Das Geheimnis der transzendenten Zahlen: Eine etwas andere Einführung in die Mathematik

443 Pages·2009·3.78 MB·German

by  Fridtjof Toenniessen

Das Geheimnis der transzendenten Zahlen
Fridtjof Toenniessen
Das Geheimnis der
transzendenten Zahlen
Eine etwas andere Einführung in die Mathematik
Autor
Prof. Dr. Fridtjof Toenniessen
Hochschule der Medien Stuttgart
Nobelstr. 10
70569 Stuttgart
[email protected]
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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bianca Alton
Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India
Satz: Autorensatz
Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu–Ulm
Titelbild: © Yang MingQi / Fotolia.com
Fotos/Zeichnungen: Thomas Epp und der Autor
ISBN 978-3-8274-2274-3
Geleitwort
DasGeheimnisdertranszendentenZahlenzulüftenunternimmtderAutorFridtjof
Toenniessen in seinem Buch. Mit anderen Worten: Er erklärt, was es mit der
Schwierigkeit der Quadratur des Kreises auf sich hat. Bekanntlich versteht man
unter dem Problem der Quadratur des Kreises das schon im Altertum von grie-
chischen Mathematikern aufgestellte Problem, aus einem gegebenen Kreis nur
unter Zuhilfenahme von Zirkel und Lineal ein Quadrat zu konstruieren, das den-
selbenFlächeninhaltwiederKreishat.Dieswarüber2000Jahrelangeinoffenes
Problem, bis Ferdinand Lindemann 1882 die Unmöglichkeit einer solchen Kon-
struktion bewies.
WashatdieQuadraturdesKreisesmittranszendentenZahlenzutun?DieVerbin-
dung wird hergestellt durch die Kreiszahl π =3,14159265..., welche die Fläche
eines Kreises mit Radius 1 darstellt (und gleichzeitig auch den halben Umfang
diesesKreises).WäredieseZahlrational,d.h.derQuotientzweierganzerZahlen,
so wäre es ein leichtes, eine Konstruktion der Quadratur des Kreises durchzufüh-
ren. Die Zahl π ist aber nicht rational, d.h. irrational. Dies ist schon schwierig
genug zu beweisen (siehe Kap. 16 dieses Buches), aber reicht no√ch nicht aus, die
Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises zu zeigen. So ist z.B. 2, die Quadrat-
w√urzelaus2,ebenfallsirrational(waseinfachzubeweisenist),trotzdemlässtsich
2alsLängederDiagonaleeinesQuadratsmitSeitenlänge1leichtkonstruieren.
√ √
Was macht den Unterschied von π und 2 aus? Die Zahl 2 ist algebraisch (sie
ist Nullstelle des Polynoms P(x)=x2−2); aber die Zahl π ist nicht algebraisch,
sielässtsichnichtalsNullstelleirgendeinesPolynoms(auchhöherenGrades)mit
rationalen Koeffizienten darstellen. Zahlen, die nicht algebraisch sind, nennt man
transzendent.WäredieQuadraturdesKreisesmöglich,würdedurchNachvollzie-
hen der Konstruktion mittels Gleichungen folgen, dass π algebraisch ist. Um zu
beweisen,dassdieQuadraturdesKreisesunmöglichist,genügtesalsozu zeigen,
dass π transzendent ist.
Der Autor setzt sich in diesem Buch nun das Ziel, ausgehend vom Schulwissen
Mathematik, die Transzendenz von π und weitere damit zusammenhängende in-
teressante Resultate über transzendente Zahlen vollständig zu beweisen. Dies ist
keine leichte Aufgabe, bietet aber die Gelegenheit, gleichzeitig eine motivierte
Einführung in verschiedene Gebiete der Höheren Mathematik zu geben.
So enthält das Buch unter anderem eine gründliche Darstellung des Zahlbegriffs,
ausgehend von den natürlichen Zahlen, über die ganzen, rationalen und reellen
ZahlenbishinzudenkomplexenZahlen;manfindeteineEinführungindieAlge-
bra,indiereelleAnalysis(stetigeFunktionen,Differenzial-undIntegralrechnung)
sowie die Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. All dies fließt
schließlichindenTranszendenzbeweisfürπein,derauchdieTranszendenzderbe-
rühmtenEulerschenZahlemitbeweist.DieschwierigeMateriewirdaufgelockert
vi
durch historische Einleitungen und Angaben zu den Mathematikern, denen man
die Theoreme verdankt. Auch spart der Autor nicht an aufmunternden Worten
an die Leserinnen und Leser, wenn wieder ein wichtiger Meilenstein erreicht ist.
