Curso de Historia da Matemática - Origens e desenvolvimento do Calculo - Newton e Leibniz

78 Pages·1985·1.993 MB·Portuguese

by  Margareth E Baron

Curso de História
da Matemática
Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Curso de História
da Matemática
Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Unidade 3
NEWTON E LEIBNIZ
MARGARET E. BARON e H. J. M. BOS.
da equipe de preparação do Curso de História
da Matemática da Open Unirersity
Tradução du Professor RUDOLF MAIER.
do Departa111<·1110 de .\faremúrirn da L'nil'ersidade
de Brasília
BEJ
Decanato de Extensão
&lzfom Universidade de Brasília
Serviço de Ensino à Distância
Este livro ou qualquer parte dele
não pode ser reproduzido
sem autorização escrita do Editor.
1 9 8 5
Impresso no Brasil
EDITORA UNIVERSIDADE DE BRASfLIA
Campus Universitário, Asa Norte
70.910 BRASÍLIA, Distrito Federal
Copyright © 1974 The Open University
Direitos exclusivos· de edição em língua portuguesa:
Editora Universidade de Brasília
Equipe de preparação do Curso de História da Matemática (AM289) da
Open University:
Diretor Geral - ÜRAHAM FLEGG
Unidades AM289 Cl-C5, Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Autores - MARGARET E. BARON e H. J. M. Bos
Edição brasileira
Revisão geral: JOSÉ RAIMUNDO BRAGA COELHO e REGINA COELI A. MARQUES
Editoração: GERALDO HUFF e MANUEL MONTENEGRO DA CRUZ (Editores);
FATIMA REJANE DE MENESES (Controle de Texto)
Serviço de Ensino à Distância :
Coordenador: TARCÍSIO MEIRA CÉSAR
Capa: CLARICE SANTOS
Ilustração: NEWTON e LEIBNIZ
O presente volume faz parte do Curso de História da Matemática:
Origens e Desenvolvimento do Cálculo da Universidade de Brasília.
Uma lista das unidades que compõem o curso pode ser encontrada ao
final desta unidade.
Para informações acerca da disponibilidade do material de leitura
citado neste texto, escreva à Universid~de de Brasília, Decanato de
Extensão, Serviço de Ensino à Distância. Campus Universitário, 70.910
Brasília, Distrito Federal.
FICHA CATALOGRÁFICA
elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de Brasília
Baron, Margaret E.
B265h Curso de história da matemática: origens e desenvolvimento do
cálculo, por Margaret E. Baron e H. J. M. Bos. Trad. de José Raimundo
Braga Coelho, Rudolf Maier e M.• José M. M. Mendes. Brasília, Editora
Universidade de Brasília, 1985, cl974.
5v. ilust.
Título original: History of mathematics: origins and development of
the calculus.
51(09) 517(09)
Bos, H J M, , colab.
ISBN 85-230-0172-7 ísérie)/85-230-0175-1 (Unidade 3)
SUMÁRIO
Unidade 3: Newton e Leibniz
Objetivos 3
Nota sobre as questões 4
3.0. Introdução 5
3.1. Isaac Newton ( 1642-1727) 6
3.2. Os estudos matemáticos de Newton 8
3.3. A obra de Newton sobre o cálculo 12
3.4. O método das séries infinitas 14
3.5. De Analysi 19
3.6. As fluxões e os fluentes 25
3.7. As primeiras e as últimas razões 31
3.8. Que espécie de problemas Newton resolveu? 35
3.9. Resumo da contribuição de Newton ao cálculo 39
3.10. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 40
3.11. A charactl'ristica g<'nera/is 43
3.12. As raízes da descoberta de Leibniz 44
3.13. Aspectos de um processo de descoberta 52
3.14. Os conceitos do cálculo de Leibniz 58
3.15. A publicação do cálculo de Leibniz 61
3.16. Conclusão 68
Referências bibliográficas 73
Agradecimentos 74
Sir Tsaac New/on, uma gravura de W. T. Fry,
segundo um original de Kneller (Manse/1
Col/ecrion).
