De la caract\'erisation matricielle des drapeaux complets d'extensions riemanniennes aux feuilletages riemanniens transversalement diagonaux sur une vari\'et\'e compacte connexe

0.21 MB·

by  Cyrille Dadi

De la caractérisation matricielle des drapeaux
4 complets d’extensions riemanniennes aux
1
0 feuilletages riemanniens transversalement
2

n diagonaux sur une variété compacte connexe
a
J

6 Cyrille Dadi(1) et Adolphe Codjia(2)
1
Laboratoire de Mathématiques Fondamentales,

] Université Félix Houphouët-Boigny, ENS
G
08 BP 10 Abidjan (Côte d’Ivoire)
D email(1) :[email protected] , email(2) :[email protected]
.
h
t
a
m January 17, 2014
[

1
v Résumé
2
8 Ici, nous caractérisons matriciellement les drapeaux complets d’extensions
9 riemanniennesD =(F , F , ..., F )d’unfeuilletageriemannienF sur
3 Fq q−1 q−2 1 q
unevariétécompacteconnexesousl’hypothèsed’existensed’unemétriquequasi-
.
1 fibrée commune à tous les feuilletages F de ce drapeau. Cette caractérisation
s
0
nous permet de voir que chaque feuilletage de ce drapeau est un feuilletage
4
riemannien transversalementdiagonal.
1
: Mots-clés: feuilletageriemannientransversalementdiagonal,extensiond’un
v
feuilletage, drapeau complet d’extension riemannienne.
i
X
Abstract
r
a In this paper we characterise with the matrix the complete flag of rieman-
nian extension (see définition) D = (F , F , ..., F ) on a riemannian
Fq q−1 q−2 1
compact manifold whose metric is bundlelike for any foliation F of this flag.
s
Thisstudyshowusthatafoliationofacompleteflagofriemannianextension
on a riemannian compact manifold whose metric is bundlelike for any foliation
of this flag is a transversely diagonal riemannian foliation (see définition).
Keywords: transversely diagonal riemannian foliation, extension of a foli-
ation, complete flag of riemannian extension.
1
1 Introduction
Etant donné un feuilletage F de codimension q sur une variété M, un drapeau
q
d’extension du feuilletage F est une suite Dk = (F , F , ..., F ) de
q Fq q−1 q−2 k
feuilletages sur la variété M telle que F ⊂ F ⊂ F ⊂ ... ⊂ F et chaque
q q−1 q−2 k
feuilletage F est de codimension s.
s
Pour k =1, le drapeau d’extension Dk sera dit complet et sera noté D .
Fq Fq
Si chaque feuilletage F est riemannien, le drapeau d’extension Dk sera
s Fq
appelé drapeau d’extension riemannienne du feuilletage F .
q
On montre que si F est un feuilletage riemanniende codimension q admet-
q
tantundrapeaucompletd’extensionriemannienneD =(F , F , ..., F )
Fq q−1 q−2 1
sur une variété compacte connexe M et s’il existe une métrique F -quasifibrée
s
commune à tous les feuilletages F alors chaque feuilletages F est transver-
s s
salementdiagonalc’estàdirequechaquefeuilletageF estdéfiniparuncocycle
s
feuilleté (U ,f ,T,γ ) vérifiant les conditions suivantes:
i i ij i∈I
i) les ouverts U sont F-distingués,
i
ii) lamétriqueg estune métriquesurlavariététransverseT etlesγ sont
T ij
des isométries locales pour cette métrique,
iii) sur chaque ouvert f (U ) il existe un système yi yi yi de coordon-
i i 1, 2,..., q
nés F-transverses locales tel que relativement aux systèmes de coordonnés F-
(cid:0) (cid:1)
transverseslocales yi yi yi surlesouvertsf (U ),lamatricejacobienne
1, 2,..., q i∈I i i
J de γ est diagonale et orthogonale.
γij ij (cid:0)(cid:0) (cid:1)(cid:1)
Onétablitaussipourunfeuilletageriemannienminimal(M,F ,g )decodi-
q T
mension q sur une variété compacte connexe M d’algèbre de Lie structurale G
ce qui suit:
1) Il existe une sous-algèbre de Lie G de G telle qu’à toute extension F′
F
de F correspond (de façon unique) une sous-algèbre de Lie G′ de G vérifiant
q
G ⊂G′.
