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curso de análise volume 2 Lima, Elon Lages Curso de análise vol.2 / Elon Lages Lima. 1.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014. 547 p.; (Projeto Euclides) e-ISBN 978-85-244-0372-9 1. Análise matemática. 2. Cálculo. I. Título. II. Série CDD-512 elon lages lima curso de análise volume 2 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Copyright  2014 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Gian Calvi Criação Visual Ltda. / Sérgio R. Vaz Projeto Euclides Comissão Editorial: Elon Lages Lima (Editor) S. Collier Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados: • Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima • Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez • Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hönig • Espaços Métricos - Elon Lages Lima • Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo • Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Junior e Wellington C. de Melo • Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves • Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon, Istvan Simon, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski • Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e César Camacho • Geometria Riemanniana - Manfredo P. do Carmo • Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor • Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário - Barry R. James • Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima • Teoria Ergódica - Ricardo Mañé • Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler • Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais - Javier Thayer • Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução - Rafael Iório Jr. e Valéria Iório • Álgebra: Um Curso de Introdução - Arnaldo Leite P. Garcia e Yves Albert E. Lequain • Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima • Funções de uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto • Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain • Introdução à Geometria Analítica Complexa - Marcos Sebastiani • Curso de Teoria da Medida - Augusto Armando de Castro Júnior • Introdução à Teoria da Medida - Carlos Isnard • Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica - Johann Baumeister e Antonio Leitão • Homologia Básica - Elon Lages Lima • Teoria dos Números: um Passeio com Primos e outros Números Familiares pelo Mundo Inteiro - Fabio Brochero Martinez, Carlos Gustavo Moreira, Nicolau Saldanha e Eduardo Tengan • Introdução à Análise Funcional – César R. de Oliveira Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: [email protected] http://www.impa.br 1 Prefácio da primeira edi¸cão Que outrem possa louvar esforço alheio, Cousa é que se costuma e se deseja; Mas louvar os meus próprios, arreceio Que louvor tão suspeito mal me esteja; E, para dizer tudo, temo e creio Que qualquer longo tempo curto seja; Mas, pois o mandas, tudo se te deve; Irei contra o que devo e serei breve. L. Camões “Os Lus´ıadas”, Canto III. EstesegundovolumedoCursodeAna´lisetratadasfunçõesdediver- sas variáveis reais. Como é natural, sua leitura pressupo˜e uma certa fa- miliaridadecomfunçõesdeumavariável. Alémdisso,admitem-seconhe- cidas algumas noções básicas de A´lgebra Linear. O primeiro volume do Cursoéareferênciaóbvia(masnãonecessária)paraos pré-requisitosde Ana´lise. Para a A´lgebra Linear, basta a leitura dos primeiros cap´ıtulos de qualquer dos bons livros existentes na praça. As principais diferenças entre a Ana´lise de uma e a de n variáveis têmsuasorigensemdoisfatos. Oprimeiroéqueatopologiadossubcon- juntos de Rn fica muito mais complicada quando n > 1. (Por exemplo, os uńicos subconjuntos conexos da reta saõ os intervalos, mas é im- poss´ıvel classificar topologicamente os subconjuntos conexos de Rn se n 2.) Em segundo lugar, a A´lgebra Linear, que em dimensaõ 1 é ≥ desnecessa´ria, (pois as matrizes 1 1 e as transformações lineares de × R em R se confundem com nu´meros reais) torna-se indispensável para formular os conceitos e demonstrar os teoremas do Cálculo Diferencial das funções com mais de uma variável. A infinita variedade de tipos topológicos de subconjuntos do espaço Rn, que servirão de dom´ınios para as funções que estudaremos, em- presta a este livro um conteu´do bastante geométrico, em contraste com o caráter predominantemente aritmético do Volume 1, e nos leva a de- dicar todo o primeiro cap´ıtulo à topologia do espaço euclidiano. Os conceitos ali apresentados e o ponto de vista adotado situam-se no con- texto da Topologia Geral. (No esp´ırito de [8], por exemplo.) Salvo a 2 circunstaˆncia de serem mais complexas em dimensaõ maior do que um, estas noções não diferem muito das suas homônimas em dimensaõ 1. Entretanto,apresençadaTopologiasefazmaisconsp´ıcuaeprofunda nos Cap´ıtulo IV e VII, onde surgem de modo natural as questões que levaram Gauss, Riemann, Kronecker e outros a abordarem problemas de Ana´lise com métodos que mais tarde viriam a fazer parte da Topolo- gia Diferencial. Seria inu´til tentar evitar perguntas naturais de Ana´lise, comoasconsideradasnaquelescap´ıtulos,sobaalegaçãodequeasrespos- tas envolvem conceitos não-triviais de Topologia, tais como homotopia, grau, etc. A atitude mais adequada nos parece a de enfrentar os problemas com as ferramentas criadas para esses fins, as quais posteriormente se difundiram e foram definitivamente incorporadas à Matema´tica de hoje. Acreditamos que a exposição aqui feita das integrais curvil´ıneas e de superf´ıcie é suficientemente elementar para ser acess´ıvel a quem leu o primeiro volume e tenha alguma experiência com A´lgebra Linear. De resto, é bom lembrar que esses assuntos não saõ novos em livros de Ana´lise. A integral de Kronecker, por exemplo, já aparece no primeiro volume