Decomposição de Módulos Livres de Torção como Soma Direta de Módulos de Posto 1 PDF
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Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Programa de Pós-Graduação em Matemática Santiago Miler Quispe Mamani Decomposição de Módulos Livres de Torção como Soma Direta de Módulos de Posto 1 Juiz de Fora 2016 Santiago Miler Quispe Mamani Decomposição de Módulos Livres de Torção como Soma Direta de Módulos de Posto 1 Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Univer- sidade Federal de Juiz de Fora, na área de concentração em Álgebra, como requisito par- cial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientadora: Flaviana Andrea Ribeiro Juiz de Fora 2016 Ficha catalográfica elaborada através do Modelo Latex do CDC da UFJF com os dados fornecidos pelo(a) autor(a) Quispe Mamani, Santiago Miler. Decomposição de Módulos Livres de Torção como Soma Direta de Módulos de Posto 1 / Santiago Miler Quispe Mamani. – 2016. 73 f. Orientadora: Flaviana Andrea Ribeiro Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Juiz de Fora, Instituto de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2016. 1. Módulos livres de torção. 2. Módulos de posto 1. 3. Nós e Cúspides. I. Andrea Ribeiro, Flaviana, orient. II. Título. SANTIAGO MILER QUISPE MAMANI DECOMPOSIÇÃO DE MÓDULOS LIVRES DE TORÇÃO COMO SOMADIRETADE MÓDULOS DE POSTO I Dissertação aprovada pela Comissão Examinadora abaixo elencada como requisito para a obtenção do título de Mestre em Matemática pelo Mestrado Académico em Matemática do Instituto de Ciências Exatas da Universidade Federal de Juiz dc Fora. Prof. Dr^. Flaviana Andréa Ribeiro (Orientadora) Mestrado Académico em Matemática Instituto de Ciências Exatas - UFJF Juiz dc Fora, 25 de abril de 2016. Dedico este trabalho A Clemilda Cunha, por ser a pessoa mais especial pra mim AGRADECIMENTOS A Deus, que não sessou de interceder por mim em todo momento. A minha mãe Marcelina e a meus irmãos, Edwin, David Yonatan, Junior Brisko e a minha irmã Kony Maxubel pelo apoio e compreensão. A minha orientadora e amiga Professora Dra. Flaviana Andrea Ribeiro, pela ajuda na escolha do tema e pela forma como conduziu este trabalho, pelo apoio e incentivo e pela maneira como ensina e convive com seus alunos, se tornando um exemplo a ser seguido. Ao Professor Dr. Willian Versolati França, pelo seu apoio incondicional, por ter me ensinado a maior parte do que hoje sei sobre Álgebra, motivando, a cada aula, o meu interesse por essa área e auxiliando, nesta fase, com a avaliação e a correção deste trabalho. Ao professor Dr. Renato Vidal da Silva Martins, por ter aceitado o convite para fazer parte da banca que avaliou este trabalho, colaborando para o resultado final aqui apresentado. A todos os professores que tornaram possível minha formação, pelos ensinamentos, críticas, conselhos e incentivo, em especial, aos professores Dr. Olimpio Hiroshi Miyagaki, Dr. LonardoRabelo, Dr. SergioGuilhermedeAssisVasconcelos, sempredispostosaaconselhar- me e a ajudar-me. À Universidade Federal de Juiz de Fora e ao Departamento de Matemática. À CAPES e FAPEMIG pelo apoio financeiro. RESUMO O objetivo deste trabalho é apresentar o resultado dado por Bass em [4], que determina uma condição no domínio de integridade R para que todo módulo finitamente gerado e livre de torção seja escrito como soma direta de módulos de posto 1. Mostramos que uma condição necessária é que todo ideal em R seja gerado por dois elementos, ou seja, que esses domínios sejam quase domínios de Dedekind. Em seguida, aplicamos o resultado na descrição de módulos livres de torção e de posto finito sobre os anéis de coordenadas de curvas singulares, cujas singularidades são nós ou cúspides. Palavras-chave: Módulos livres de torção. Módulos de posto 1. Nós e Cúspides. ABSTRACT The aim of this paper is to present the result given by Bass in [4], which determines a condition on the integral domain R so that every finitely generated torsion free module is written as a direct sum of modules of rank 1. We show that a necessary condition is that all ideal in R is generated by two elements, in other words, that these domains are almost Dedekind domains. Then, we apply the result in the description of torsion free modules of finite rank over the coordinate rings of singular curves, whose singularities are nodal or cuspidal. Key-words: Torsion free modules. Modules of rank 1. Nodal and Cuspidal. LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS RM-anel Anel com a condição mínima restrita a.c.c. condição da cadeia ascendente d.c.c. condição da cadeia descendente f.g. finitamente gerado respect. respetivamente l.i. linearmente independentes s.p.g. sem perda de generalidade UFJF Universidade Federal de Juiz de Fora LISTA DE SÍMBOLOS ‘ Afirmação := Define-se ∼ = Isomorfismo limM Limite direto i −→ ∃! Existe e é único → / ← Contradição N {0,1,2,··· ,n,···} N∗ {1,2,··· ,n,···} hx ,x ,...,x i Conjunto gerado por {x ,x ,...,x } 1 2 n 1 2 n A/R A é um ideal do anel R
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