l’ensemble {e } . Considérons un élément
i i∈I
f = P v hn ∈ V[[h]]. On doit montrer que, pour tout n > 0, il existe un élément
n≥0 n
f ∈ W tel que f − f ∈ hnV[[h]]. On construit f comme suit : tout d’abord on écrit
n n
f = Pn−1v hk; f −f ∈ hnV[[h]]; il reste à montrer que f ∈ W : comme {e } est
n k=0 k n n i i∈I
une base de W,
n−1 ! n−1 !
f = X Xλ(k)e hk = X Xλ(k)hk e ∈ W,
n i i i i
k=0 i∈I i∈I k=0
(k)
où λ est une famille presque nulle d’éléments de k.
i
2. Soit f une application K-linéaire continue de V[[h]] dans N. En considérant V comme
l’espacedessériesformellesconstantesdansV[[h]],onpeutrestreindref enuneapplication
k-linéaire de V dans N.
Réciproquement, soit g une application k-linéaire de V dans N. On peut l’étendre en une
application K -linéaire g de V[[h]]/hnV[[h]] dans N/hnN par
n n
n−1 ! n−1
X X
g v hk ≡ g (v )hk (mod hnN).
n k n k
k=0 k=0
DÉFORMATIONS DE BIGÈBRES DE LIE 5
En prenant la limite projective, on définit une application K-linéaire g entre les limites
∞
projectives correspondantes. Comme V[[h]] et N sont séparés et complets, on obtient une
application, encore notée g , de V[[h]] dans N. Cette application se restreint à g sur V.
∞
2
Rappelons qu’un K-module M est sans torsion si hm 6= 0 lorsque m est un élément non nul
quelconque de M.
Proposition 9 Un K-module à gauche est topologiquement libre si et seulement si il est
séparé, complet et sans torsion.
Preuve. Par la proposition 7, on sait que tout module topologiquement libre est complet et
séparé. La formule (2) montre qu’il est aussi sans torsion.
Réciproquement, soit M un module séparé, complet et sans torsion. Montrons que M est de
la forme V[[h]]. Soit V un sous-espace vectoriel de M supplémentaire de hM. Comme il est sans
torsion, on a : hnM = hnV ⊕hn+1M, ∀n ≥ 0. Ainsi,
M/hnM = V ⊕hV ⊕...⊕hn−1V = V[[h]]/hnV[[h]].
En prenant les limites projectives et en utilisant le fait que M et V[[h]] sont séparés et complets,
on obtient :
M ∼= limM/hnM = limV[[h]]/hnV[[h]] ∼= V[[h]].
←− ←−
2
∼
Remarques. V[[h]] = V ⊗ k[[h]] si et seulement si V est de dimension finie. Si V est de
dimension infinie, V[[h]] est strictement plus grand que V ⊗k[[h]] : on peut prendre une famille
infinie (en)n∈N de vecteurs linéairements indépendants, et alors l’élément Pn≥0enhn ∈ V[[h]],
mais ∈/ V ⊗k[[h]].
Soit M, N deux modules à gauche sur l’algèbre K. Considérons le K-module M⊗ N défini
K
par
M ⊗ N = M ⊗N/ < fm⊗n−m⊗fn | f ∈ K,m ∈ M,n ∈ N > .
K
Définition 10 Le produit tensoriel topologique M⊗˜N de M et N est la completion h-adique
de M ⊗ N :
K
M⊗˜N = (M ⊗ N) = lim(M ⊗ N)/hn(M ⊗ N).
K h ←− K K
Pardefinition,leproduittensorieltopologiquededeuxmodulesesttoujourscomplet.Notons
m⊗˜nl’imagedem⊗nparM⊗N → M⊗ N → M⊗˜N.Lesous-espaceengendréparleséléments
K
m⊗˜n dans M⊗˜N est dense dans M⊗˜N. On a les K-isomorphismes suivants :
(M⊗˜N)⊗˜P ∼= M⊗˜(N⊗˜P),
M⊗˜N ∼= N⊗˜M,
K⊗˜M ∼= M⊗˜K ∼= M.
