Curso de Historia da Matemática - Origens e desenvolvimento do Calculo - O Cálculo no Século XVIII - Fundamentos

61 Pages·1985·1.951 MB·Portuguese

by  Margareth E Baron

Curso de História
da Matemática
Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Curso de História
da Matemática
Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Unidade 4
O CÁLCULO NO SÉCULO XVIII
1: FUNDAMENTOS
H. J. M. BOS,
da equipe de preparação do Curso de História
da Matemática da Open University
Traducão de M.ª JOSÉ MATOSO MIRANDA MENDES
BE:J
Decanato de Extensão
Editam Universidade de Bmsília
Serviço de Ensino à Distância
Este livro ou qualquer parte dele
não pode ser reproduzido
sem autorização escrita do Editor.
1 9 8 5
Impresso no Brasil
EDITORA UNIVERSIDADE DE BRASILIA
Campus Universitário, Asa Norte
70.910 BRASÍLIA, Distrito Federal
Copyright © 1974 The Open University
Direitos exclusivos· de edição em língua portuguesa:
Editora Universidade de Brasília
Equipe de preparação do Curso de História da Matemática (AM289) da
Open University:
Diretor Geral - GRAHAM FLEGG
Unidades AM289 Cl-CS, Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Autores - MARGARET E. BARON e H. J. M. Bos
Edição brasileira
Revisão geral: JOSÉ RAIMUNDO BRAGA COELHO e REGINA CoELI A. MARQUES
Editoração: GERALDO HUFF e MANUEL MONTENEGRO DA CRUZ (Editores);
FATIMA REJANE DE MENESES (Controle de Texto)
Serviço de Ensino à Distância:
Coordenador: T ARCISIO MEIRA CÉSAR
Capa: CLARICE SANTOS
Ilustração: LAPLACE
O presente volume faz parte do Curso de História da Matemática:
Origens e Desenvolvimento do Cálculo da Universidade de Brasília.
Uma lista das unidades que compõem o curso pode ser encontrada ao
final desta unidade.
Para informações acerca da disponibilidade do material de leitura
citado neste texto, escreva à Universidade de Brasília, Decanato de
Extensão, Serviço de Ensino à Distância. Campus Universitário, 70.91 O
Brasília, Distrito Federal.
FICHA CATALOGRÁFICA
elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de Brasília
Baron, Margaret E.
8265h Curso de história da matemática: origens e desenvolvimento do
càlculo, por Margaret E. Baron e H. J. M. Bos. Trad. de José Raimundo
Braga Coelho, Rudolf Maior e M.• José M. M. Mendes. Brasília, Editora
Universidade de Brasília, 1985, cl974.
5v. ilust.
Título original: History of mathematics: origins and development of
the calculus.
51(09) 517(09)
Bos,H J M, , colab.
ISBN 85-230-0172-7 (série)/85-230-0176-X (Unidade 4)
SUMÁRIO
Unidade 4: O cálculo no século XVIII
I: F1D1damentos
Objetivos
Nota sobre as questões
4.0. Introdução
Parte A: Conceitos fundamentais
do cálculo no século XVIII
4.1 . O cálculo por volta de 1700 3
4.2. O início da difusão do cálculo leibniziano 4
4.3. Diferenciação - A Analyse de l'Hôpital 7
4.4. Integração - Cálculo integral de Bernoulli 12
4.5. Os fundamentos do cálculo - três questões básicas 15
4.6. Debates e opiniões iniciais sobre as questões básicas 17
4.7. A crítica de Berkeley sobre o cálculo 18
4.8. O desenvolvimento posterior dos conceitos
fundamentais do cálculo 22
4.9. Resumo dos debates sobre os fundamentos
do cálculo depois de Berkeley 23
4.1 O. O conceito de limite 27
4.11. Desvantagens do conceito de limite de d'Alembert 31
4.12. O conceito de função no século XVIII -
Continuidade 35
Interlúdio : O desenvolvimento geral do cálculo
no século XVIII
4.13. O cálculo no século XVIII 37
4.14. O cálculo na Grã-Bretanha 37
4.15. O cálculo na Europa Continental 40
4.16. Do cálculo à análise 43
Parte B: Cauchy e os progressos ulteriores
4.17. Cauchy 45
4.18. Variáveis, continuidade e a derivada 46
4.19. A integração 50
4.20. Epílogo: Depois de Cauchy 53
Referências bibliográficas 55
Agradecimentos 56
Objetivos
Esta
unidade dedica-se à história do cálculo desde a época
de Newton e Leibniz até a época de Cauchy. Concentra-se
na história dos fundamentos do cálculo. mas inclui também
um resumo dos principais progressos do cálculo. É concluída
por uma pequena seção sobre o período após Cauchy.
