Das Cross-Verfahren: Die Berechnung biegefester Tragwerke nach der Methode des Momentenausgleichs

129 Pages·1948·6.719 MB·German

by  Dr. Ing. Johannes Johannson (auth.)

Das
Cross -Verfahren
Die Berechnung biegefester Tragwerke
nach der Methode des Momentenausgleichs
Von
Dr.lng. Johannes Johannson
Mit 18 Zahlenbeispielen
und 137 Abbildungen
Springer -Verlag
Berlin / Göttingen / Heidelberg
1948
ISBN 978-3-642-52900-9 ISBN 978-3-642-52899-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-52899-6
Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1948 by Springer-Verlag OHG
in Berlin! Gottingen ! Heidelberg.
Vorwort.
Das CRoss-Verfahren hat sich in den letzten Jahren bei allen Sta
tikern einer stets wachsenden Beliebtheit erfreut. Bis jetzt fehlte eine
Darstellung des Verfahrens in geschlossener Form. Vorliegende Ab
handlung wurde deshalb von dem Grundgedanken her entwickelt, allen
Fachkollegen, die das Verfahren aus Zeitschriftenbeiträgen kennen,
eine Vertiefung ihres Wissens zu ermöglichen. Diejenigen, die mit dem
CRoss-Verfahren nicht vertraut sind, soll das vorliegende Buch mit
einer der wichtigsten Neuerungen auf dem Gebiete der Statik der Stab
werke bekannt machen. Um die Lektüre möglichst einfach zu gestalten
und ein Zurückgreifen auf heute oft nicht zur Verfügung stehende
Werke zu vermeiden, werden als bekannt nur die Grundlagen des Kraft
größenverfahrens vorausgesetzt. Die Kenntnis der heiden, dem CROSS
Verfahren innerlich verwandten Systeme, des Drehwinkelverfahrens
und der Festpunktmethode, ist für das Verständnis nicht erforderlich.
Die Abhandlung ist in vier Teile gegliedert.
Im Abschnitt A, der die unverschieblichen Tragwerke behandelt,
werden die verschiedenen, für die Praxis wichtigen Amgleichsmethoden
dargestellt, die alle auf dem Grundgedanken von CROSS basieren. Hier
ist auch für Tragwerke von beliebiger Form bis zu fünf Knoten eine
einfache Formel entwickelt, welche die beim CRoss-Ausgleich sich er
gebenden Reihen in geschlossener Form löst und somit, mit einem ge
ringeren Zeit aufwand als beim normalen Ausgleich, die genaue Lösung
ermöglicht. Besonderer W~rt wurde auf die Darlegung der Vorteile,
die sich bei Symmetrie und Antimetrie auch beim CRoss-Verfahren er
geben, gelegt, da oft schon in Zeitschriftenaufsätzen die Aumützung
dieser Vorteile beim CRoss-Verfahren fälschlich als nicht möglich be
zeichnet wurde.
Im Abschnitt B sind die horizontal verschieblichen Tragwerke be
handelt, und zwar erstens mit Hilfe der Zusatzmomentenfläche und
zweitens durch Einbeziehung der Horizontalkraft in den Ausgleich.
Im Abschnitt C wird die Entwicklung von Einflußlinien beim CROSS
Verfahren mit Hilfe der Einheitsmomentenbelastung gezeigt.
Der Abschnitt D enthält die Anwendung bei veränderlichem Träg
heitsmoment mit all den hierfür erforderlichen Formeln.
In achtzehn vollständig durchgerechneten Zahlenbeispielm sind
alle Rechenverfahren erläutert.
Es seien hier noch einige grundsätzliche Bemerkungen über das
CRoss-Verfahren eingeschaltEt:
IV Vorwort.
Das CRoss-Verfahren stellt keine Näherungsmethode dar, etwa wie
das Arbeiten mit gescllätzten Momentennullpunkten, sondern eine
Methode der schrittweisen Annäherung, die das Ergebnis mit einer
beliebigen Genauigkeit liefert. In mathematischer Hinsicht ist es eine
neue Methode der Auflösung eines linearen Gleichungssystems, die
aber für die praktische Anwendung wesentliche Vorteile bietet.
Die Aufstellung deI'! Gleichungssystems wird umgangen und damit,
abgesehen vom Arbeitsaufwand, eine Möglichkeit für Rechenfehler,
die sich erst am Schluß durch statische Kontrollbedingungen aufdecken
lassen, vermieden.
Die Rechengenauigkeit braucht niemals aus rein mathematischen
Griinden (Fehlerempfindlichkeit der Matrix) über ein technisch erfor
derliches Maß gesteigert werden.