Étant données f : M → M0 et g : N → N0, on peut définir l’application K-linéaire f⊗˜g :
M⊗˜N → M0⊗˜N0.
Proposition 11 Si M,N sont deux modules topologiquement libres, alors M⊗˜N aussi. Plus
précisément, on a :
V[[h]]⊗˜W[[h]] = (V ⊗W)[[h]].
6 ANTHONY MANSUY
Preuve. Pour tout K-module M, les applications
M ⊗ K → M ⊗ K/hnK → M/hnM
K n K
sont des isomorphismes, le premier étant donné par (1), le deuxième par m⊗f 7→ fm (l’inverse
étant m 7→ m⊗1). Appliquons cela à M ⊗ N où M = V[[h]] et N = W[[h]],
K
(M ⊗ N)/hn(M ⊗ N) ∼= (M ⊗ N)⊗ K
K K K K n
∼
= (M ⊗ K )⊗ (N ⊗ K )
K n Kn K n
∼= (M/hnM)⊗ (N/hnN)
Kn
∼
= (V ⊗K )⊗ (W ⊗K )
n Kn n
∼
= (V ⊗W)⊗K
n
∼= (V ⊗W)[[h]]/hn(V ⊗W)[[h]]
Par passage à la limite projective, on obtient le résultat. 2
Pour la définition d’une algèbre de Hopf, on pourra par exemple consulter [1].
Définition 12 1. Une algèbre de Hopf topologique sur K = k[[h]] est un sextuplet
(A ,µ ,η ,∆ ,ε ,S ) où A est un module sur K, µ : A ⊗˜A → A , η : K → A ,
h h h h h h h h h h h h h
∆ : A → A ⊗˜A , ε : A → K et S : A → A des applications K-linéaires telles que :
h h h h h h h h h
 µ ◦(µ ⊗˜id ) = µ ◦(id ⊗˜µ )
 (µihhdA◦h(⊗η˜hh∆⊗˜hi)d◦AAhh∆)h==id(hA∆hh=⊗˜iµAdhAhh◦)(◦ihd∆Ahh⊗˜ηh)
(ε ⊗˜id )◦∆ = id = (id ⊗˜ε )◦∆
h Ah h Ah Ah h h
 ∆h◦µh = (µh⊗˜µh)◦(idAh⊗˜τh⊗˜idAh)◦(∆h⊗˜∆h)
 ε ◦µ = ε ·ε
 h h h h

 µ ◦(S ⊗˜id )◦∆ = µ ◦(id ⊗˜S )◦∆ = η ◦ε
h h Ah h h Ah h h h h
où τ : A ⊗˜A → A ⊗˜A défini par τ (a⊗b) = b⊗a pour tout a,b ∈ A.
h h h h h h
2. Un morphisme f : (A ,µ ,η ,∆ ,ε ,S ) → (A0 ,µ0 ,η0,∆0 ,ε0 ,S0) d’algèbres de Hopf
h h h h h h h h h h h h h
topologiques est une application K-linéaire telle que
f ◦µ = µ0 ◦(f ⊗˜f ), (f ⊗˜f )◦∆ = ∆0 ◦f , f ◦η = η0, ε0 ◦f = ε , f ◦S = S0◦f .
h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h
On pourra adapter cette définition pour les notions d’algèbres, de cogèbres et de bigèbres
topologiques.
2 Déformations formelles
2.1 Définitions et premières propriétés
Définition 13 1. Une déformation d’algèbre de Hopf (A,µ,η,∆,ε,S) sur un corps k est
une algèbre de Hopf topologique (A ,µ ,η ,∆ ,ε ,S ) sur l’algèbre K telle que :
h h h h h h
(a) A est isomorphe à A[[h]] comme K-module.
h
(b) µ ≡ µ (mod h) et ∆ ≡ ∆ (mod h).
h h
2. Deux déformations A et A0 sont équivalentes s’il existe un isomorphisme f : A → A0
h h h h h
d’algèbres de Hopf topologiques égal à l’identité (mod h).
