Das Lemma von Zorn: Beweis mit Hilfe des Auswahlaxioms [expository notes]

4 Pages·2010·0.077 MB·German

by  Hartmut Laue

Das Lemma von Zorn
Beweis mit Hilfe des Auswahlaxioms
H. Laue
Sei (cid:22) eine teilweise Ordnung auf einer Menge X. Ein Element a ∈ X heißt
X-vergleichbar, wenn fu¨r alle b ∈ X gilt: a (cid:22) b oder b (cid:22) a. Mit V(X) bezeich-
nen wir die Menge der X-vergleichbaren Elemente von X. Gilt V(X) = X, so
heißt (X;(cid:22)) eine Kette. Eine Teilmenge K von X heißt eine Kette in (X;(cid:22)),
wenn (K;(cid:22)) eine Kette ist. Offensichtlich ist ∅ eine Kette in (X;(cid:22)).
1
1 Bemerkung V(X) ist eine Kette in (X;(cid:22)).
Den fu¨r das unmittelbar Anschließende wichtigsten Typ einer teilweise ge-
ordneten Menge erh¨alt man folgendermaßen: Sei M eine Menge, X eine Teil-
menge der Potenzmenge P(M) von M. Die Mengeninklusion ⊆ ergibt dann
eine teilweise Ordnung auf X. Eine Selbstabbildung g von X 2 heißt minimal
aufsteigend, wenn fu¨r alle A ∈ X gilt:
(i) A ⊆ Ag
(ii) A ⊆ B ⊆ Ag, B ∈ X ⇒ A = B oder B = Ag.
Wir nennen X teilmengenkomplett, wenn fu¨r alle B ∈ X gilt: P(B) ⊆ X. Wir
nennen X ein Zorn3-System, wenn die folgende Bedingung erfu¨llt ist:
Fu¨r jede Kette K in X gilt [K ∈ X.
Fu¨r jedes Zorn-System X gilt: ∅ = ∅ ∈ X, insbesondere also X 6= ∅.
S
2 Bemerkung Ist X ⊆ P(M) ein Zorn-System, so auch V(X).4
Unser erstes Ziel ist
1Denn V(V(X)) = V(X): Ein X-vergleichbares Element von X ist erst recht V(X)-
vergleichbar,woraus V(X)⊆V(V(X)) folgt. Die umgekehrte Inklusion ist trivial.
2d.h. eine Abbildung von X in X.
3Max August Zorn, ∗1906Krefeld, †1993Bloomington (Ind., USA)
4Ist n¨amlich K eine Kette in V(X), U := K und A∈X mit A6⊆U, so gilt fu¨r jedes
S
B ∈K: A6⊆B, damit B ⊆A, da K⊆V(X). Es folgt:U ⊆A. Da U ∈X, folgtU ∈V(X).
1
3 Zorn’sches Lemma (Spezielle Version)SeiM eineMenge,X ⊆ P(M)
ein teilmengenkomplettes Zorn-System. Dann enth¨alt X ein maximales Ele-
ment.
Die entscheidende Einsicht fu¨r die Herleitung von 3 ist
4 Fixpunktlemma Ist M eine Menge, X ⊆ P(M) ein Zorn-System und g
eine minimal aufsteigende Selbstabbildung von X, so hat g einen Fixpunkt.
Hiermit l¨aßt sich 3 per Widerspruchsbeweis unschwer einsehen: Unter den
Voraussetzungen von 3 nehmen wir an, X enthalte kein maximales Element.
Zu jedem A ∈ X sei Aˆ := {x|x ∈ M r A, A ∪ {x} ∈ X}. Nach Annahme
gibt es ein B ∈ X mit A ⊂ B, und fu¨r alle x ∈ BrA gilt A ⊂ A∪{x} ⊆ B.
Da X teilmengenkomplett ist, folgt hieraus: Aˆ 6= ∅. Verm¨oge Auswahlaxiom
sei nun f : P(M)r{∅} → M eine Auswahlfunktion fu¨r P(M)r{∅}.
Fu¨r alle A ∈ X gilt dann A 6= A∪{Aˆf} ∈ X. Wir setzen
ˆ
g : X → X, A 7→ A∪{Af}.