Após trabalhar com esta imidade. você deve ser capaz de:
l. Aplicar, em exemplos simples, os conceitos e métodos
de diferenciação e integração de acordo com l'Hôpital e
Johann Bernoulli.
2. Formular os problemas básicos a respeito das diferenciais
como eram usadas no cálculo Ieibniziano e a respeito das
razões primeiras e últimas do cálculo íluxional de Nev.ton.
3. Entender os principais passos no desenvolvimento dos
fundamentos do cálculo no período, especialmente:
a) o surgimento do conceito de limite (Robins, d'Alembert);
b) os problemas básicos resolvidos pela introdução desse
conceito de limite:
c) as dificuldades ainda ligadas ao conceito de limite;
d) sua explicação através do uso do conceito de função (de-
finição da derivada de Cauchy).
4. Definir e explicar di krenças características entre o desen
volvimento do cálculo íluxional na Inglaterra e do cálculo
diferencial no continente europeu.
5. Caracterizar o desenrnh imento do cálculo (e da análise
em geral) no século XVIII. com respeito a:
a) o aparecimento de um estilo analítico, ao invés de um
estilo geométrico:
b) a criação de matérias especializadas e a interação da
análise com as ciências naturais.
6. Definir os mais importantes aspectos do tratamento dado
por Cauchy aos conceitos fundamentais do cálculo. especial
mente com relação a:
a) sua modificação no uso do termo "infinitamente pequeno":
b) suas definições de continuidade e da derivada:
c) sua definição da integral definida:
d) sua prova do teorema fundamental.
ORIGU-.1S E DEStNVOLVJMENTO DO (°/Í/.CU.O -
Nota sobre as questões
Várias questões foram incluídas no texto. Algumas delas
foram especialmente planejadas para que você se certifique
de ter entendido os principais pontos das seções correspon
dentes; outras questões têm o objetivo de orientá-lo na con
sulta dos livros indicados e na seleção de material suple
mentar. Em alguns casos os exercícios requerem comentários
críticos e, em outros casos, pede-se que você resuma partes
do texto. A menos que haja instruções em contrário, suas
respostas devem limitar-se a duas ou três frases curtas. É pos
sível que você também precise elaborar um resultado sozinho,
completar uma demonstração usando um método indicado,
ou ainda verificar um resultado usando seu próprio conheci
mento de matemática contemporânea.
Recomenda-se que você faça cada questão ou conjunto de
questões antes de continuar a leitura do texto. Uma resposta
avaliativa (R.A.) aparece logo após cada questão sempre
que necessário. Naturalmente, é de seu próprio interesse
olhar a resposta somente após haver completado sua ten
tativa em responder a respectiva questão.
Antes de continuar esta unidade, você deveria reler o
"Guia para a leitura das unidades", nas páginas 4-5 da
unidade !.
2 - CURSO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
4.0. INTRODUÇÃO
A
quarta e a quinta unidades deste curso ocupam-se da his
tória do cálculo após Newton e Leibniz. Restringimo-nos
ao período anterior à publicação dos manuais de Cauchy,
entre 1821 e 1823. Há duas razões para estabelecermos tal
limite. Primeiramente, os livros de Cauchy marcam o fim
de um período de confusão sobre os fundamentos do cálculo.