F
2) Toute extension F′ de F est un feuilletage riemannien et il existe une
q
métrique quasi-fibrée commune à F et F′.
q
3) F admet un drapeau complet d’extension si et seulement si F est
q q
transversalementdiagonal.
Dans tout ce qui suit, les variétés considérées sont supposées connexes et la
différentiabilité C∞.
2 Rappels
Dans ce paragraphe, nous réformulons dans le sens qui nous est utile certaines
définitions et certains théorèmes qui se trouvent dans ([3], [4], [5], [7],[8] [9],
[10],[11] [12], [13]).
Théorème 2.1 [10] Soient F un feuilletage riemannien de codimension q sur
une variété compacte connexe M, F♮ l’adhérence d’une feuille F♮ du feuilletage
relevé F♮ de F sur le fibré π:M♮ →M des repères orthonormés F-transverses,
j :F♮ ֒→M♮ l’injection canonique de F♮ dans M♮, φ=π◦j et z ∈F♮.
2
Aors:
i) π F♮ est une feuille de F et φ F♮ =π(F♮).
ii) L(cid:0)’app(cid:1)lication φ:F♮ →φ F♮ e(cid:16)st u(cid:17)ne fibration principale.
(cid:16) (cid:17)
Définition 2.2 Une extension d′un feuilletage (M,F) de codimension q est un
feuilletage (M,F′)decodimension q′ telque0<q′ <q etles feuilles de(M,F′)
sont des réunions de feuilles de (M,F) (on notera F ⊂F′).
On montre que si (M,F′) est une extension simple d’un feuilletage simple
(M,F) et si (M,F) et (M,F′) sont définis respectivement par les submersions
π :M →T et π′ :M →T′, alors il existe une submersion α:T →T′ telle que
π′ =α◦π.
On dira que la submersion α est une liaison entre le feuilletage (M,F) et
son feuilletage extension (M,F′).
On montre dans [4] que si le feuilletage (M,F) et son extension (M,F′)
sontdéfinisrespectivementparlescocycles(U ,f ,T,γ ) et(U ,f′,T′,γ′ )
i i ij i∈I i i ij i∈I
alors on a
f′ =θ ◦f et γ′ ◦θ =θ ◦γ
i i i ij j i ij
où θ est une liaison entre le feuilletage (U ,F) et son feuilletage extension
s s
(U ,F′).
s
Proposition 2.3 [5] Etant donné un feuilletage (M,F) de variété transverse
modèle T, soit T′ une variété de dimension q’ > 0. Si les difféomorphismes
locaux de transition de F préservent les fibres d′une submersion de T sur T′,
alorslefeuilletageF admetuneextensiondecodimensionq’etdevariétémodèle
transverse T′.
Théorème 2.4 [3] Soit F un feuilletage riemannien transversalement inté-
grable sur une variété riemannienne connexe complète (M,g), M le revètement
universel de (M,g), F et F⊥ les feuilletages relevés respectifs de F et F⊥ sur
M. f
Alors: e e
f i) M est difféomorphe à L×H où L et H sont respectivement des feuilles
de F et F⊥.
ii)fL et H sont des revêteemenets univeerselserespectifs des feuilles respectives
L eteH dees feuilletages respectifs F et F⊥.
iii)eTouteefeuille de F est difféomorphe à L×{p} où p∈H.
iv) Toute feuille de F⊥ est difféomorphe à {p}×H où p∈L.
v) La projection de Me sur H suivant L esteune submersioneriemannienne.
e e e
Théorème 2.5 [7] SoitfD = (eF1, F2, ..e., Fn−1) un drapeau d’une n-variété
riemannienne connexe compacte (M,g). Si la métrique g est quasi-fibrée pour
chacun des feuilletages, alors on a les propriétés suivantes:
1) LavariétéM estcomplètementparallélisable etles feuilletages dudrapeau
sont à la fois transversalement parallélisables et transversalement intégrables.
3
De façon précise, il existe un unique parallélisme (Y ) de M dit paral-
k 1≤k≤n
lélisme du drapeau tel que:
- pourtoutk ≥1,Y estunitaire, tangentà F et orientele flot qu’il définit,
k k
-pourtout1≤k‹s≤n,[Y ,Y ]=c Y oùlesfonctionsc ,ditesfonctions
k s ks k ks
de structures du drapeau, sont, pour k ≥2, basiques pour le feuilletage F
k−1.
