Curso de Historia da Matemática - Origens e desenvolvimento do Calculo - Indivisíveis e Infinitésimos

62 Pages·1985·1.888 MB·Portuguese

by  Margareth E Baron

Curso de História
da Matemática
Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Curso de História
da Matemática
Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Unidade 2
INDIVISIVEIS E INFINITÉSIMOS
MARGARET E. BARON
da ec1uipe de preparação do Curso de História
da Matemática da Open University
Tradução do Professor JOSI: RAIMUNDO BRAGA COELHO,
do Departamento de Matemática da Uni\'ersidade
de Brasília
BE:J
Decanato de Extensão
&litom Universidade de Brasília
Serviço de Ensino à Distância
Este livro ou qualquer parte dele
não pode ser reproduzido
sem autorização escrita do Editor.
1 9 8 5
Impresso no Brasil
EDITORA UNIVERSIDADE DE BRASiLIA
Campus Universitário, Asa Norte
70.910 BRASÍLIA, Distrito Federal
Copyright © 1974 The Open University
Direitos exclusivos· de edição em língua portuguesa:
Editora Universidade de Brasília
Equipe de preparação do Curso de História da Matemática (AM289) da
Open University:
Diretor Geral - GRAHAM FLEGG
Unidades AM289 Cl-CS, Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Autores - MARGARET E. BARON e H. J. M. Bos
Edição brasileira
Revisão geral: JOSÉ RAIMUNDO BRAGA COELHO e REGINA CoELI A. MARQUES
Editoração: GERALDO HUFF e MANUEL MONTENEGRO DA CRUZ (Editores);
FATIMA REJANE DE MENESES (Controle de Texto)
Serviço de Ensino à Distãncia :
Coordenador: TARciSIO MEIRA CÉSAR
Capa: CLARICE SANTOS
Ilustração: GALILEU
O presente volume faz parte do Curso de História da Matemática:
Origens e Desenvolvimento do Cálculo da Universidade de Brasília.
Uma lista das unidades que compõem o curso pode ser encontrada ao
final desta unidade.
Para informações acerca da disponibilidade do material de leitura
citado neste texto, escreva à Universichide de Brasília, Decanato de
Extensão, Serviço de Ensino à Distância. Campus Universitário, 70.91 O
Brasília, Distrito· Federal.
FICHA CATALOGRÁFICA
elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de Brasília
Baron, Margaret E.
8265h Curso de história da matemática: origens e desenvolvimento do
cálculo, por Margarcl E. Baron e H. J. M. Bos. Trad. de José Raimundo
Braga Coelho, Rudolf Maier e M.• José M. M. Mendes. Brasilia, Editora
Universidade de Brasília, 1985, cl974.
5v. ilust.
Título original: History of mathematics: origins and development of
the calculus.
51(09) 517(09)
Bos, H J M, , colab.
ISBN 85-230-0172-7 (série)/85-230-0174-3 (Unidade 2)
SUMÁRIO
Unidade 2: Indivisíveis e .infmitésimos
Objetivos 1
Nota sobre as questões 1
2.0. Introdução 3
2.1. Os primórdios do século XVI 5
2.2. Problemas novos 9
2.3. Reta e superficie indivisíveis 11
2.4. Indivisíveis - continuação 17
2.5. Indivisíveis na Inglaterra 21
2.6. Um outro método de quadratura 26
2.7. Modelos geométricos 30
2.8. Métodos de tangentes 31
2.9. Tangentes do movimento 39
2.10. A relação entre integração e diferenciação 40
2.11. O teorema fundamental do cálculo 42
2.12. As regras do cálculo 47
2.13. Retificação de arcos 51
2.14. Resumo das correntes
matemáticas significativas 55
Referências bibliográficas 56
Agradecimentos 57
Objetivos
Ü
objetivo principal desta unidade é resumir o desenvolvi
mento dos conceitos, técnicas e demonstrações relacionados
com a história do cálculo no século XVII, até meados de
1670. Deixaremos para examinar os trabalhos de Isaac
Newton na próxima unidade, mesmo sabendo que eles se
iniciaram em 1663. A unidade 3 será então destinada inteira
mente a Newton, e a Leibniz.
