Curso de Análise

442 Pages·2009·25.39 MB·Portuguese

by  Elon Lages Lima

elon
lãgesiima
curso
de análise
volume 1
R
or-Q-K
L697c Lima, Elon Lages
Curso de análise; v.1. 12.ed. -- Rio de Janeiro: Associação
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2009.
431 p.; ilust.; (Projeto Euclides)
Bibliografia.
ISBN 978-85-244-0118-3
1. Análise matemática. 2. Cálculo. I. Título. II. Série.
76-1001 17. CDD-517
18. -515
elon lages lima
curso
de análise
volume 1
Décima segunda edição
(quarta impressão)
impa
U
259 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright C) 2009 by Elon Lages Lima
Direitos reservados, 2009 pela Associação Instituto
Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
Estrada Dona Castorina, 110
22460-320 Rio de Janeiro, RI
Impresso no Brasil / Printed in Brazil
Capa: Gian Calvi Criação Visual Ltda.
Projeto Euclides
Comissão Editorial:
Elon Lages Lima (Editor)
S. Colher Coutinho
Paulo Sad
Títulos Publicados:
• Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima
• Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez
• Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hanig
• Espaços Métricos - Elon Lages Lima
• Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo
• Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Junior e Wellingion C. de Melo
• Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves
• Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon,
Istvan SiM011, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski
• Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e César Camacho
• Geometria Riemanniana - Manfredo P. do Carmo
• Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor
• Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário - Barry R. James
• Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima
• Teoria Ergódica - Ricardo Man-é
• Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler
• Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais - Javier Thayer
• Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução - Rafael lório Jr. e Valéria lório
• Atgebra: Um Curso de Introdução - Arnaldo Leite P. Garcia e Yves Albert E. Lequain
• Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima
• Funções de uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto
• Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain
• Introdução à Geometria Analítica Complexa - Marcos Sebastiani
• Curso de Teoria da Medida - Augusto Armando de Castro Júnior
• Introdução à Teoria da Medida - Carlos Isnard
• Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica - Johann Baumeister e Antonio Leitão
Distribuição:
IMPA
Estrada Dona Castorina, 110
22460-320 Rio de Janeiro, RJ
e-mail: [email protected]
http://www.impa.br
Prefácio da primeira edição
— What is jan, Mr. Armstrong?
— My dear lady, as long as you have to ask that question,
you will never know it.
Esta é a primeira parte de um Curso de Análise. Nela se
estudam as funções reais de urna variável real.
A teoria é apresentada desde o começo. Não se faz uso
de resultados que não sejam estabelecidos no texto. Todos os
conceitos introduzidos são amplamente ilustrados por meio de
exemplos.
Apesar disso, é conveniente que os leitores deste livro pos-
suam experiência equivalente à de dois semestres de Cálculo.
Assim, terão alguma familiaridade com os aspectos computa-
cionais mais simples e com a interpretação intuitiva de certas
noções como limites, continuidade, derivadas, integrais e séries.
Essas idéias constituem os temas fundamentais do curso. Elas
são tratadas de modo auto-suficiente, mas a ênfase é colocada na
conceituação precisa, no encadeamento lógico das proposições e
na análise das propriedades mais relevantes dos objetos estuda-
dos.
As manipulações elementares e rotineiras com limites, deri-
vadas, integrais, etc., embora necessárias, são deixadas de la-
do, pois as supomos suficientemente exercitadas nos cursos de
Cálculo.
Isso não significa que menosprezemos os exercícios. Pelo con-
trário, este livro contém várias centenas deles. Ler os enunciados
de todos e resolver quantos puder é uma tarefa essencial do leitor.
Matemática não se aprende passivamente.
Os exercícios ensinam a usar conceitos e proposições, des-
fazem certos mal-entendidos, ajudam a fixar na mente idéias
novas, dão oportunidade para explorar as fronteiras da validez
das teorias expostas no texto e reconhecer a necessidade das
hipóteses, apresentam aplicações dos teoremas demonstrados e
informam o leitor sobre resultados adicionais, alguns dos quais
não figuram no texto apenas por uma questão de gosto.