Die Berechnung kann jeweils nach Erreichung der für den vorlie
genden Fall erforderlichen Genauigkeit abgebrochen werden.
Der Nachteil, der bei der Behandlung mehrerer Lastfälle darin
liegt, daß der gesamte Ausgleich für jeden Lastfall wiederholt werden
muß, läßt sich durch Anwendung des zweistufigen Verfahrens bzw.
durch die geschlossenen Lösungen weitgehend ausschalten. Wie an
dem Durchlauft räger über fünf Stützen, der nach dem normalen und
nach dem zweistufigen Ausgleich behandelt ist, gezeigt wird, kann
man den Arbeitsaufwand für den Ausgleich beim zweistufigen Verfahren
soweit verringern, daß er nicht mehr Zeit beansprucht als für die Lösung
der rechten Seite einer Matrix erforderlich ist.
Ich möchte auch an dieser Stelle Herrn Dr. lng. MARKUS KÖPE
für seine wertvolle Mitarbeit danken.
Ebenso danke ich dem Geschäftsführer der Münchener Bau
Ingenieurbüro G. m. b. H., Herrn Dr. lng. D. ZIWOGLU, für die Durch
sicht der Korrekturbogen.
München, im Mai 1948
Johannes Johannson.
Inhaltsverzeichnis.
Seit-e
A. Die unverscbieblichen Tragwerke . . . . . . . 1
1. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . 1
1. Physikalische Deutung des Cross.Verfahrens 1
2. Festwerte . . . . . . . . . 2
a) Der Übertragungsfaktor y 2
b) Steifigkeitswerte . . . . 2
c) Der Verteilungsfaktor p. • 4
3. Vorzeichenregel . . . . . . 5
4. Allgemeines über verschiebliche und unverschiebliche Tragwerke 7
H. Au sgleichsverbhren. . . . . . . . . . . . . 9
1. Der Momentenausgleich am System . . . . . . 9
1. Beispiel: Der Durchlauft räger mit Kragarm . 12
2. Beispiel: Unverschieblicher Stockwerkrahmen 14
2. Der Momentenausgleich in tabellarischer Form . 16
3. Beispiel: Unverschieblicher Stockwerkrahmen (Ausgleich in
tabellarischer Form) . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Der 'zweistufige Ausgleich ................ 19
4. Beispiel: Durchlauft räger, nach dem zweistufigen Verfahren
gerechnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4. Eine weitere Vereinfachung für den zweistufigen Ausgleich 24
5. Beispiel: Der Durchlauft räger (s. 1. Beispiel) ..... 26
6. Beispiel: Zweistöckiger Rahmen . . . . . . . . . . . . 26
5. Geschlossene Lösungen für Tragwerke mit drei, vier oder fünf
Knoten. . . . . . . . . . . . . .. ...... 31
(j. Vereinfachung des Berechnungsganges bei Symmetrie und
Antimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7. Beispiel: Eingespannter symmetrischer l~ahmen 36
8. Beispiel: Hallenrahmen . . . . . 37
9. Beispiel: Hoher Stockwerkrahm"n 38
B. Die verschieblichen Tragwerke . . . . . . . 41
I. Horizontalverschiebliche Rahmen 41
1. Einstöckige Rahmen . . . . . . . . 41
2. Mehrstöckige Rahmen . . . . . . . 47
10. Beispiel: Hallenrahmen unter Windlast 49
11. Beispiel: Nach der Seite zweifach verschieblicher Hallen.
rahmen unter Winddruck 51
H. Vertikal verschiebliehe Rahmen 56
IH. Der Au sgleic h un ter Ein beziehung der Horizontalkraft 58
12. Beispiel: Einfach verschieblicher Rahmen unter Windlast 63
VI Inhalt sverzeichnis.