2) Le drapeau se relève sur le revètement universel M de M en un dra-
peau D = F , F , ..., F de feuilletages simple. De plus pour tout k ∈
1 2 n−1
f
{1,2,...,n−(cid:16)1} le revètement u(cid:17)niversel M est difféomorphe à F ×F⊥ où F et
e e e e k k k
F⊥ sont respectivement des feuilles de F et F⊥.
k k k
f e e e
e On notera que : e e
i) Leschampsde vecteursY duparallélisme(Y ) de M sontorthog-
k k 1≤k≤n
onaux deux à deux.
ii) Sur chaque feuille F⊥, le parallélisme (Y ) induit un parallélisme
s k 1≤k≤n
que l’on notera (Y ) .
k s≤k≤n
iii) Le parallélisme (Y ) de F⊥ se relève sur le revêtement universel
k s≤k≤n s
M de M en un parralélisme Y sur F⊥.
k s
s≤k≤n
(cid:16) (cid:17)
Tfhéorème 2.6 [5] Soit (M,Fe) un G-feuilleteage de Lie minimal d’une variété
compacte et connexe, d’algèbre de Lie G.
Alors:
1-Il y a une correspondance biunivoque entre les sous-algèbres de Lie de
G =Lie(G) (ou si l’on préfère entre les sous-groupes de Lie connexes de G) et
les extensions de F.
2- Une extension de F est un G-feuilletage transversalement riemannien à
H
fibré normal trivial, définie par une 1-forme vectorielle à valeurs dans G.
H
3- Une extension de F est transversalement homogène (resp. de Lie) si et
seulement si le sous-groupe de Lie de G correspondant est un sous-groupe fermé
(resp. un sous-groupe normal) dans G.
Théorème 2.7 [14] Soit M ×N le produit de deux variétés M et N,
R : T M → T M ×N R : T N → T M ×N
h1 x (x,y) , h2 x (x,y) ,
u 7→ uh1 =(u,0) w 7→ wh2 =(0,w)
X ∈X(M) et Y ∈X(N).
i j
Alors Xh1,Xh1 =[X ,X ]h1, Yh2,Yh2 =[Y ,Y ]h2 et Xh1,Yh2 =0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
h i h i h i
3 Drapeau complet d’extension de feuilletage rie-
mannien sur une variété compacte connexe
Définition 3.1 Soit F un feuilletage de codimension q sur une variété M.
q
4
Un drapeau d’extension du feuilletage F est une suite
q
Dk =(F , F , ..., F ) de feuilletages sur la variété M telle que
Fq q−1 q−2 k
F ⊂F ⊂F ⊂ ...⊂F et chaque feuilletage F est de codimension s.
q q−1 q−2 k s
Pour k =1, le drapeau d’extension Dk sera dit complet et sera noté D .
Fq Fq
Si chaque feuilletage F est riemannien, le drapeau d’extension Dk sera
s Fq
appelé drapeau d’extension riemannienne du feuilletage F .
q
Définition 3.2 Un feuilletage F est dit transversalement diagonal si et seule-
ment s’il est défini par un cocycle feuilleté (U ,f ,T,γ ) tel que les ou-
i i ij i∈I
verts U soient F-distingués et sur chaque ouvert f (U ) il existe un système
i i i
yi yi yi de coordonnés F-transverses locales tel que relativement aux sys-
1, 2,..., q
tèmes yi yi yi de coordonnés F-transverses locales sur les ouverts
(cid:0) 1(cid:1), 2,..., q i∈I
f (U ), la matrice jacobienne J de γ soit diagonale.
i i (cid:0)(cid:0) (cid:1)(cid:1) γij ij
Proposition 3.3 Soit F un feuilletage transversalement diagonal de codimen-
q
sion q sur une variété M.
AlorsF admetundrapeaucompletd’extensionD =(F , F , ..., F ).
q Fq q−1 q−2 1
Preuve. Soit (U ,fq,Tq,γq) un cocyle feuilleté définissantle feuilletage
i i ji i∈I
transversalementdiagonalF decodimensionqet yi yi yi lessystèmes
q 1, 2,..., q i∈I
decoordonnéesFq−transversessurlesfiq(Ui)suiv(cid:0)a(cid:0)ntlesquels(cid:1)J(cid:1)γiqj estdiagonal.