BesondersnützlichzumVerständnissinddieanverschiedenenStelleneingefügten
Nachbetrachtungen zu Beweisen, in denen noch einmal über die zugrunde liegen-
den Ideen und springenden Punkte diskutiert wird. Ich wünsche allen Leserinnen
und Lesern eine anregende Lektüre.
München, September 2009 Otto Forster
Vorwort
Beim ersten Blick auf dieses Buch werden Sie sich vielleicht gewundert haben.
Zum einen sind die transzendenten Zahlen als Teil der Zahlentheorie ein äußerst
anspruchsvolles und schwieriges Gebiet der Mathematik. Andererseits besagt der
Untertitel, dass es sich um eine Einführung in die Mathematik handelt, also kei-
nerlei Vorkenntnisse erwartet werden. Wie passt das zusammen?
DasBuchistinersterLinieeineEinführungindieMathematik.Eingrundlegender
Text, der nur die Kenntnis der natürlichen Zahlen und den elementaren Umgang
miteinemZirkelundeinemLinealvoraussetzt.DieseEinführungistabergetragen
von dem Gedanken, Mathematik nicht als bloßes Regelwerk für den praktischen
Gebrauch zu vermitteln, sondern als ein geistiges Abenteuer. Wie in einem rich-
tigen Abenteuer geht es darum, am Ende einen geheimnisvollen Schatz zu finden
– und auf demWegdahin vieleHindernisseundFallstrickezuüberwinden.Nicht
weniger als etwa 2300 Jahre haben Mathematiker nach diesem Schatz gesucht,
nach Antworten auf die großen mathematischen Fragen der griechischen Antike.
DieseFragenführenschließlichzudentranszendentenZahlen,diedenWegdurch
das Buch weisen. Sie erfahren in den ersten sieben Kapiteln etwas über den Auf-
bau des Zahlensystems und sammeln dabei wertvolles Rüstzeug für die weitere
Expedition. Danach wird der Weg schwieriger, wir durchstreifen die Schulmathe-
matik und wagen uns manchmal auch darüber hinaus, um eine Sehenswürdigkeit
zubestaunen.IndenletztenvierKapitelnbegleiteichSieindiegefährlichenTie-
fen des Zahlenreichs – dorthin, wo der Jahrtausende alte Schatz verborgen liegt.
SelbstwennSiedieBeweisenichtganzbiszumgroßenFinaleimDetailverfolgen
– die Pfade werden zum Teil unwegsam – hoffe ich, dass Sie das Buch dennoch
mit Gewinn lesen und ein wenig von der Faszination in der Mathematik erleben.
DieArbeitandemBuchhatmirgroßeFreudebereitet.Jeweitersiefortgeschrit-
ten war, desto mehr wurde mir bewusst, dass ich dieses Buch eigentlich für mich
selbst geschrieben habe. Für mich vor über 25 Jahren. Damals suchte ich in ge-
spannter Erwartung meines ersten Semesters vergeblich ein Buch, welches einen
breit angelegten und dennoch fundierten Einblick in die Hochschulmathematik
gewährt, teils zur Vorbereitung und Einstimmung auf das, was mich erwartete,
teils um während der ersten Semester einen Überblick über das große Ganze zu
bekommen. Vielleicht geht es Ihnen gerade ähnlich.
Mein Dank gilt Andreas Rüdinger für die genaue und fachkundige Durchsicht
aller Kapitel, Bianca Alton für das Lektorat, Thomas Epp für die Arbeit an den
Bildern sowie Otto Forster und Stefan Müller-Stach für die freundlichen Worte
und manchen Hinweis. Und nicht zuletzt meiner Familie, die viel Verständnis für
die langen Abende des Vaters am Laptop aufbringen musste.
