de la Vallée Poussin d'Analyse Infinitésimale tome II

462 Pages·23.377 MB·French

by  Ch.-J.

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COURS D'ANALYSK INFINITESIMALE
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COURS
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i I
d'Analyse Infinitésimale
PAR
Ch.-J. de la Vallée Poussin
Professeuràl'UniversitédeLouvain
Correspondantdel'AcadémieRoyaledeBelgique
TOME
I
LOL'VAIN PARIS
A, U^stpruyst-Dieudonné Gauthier-Yillars
ÉDlïElK KniTKLH
10, rue de la Monnaie, 10. 55, Quai des Grands Augustins,55.
1906

>
AVERTISSEMENT
Ce second volume du Cours cTanalyse infinitésimale
s'adresse comme le précédent aux élèves ingénieurs et aux
candidats en sciences physiques et mathématiques. Nous
avons introduit deux textes différents dans le tome II
comme dans le tome I et pour les mêmes raisons. Le
grand texte se suffit à lui-même, à part quelques rares
emprunts au petit texte du tome I (Existence des fonctions
implicites et formules de Frenet.)
Les matières principales que nous avons traitées sont la
théorie des intégrales multiples, celle des intégrales géné-
ralisées et en particulier des eulériennes, celledeséquations
différentielles et la suite des applications géométriques.
Nous commençons par exposer la théorie des intégrales
doubles sous une forme aussi simple que possible. La
méthode que nous suivons est assez différente de la
méthode classique, mais elle est bien aussi naturelle pour
les élèves, et l'expérience de l'enseignement nous a prouvé
qu'elle rend moins ingrate la tache du professeur qui veut
être exact.
Nous étudions ensuite avec soin les intégrales à champ
illimité et celles des fonctions infinies (intégrales généra-
lisées), mais en visant beaucoup plus à l'utilité pratique
des règles qu'à leur plus grande généralité. Nous pensons
avoir suffisamment montré, par les nombreuses transfor-
mations de la théorie des eulériennes, que les règles
—
VI
simples et précises qiu^ nous avons établies permettent de
traiter les intégrales généralisées classiques sans plus de
longueurs ni d'embarras que des intégrales projiî'ement
dites.
Nous donnons une démonstration nouvelle de l'existence
des intégrales des équations difFéi^entielles, les variables
étant réelles. Cette démonstration est très concise et fait
immédiatement reconnaître le continuité des solutions. 11
serait d'ailleurs facile d'y rattaclier la plupart des démons-
trations classiques.
Beaucoup de problèmes relatifs à l'art de l'ingénieur
conduisent à des équations différentielles qui dépendent
de celles de Bessel et de Riccati. Celles-ci fournissent un
excellent exemple d'équations intégrables par les séries,
et nous les avons traitées complètement mais dans le
petit texte. Par une méthode nouvelle, nous obtenons
immédiatement l'intégrale sous forme explicite quand
cette intégrale s'obtient sous forme finie.
La loi belge exige des élèves ingénieurs et des candidats
en sciences physiques et mathématiques la connaissance
des Eléments du calcul des variations et du calcul des
différences. Nous consacrons un chapitre spécial à ces
deux questions, en nous bornant strictement, dans le
calcul des variations, aux notions indispensables pour
obtenir des conditions nécessaires de maximum ou de
minimum. Dans l'état actuel de cette théorie, on ne peut
aller plus loin sans s'engager dans des discussions minu-
tieuses qu'il convient de réserver pour les doctorats.
Les deux derniers chapitres renferment des applications
géométriques, dont la plupart pouvaient se traiter sans
calcul intégral mais nous leur avons laissé la place
;
qu'elles occupent naturellement dans notre enseignement
et non sans un certain profit.