Notons que Jγjqi = εqjirs rs étantune matrice inversible à tous ses éléments
diagonaux non nuls.
(cid:0) (cid:1)
Cecidit,considéronssurchaquefq(U )leflotdéfiniparlechampdevecteurs
i i
∂ .
∂yi
q
Quitte à réduire la "taille" des ouverts U , on peut considérer un recouvre-
i
ment (U ) de la variété M tel que dans chaque fq(U ) le flot de ∂ est un
i i∈I i i ∂yqi
feuilletage simple.
Soit θiq la submersion définissant le flot Fθiq de ∂∂yqi sur fiq(Ui) et Uθiq la
variété quotient du feuilletage simple Fθq.
La variété Tq peut être considérée coimme une union disjointe des fq(U ).
Par conséquent nous pouvons affirmer que les submersions θq définissenit uine
i
submersion θqsur Tq dont la restriction à chaque fq(U ) est θq.
i i i
Comme
∂ ∂ ∂
γq = εq =εq . et εq 6=0
(cid:16) ji(cid:17)∗(cid:18)∂yqi(cid:19) (cid:0) ji(cid:1)ji(cid:18)∂yqi(cid:19) ji11 ∂yqj ji11
alors les γq préservent les fibres de la submersion θq.
ji
Il résulte de cela ([4],[5])( cf.prop.2.3 et def.2.2) que le feuilletage F de
q
codimension q a une extension F de codimension q−1 définie par le cocycle
q−1
feuilleté (U ,fq−1,Tq−1,γq−1) où
i i ji i∈I
γq−1 :U →U
ji θiq θjq
5
est le difféomorphisme induit par le difféomorphisme local
γq : fq(U ) → fq(U ) sur les variétés quotients locales U et U . On a aussi
ji i i j j θiq θjq
([4],[5]) ( cf def.2.2):
Tq−1 = ∪θq◦fq(U )= ∪U ,
i∈I i i i i∈I θiq
fq−1 =θq ◦fq et γq−1◦θq =θq◦γq.
i i i ji i j ji
Montrons maintenantque le feuilletage F esttransversalementdiagonal.
q−1
En utilisant l’égalité γq−1◦θq =θq ◦γq on obtient:
ji i j ji
i)
∂ ∂ ∂
(cid:16)γjqi−1(cid:17)∗◦(θiq)∗(cid:18)∂yqi(cid:19)=(cid:0)θjq(cid:1)∗◦(cid:16)γjqi(cid:17)∗(cid:18)∂yqi(cid:19)=Jθjq εqji11.∂yqj!=0,
ii) pour k6=q,
∂ ∂
γq−1 ◦(θq) = θq ◦ γq
ji ∗ i ∗ ∂yi j ∗ ji ∗ ∂yi
(cid:16) (cid:17) (cid:18) k(cid:19) (cid:0) (cid:1) (cid:16) (cid:17) (cid:18) k(cid:19)
∂
= θq εq .
j ∗ ij(q−k+1)(q−k+1) ∂yj!
k
(cid:0) (cid:1)
∂
= εq θq (∗).
ij(q−k+1)(q−k+1) j ∗ ∂yj!
k
(cid:0) (cid:1)
On vérifie aisement en utilisant le systême differentielle intégrable
q−1
∂
Pqi = f (x). (x) / f :fq(U )−→R de classe C∞
x (k=1 ik ∂yki ik i i )
X
sur fq(U ) que pour k 6= q, les q−1 champs de vecteurs (θq) ∂ sur U
i i i ∗ ∂yki θiq
définissent un système de coordonnées Fθiq-transverse sur Uθiq. (cid:16) (cid:17)
Soit zqi−1,..., z1i ce système de coordonnées Fθiq-transverse sur Uθiq. On a
(θq) ∂(cid:0) = ∂ . E(cid:1)t, en utilisant les égalités (∗) on obtient
i ∗ ∂yi ∂zi
k k
(cid:16) (cid:17)
∂ ∂
γq−1 =εq .
(cid:16) ji (cid:17)∗(cid:18)∂zki(cid:19) ij(q−k+1)(q−k+1) ∂zkj!