Depois de estudar esta unidade esperamos que você seja
capaz de:
l. Discutir a receptividade dos trabalhos de Arquimedes no
Ocidente e as modificações introduzidas nas estruturas das
demonstrações.
2. Identificar os problemas propostos por Fermat e des
crever alguns dos métodos usados para resolvê-los.
3. Discutir a natureza dos indivisíveis de Cavalieri, como
eles foram usados nos problemas de quadratura e como
diferentes matemáticos os aceitaram.
4. Discutir e comparar os vários métodos de tangentes
desenvolvidos.
5. Explicar como se relacionavam os métodos de quadra
turas e os de tangentes.
6. Entender o desenvolvimento das regras e algoritmos, ilus
trando com exemplos como eram usados.
7. Explicar o problema da retificação de arcos e descrever,
em termos gerais, o método usado por Heuraet para retificar
a parábola semicúbica.
Nota sobre as questões
Várias questões foram incluídas no texto. Algumas delas
foram especialmente planejadas para que você se certifique
de ter entendido os principais pontos das seções correspon
dentes; outras questões têm o objetivo de orientá-lo na con
sulta dos livros indicados e na seleção de material suple
mentar. Em alguns casos as questões requerem comentários
críticos, e em outros casos pede-se que você resuma partes
do texto. A menos que haja instruções em contrário, suas
respostas devem limitar-se a duas ou três frases curtas.
É possível que você também precise elaborar um resultado
ORIGENS E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO - 1
sozinho, completar uma demonstração usando um método
indicado, ou ainda verificar um resultado usando seu pró
prio conhecimento de matemática contemporânea.
Recomenda-se que você faça cada questão, ou conjunto
de questões antes de continuar a leitura do texto. Uma
resposta avaliativa (R.A.) aparece logo após cada questão,
sempre que necessário. Naturalmente, é de seu próprio in
teresse olhar a resposta somente após haver completado sua
tentativa em responder a respectiva questão.
Antes de continuar esta unidade, você devena reler o
"Guia para a leitura das unidades", nas páginas 4-5 da
unidade 1.
2 - CURSO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
2.0. INTRODUÇÃO
Üs
problemas relacionados com áreas, volumes e com
primentos de arcos fascinaram os primeiros matemáticos
da Itália, França, Inglaterra e Países Baixos durante o século
XVII. Foram obtidos novos resultados e gerados novos
métodos. Num clima de intensa competição e controvérsias
sobre prioridades, acusações de plágios (utilização de resul
tados de outros sen1 menção ao autor) eram comuns. A ten
dência de crítica aos autores, devido aos métodos empre
gados nos seus trabalhos, fez com que crescesse o número de
publicações desacompanhadas dos métodos empregados.
Esta atitude motivou a circulação de manuscritos não pu
blicados, acirrando ainda mais as disputas.
Enquanto protestos de louvor eram devotados às demons
trações de Arquimedes, por alguns, outros esforçavam-se
em construir demonstrações mais rigorosas. Acentuou-se o
hiato entre as demonstrações de geometria clássica dos
antigos e os métodos novos e excitantes do século XVII,
especialmente com a introdução do simbolismo algébrico.
Embora os métodos de quadratura e tangente tenham-se
desenvolvido separadamente, os matemáticos que se interes
savam por um, interessavam-se também pelo outro. Pro
gresso substancial foi obtido por volta da metade do séculct,
gerando grande variedade de métodos de tangente. Abri
ram-se então as portas para o desenvolvimento do elo entre
estes dois problemas. O elemento motivador principal fo~
o problema da retificação de arcos (resolvido agora por
integração) que proporcionou de maneira natural, por meio
da associação de arco e tangente, o relacionamento da qua
dratura com a tangente.
