Curiosa Mathematica

217 Pages·2020·11.833 MB·Dutch

by  Jens Bossaert

Curiosa
Mathematica
Jens Bossaert

cba
CCBY-SA4.0: CreativeCommonsAttribution–ShareAlike.International
Youarefreeto:
• Share:copyandredistributethematerialinanymediumorformat.
• Adapt:remix,transform,andbuilduponthematerialforanypurpose,evencommercially.
Underthefollowingterms:
• Attribution: youmustgiveappropriatecredit,providealinktothelicense,andindicateif
changesweremade.Youmaydosoinanyreasonablemanner,butnotinawaythatsuggests
thelicensorendorsesyouoryouruse.
• ShareAlike: ifyouremix,transform,orbuilduponthematerial,youmustdistributeyour
contributionsunderthesamelicenseastheoriginal.


Inhoudsopgave
Getaltheorie  StellingvanSharkovsky . . . . . . 
 Perfectegetallen . . . . . . . . . .   Gemiddelden . . . . . . . . . . . . 
 Moessnersmagie . . . . . . . . . . 
 ZeefvanErdo˝s–Jabotinsky . . . .  Kansrekening
 ParkeerprobleemvanRe´yni. . . . 
 Egyptischebreuken . . . . . . . . 
 KwartetvanAnscombe . . . . . . 
 (cid:78)-piramide . . . . . . . . . . . . . 
 ParadoxvanBertrand . . . . . . . 
 EigenschapvanJuzuk . . . . . . . 
 Deaapendekokosnoten . . . . . 
Meetkunde
 Sˇindelsequenties . . . . . . . . . . 
 Hyperbolischemeetkunde . . . . 
 Veelhoeksgetallen . . . . . . . . . 
 Schoenveterformule . . . . . . . . 
 KerstmisstellingvanFermat . . . 
 Haberdasherpuzzel . . . . . . . . . 
 StellingvanMidy . . . . . . . . . . 
 Voderbergbetegelingen . . . . . . 
 Go¨mbo¨cs . . . . . . . . . . . . . . 
Combinatoriek
 CirkelvanConway . . . . . . . . . 
 Magischezeshoeken . . . . . . . . 
 MirakelvanMorley . . . . . . . . 
 FormulevanCayley . . . . . . . . 
 StellingvanErdo˝s–Anning . . . . 
 -puntenprobleem . . . . . . . . 
 Kaartprojecties . . . . . . . . . . . 
 VermoedenvanErdo˝s–Gya´rfa´s . 
 Kruskalsbomenstelling . . . . . . 
Logica
 IdentiteitvanProizvolov . . . . . 
 Superpermutaties . . . . . . . . . . 
Varia
 Kirkmansschoolmeisjesprobleem   Lindenmayersystemen . . . . . . . 
 Lexicodes . . . . . . . . . . . . . . 
Algebra
 Conwayssoldaten . . . . . . . . . 
 Gershgorincirkels . . . . . . . . . 
 Arrowsonmogelijkheidsstelling . 
 Sturmketens . . . . . . . . . . . . . 
 ParadoxvanBraess . . . . . . . . . 
 FormulesvanVieta. . . . . . . . . 
 Tropischewiskunde . . . . . . . . 
 StellingvanMarden . . . . . . . . 
 Conwayslook-and-say-rij . . . . . 
 Elliptischekrommen . . . . . . . . 
 Sprouts . . . . . . . . . . . . . . . . 
Analyse Quotes
 FormulevanWallis. . . . . . . . . 
 IntegraalvanGauss . . . . . . . .  Index