AinsilefeuilletageF esttransversalementdiagonal. Enfait,relativementau
q−1
système de coordonnées zqi−1,..., z1i , la matrice diagonaleJγq−1 est la matrice
ji
Jγq privée de sa premièr(cid:0)e ligne et de(cid:1)sa première colonne.
ji
On construit F , F , ... , F en utilisant la même technique de con-
q−2 q−3 1
struction de F .
q−1
En utilisant le théorème 2.4 de décomposition de Blumenthal-Hebda [3], on
montrele théorème suivantenutilisant les mêmes techniques de demonstration
du théorème 2.5 dans [7] :
6
Théorème 3.4 SoitD =(F , F , ..., F )undrapeaucompletrieman-
Fq q−1 q−2 1
nien d’extension d’un feuilletage riemannien F de codimension q sur une var-
q
iété compacte connexe M et pour tout k ∈ {1,...,q}, F désigne le feuilletage
k
relevé de F sur le revêtement universel M de M.
k
S’il existe une métrique g quasi-fibrée commune peour F et pour chaque
q
feuilletage du drapeau complet d’extensionfD alors:
Fq
i) Chaque feuilletage F est transversalement intégrable et transversalement
k
parallélisable. LeschampsdevecteursduparallélismeF −transverse(Y )
k s 0≤s≤k−1
sont orthogonaux et chaque champ de vecteurs Y est une section unitaire de
s
⊥
(TF ) ∩(TF ) .
s+1 s
ii) Le drapeau D se relève sur M en un drapeau simple
Fq
D = F ,F , ..., F d’extension riemannien du feuilletage rieman-
q−1 q−2 1
Fq f
nieen F .(cid:16) (cid:17)
q
e e e
Onenotera que le parallélisme Fq−transverse (Ys)0≤s≤q−1 sera dit associé
à D .
Fq
Le résultat qui suit est la version locale du théorème de décomposition de
Blumenthal-Hebda [3]:
Théorème 3.5 Soit F un feuilletage riemannien transversalement intégrable
sur une variété riemannienne connexe compacte (M,g).
Alors il existe un recouvrement (U ) d’ouverts de la variété M tel que:
i i∈I
i) Chaque ouvert U est difféomorphe au produit L ×L⊥ où L et L⊥ sont
i i i i i
respectivement des feuilles de F et F⊥ où F et F⊥ sont respectivement les
Ui Ui Ui Ui
restrictions respectives de F et F⊥ à U .
i
ii) ToutefeuilledeF estdifféomorphe àL ×{p}oùp∈L⊥ ettoutefeuille
Ui i i
de F⊥ est difféomorphe à {p}×L⊥ où p∈L .
U i i
i
Preuve. i)Soitp:M →M lerevêtementuniverseldeM,π (M)legroupe
1
fondamentalde M, F le relevéde F sur M, (U ) un recouvrementd’ouverts
i i∈I
de la variété M par desfouverts de trivialisation local du revêtement universel
M de M, F et F⊥eles restrictions respfectives de F et F⊥ à U .
Ui Ui i
On a p−1(U )= ∪ Uk.
f i k∈K i
Dans tout ce qui suit on fixe a∈K.
e
Quitte à réduire la "taille" de l’ouvert U , on peut supposer en utilisant le
i
théorème 2.4 de décompositionde Blumenthal-Hebda qu’il existe un difféomor-
phisme φ :Ua →L ×L⊥ où L est une feuille de la restriction F de F
iaa i ia ia ia Ua
i
à Ua et L⊥ est une feuille de la restriction F⊥ de F⊥ à Ua. e
i ia e e e e Ua i e e
i
Soit b∈K. Comme p Ua =p Ub =Ue alors il existe
e e i i ei e e
σiab ∈π1(M) tel que (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
e e
σ Ua =Ub.
iab
i i
(cid:16) (cid:17)
e e
7
Par construction des feuilletages relevés F et F⊥ on a
σ F =F et σe eF⊥ =F⊥ .
iab Ua Ub iab Ua Ub
(cid:16) ei(cid:17) ei (cid:18) ei(cid:19) ei
e e e e
Ainsi σ L est une feuille de F et σ L⊥ est une feuille de F⊥ .
iab ia Ub iab ia Ub
i i
Considéron(cid:16)seσi1(cid:17)ab la restriction de σeiaeb à Lia e(cid:16)teσi2a(cid:17)b la restriction de σieabe à
L⊥.
ia
On a σ1 : L → σ L et σ2 :eL⊥ → σ L⊥ qui sont des
iab ia iab ia iab ia iab ia
e
difféomorphismes. Par conséq(cid:16)uent(cid:17)σiab induit un difféomorp(cid:16)hism(cid:17)e
e e e e
σ :L ×L⊥ →σ1 L ×σ2 L⊥
iab ia ia iab ia iab ia
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
tel que e e e e
σ = σ1 ◦p1 ,σ2 ◦p2
iab iab ia iab ia
où p1 :L ×L⊥ →L est la p(cid:0)remière projection e(cid:1)t p2 :L ×L⊥ →L est
ia ia ia ia ia ia ia ia
la seconde projection.