O volume de trabalho realizado nesta área, durante o século,
foi tão grande que seria simplesmente impossível discuti-lo
integralmente nesta unidade. Nos limitaremos a discutir apenas
uma fração dele. Não se deve permitir que a história da
matemática se limite à catalogação pura e simples de realiza
ções e isto é o que aconteceria se nos limitássemos a des
crever o papel da contribuição de todos os matemáticos para
o desenvolvimento do cálculo infinitesimal. Proporemos uma
seleção de exemplos e ilustrações de abordagens:
l. à integração (através da quadratura, cubatura e retifica
ção de arcos) ;
2. à diferenciação (através dos métodos de tangentes e pro
blemas relacionados com máximos e mínimos);
3. ao estabelecimento da ligação entre integração e diferen
ciação (através de retificação, cubatura, quadratura e tan
gente).
Devemos ter em mente que alguns dos mais elegantes métodos
ORIGENS E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO - 3
não foram até hoje publicados, não podendo, desta forma,
influenciar as gerações. Também deve-se notar que mesmo
os trabalhos publicados nãó chegavam ao conhecimento dos
matemáticos contemporâneos que trabalhavam em proble
mas semelhantes. Embora grande parte dos trabalhos im
portantes tenham sido publicados em latim, a língua comum
de todas as escolas européias, existiram algumas exceções
notáveis. Em todo caso, os livros e os editores eram muito
poucos e até mesmo a comunicação por correspondência era
perigosa. Alguns métodos novos foram transmitidos verbal
mente e por correspondência, e notícias deles eram trans
mitidas por terceiros. Se compararmos com os meios de
comunicação de hoje, onde a maioria dos serviços são guiados
Folha de rosto das Obras de Apolônio, 1537
(Turner Co/lection, University of Kee/e). pelo computador, além do número incrível de circulação de
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4 - CURSO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
informações por revistas especializadas e livros por todo o
mundo, ficaremos desapontados!
Q.A. 1
Antes de prosseguir a leitura (e sem se reportar ao passado),
faça um resumo dos principais desenvolvimentos do cálculo
durante o século XVII que pretendemos estudar nesta
unidade.
R.A. 1
Sua resposta deve concordar com a "Introdução" (2.0).
2.1. OS PRIMÓRDIOS DO SÉCULO XVI
Durante o século XV e no início do século XVI, os matemá
ticos preocuparam-se com uma grande variedade de pro
blemas práticos: arte, mecânica, contabilidade, agrimensura,
entre outros. Em conseqüência, havia mais interesse em
aplicar a geometria do que em entender Euclides. No final do
século XVI, o conhecimento da matemática grega ampliou
se muito, e devido à publicação de traduções em latim dos
Elementos de Euclides e das Cônicas de Apolônio, habilida
des matemáticas foram desenvolvidas, permitindo estudos
mais aprofundados da obra de Arquimedes. De todos os
matemáticos gregos, Arquimedes foi o que mais se destacou
na aplicação da matemática a problemas físicos, devido a
isso ele tornou-se um modelo ideal no final do século XVI.
Tal era o respeito e admiração gerados por seu trabalho,
que surgiu um grande interesse voltado para a extensão e o
desenvolvimento desta área de estudo. Em particular, o tra
tado de Arquimedes, Sobre o equilíbrio de planos (contendo
os fundamentos da estática, vistos geometricamente), parece
ter suscitado muito interesse e também ter sugerido a pos
sível extensão para a determinação dos centros de gravidade
de sólidos. Maurolico (1494-1575) determinou o centro de
gravidade de um conóide (um resultado mencionado e usado
por Arquimedes, mas não por ele provado).
Q.A. 2
Leia Boyer1, p. 215, 220, 222 e teça considerações sobre o
papel de Francesco Maurolico e outros tradutores de Arqui
medes no século XVI.
Simon Stevin de Bruges (1548-1620) foi talvez o matemático
mais original da segunda metade do século XVI. Como
1 BoYER, C.B. História da matemática. S. Paulo, Editora Edgard Blücher, 1974.
ORIGENS E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO - 5