Getaltheorie

1
Perfecte getallen
Nogalwatculturendoorheendegeschiedenisbegiftigdenbepaaldefamiliesvangetallenmet
religieuzeofmagischeeigenschappen,endeperfectegetallenvormeneenideaalvoorbeeld.
Deze werden in het bijzonder bestudeerd door de oude Grieken; zo bewees Euclides in zijn
magnumopusdeElementeneenvoldoendevoorwaardevoorperfectievanevengetallen,die
tevenseennoodzakelijkevoorwaardebleek.
Concreetnoemtmeneengetalperfectalsdezegelijkisaandesomvanaldiensstriktedelers.
Hetkleinsteperfectegetalis,want++=. Ookvoldoet,want++++=.
NogalwatexegetenhebbenbeweerddathetscheppingsverhaalindeHebreeuwseBijbelniet
toevallig over zes dagen geschiedt, of de maan in  dagen rond de aarde heen draait, maar
datdezegetallenjuistdeperfectievandescheppingindeverfzetten.
Devolgendetweeperfectegetallen(en)warendeGriekeneveneensbekend, maar
devolgendewerdenpasveellaterontdekt: inEuropaduurdehettotdedeeeuwvooraleer
eenonbekendewiskundigedevijfde()vond,enindedeeeuwkonPietroCataldi
dezesde()endezevende()identificeren. Enkeleeeuwendaarvo´o´r
hadEgyptischwiskundigeIsmailibnFallu¯sdiedrieookontdekt,samenmetenkelefoutieve.
Deperfectegetallenvormenuiteindelijkderij[]beginnendmet
,,,,,,,,...
Wiskundigishetietseleganteromeenfunctieσ opdenatuurlijkegetallenintevoeren,
σ ∶(cid:78)∖{}→(cid:78)∖{}∶ n ↦∑d,
d∣n
dieeennatuurlijkgetaln ≠afbeeldtopdesomvanaldiensdelers,inclusiefhetgetalnzelf.
Danisduidelijkdatneenperfectgetalisalsenslechtsalsσ(n)=n. Hetvoordeelvandeze
karakterisatieisdatσ aanenkelehandigeeigenschappenvoldoet,zoalsmultiplicativiteit.
Lemma. Defunctieσ ismultiplicatief: alsaenbcopriemzijn,danisσ(a⋅b)= σ(a)⋅σ(b).
Bewijs. Deassumptiedataenbcopriemzijn,betekentdatelkedelervanabopuniekewijze
hetproductisvaneendelervan a meteendelervanb. Metanderewoorden,iederetermin
desomσ(ab)komtookpreciese´e´nkeervoorinσ(a)⋅σ(b)enviceversa. ∎
DehelftvandevolgendestellingisdeconstructievanEuclides,eengetaltheoretischeclimax
dieboekIXvanzijnElementenafsluit. Paszo’ntweemillennialaterwerdduidelijkdatdeze
constructiealleevenperfectegetallenoplevert,zoalsLeonhardEulerinbewees([]).

Stelling(Euclides–Euler). Deevenperfectegetallenzijnpreciesdenatuurlijkegetallenvan
devormk−1⋅(k −),waarbij k ⩾enk −eenpriemgetalis.
Bewijs. Ee´nrichtingluktbestrechttoe-rechtaandankzijdeeigenschapdatσ multiplicatiefis.
Beschouwimmerseengetaln vandevormk−1⋅(k −)metk −priem,danis
σ(n)= σ(k−1)⋅σ(k −)=(+++⋯+k−1)⋅(+(k −))=(k −)⋅k =n,
zodatn inderdaadeenperfectgetalblijkt.
Anderzijds,beschouweenevenperfectgetaln,enschrijfn =k−1⋅d metd onevenen k ⩾.
Danvolgtdat
k ⋅d =n = σ(n)= σ(k−1)⋅σ(d)=(k −)⋅σ(d).
Deonevenfactork−⩾inhetrechterlidmoeteendelerzijnvand links. Deeldezefactor
linksenrechtswegenvuldetweereedsgekendedelersvand in:
d d k ⋅d
k ⋅ = σ(d)= d + +(eventueleanderedelers)= +(anderedelers).
k − k − k −
Dezegelijkheidkanenkelkloppenalsergeenanderedelersmeerzijn! Metanderewoorden,
ermoetgeldendatd =k −endatd bovendienpriemis,wathetbewijsvervolledigt. ∎
Bemerkdatdepriemgetallenvandevormk−dezogenaamdeMersennepriemgetallenzijn
(ziecuriosum??)enimplicerendat k zelfookpriemis.
Ookishetbestinteressantdatdeevenperfectegetallenbinairuitgeschrevenaaneenmooie
regelmaatvoldoendankzijhunvormk−1⋅(k −): eerst k bits1gevolgddoor k−bits0.
=110
2
=11100
2
=111110000
2
=1111111000000
2
=1111111111111000000000000
2
=111111111111111110000000000000000
2
DeresultatenvanEuclidesenEulerkarakteriserenenkeldeevenperfectegetallen,dushetis
eenheelnatuurlijkevraaghoehetzitinhetonevengeval. Verrassendgenoegishetantwoord
opdievraagnogalontnuchterend:nameerdantweemillenniaishetnogsteedsnietgeweten
oferookonevenperfectgetallenbestaan!
Rene´DescartesgafineenbriefaanMarinMersenneintoedathijgeenenkeleredenzag
waaromergeenonevenexemplaarzoukunnenbestaan. Hijbeschreefterillustratiehetgetal
n ==2⋅2⋅2⋅2⋅. Daarvoorzou
σ(n)=(++2)⋅(++2)⋅(++2)⋅(++2)⋅(+)=n,