Il réseulte dee ce quei précède qu’il existe un difféomorphiseme φe qui reend le
iab
diagramme suivant commutatif:
Ua φ→iaa L ×L⊥
i ia ia
↓σiab ↓σiab .
Ueb φ→iab σ1 Le ×σe2 L⊥
i iab ia iab ia
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
On construit ainsi uen difféomorphismee de p−1(U )e= ∪ Uk sur
i k∈K i
∪ φ Uk = ∪ σ1 L ×σ2 L⊥ dontlarestrictionàUb estφ .Ce
k∈K ik i k∈K iak ia iak ia e i iab
difféomo(cid:16)rph(cid:17)isme ne dépe(cid:16)nd p(cid:17)as du ch(cid:16)oix d(cid:17)e l’ouvert Ua mais seulement de U ,
e e e i e i
de la feuille
L =p σ1 L =p L e
i iab ia ia
(cid:16) (cid:16) (cid:17)(cid:17) (cid:16) (cid:17)
de F et de la feuille
Ui e e
L⊥ =p σ2 L⊥ =p L⊥
i iab ia ia
(cid:16) (cid:16) (cid:17)(cid:17) (cid:16) (cid:17)
de F⊥. Dans la suite, ce difféomorphiseme ce noterea φ .
U i
i
On peut donc dire en remarquant que σ = Id, σ1 = Id et σ2 = Id
iaa iaa iaa
qu’on a σ Ua =Ub,
iab
i i
(cid:16) (cid:17)
φ Ueb =σe1 L ×σ2 L⊥ et σ ◦φ =φ ◦σ
i i iab ia iab ia iab i i iab
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
et l’égalité e e e
σ = σ1 ◦p1 ,σ2 ◦p2
iab iab ia iab ia
(cid:0) (cid:1)
8
entraine que
φ p−1(U ) ∪ σi1ak Lia ×σi2ak L⊥ia
i i = k∈K
π (M) (cid:16)π (cid:17)(M) (cid:16) (cid:17)
(cid:0)1 (cid:1) e1 e
∪ σ1 L ∪ σ2 L⊥
iak ia iak ia
k∈K k∈K
= × .
π (M(cid:16)) (cid:17) π (M(cid:16)) (cid:17)
1 e 1 e
Par construction de F et F⊥, σ1 étant la restriction de σ à L et σ2
iak iak ia iak
la restriction de σ à L⊥, on a:
iak ia
e e e
∪ σ1e L ∪ σ2 L⊥
iak ia iak ia
k∈I =L et k∈I =L⊥.
π (M(cid:16)) (cid:17) i π (M(cid:16)) (cid:17) i
1 e 1 e
L’égalité σ ◦φ = φ ◦σ montre que φ est invariant par l’action de
iab i i iab i
π (M). Par conséquent φ passe au quotient sous l’action de π (M) en un
1 i 1
difféomorphisme
φ : p−1(Ui) → φi p−1(Ui) .
i π (M) π (M)
1 (cid:0)1 (cid:1)
p−1(U )
Comme i =U et
π (M) i
1
φ p−1(U ) ∪ σi1ak Lia ∪ σi2ak L⊥ia
i i = k∈K × k∈K
π (M) π (M(cid:16)) (cid:17) π (M(cid:16)) (cid:17)
(cid:0)1 (cid:1) 1 e 1 e
= L ×L⊥
i i
alors φ passe au quotient sous l’action de π (M) en un difféomorphisme
i 1
φ :U →L ×L⊥.
i i i i
ii)SoitF etF⊥ lesrestrictionsrespectivesdeF etF⊥àp−1(U ).
p−1(Ui) p−1(Ui) i
Pour a∈K fixé, on a pour tout k ∈K
e e e e
σ F =F et σ F⊥ =F⊥ .