Go11fried Wilhelm Leibniz, Florence Gal/ery,
gravura de B. Hall (Manse/1 Co/lection).
Objetivos
Ü
propósito fundamental desta unidade é discutir o desen
volvimento do cálculo infinitesimal de Isaac Newton e
Gottfried Wilhelm Leibniz no último quartel do século
XVII. Depois de estudar esta unidade, você deverá estar
apto a:
1. Descrever o desenvolvimento do primeiro trabalho de
Newton sobre cálculo infinitesimal, especificando as obras
nas quais ele baseou suas idéias.
2. Definir o significado do "método das séries infinitas",
indicando as etapas através das quais Newton desenvolveu
sua "série binomial".
3. Apresentar os aspectos que caracterizam o trabalho de
Newton sobre quadratura de curvas.
4. Explicar o significado dos termos fluxões e fluentes, dando
exemplos do "método de fluxões" de Newton.
5. Descrever algumas das idéias que estão implícitas nos
conceitos de primeira e última razões.
6. Listar alguns pontos da investigação de Newton sobre a
curvatura.
7. Descrever as três idéias básicas de Leibniz que influencia
ram a invenção do seu cálculo.
8. Explicar as etapas principais no processo desta invenção,
relacionando-as com as três idéias básicas.
9. Estabelecer como Leibniz conceituou a diferencial e a
integral.
10. Analisar a primeira publicação de Leibniz sobre o cálculo.
esclarecendo a forma na qual foi apresentado e avaliando sua
clareza para os leitores contemporâneos.
11. Identificar as principais diferenças entre o cálculo de
Newton e o de Leibniz.
12. Identificar as diferenças fundamentais entre o cálculo de
Newton e Leibniz e o cálculo moderno.
ORIGENS E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO - 3
Nota sobre as questões
Várias questões foram incluídas no texto. Algumas delas
foram especialmente planejadas para que você se certifique
de ter entendido os principais pontos das seções correspon
dentes; outros exercícios têm o objetivo de orientá-lo na
consulta dos livros indicados e na seleção de material suple
mentar. Em alguns casos as questões requerem comentários
críticos e, em outros casos, pede-se que você resuma partes
do texto. A menos que haja instruções em contrário, suas
respostas devem limitar-se a duas ou três frases curtas. É pos
sível que você também precise elaborar um resultado sozinho,
completar uma demonstração usando um método indicado,
ou ainda verificar um resultado usando seu próprio conheci
mento de matemática contemporânea.
Recomenda-se que você resolva cad~\questão, ou con
junto de questões antes de continuar a leitura do texto. Uma
resposta avaliativa (R.A.) aparece logo após cada questão,
seinpre que necessário. Naturalmente, é de seu próprio
interesse olhar a resposta somente após haver completado
sua tentativa de responder a respectiva questão.
Antes de continuar esta unidade, você deveria reler o
"Guia para a leitura das unidades", nas páginas 4-5 da
unidade 1.
4 - CURSÓ DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
3.0. INTRODUÇÃO
Ü
desenvolvimento do cálculo infinitesimal seguiu um
caminho longo e irregular, que se estendeu das especulações
filosóficas ·dos antigos gregos e das demonstrações clássicas
de Arquimedes até o século XVII, quando mudanças sig
nificativas ocorreram - tanto na quantidade de trabalho
realizado quanto na natureza dos métodos utilizados. O
grande número de resultados bem-sucedidos que tinham sido
acumulados tornou possível perceber mais claramente o
advento de um modelo padrão, que por sua vez despertou o
interesse para o estabelecimento de regras algorítmicas, gra
ças às quais foi logo possível formular resultados e evitar
várias passagens intermediárias.
Simultaneamente, a crescente extensão e a variedade de
material que se tornou disponível - independentemente da
sua origem - sugeriu a necessidade do estabelecimento de
uma estrutura unificada e organizada pela qual, em primeiro
lugar, pudessem ser apresentados teoremas gerais para depois
poder obter resultados especiais dessa teoria geral. Por volta
de 1670, Gregory e Barrow tentaram estabelecer esse quadro
organizado, mas os seus esforços não foram reconhecidos,
já que eles preferiam referir-se aos métodos da geometria
euclidiana e à estrutura das demonstrações de Arquimedes,
enquanto a tendência da época ainda favorecia os métodos
algébricos não-rigorosos.