DÉFORMATIONS DE BIGÈBRES DE LIE 7
Sif : A → A0 estuneéquivalence,onécriraA0 = f ∗A .Remarquonsqueg ∗(f ∗A ) =
h h h h h h h h h
(g f )∗A .
h h h
De manière analogue, on peut définir la notion de déformation d’algèbre, de cogèbre ou de
bigèbre.
Remarques. Comme µ et ∆ sont des applications K-linéaires, on sait avec le deuxième
h h
point de la proposition 8 qu’elles sont déterminées par leurs restrictions à A ⊗ A et A. Alors
∀a,a0 ∈ A,
µ (a⊗a0) = µ(a⊗a0)+µ (a⊗a0)h+µ (a⊗a0)h2+...
h 1 2
∆ (a) = ∆(a)+∆ (a)h+∆ (a)h2+...
h 1 2
où µ : A⊗A → A, ∆ : A → A⊗A sont des applications k-linéaires. Dans la suite, notons
i i
µ = µ et ∆ = ∆. On a alors les deux formules suivantes :
0 0
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
µ P a hp,P b hq = P P µ (a ,b ) hn,
h p p q q n p+q+r=n r p q
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
∆ P a hp = P P ∆ (a ) hn.
h p p n p+q=n p q
Définition 14 On appelle déformation formelle constante la déformation formelle de A ob-
tenue simplement en étendant par K-linéarité les morphismes de structure de A, c’est-à-dire en
prenant µ = 0, ∆ = 0, ∀n ≥ 1.
n n
Une déformation formelle est dite triviale si elle est équivalente à la déformation formelle
constante.
Remarquons que dans la définition 13 on ne mentionne pas la notion d’unité, de counité et
d’antipode de A . Ceci est justifié par les deux propositions suivantes :
h
Proposition 15 Supposons ici que A est une algèbre.
1. L’élément unité 1 de A est aussi élément unité pour une déformation formelle (A ,µ ) si
h h
et seulement si ∀n > 0, ∀a ∈ A,
µ (a⊗1) = µ (1⊗a) = 0.
n n
L’analogue de η : k → A est alors l’application η : K → A définie par :
h h
!
X X
η a hn = a .1hn.
h n n
n n
2. Dans la situation de 1., tout élément inversible de A est aussi inversible dans A .
h
3. Toute déformation formelle (A ,µ ) est équivalente à une déformation formelle (A0 ,µ0 )
h h h h
ayant même élément unité que A. Autrement dit, toute déformation formelle est équivalente
à une déformation formelle où l’unité est obtenue simplement en étendant par K-linéarité.
Preuve. Le premier point est immédiat.
Pour le second point : Soit a un élément inversible de A. Définissons des éléments u et v
h h
de End (A ) = (End(A)) par
K h h
u (x ) = µ (a⊗˜x ), v (x ) = µ (x ⊗˜a).
h h h h h h h h
Ces éléments sont inversibles car u et v sont inversibles.
0 0
8 ANTHONY MANSUY
Il reste à démontrer la troisième assertion. L’égalité f ◦µ = µ0 ◦(f ⊗˜f ) s’écrit ∀n ≥ 0
h h h h h
X X
µ0(f (a)⊗f (b)) = f (µ (a⊗b),
p q r p q
p+q+r=n p+q=n
où a,b ∈ A et f = id .