iak Ua Uk iak Ua Uk
i i (cid:18) i(cid:19) i
(cid:16) e (cid:17) e e e
D’où l’égalité σiak◦φi =eφi◦σiakemontre que e e
σ φ F =φ F et σ φ F⊥ =φ F⊥ .
iak i Ua i Uk iak i Ua i Uk
(cid:16) (cid:16) ei(cid:17)(cid:17) (cid:16) ei(cid:17) (cid:18) (cid:18) ei(cid:19)(cid:19) (cid:18) ei(cid:19)
e e e e
Par conséquent les feuilletages φ F et φ F⊥ sont invariant
i p−1(Ui) i(cid:18) p−1(Ui)(cid:19)
par l’action de π (M) et passe don(cid:16)c au quot(cid:17)ient en un feuilletage sur L ×L⊥.
1 e e i i
9
Comme d’après le théorème 2.4 de décomposition de Blumenthal-Hebda les
feuilles du feuilletage simple φ F sont σ1 L ×{p} où p∈σ2 L⊥
i Uk iak ia iak ia
i
et celles de φi FU⊥k sont σi2ak(cid:16)eLe⊥ia(cid:17)×{p} où p(cid:16)∈e σ(cid:17)i1ak Lia etecomme(cid:16)e (cid:17)
(cid:18) i(cid:19) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
e
e σ = σe1 ◦p1 ,σ2 ◦p2 , e
iak iak ia iak ia
(cid:0) (cid:1)
∪ σ1 L ∪ σ2 L⊥
iak ia iak ia
k∈K =L et k∈K =L⊥,
π (M(cid:16)) (cid:17) i π (M(cid:16)) (cid:17) i
1 e 1 e
alorslefeuilletagequotient φi(cid:16)Fπe1p−(M1()Ui)(cid:17) àsesfeuillesquisontLi×{x}oùx∈L⊥i
et φi(cid:18)FU⊥ik(cid:19) à ses feuilles qui sont L⊥×{x} où x∈L .
π1(eMe) i i
Définition 3.6 On dit qu’un feuilletage F est riemannien transversalement
diagonal relativement à une métrique g si et seulement s’il est défini par un
T
cocycle feuilleté (U ,f ,T,γ ) vérifiant les conditions suivantes:
i i ij i∈I
i) les ouverts U sont F-distingués,
i
ii) la métrique g est unemétriquesur la variété transverseT et les γ sont
T ij
des isométries locales pour cette métrique,
iii) sur chaque ouvert f (U ) il existe un système yi yi yi de coordon-
i i 1, 2,..., q
nés F-transverses locales tel que relativement aux systèmes de coordonnés F-
(cid:0) (cid:1)
transverses locales yi yi yi sur les ouverts f (U ), la matrice jacobi-
1, 2,..., q i∈I i i
enne J de γ est diagonale et orthogonale.
γij ij (cid:0)(cid:0) (cid:1)(cid:1)
Les systèmes yi yi yi de coordonnés F-transverses locales sur les
1, 2,..., q i∈I
ouverts f (U ) seront appelés systèmes de coordonnés transverses diagonaux de
i i (cid:0)(cid:0) (cid:1)(cid:1)
F.
On notera que ce qui suit:
Si (M ,F ), (M ,F ),..., (M ,F ) sont k feuilletages riemanniens de codi-
1 1 2 2 k k
mensionunalorslefeuilletageproduit(M ×M ×...×M , F ×F ×...×F )
1 2 k 1 2 k
est un feuilletage riemannien transversalement diagonal de codimension k sur
la variété produit M =M ×M ×...×M .
1 2 k
Dans la preuve du résultat qui suit on donne une caractérisationmatricielle
des drapeaux complets riemanniens d’extension d’un feuilletage riemannien.
Théorème 3.7 SoitD =(F , F , ..., F )undrapeaucompletrieman-
Fq q−1 q−2 1
nien d’extension d’un feuilletage riemannien F de codimension q sur une var-
q
iété compacte connexe M tel qu’il existe sur la variété M une métrique g quasi-
fibré commune à tous les feuilletages riemanniens F .
k
Alors chaque feuilletage riemanien F est transversalement diagonal.
k
Preuve. Soitp:M →M le revêtementuniverselM, F le relevéde F sur
k k
M.
f e
f
10