Dann ist g eine minimal aufsteigende Selbstabbildung von X ohne Fixpunkt,
(cid:3)
ein Widerspruch zum Fixpunktlemma 4.
Es geht nun also darum, 4 zu beweisen. Wir beginnen mit einer einfachen
Feststellung:
5 Bemerkung Ist M eine Menge, X ⊆ P(M) und g eine minimal auf-
steigende Selbstabbildung von X, A0 ∈ V(X), A ∈ X und A ⊂ A0, so gilt
5
Ag ⊆ A0.
6 Hilfssatz Sei M eine Menge, Z ⊆ P(M) ein Zorn-System und g eine
minimal aufsteigende Selbstabbildung von Z.
(a) Fu¨r jedes A0 ∈ V(Z) ist
Z(A0) := {A|A ∈ Z, A ⊆ A0 oder A0g ⊆ A}
ein g-invariantes Zorn-System.
(b) Enth¨alt Z kein g-invariantes Zorn-System 6= Z, so ist Z eine Kette, die
ein gr¨oßtes Element B besitzt, und es gilt: Bg = B.
5Da Ag ∈ X gilt, folgt Ag ⊆ A0 oder A0 ⊂ Ag. Jedoch scheidet die letztgenannte
Alternative aus, da sie zu dem Widerspruch A ⊂ A0 ⊂ Ag (entgegen der Voraussetzung
u¨ber g) fu¨hrt.
2
Beweis. (a) Wir zeigen
1. Z(A0) ist g-invariant :
Sei A ∈ Z(A0). Gilt A ⊂ A0, so nach 5 auch Ag ⊆ A0, also Ag ∈ Z(A0).
Gilt aber A = A0 oder A0g ⊆ A, so A0g ⊆ Ag, also ebenfalls Ag ∈ Z(A0).
2. Z(A0) ist ein Zorn-System :
Sei K eine KetteinZ(A0).DaK dannauch eine KetteinZ ist, giltSK ∈ Z.
Gibt es ein A ∈ K mit A0g ⊆ A, so folgt A0g ⊆ SK, also SK ∈ Z(A0). Gibt
es ein solches A aber nicht, so gilt A ⊆ A0 fu¨r alle A ∈ K nach Definition
von Z(A0), also SK ⊆ A0 und damit ebenfalls SK ⊆ Z(A0).
(b) Fu¨r jedes A0 ∈ V(Z) ist Z(A0) nach (a) ein g-invariantes Zorn-System
und in Z enthalten. Aus der Voraussetzung u¨ber Z folgt daher: Z = Z(A0)
fu¨r alle A0 ∈ V(Z). Also gilt fu¨r alle A ∈ Z : A ⊆ A0 oder A0g ⊆ A. Daraus
erschließen wir:
V(Z) ist g-invariant.
Ist n¨amlich A0 ∈ V(Z), A ∈ Z, so gilt A ⊆ A0 ⊆ A0g oder A0g ⊆ A; d.h.
A0g ∈ V(Z).
Verm¨oge 2 ist nun V(Z) ein g-invariantes Zorn-System. Aus der Voraus-
setzung u¨ber Z folgt daher: Z = V(Z); d.h. Z ist eine Kette. Da Z ein
Zorn-System ist, ergibt dies fu¨r B := Z speziell: B ∈ Z. Nun ist B gr¨oßtes
S
Element von Z, und mit der g-Invarianz von Z folgt Bg ∈ Z. Damit gilt
Bg ⊆ B. Nach Voraussetzung u¨ber g gilt auch die umgekehrte Inklusion, also
Bg = B. (cid:3)
7 Bemerkung Ist M eine Menge, X ⊆ P(M) und g eine Selbstabbildung
von X, so ist der Durchschnitt einer nichtleeren Menge g-invarianter Zorn-
6
Systeme in X ein g-invariantes Zorn-System in X.
Insbesondere enth¨alt jedes Zorn-System X ⊆ P(M) zu jeder Selbstabbildung
g vonX ein eindeutig bestimmtes kleinstes g-invariantesZorn-System Z:den
Durchschnitt aller g-invarianter Zorn-Systeme in X. (X selbst ist eines von
ihnen.) Ist nun g minimal aufsteigend, so ist auch g eine minimal aufstei-
|Z
gende Selbstabbildung von Z. Dank 6(b) ist damit das Fixpunktlemma 4,
mithin unter Verwendung des Auswahlaxioms auch die spezielle Version 3
des Zorn’schen Lemmas bewiesen.