Ao estudar o livro, o aluno está sendo conduzido pela mão
do autor. Os exercícios lhe fornecem o ensejo de caminhar mais
solto e, assim, ir ganhando independência. Para quem está con-
vencido da importância de resolver os exercícios deste livro, um
esclarecimento: eles variam muito em seus graus de dificuldade.
Não se desencoraje se não conseguir resolver alguns (ou muitos)
deles. É que vários são difíceis mesmo. Volte a eles depois,
quando tiver lido mais do livro e se sentir mais confiante. Acho,
porém, que incluí exercícios "resolvíveis" em número suficiente
para satisfazer o amor-próprio de cada leitor.
No final do livro, há uma lista de referências bibliográficas.
Elas contêm material relacionado com os assuntos aqui tratados.
A lista é bastante seletiva, refletindo fortemente meu gosto pes-
soal. Nela foram incluídos os livros que, no meu entendimento,
melhor servem como leitura colateral, esclarecendo, completan-
do ou abordando sob outros aspectos os temas estudados neste
livro.
Ao adotar este livro num curso, o professor deve considerar
a possibilidade de omitir o Cap. I, que contém apenas generali-
dades sobre conjuntos e funções. Se os alunos já estudaram antes
estas coisas, o curso' pode iniciar pelo Cap. II, servindo o Cap.
I apenas para recordar certas definições, se necessário. Também
o Cap. II pode ser omitido, se os alunos já tiverem aprendi-
• do a teoria dos números naturais e as diferenças entre conjunto
finito, enumerável e não-enumerável (num curso de Álgebra, por
exemplo). Assim, para alunos com tal experiência, a leitura
deste livro pode começar no Cap. III, onde são introduzidos os
números reais.
Uma palavra ao leitor: não se lê um livro de Matemática co-
mo se fosse uma novela. Você deve ter lápis e papel na mão para
reescrever, com suas próprias palavras, cada definição, o enunci-
ado de cada teorema, verificar os detalhes às vezes omitidos nos
exemplos e nas demonstrações e resolver os exercícios referen-
tes a cada tópico estudado. É conveniente, também, desenhar
figuras, (principalmente gráficos de funções) a fim de atribuir
significado intuitivo aos raciocínios do texto. Embora as figu-
ras não intervenham diretamente na argumentação lógica, elas
servem de guia à nossa imaginação, sugerem idéias e ajudam a
entender os conceitos.
Ao terminar, tenho o prazer de registrar meus agradecimen-
tos a várias pessoas, que contribuíram para tornar mais claro o
texto em alguns pontos, e livrá-lo de erros em outros: meu colega
Manfredo P. do Carmo, com espírito às vezes oposicionista, me
obrigou a -defender minha posição, quando isso era possível, e a
ceder às suas críticas, quando procedentes; o Professor Renato
Pereira Coelho, com paciência invulgar, apontou vários deslizes
e pontos obscuros, que procurei corrigir. Sou também grato a di-
versos alunos do IMPA que leram a versão preliminar e notaram
erros. Não podendo mencionar cada um, agradeço entre eles a
Paulo Villela e Maria Lúcia Campos. Finalmente, sou grato a
Solange de Azevedo, que resolveu os exercícios e corrigiu alguns
dos seus enunciados.
Rio de Janeiro, agosto de 1976.
ELON LAGES LIMA
Observação. As citações bibliográficas são feitas no texto colo-
cando-se o nome do autor entre colchetes. Assim, por exemplo,
[Hardy] significa uma referência ao livro de G.H. Hardy que cons-
ta da lista na página 339.