Contrariamente aos seus predecessores do século XVIII,
Cauchy apresentava o cálculo basicamente como ele ainda é
tratado nos livros modernos. Em segundo lugar, depois do
século XVIII, o desenvolvimento do cálculo e os problemas
tratados por ele tornaram-se tão complicados que é dificil
descrever a história posterior no contexto do presente curso.
Caso o leitor esteja interessado no cálculo depois de Cauchy,
poderá consultar o capítulo 25 do livro História da Ma
temática de Boyer.
Na unidade 5, mostraremos como o cálculo foi usado e apli
cado a problemas especiais. Quanto ao desenvolvimento do
cálculo, nos concentraremos, nesta unidade, na história de
seus conceitos fundamentais.
PARTE A - Conceitos fundamentais do cálculo
no século XVIII
4.1. O CÁLCULO POR VOLTA DE 1700
Como vamos dedicar a maior parte desta unidade aos con
ceitos fundamentais do cálculo (diferencial, fluxão, integral,
quociente diferencial, limite, derivada) no século XVIII, co
meçaremos apresentando estes conceitos como se encon
travam no começo do século. Consultaremos a unidade 3
quando nos referirmos às fluxões de Newton, em particular
à sua apresentação do cálculo na obra De quadratura.
Por outro lado, com relação ao cálculo leibniziano, não po
demos reportar-nos aos dois artigos de Leibniz de 1684 e
1686. Esses artigos, conforme vimos, foram breves e im
completos, além de não serem muito claros quanto à explica
ção dos conceitos de diferencial e integral. Além do mais
o conceito de diferencial como uma linha finita, formulado
por Leibniz no artigo de 1684, não foi usado no desenvolvi
mento posterior do cálculo leibniziano e sua concepção da
integral corno uma soma também foi modificada mais tarde.
ORIGENS E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO - 3
Há duas fontes melhores que podemos usar para ilustrar
os conceitos do cálculo leibniziano. São elas os livros
Analyse des infiniment petits, de l'Hôpital (1696), e Lectiones
mathematicae de methodo integraliun'-z, de Johann Bernoulli
(1691/2) (mas publicado somente em 1742). Nas seções 3 e 4,
citaremos passagens dessas fontes sobre os conceitos de dife
rencial e integral, mas primeiramente diremos algumas pala
vras sobre os autores e suas contribuições para a discussão
inicial do cálculo leibniziano.
Q.A. 1
Verifique na unidade 3 o que está subentendido no conceito
de Leibniz da diferencial como uma linha finita (conforme
publicado no artigo de 1684); faça o mesmo para o conceito
da integral como uma soma.
R.A. 1
Leibniz apresentou a diferencial em seu artigo de 1684 da
seguinte maneira:
Seja AC uma curva (ver figura), CT a tangente em C. BT= t
dx a subtangente. Dada uma linha finita fixa dx, então a di fe
f--------i
rencial dy de y em C é a linha finita que satisfaz a proporção
y
dy
dy : dx = y : t . . . ou ... dy= - dx
t
T X
•------A- ---------•B (ver a seção 15 da unidade 3)f.
t
Leibniz considerou a integral ydx como a soma de in fin i
tos retângulos infinitamente pequenos ydx sob uma curva
(ver a seção 14b da unidade 3).
4.2. O INÍCIO DA DIFUSÃO DO CÁLCULO
LEIBNIZIANO
O início da difusão do cálculo leibniziano deveu-se, em grande
parte, às atividades dos irmãos Jakob e Johann Bernoulli
(1654-1705 e 1667-1748, respectivamente). O nome Bernoulli
tornou-se o mais famoso nome na matemática; desde a
geração de Jakob e Johann tem havido Bernoullis traba
lhando em matemática e em outros campos do conhecimento,
há mais de dois séculos.