do “Traité d’Analyse”de Picard, em 1891. Quanto à A´lgebra Linear, sua posição no ensino de hoje é bem me- lhor do que era para os estudantes da minha geração. Naõ foi necessário incluir no livro uma introdução a essa disciplina, pois ela já se encon- tra suficientemente difundida, tanto na literatura dispon´ıvel (mesmo em l´ıngua portuguesa) como em vários cursos em n´ıvel de graduação. E´ de se esperar que vetores, matrizes, transformações lineares, etc. consti- tuam a linguagem natural para tratar o Cálculo Diferencial pois, afinal de contas, este se baseia na idéia de aproximar, na vizinhança de cada ponto de seu dom´ınio, uma função “arbitrária”por uma função linear (chamada sua derivada) e, a partir das propriedades desta, (presumivel- mente mais fáceis de constatar) obter informações sobre aquela. Apenas a circunstaˆncia de que, em dimensaõ 1, uma transformação linear se confunde com um nu´mero real é que leva a considerar a derivada como sendo um nu´mero. Em dimenso˜es superiores a verdade se revela: a derivada é uma transformação linear. Com base nesta ob- servação, os resultados e métodos da A´lgebra Linear saõ ub´ıquos nos tratamentos modernos do Cálculo Diferencial. Seu uso sistemático traz grandes vantagens de conceituação, notação, unificação e generalização. Menos divulgada do que a A´lgebra Linear propriamente dita, é seu 3 prolongamento conhecido como A´lgebra Exterior. Esta fornece o forma- lismoadequadoparaotratamentoalgébricodecertasnoço˜esgeométricas elusivas, como a orientação, e o fundamento para o estudo das formas diferenciais. Como se sabe desde Elie Cartan, as formas constituem os objetos mais convenientes para serem colocados sob o sinal de integral, principalmente quando não se deseja assumir compromisso com algum sistema de coordenadas. Admitindo conhecidas as propriedades elementares dos determinan- tes, começamos o u´ltimo cap´ıtulo deste livro com uma exposição sucinta deA´lgebraExterior,aqualusamoscomobaseparaoestudodasintegrais de superf´ıcie. Procuramos manter a generalidade e o formalismo dentro de limites aceitáveis enquanto que, por outro lado, exploramos algumas das excelsas virtudes do Cálculo Diferencial Exterior. Esperamos que o leitor possa sentir a elegância e a força dos métodos ali esboçados e se aposse desse poderoso instrumento para usos posteriores. Ainda que isto não pareça claro nas páginas que se seguem, ao es- crevê-lasfuimuitoinfluenciadopeloslivrosdePicard, Courant, Phillips, Valiron e Graves citados na lista de referências. Cada um deles tem sido para mim um professor sol´ıcito, um conselheiro sa´bio, uma fonte de ins- piração, um modelo a imitar. Em termos mais concretos, fui também bastante estimulado por um grupo de amigos, temporariamente meus alunos num curso do IMPA, cujo entusiasmo pelo assunto e interesse pelo prosseguimento do livro foram uma importante ajuda. Naõ podendo mencionar a todos, gosta- ria pelo menos de destacar os que mais fiscalizaram meus descuidos e me auxiliaram na correção do manuscrito e das provas. Deixo consigna- dos, pois, meus agradecimentos a Jonas de Miranda Gomes, José Felipe Voloch, Katia Frensel e Paulo Ney de Souza, aos quais deve também o leitor a ausência de alguns cochilos desagrada´veis. No plano da elaboração gra´fica, sou grato a Wilson Goés, pela boa vontadeeeficiêncianopreparodemaisumdosinu´merosmanuscritosque já lhe entreguei. Agradeço ainda aos senhores Joaõ D. Affonso e Wilson Siviero, da AM Produções Gra´ficas Ltda. e Gra´fica Editora Hamburg Ltda., respectivamente, eàsexcelentesequipesqueelescomandam, pela competência, pela boa vontade e pelo excepcional acolhimento que têm dado às nossas publicações. Rio de Janeiro, 14 de julho de 1981 Elon Lages Lima 4 Prefácio da décima edi¸cão As sucessivas edições deste livro se beneficiaram da colaboração de leitores atentos, que apontaram várias correções a serem feitas. Dentre eles, quero agradecer a Florêncio Guimara˜es, Pedro Zu¨hke de Oliveira, Diógenes Justo e Rick Rischter. A oitava edição foi redigitada eletronicamente por Wilson Góes, e as figuras executadas por Francisco Petrućio Cavalcante. Rogério Dias Trindade encarregou-se de incorporar as revisões. A todos esses amigos quero agradecer cordialmente. Por u´ltimo, mas não por menos, registro aqui minha gratridão a todos os colegas que adotaram o livro em seus cursos e aos leitores que nele estudaram. Rio de Janeiro, dezembro de 2007 Elon Lages Lima Conteu´do I Topologia do Espaço Euclidiano 1 1 O espaço vetorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Produto interno e norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Nu´meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Bolas e conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5 Sequ¨ências no espaço euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Pontos de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7 Aplicações cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 9 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 11 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 13 Distaˆncia entre dois conjuntos; diaˆmetro . . . . . . . . . . 50 14 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 15 A norma de uma transformação linear . . . . . . . . . . . 64 II Caminhos no Espaço Euclidiano 80 1 Caminhos diferencia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2 Integral de um caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3 Os teoremas cla´ssicos do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . 87 4 Caminhos retifica´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5 O comprimento de arco como paraˆmetro . . . . . . . . . . 101 6 Curvatura e torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7 A função-ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5