0 A
En posant f = 0, ∀p = 1,...,n−1, on a
p
µ0 (a⊗b) = f (ab)+µ (a⊗b)−af (b)−f (a)b. (3)
n n n n n
En prenant b = c = 1, puis a = b = 1 dans l’égalité (5) à suivre,
µ (a⊗1) = aµ (1⊗1), µ (1⊗a) = µ (1⊗1)a. (4)
n n n n
Transformons µ par un isomorphisme f vérifiant f (1) = µ (1⊗1) et f = 0, ∀n > 1. Alors
h h 1 1 n
(3) et (4) impliquent
µ0(a⊗1) = −aµ (1⊗1)+aµ (1⊗1) = 0,
1 1 1
et de la même façon µ0(1⊗a) = 0.
1
En procédant par récurrence, supposons µ (a⊗1) = µ (1⊗a) = 0, pour n = 1,...,m−1.
n n
Transformons µ par un isomorphisme f vérifiant f (1) = µ (1⊗1), f = 0, ∀n 6= m. Alors
h h m m n
(3) et (4) impliquent
µ0 (a⊗1) = µ0 (1⊗a) = 0,
n n
pour tout n ∈ {1,...,m}.
Il suffit enfin de remarquer que le produit (1+f hn)...(1+f h) converge lorsque n tend
n 1
vers l’infini. 2
Il existe une propriété analogue dans le cas des cogèbres.
Proposition 16 Si une bigèbre A est une algèbre de Hopf d’antipode S, toute déformation
formelle de A comme bigèbre est équivalente à une autre déformation formelle qui est une algèbre
de Hopf en ce sens qu’il existe un élément S de End (A ) vérifiant µ ◦(S ⊗˜id )◦∆ =
h K h h h Ah h
µ ◦(id ⊗˜S )◦∆ = η ◦ε .
h Ah h h h h
Preuve. On peut supposer que A admet les mêmes unité et counité que A. Considérons
h
l’algèbre End(A) munie du produit u∗v = µ◦(u⊗v)◦∆. De la même façon, End (A ) est
K h
une algèbre pour le produit u ∗ v = µ ◦ (u ⊗˜v ) ◦ ∆ , et c’est une déformation formelle
h h h h h h h
de End(A). On vérifie que η◦ε est encore unité pour la déformation formelle (en étendant par
K-linéarité). Enfin, id est inversible dans (End(A)) = End (A ) car id l’est dans End(A)
Ah h K h A
(en utilisant la proposition 15). 2
La condition d’associativité pour µ s’écrit, ∀a,b,c ∈ A,
h
X
µ (µ (a⊗b)⊗c)−µ (a⊗µ (b⊗c)) = 0. (5)
p q p q
p+q=n
La composante d’ordre 1 donne
µ (ab⊗c)+µ (a⊗b)c = aµ (b⊗c)+µ (a⊗bc). (6)
1 1 1 1
De même, la condition de coassociativité pour ∆ s’écrit, ∀a ∈ A,
h
X
(∆ ⊗id −id ⊗∆ )◦∆ (a) = 0. (7)
p A A p q
p+q=n
DÉFORMATIONS DE BIGÈBRES DE LIE 9
La composante de degré 1 donne
(∆⊗id )◦∆ (a)+(∆ ⊗id )◦∆(a) = (id ⊗∆)◦∆ (a)+(id ⊗∆ )◦∆(a). (8)
A 1 1 A A 1 A 1
Enfin, la condition que ∆ est un morphisme d’algèbres s’écrit, ∀a,b ∈ A,
h
X X
∆ ◦µ (a⊗b) = (µ ⊗µ )◦(id ⊗τ ⊗id )◦(∆ ⊗∆ )(a⊗b), (9)
p q p q A A r s
p+q=n p+q+r+s=n
où τ : A⊗A → A⊗A est l’application volte vérifiant, ∀a,b ∈ A, τ(a⊗b) = b⊗a. La composante
de degré 1 donne
∆(µ (a⊗b))+∆ (ab) = (µ⊗µ +µ ⊗µ)◦(id ⊗τ ⊗id )◦(∆⊗∆)(a⊗b)
1 1 1 1 A A (10)
+∆ (a)∆(b)+∆(a)∆ (b).