6Sei X eine nichtleere Menge in X enthaltener g-invarianter Zorn-Systeme, Y := X.
T
Gilt A ∈ Y, so A ∈ Z fu¨r alle Z ∈ X, also auch Ag ∈ Z fu¨r alle Z ∈ X, d.h. Ag ∈ Y. –
Ist weiter K eine Kette in Y, so ist K eine Kette in jedem Z ∈ X, also K ∈ Z fu¨r alle
S
Z ∈X. Es folgt: K∈Y.
S
3
Es gibt jedoch eine wesentlich allgemeinere und daher fu¨r zahlreiche An-
wendungen flexiblere Form des Zorn’schen Lemmas f¨ur beliebige teilweise
geordnete Mengen, die wir nun unschwer auf 3 zuru¨ckfu¨hren werden. Dazu
betrachten wir bei gegebener teilweise geordneter Menge (X;(cid:22)) die Menge
X aller Ketten in (X;(cid:22)). Auf die teilweise geordnete Menge (X;⊆) werden
wir 3 anwenden:
8 Hilfssatz Sei (X;(cid:22)) eine teilweise geordnete Menge und X die Menge
allerKettenin(X;(cid:22)).Dannenth¨altX ein(bezu¨glich⊆)maximalesElement.
Beweis. Jede Teilmenge einer Kette in (X;(cid:22)) ist eine Kette; also ist X teil-
mengenkomplett. Sei nun K eine Kette in (X;⊆), und seien a, b ∈ K.
S
Dann gibt es A, B ∈ K mit a ∈ A, b ∈ B. Da K Kette in (X;⊆) ist, gilt
A ⊆ B oder B ⊆ A. O.B.d.A. gelte B ⊆ A. Dann folgt: a, b ∈ A. Da A eine
Kette in (X;(cid:22)) ist, gilt a (cid:22) b oder b (cid:22) a. Also ist K eine Kette in (X;(cid:22));
S
d.h. K ∈ X. Also erfu¨llt (X;⊆) die Voraussetzungen von 3, so daß aus 3
S
(cid:3)
unmittelbar die Behauptung folgt.
9 Zorn’sches Lemma (Allgemeine Version) Sei (X;(cid:22)) eine teilweise
geordnete Menge. Zu jeder Kette in (X;(cid:22)) gebe es in X eine obere Schranke.
Dann enth¨alt X ein (bezu¨glich (cid:22)) maximales Element.
Beweis. Nach 8 gibt es in (X;(cid:22)) eine (bezu¨glich ⊆) maximale Kette C. Nach
Voraussetzung enth¨alt X eine obere Schranke s von C. W¨are s kein maxi-
males Element von X, so g¨abe es ein a ∈ X mit s 6= a und s (cid:22) a. Fu¨r alle
b ∈ C g¨alte dann b (cid:22) s, s (cid:22) a(6= s), also b (cid:22) a und a ∈/ C (denn sonst folgte
a (cid:22) s, s (cid:22) a, also s = a, Widerspruch). Dann w¨are C ∪ {a} eine C echt
enthaltende Kette in (X;(cid:22)), im Widerspruch zur Maximalit¨at der Kette C.
Also ist s ein maximales Element von X.7 (cid:3)
Der hier vorgestellte Beweis des Zorn’schen Lemmas ist eine Bearbeitung des
Kapitels 16 des Buches Naive Set Theory“ (New York 1960) von Paul Ri-
”
8 9
chard Halmos , der sich auf Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo als Urheber
des Beweises bezieht. Das Auswahlaxiom geht in 3, damit auch in 8 und 9
ein; in den anderen Teilen nicht.
7Kommentar: Da C ∪{s} eine C enthaltende Kette in (X;(cid:22)) ist, folgt s ∈ C. Man
erh¨altalsoeinmaximalesElementin(X;(cid:22))inFormdesgr¨oßtenElementseinermaximalen
Kette in (X;(cid:22)).
8∗1916 Budapest (Ungarn), †2006 Los Gatos (Cal., USA). Zitat: Mathematicians
”
should be seen as artists, not number crunchers.“
9∗1871 Berlin, †1953 Freiburgi.Br.
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