Prefácio da sexta edição
As cinco edições posteriores diferem da primeira pela correção
de vários erros tipográficos, pela modificação de dois ou três
trechos obscuros e pelo acréscimo de alguns exercícios. Manifesto
de• público meu agradecimento aos leitores que me chamaram a
atenção para esses pontos, destacando em especial os professores
°elide Dotto, Claus Doering, Carlos Ivan Simonsen Leal e Lino
Sanabria. Agradeço ainda a boa acolhida que o livro recebeu dos
meus colegas que o adotaram. Espero que ele continue a gozar da
mesma confiança e merecer a colaboração desinteressada e cons-
trutiva sob a forma de sugestões, críticas e reparos, com vistas a
aperfeiçoamentos posteriores.
Rio de Janeiro, julho de 1989.
ELON LAGES LIMA
Prefácio da décima primeira edição
A principal mudança nesta edição é de ordem gráfica. Todo o
texto foi digitado eletronicamente. Isto ensejou a oportunidade
de incluir novas correções, especialmente algumas apontadas pelo
Professor Florêncio Guimarães, além da cuidadosa revisão feita
por Dayse Pastore e Priscilla Pomateli, a quem agradeço aqui.
A nova diagramação foi feita por Rogério Trindade.
Rio de Janeiro, 7 de janeiro de 2004.
ELON LAGES LIMA
Conteúdo
I Conjuntos e Funções 1
1 Conjuntos 2
2 Operações entre conjuntos 6
3 Funções 13
4 Composição de funções 20
5 Famílias 23
Exercícios 28
II Conjuntos Finitos, Enumeráveis e
Não-Enumeráveis 32
1 Números naturais 34
2 Boa ordenação e o Segundo Princípio de Indução 39
3 Conjuntos finitos e infinitos 42
4 Conjuntos enumeráveis 48
5 Conjuntos não-enumeráveis 51
Exercícios 54
III Números Reais 59
1 Corpos 61
2 Corpos ordenados 65
3 Números reais 75
Exercícios 87
IV Seqüências e Séries de Números Reais 99
1 Seqüências 100
2 •Limite de uma seqüência 107
3 Propriedades aritméticas dos limites 115
4 Subseqüências 120
5 Seqüências de Cauchy 125
6 Limites infinitos 129
7 Séries numéricas 133
Exercícios 153
V Topologia da Reta ................................ 161
1 Conjuntos abertos ................................. 162
2 Conjuntos fechados ................................ 169
3 Pontos de acumulação ..............................175
4 Conjuntos compactos .............................. 180
Exercícios ............................................... 186
VI Limites de Funções ............................... 195
1 Deñníção e propriedades do limíte ........ .- ......... 196
2 Exemplos de límites ................................ 202
3 Limítes laterais .................................... 205
4 Límítes no ínñníto, límítes m'ñnítos, expressões índe-
termínadas ......................................... 208
5 Valores de aderêncía de uma função; 1m°1 sup e lím ínf 213
Exercícios ............................................... 217
VII Funções Contínuas .............................. 222
1 A noção de função contmua ........................ 222
2 Descontínuídades .................................. 229
3 Funções contínuas em íntervalos .................... 234
4 Fu+nções contínuas em conjuntos Compactos ......... 238
5 Contínuídade uniforme ............................. 240
Exercfcios ............................................... 245
VIII Derivadas ....................................... 255
1 Deñníção e propriedades da derívada num ponto . . . . 255
2 anções deríváveis num intervalo ................... 268
3 Fórmula de Taylor ................................. 277
4 Série de Taylor, funções analíticas .................. 288
Exercícíos ..................................... ......... 292
IX Integral de Riemann ............................. 302
1 Integral superíor e integral ínferíor .................. 304
2 qunções 1n'teg1'áveís ................................ 313
3 O Teorema Fu<ndamental do Cálculo ................ 321
4 Fórmulas clássicas do Cálculo Integral .............. 326
5 A íntegral como límíte de somas . . . . _. ............... 331