1 1
Unepaired’applicationsk-linéaires(µ ,∆ )estappeléeunedéformation(modh2),ouencore
1 1
une déformation infinitésimale, de A si elle satisfait à (6), (8) et (10). Plus généralement, un 2n-
uplet (µ ,...,µ ,∆ ,...,∆ ) d’applications k-linéaires est une déformation (mod hn+1) de A si
1 n 1 n
les relations (5), (7) et (9) sont vraies (mod hn+1).
Toute déformation de A induit une déformation (mod hn+1) pour tout n. Par contre, une
déformation (mod hn+1) ne s’étend pas en général à une véritable déformation.
La condition pour qu’un isomorphisme de K-modules f : A → A0 soit une équivalence de
h h h
déformations est :
µ0 = f ◦µ◦(f−1⊗˜f−1), ∆0 = (f ⊗˜f )◦∆◦f−1.
h h h h h h h h
En considérant le terme de degré 1, on obtient :
µ0(a⊗b) = µ (a⊗b)+f (ab)−af (b)−f (a)b, (11)
1 1 1 1 1
∆0(a) = ∆ (a)−∆(f (a))+(f ⊗id +id ⊗f )◦∆(a) (12)
1 1 1 1 A A 1
Deux déformations (mod h2) de A, notées (µ ,∆ ) et (µ0,∆0), sont dites équivalentes si il existe
1 1 1 1
un morphisme de k-module f : A → A vérifiant (11) et (12).
1
2.2 Théorie cohomologique
Les relations du paragraphe précédent suggèrent la définition suivante de cohomologie d’al-
gèbres de Hopf, qui est modellisée par la cohomologie de Hochschild d’algèbres associatives.
Pour i,j ≥ 1, définissons l’espace des (i,j)-cochaînes d’une algèbre de Hopf A par Ci,j =
Hom (A⊗i,A⊗j) et les morphismes de k-modules d0 : Ci,j → Ci+1,j et d00 : Ci,j → Ci,j+1 par
k ij ij
(en omettant les indices i,j)
(d0γ)(a ⊗...⊗a ) = ∆(j)(a )γ(a ⊗...⊗a )
1 i+1 1 2 i+1
+Pi (−1)rγ(a ⊗...⊗a ⊗a a ⊗...⊗a )
r=1 1 r−1 r r+1 i+1
+(−1)i+1γ(a ⊗...⊗a )∆(j)(a ),
1 1 i+1
(d00γ)(a ⊗...⊗a ) = (µ(i)⊗γ)(∆ (a )∆ (a )...∆ (a ))
1 i 1,i+1 1 2,i+2 2 i,2i i
+Pj (−1)r(id⊗r−1⊗∆⊗id⊗j−r)(γ(a ⊗...⊗a ))
r=1 1 i
+(−1)j+1(γ ⊗µ(i))(∆ (a )∆ (a )...∆ (a )),
1,i+1 1 2,i+2 2 i,2i i
où µ(i)(a ⊗...⊗a ) = a ...a , ∆(j)(a) = (id⊗...⊗id⊗∆)◦...◦(id⊗∆)◦∆(a), avec j−1
1 i 1 i
∆, et ∆ (a) est un élément de A⊗2i avec que des 1 sauf le k-ième et le (i+k)-ième qui sont
k,i+k
les composantes de ∆(a).
Le résultat suivant est laissé au lecteur.
10 ANTHONY MANSUY
Proposition 17 (C•,•,d0,d00) est un bicomplexe, c’est-à-dire que
• •
d0◦d0 = d00◦d00 = d0◦d00+d00◦d0 = 0.
Posonsd = P d0 +(−1)id00 etCn = ⊕ Ci,j l’ensembledesn-cochaînes.Alors
n i+j=n+1 ij ij i+j=n+1
d : Cn → Cn+1 et (C•,d ) est un complexe. On pose :
n •
– Zn(A) = Ker(d ) l’ensemble des n-cocycles,
n
– Bn(A) = Im(d ) l’ensemble des n-cobords, nul pour n = 0.
n−1
d ◦ d = 0, donc Bn(A) ⊆ Zn(A), et on pose alors Hn(A) = Zn(A)/Bn(A) le n-ième
n+1 n
groupe cohomologique (qui est un k-module).