Seit
13. B~ispiel: Hoher Stockwerkrahmen unter Windhclastung 65
14. Beispiel: Hochhaus unter Winddruck . 67
IV. Einfluß von Temperaturänderungen 71
1. Gleichmäßige Temperaturänderung . . 71
2. Ungleichmäßige Temperaturänderung 76
3. Einfluß der Normalkräfte 77
4. Auflagerverschiebung . . . . . . . 78
15. Beispiel: Rahmen mit Sheddach 78
C. Einflußlinien 82
16. Beispiel: Rahmenbrücke; Einflußlinie für das Stützmoment
3,4 bei unveränderlichem Trägheitsmoment 84
D. Veränderliche Trägheitsmomente . . . . . . . 88
I. Festwerte . . . . . . . . . . . . . . . 83
1. Bestimmung der Übertragungsfaktoren . 92
2. Bestimmung der Steifigkeit. . . . . . 92
3. per auf Stablänge veränderliche Stiel bei Seitenverschiebung 94
4. Bestimmung der Winkel und ß . . . . '.' . . . 91i
(X
17. Beispiel: Rahmenbrücke mit veränderlichem Trägheits.
moment unter gleichmäßiger Belastung . . . . . . . . . 99
18. Beispiel: Rahmenbrücke; Einflußlinie für das Stützmoment
3,4 bei veränderlichem Trägheitsmoment 102
II. Nebenspannungen im Fachwerk. 107
Anhang: Tabellen . . . . . . . . 110
A. Die ullverschieblichell Tragwerke.
I. Grundbegriffe.
1. Physikalische Deutung des Cross-Verfahrens.
Professor CROSS geht von einem System mit unverdrehbaren Knoü·n
aus. Die infolge der Belastung der einzelnen Stäbe auftretenden Mo
mente sind dann iden-
tisch mit den Momenten
beiderseits eingespann
ter Träger (s. Abb. 1).
Um eine möglichst an
schauliche Vorstellung J. uilb ....." t,~llllIlfl!.!lJlI!!b...""~rmm,,..dlllWlllJ----__~ ~
von den physikalischen
Vorgängen zu gewinnen,
dicden einzelnenRechen
operationen zugrunde
liegen, denken wir uns
von dem in Abb. 1 dar
A 11b. 1. Momentenverlauf am System
gestellten Rahmen ein mit unverdrehbal'en Knot.en.
Modell gt~fertigt, dessen
Knoten durch senkreeht zur Rahmenebene angebrachte Schrauben un
verdreh bar festgehalten sind.
Das System mit starren Knoten wird nun durch stufenweises Lösen
der Festhalteschrauben in das wirkliche Tragwerk mit frei drehbaren
Knoten überführt. Wir beginnen mit dem Öffnen des linken Knotens,
infolge der äußeren Belastung verdreht er sich. Durch die Verdrehung
des Knotens treten in den Stabenden der am geöffneten Knoten ange
schlossenen Stäbe Momente auf, die zu den Einspannstellen wie zu den
Nachbarknoten weitergeleitet werden. Nun blockieren wir die soeben
gelöste Schraube und öffnen die Festhaltung des rechten Knotens. Da
mit treten die gleichen Vorgänge ein, wie sie vorher für den linken Knoten
beschrieben wurden. So erhält z. B. das Stabende 2,1 ein Moment, das
zum Knoten 1 übertragen wird. Dieses Moment ist bestrebt, die vorher
kräftefreie Festhaltung des Knoten 1 zu verdrehen.
Durch mehrmaliges Öffnen und Schließen der Knoten werden die
v, echselseitig übertragenen Momente kleiner und kleiner. Das System
geht so allmählich in das wirkliche Tragwerk mit frei drehbaren Knoten
über. Zur leichteren Darstellung wurde ein System mit zwei Knotell
Johaunson, Cross·Verfabren. 1
2 Die unversthieblichen Tragwerke.
gewählt, der gleiche Gedanke läßt sich selbstverständlich auf Trag
werke mit beliebig vielen Knoten ausdehnen.
Bei den Rechenoperationen, die den geschilderten physikalischen
Vorgängen entsprechen, werden einige, nur von der Gestalt. des Trag
werkes abhängige Hilfswerte benötigt. Im Folgenden werden diese
Werte abgeleitet.
2 .. Festwerte.
a) Der iJbertragungsfaktor y.
Die folgenden Untersuchungen werden alle unter der Voraussetzung
stabweise unveränderlicher Trägheitsmomente gemacht. Die gleichen
Begriffe werden später in etwas anderer Form für Stäbe mit veränder
lichem Trägheitsmoment abgeleitet. Unter dem übertragungsfaktor
versteht man den Wert 1', mit dem das am frei drehbar gelagerten Ende
eines Trägers angreifende Moment M zu multiplizieren ist, um das
2
am eingespannten Ende auftretende Moment Mt zu erhalten (siehe
Abb.2). Die Berechnung von MI geschieht am einfachsten mit Hilfe
der CLAPEYRoNschen Gleichung:
,~
.. I
~----l
Abb.2.
Also beträgt I' = 1/2. Das Vorzeichen wird nicht berücksichtigt, da y
bei der weiteren Rechnung nur als absolute Zahl in Erscheinung tritt.
b) Steifigkeitswerte.
Steifigkeit k.