Stuttgart, im September 2009 Fridtjof Toenniessen
Inhaltsverzeichnis
1 Vorgeschichte ............................................ 1
Die Anfänge der Mathematik als Wissenschaft.................. 1
Geometrische Konstruktionen in der Antike .................... 2
2 Die natürlichen Zahlen ................................... 11
Die vollständige Induktion ................................... 15
Primzahlen ................................................ 17
Das Pascalsche Dreieck .................................... 21
Zahlenfolgen ............................................... 23
3 Elemente und Mengen ................................... 25
Allgemeine Begriffe ......................................... 25
Die Russellsche Antinomie ................................. 27
Grundlegende Mengenoperationen ............................ 29
Das Produkt von Mengen.................................... 31
Relationen................................................. 32
4 Die ganzen Zahlen ....................................... 35
Die Konstruktion der ganzen Zahlen .......................... 35
Beweise für die Primzahlvermutungen ......................... 41
Die Anordnung von Z auf dem Zahlenstrahl ................... 44
Die Abzählbarkeit unendlicher Mengen ........................ 46
Die algebraische Struktur von Z.............................. 47
5 Die rationalen Zahlen .................................... 55
Die Konstruktion der rationalen Zahlen ....................... 55
Der absolute Betrag und die Division in Q ..................... 58
Der binomische Lehrsatz .................................... 63
Die Folge der Fibonacci-Brüche............................... 65
Die Dezimaldarstellung rationaler Zahlen, Teil I ................ 67
x Inhaltsverzeichnis
Folgen, Reihen, Konvergenz und Grenzwerte ................... 69
Die Dezimaldarstellung rationaler Zahlen, Teil II ............... 76
6 Die reellen Zahlen........................................ 81
Die Konstruktion der reellen Zahlen........................... 82
Die Vollständigkeit der reellen Zahlen ......................... 86
Sind die reellen Zahlen abzählbar? ............................ 93
Potenzen mit rationalen Exponenten .......................... 95
Das Geheimnis der Fibonacci-Bruch-Folge .................... 96
Algebraische Zahlen in R .................................... 100
Ein Beweis für die Existenz transzendenter Zahlen .............. 102
7 Die komplexen Zahlen.................................... 107
Die Konstruktion der komplexen Zahlen ....................... 107
Irreduzible Polynome und maximale Ideale..................... 108
√
Die imaginäre Einheit i= −1............................... 111
Die komplexe Zahlenebene................................... 113
Glückwunsch! Das Zahlensystem ist komplett................... 115
8 Elemente der linearen Algebra ........................... 117
Vektorräume............................................... 118
Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension.................. 120
Die Dimension algebraischer Erweiterungen von Q .............. 124
Eine mysteriöse Frage ....................................... 131
Basen und Dreiecksmatrizen ................................. 134
Der Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome .......... 137
9 Funktionen und Stetigkeit................................ 151
Funktionen ................................................ 151
Die Stetigkeit von Funktionen................................ 153
Die Exponentialreihe........................................ 161
Potenzen mit reellen Exponenten ............................. 172
Der natürliche Logarithmus .................................. 173
Inhaltsverzeichnis xi
Das Wachstumsverhalten von exp und ln ...................... 176
Einige Anwendungen von exp und ln .......................... 177
10 Elemente der klassischen Algebra ........................ 181
Die Irreduzibilität von Polynomen ............................ 181
Der Fundamentalsatz der Algebra ............................ 185
Nachbetrachtungen zum Beweis .............................. 193
Anwendungen des Fundamentalsatzes ......................... 194
11 Die ersten transzendenten Zahlen ........................ 199
Diophantische Approximationen .............................. 200
Das Ergebnis von Liouville................................. 204
Die erste transzendente Zahl ................................. 209
Kettenbrüche .............................................. 212
Kettenbrüche und transzendente Zahlen ....................... 221
Abschließende Bemerkungen ................................. 222
12 Die Exponentialfunktion im Komplexen .................. 225
Komplexwertige Funktionen.................................. 226
Wo liegen die Punkte ez für z ∈C? ........................... 228
Die Kreiszahl π ............................................ 232
Trigonometrische Funktionen................................. 235
Polarkoordinaten ........................................... 237
13 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal .................... 239
Elementare Konstruktionsschritte nach Euklid ................ 241
Intermezzo: Körpererweiterungen von Q ....................... 243
Ein Kriterium für die Konstruierbarkeit eines Punktes in C ...... 247
Die Konstruktion regelmäßiger n-Ecke......................... 261
Ausblick................................................... 271
14 Differenzialrechnung ..................................... 277
Historische Entwicklung ..................................... 277
Differenzierbarkeit .......................................... 278