Remarques.
1. Soit f ∈ C1,1. Alors :
1
d0(f )(a ⊗a ) = a f (a )+f (a )a −f (a a )
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
d00(f )(a) = (f ⊗id+id⊗f )◦∆(a)−∆(f (a))
1 1 1 1
En comparant avec (11) et (12), on voit qu’une déformation (mod h2) (µ ,∆ ) est triviale
1 1
si et seulement si c’est un 2-cobord.
2. ∀µ ∈ C2,1 et ∆ ∈ C1,2,
1 1
d0(µ )(a ⊗a ⊗a ) = a µ (a ⊗a )−µ (a a ⊗a )+µ (a ⊗a a )−µ (a ⊗a )a ,
1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3
d00(µ )(a ⊗a ) = (µ⊗µ +µ ⊗µ)◦(∆ (a )∆ (a ))−∆(µ (a ⊗a )),
1 1 2 1 1 13 1 24 2 1 1 2
d0(∆ )(a ⊗a ) = ∆ (a )∆(a )−∆ (a a )+∆(a )∆ (a ),
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
d00(∆ )(a) = (id⊗∆ )◦∆(a)−(∆⊗id)◦∆ (a)+(id⊗∆)◦∆ (a)−(∆ ⊗id)◦∆(a).
1 1 1 1 1
En comparant avec (6), (8), (10), on observe que (µ ,∆ ) est une déformation (mod h2)
1 1
de A si et seulement si c’est un 2-cocycle.
Ainsi, on a prouvé la :
Proposition 18 Soit A une algèbre de Hopf sur un corps k. Il y a une bijection naturelle
entre H2(A) et l’ensemble des classes d’équivalences des déformations (mod h2) de A.
Proposition 19 Avec les mêmes hypothèses qu’à la proposition précédente, si H2(A) = 0,
toute déformation de A est triviale.
Preuve. Avec la proposition 18, si H2(A) = 0, toute déformation A de A est triviale
h
(mod h2); nous devons montrer que A est triviale.
h
On écrit la multiplication et la comultiplication de A comme dans la remarque qui suit
h
la définition 13. Choisissons une 1-cochaine f(1) : A → A telle que d(f(1)) = (µ ,∆ ). Soit
1 1
A0 = (id+hf(1))∗A . Alors µ0 = 0 et ∆0 = 0. En répétant les calculs, avec (6), (8), (10), (en
h h 1 1
regardant le terme en h2), on voit que (µ0,∆0) est encore un 2-cocycle. C’est donc un 2-cobord.
2 2
Choisissons une 1-cochaine f(2) telle que d(f(2)) = (µ0,∆0) et définissons une déformation A00 =
2 2 h
(id+h2f(2))∗A0 . Alors µ00 = µ00 = 0 et ∆00 = ∆00 = 0. Ce procédé s’itère. Soit f(1),f(2),... une
h 1 2 1 2
suite de 1-cochaînes obtenue par itération de ce procédé, et soit :
A∞ = (...(id+hnf(n))...(id+h2f(2))(id+hf(1)))∗A .
h h
Remarquons que ce produit a un sens comme élément de A pour la topologie h-adique. Alors
h
A∞ est la déformation constante ce qui termine la preuve. 2
h
Remarques.LathéoriecohomologiquedesalgèbresdeHopfquenousavonsdéfiniestcalquée
sur la cohomologie de Hochschild des algèbres et des cogèbres. La cohomologie H• (A) de A
alg
comme algèbre est basée sur le complexe (C•,1,d0), la cohomologie H• (A) de A comme cogèbre
• cog
est basée sur le complexe (C1,•,d00). On déduit de la preuve de la proposition 19 le
•