Jakob formou-se em teologia, mas seu principal interesse era
a matemática, que ele estudou por si próprio. Em 1687
tornou-se professor de matemática em Basiléia; de 1687 a
1690 estudou,juntamen:e com seu irmão, os artigos de Leibniz
Jakoh Bernoulli, em uma gravura de P. Dupin
(Biblioteca do Royal College of Physicians, sobre o cálculo. Juntos dominaram o cálculo, o que não
Londres). foi tarefa de pequena monta, considerando-se a dificuldade
4 - CURSO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
dos artigos. Nessa época, Johann, que era 13 anos mais
jovem que seu irmão, estudava medicina em Basiléia, for-·
mando-se em 1690. No mesmo ano Jakob publicou um artigo
na Acta eruditorum (ver unidade 3), onde usou a notação
leibniziana.
Assim começou toda uma série de artigos, na Acta e em
outras publicações, escritos pelos Bernoulli e pelo pró
prio Leibniz, através dos quais o cálculo leibniziano tornou-se
amplamente conhecido. Os assuntos tratados nesses artigos
eram, entre outros, a catenária, as espirais, as. formas de
corpos elásticos sob tensão, a curvatura, a braquistócrona
e várias equações diferenciais (algumas das quais serão dis
cutidas na unidade 5). Desta forma, os matemáticos contem
porâneos puderam ver a aplicação do cálculo, mas era pre
ciso ser um matemático de muito talento para realmente
aprender cálculo a partir desses artigos. Faltava, entretanto,
um livro apropriado. Essa falha foi suprida pela obra Analyse
des infiniments petits, escrita pelo marquês Guillaume Fran
çois ·de l'Hôpital (1661-1704). Este livro tem uma história
curiosa, que começou em 1691 quando Johann Bernoulli
chegou a Paris onde travou conhecimento com o marquês
de l'Hôpital, matemático experi.!nte, versado em matemática
cartesiana e bastante interessado nos métodos infinitesimais.
Durante uma discussão sobre a curvatura, Bernoulli impres
sionou-o ao calcular em poucos minutos o raio de curvatura
para várias curvas (provavelmente aplicando a fórmula
r = · ~sd3 , ver unidade 5). L'Hôpitai ficou tão impressionado
d y X .
que pediu ao jovem matemático de Basiléia para tornar-se
seu professor particular e para explicar-lhe todos os segredos
desse novo cálculo. Bernoulli aceitou e, muito bem remune
rado, lecionou cálculo diferencial e integral. O assunto ensi
nado foi anotado e ainda existem manuscritos.
Em 1692 Johann Bernoulli deixou a França, mas manteve
contato com o marquês por correspondência. Por volta de
1696 l'Hôpital já havia utilizado o que aprendera com Ber
noulli na composição de seu livro sobre cálculo diferen
cial, a Analyse. L'Hôpital não incluiu cálculo integral em
seu livro porque Leibniz havia manifestado a intenção de
escrever um tratado completo sobre o cálculo. Contudo,
jamais realizou seu intento.
A maior parte do material do livro de l 'Hôpital já havia
sido discutida nas aulas de Bernoulli, mas a versão de
l 'Hôpital foi muito instrutiva, pois continha várias con
clusões suas. No prefácio ele mencionou vagamente seu re
conhecimento a Bernoulli, que na época nada reivindicou por
suas contribuições.
Reivindicou-o mais tarde, após a morte de l 'Hôpital, mas
então ele havia perdido a credibilidade em tais assuntos
Johann Bernoulli, em gravura de Huber, ori
devido a desavenças públicas, principalmente com seu irmão
ginal de J. J. Haid (Biblioteca do Royal
Jakob. Em 1742, Johann incorporou as conferências de College of Physicians, Londres).
ORIGENS E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO - 5