Unter der Steifigkeit k eines Trägers versteht man das Moment,
das am frei aufliegenden Trägerende angreift und hier die Winkel
drehung "eins" hervorruft, wenn das andere Trägerende eingespannt
ist. Je gedrungener ein Träger
1
ist, um so größer muß das
J
Moment sein, das die Winkel-
) N drehung "eins" vernrsacht,
um so steifer ist also der
Träger. Da nach MOHR die
Verdrehung der Balkenend
Abb.3.
querschnitte gleich dem Auf.
lagerdruck des mit der ~ -Fläche belasteten Trägers ist, läßt sich
EJ
Grundbegriffe. 3
unter Beachtung von Abb. 3 folgende Bedingungsgleichung zur Berech
nung von M = kaufstellen:
M 1 2 M 1 1
)8=1'= 1= EJ'2'P;- 2EJ '2'3'
Jf= k= 4EJ,
1
Steifigkeit k'o
Unter der Steifigkeit k' eines Trägers versteht man das Moment.,
das am frei aufliegenden Tlägerende angreift und hier die Winkeldrehung
"eins" hervorruft, während das andere Trägerende ebenfalls frei dreh
bar gelagert ist (s. Abb. 4). Auch hier läßt sich wieder unter Beachtung
des MOHRsehen Satzes die Be
dingungsgleichung aufstellen:
M 1 2
)8=1'=1= EJ'2'-:;S,
3f".
.M = k' =
Abb. i.
Steifigkeit k".
Die Steifigkeit k" wird definiert als· das Moment; das am frei auf·
liegenden Trägerende angreift und hier die Winkeldrehung "eins"
hervorruft, während am anderen, ebenfalls frei drehbar gelagerten
Trägerende ein gleich großes,
entgegengesetzt gerichtetes
Mome~t an gre.ift (s: Abb. 5). JI(f~, :m'~I )r
In glelCher Welse WIe vorher f-~ _ ro,
ergibt sich:
" 2EJ l - J
M = k = -t- Abb. 5. SYllllnetrisehe Belastung.
Steifigkeit k"'.
Unter der Steifigkeit k'" versteht man das Moment, das am frei
aufliegenden Trägerende die Winkeldrehung "eins" hervorruft, während
am anderen Trägerende ein
gleich großes Moment mit
M( )iI
gleichem Drehsinn angreift (s.
Abb. 6). Nach Auflösung der "
Bedingungsgleichung erhalten
wir wieder:
~~[ = k'll = 6EJ Abh.6. Antimetrische Belastung.
1 •
Da fabt alle zu berechnenden Tragwerke aus demEelben Baubtoff herge
stellt sind, braucht der Einfluß des Elastizitätsmoduls auf die Stcifig-
1*
4 Die un'lerschieblilhen Tragwerke.
keit im allgemeinen nicht berücksichtigt werden. Außerdem benötigen
wir nicht die Steifigkeit selbst, sondern nur Verhältniswerte. Also.
können wir k beliebig erweitern oder kürzen. Wir kürzen k durch 4 E
und beziehen die übrigen Steifigkeiten auf lc und erhalten somit:
k=i...· k'=:!...k· k"=~:' k'''=~k
l ' 4' 2 ' 2 .
c) Der V( 'rteilungsfaktor fL.
Gegeben sei das auf den Knoten 0 wirkende Moment M, gesucht
die in den einzelnen Stäben im Knoten 0 auftretenden Momente:
M Mo,;; Mo,n.····
O•1;
Die Stäbe ZO,l; Zo, 2; Zo, n .... seien im Knoten 0 biegungssteifverbunden
und in ihren Endpunkten teils fest
eingespannt, t,eils gelenkig ange
schlossen (s. Abb. 7).
Die Ausdrücke für die Stabend
momente als Funktionen der Form
änderungsgrößen und der äußeren
Belastung werden später für den
allgemeinen :Fall eines Stabes mit
veränderlichem Trägheitsmoment
abgeleitet.
Für den speziellen Fall gleicher
AblJ.7.
Trägheitsmomente erhalten wir für
den, nur durch Knotenmomente belasteten unverschieblichen Stab, bei
elastischer Einspannung in den Punkten 0 und i:
4EJo i 2EJo i
(a) Mo,i=-z-' . TO,i+--Z-' Ti,O'
Q,i 0, i
Da die Stäbe laut Voraussetzung in den Punkten 1, 2 und i fest einge
spanntsind, wird Ti,O = Tl, 0 = T2,0 = Ound es entfällt somit das 2. Glied
in Gleichung (a).
Bei gelenkigem Anschluß im Punkte n gilt:
(b) 11,10 n = -31E.-lu' -n ' To t/'
, O,n •
Außerdem ist wegen der biegungssteifen Verbindung im Punkt 0:
= = = =
TO,i TO.1 TO,2 TO,n TO'
Somit ergibt sich für die auf die einzelnen Stäbe anfallenden Momente:
3E.!o n
Mo,n=-I-' 'TO:
".n
{cl
4EJo ~
MO,2= -t-' . To;
0,2