Nesta unidade vamos nos ocupar quase exclusivamente com
a obra de dois matemáticos - Is_aac Newton e Gottfried
Wilhelm Leibniz - aos quais a tradição atribuiu um papel
central na "invenção" do cálculo. Ainda que o cálculo não
tenha começado nem terminado com estes dois homens.
cabe a eles um grande mérito. Newton estendeu e unificou os
vários processos de cálculo e Leibniz ligou-os através de uma
notação eficaz e de um novo cálculo operacional.
O leitor pode imaginar a polêmica que surgiu entre Newton
e Leibniz e seus seguidores sobre a prioridade na invenção
do cálculo. Essa polêmica foi extremamente amarga e as suas
repercussões influenciaram,' de maneira significativa, a evo
lução da matemática - especialmente na Inglaterra no século
XVIII. Não obstante, estamos lidando principalmente com
a história das idéias matemáticas. não com paixões nacionais;
por isso achamos que atingiremos melhor o nosso objetivo se
deixarmos de lado a polêmica, e cuidarmos direta e separada
mente do desenvolvimento das obras de Newton, em Cam
bridge e de Leibniz em Paris. Ainda que não haja dúvida de
que esses dois cientistas tivessem um grande débito com seus
predecessores imediatos, as pesquisas recentes mostram que
a influência mútua era insignificante durante os períodos
decisivos em que faziam as suas próprias invenções originais.
ORIGENS E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO - 5
Para o leitor interessado na controvérsia, sugerimos que leia
em primeiro lugar o relato da obra de Newton e ,Leibniz
feito nesta unidade e depois o relato da controvérsia contida
em L. T. More (1934), Isaac Newton: uma biografia (Do ver
reprint, 1962). Veja também a unidade 4.
Q.A. 1
Leia Boyer1, p. 302-3, e faça anotações concisas sobre a
polêmica Leibniz-Newton. Dê uma razão pela qual a mate
mática, na Inglaterra do século XVIII, se desenvolveu lenta
mente.
R.A. 1
A matemática britânica se alienou dos desenvolvimentos no
resto da Europa devido à polêmica Newton-Leibniz. (Isso
será discutido em maiores detalhes na unidade 4.)
3.1. ISAAC NEWTON (1642-1727)
A maioria dos textos sobre Isaac Newton começam com
o depoimento de que ele nasceu no dia de Natal de 1642,
no mesmo ano em que Galileu faleceu. Política e intelectual
mente esse era um período tempestuoso. A guerra civil na
Inglaterra começou alguns meses antes; a revolução científica,
cujo começo pode ser considerado coincidente com a publica
ção da ilustre obra de Copérnico De revolutionibus orbium
coelestium (Revolução das esferas celestes) em 1543, foi
amplamente desenvolvida pelas obras de outros astrônomos,
entre os quais se destacam Kepler e Galileu. Enquanto Co
pérnico reintroduzia a idéia de que o sol estava no centro do
universo (uma idéia defendida antigamente por Aristarco
de Samos, 300 a.C.), outros cientistas verificavam algumas
das implicações dessa hipótese, do ponto de vista de uma
investigação científica. Durante o século XVII, dois conceitos
importantes e relacionados ganhavam crescente apoio:
a idéia de que os corpos celestes pudessem estar sujeitos
às mesmas leis dos corpos terrestres;
a idéia de que essas leis pudessem ser melhor compre
endidas mediante a matemática.
Era mais fácil aplicar e desenvolver essas idéias num país
protestante, de sorte que a data e o lugar do nascimento de
Newton foram relevantes para a sua obra.
Os fundamentos do pensamento intelectual de um período, as
idéias que um homem encontra durante seus primeiros anos de
1 BoYER, C. B. História da matemálica. S. Paulo, Ed. Edgard Blücher, 1974.
6 - CURSO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA