NUMEROS DECIMALES ¿PORQ UE? ¿PARAQ UE? 14. Proporcionalidad geométrica y semejanza Colección: GrupoB eta MATEMATICAS : CULTURA Y APRENDIZAJE 15. Poliedros Gregoria Guillén Soler 1. Area de conocimiento: didáctica de las matemáticas Angel Gutiénez, BernardoG ómezA lfonso, JuanD íaz Godino,L uis Rico RoÁe.o, M. SierraV ázquez 16. Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la geometría Angel Martínez Recio, Francisco Juan Rivaya 2. Números y operaciones Luis Rico Romero, Encarnación Castro Mafínez, Enrique Castro Martínez 17. El problema de la medida Carmen Chamono Plaza,J uan M. Belmonte Gómez 3. Numeración y cálculo Bernardo Gómez Alfonso 18. Circulando por el círculo Francisco Padilla Dfaz, Arnulfo Santos Herniíndez,F idela Velázquez, 4. Fracciones Manuel Femández Reyes Salvador Llinares Ciscar, M." Victoria SánchezG arcía 19. Superfrcie y volumen 5. Números decimales:p or qué y para qué M." Angeles del Olmo Romero, Francisca Moreno Carretero,F rancisco Gil Cuadra JulinC cntenPoó rez 20. Proporcionalidad directa ó. Números enteros M."L uisaF iolM oraJ, oséM ."F ortunAy ymemi Jo¡é 1,, Conzdlcz Marf, M.'Dolores lriarte Bustos, Alfonso Ortiz Comas, Inmaculada Vargas- 21. Nudos y nexos. Redes en la escuela Mnchuca, Manuela Jimeno Pérez,A ntonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jiménez Moisés Coriat Benarroch, JuanaS ancho Gil, Antonio Marín del Moral, 7. Dlvlslbilidad Pilar Gonzalo Martín ModcstoS ienaV ázquezA, ndrésG a¡cíaM, ." T. GonzálezA studillo, 22. Por los caminos de la lógica Mario GonzálezA costa Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz 8. Problemas aritméticos escolares 23. Iniciación al álgebra Luis PuigE spinosaF, ernandoC erdánP érez Manuel Martln SocasR obayna, Matías Camacho Machín, M." Mercedes PalareaM edina, Josefa Hernández Domínguez 9. Estimación en cálculo y medida IsidoroS egoviaA lex, EncarnacióCn astroM afínez, EnriqueC astroM artínez, Z. Enseñanza dela suma y de la resta Luis Rico Romero Carlos Maza Gómez 10. Aritmética y calculadora 25. Enseñanza dela multiplicacién y de la división FredericU dinai Abelló Carlos Maza Gómez Ll.. Materiales para construir la geometría 26. Funciones y gráficas CarmenB urguésF lamerichC, laudiA lsinaC ataláJ, osepM ." Fofuny Aymemi Jordi Deulofeu Piquet, Carmen AzcárateG iménez 12. Invitación a la didáctica de Ia geometría 27, Azar y probabilidad ClaudiA lsinaC ataláJ, osepM ." FortunyA ymemi,C armenB urguésF lamerich Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bemabéu, M." JesúsC añiza¡esC astellano 13. Simetríad inámica 28. Encuestasy precios Rafael PérezG ómez, Claudí Alsina Catalá, Ceferino Ruiz Garrido AndrésN ortesC heca 29. Prensa y matemáticas Antonio Fernández Cano, Luis Rico Romero 30. ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso José A. Cajaraville Pegito 31.. Ordenar y clasificar Carlos Maza Gómez, Carlos Arce Jiménez 32. Juegos y pasatiempos en Ia enseñanza de ra matemática eremental JosefaF ernández Sucasas,M ." Inés Rodríguez Vela 33. Ideas y actividades para enseñar álgebra NUM"EROS.f}EC Crupo Azarquiel 34. Recursos en el aula de matemáficas ¿PORQ UE? ¿PARA'Q FranciscHoe mánS igueroE,l isaC arrilloe uintela Consejeeditor: tj l I uis Rico Romero,J oséM ." FortunyA ymemi, Luis puig Espinosa :; ---. JULIA' -C-pErNoTfeEiNo-;iO'-i'' tP.':iiEft-ú' RiáEiZ I del Departamento:deiMatd¿itied "dcLogrons dp la.Uniye¡sidad 4q Zarugoza EDITORIAL SINTESIS A mi madrc, que no ha csc'ritt¡n in¡¡rinl ihnt ni plantado arboles pero tiene diez hijos Compra Canie Donación - techad ea dqursrción Año- Mes Día - Fechdae P rocesamiento Año- Mes Día - - Proveedor- ls¡d;iñ-l ?;ocesapdoor [$dj 'Eiblioteca Primera reimpresión:d iciembre 1997 I)eseo en estas líneas expresar mi agradecimientoa los amigo.t que mc han Diseño de cubierta:J uan JoséY ázouez u.tutdadoy animado durante la redacciónd e estel ibro. ,4 Luis Rico, miembro del Comité Editorial, porque me propu.to lu idau dc Reservadost odos los derechos.E stá prohibido, bajo las harerlo,m e apoyó con susc onsejosy su confianzay ha aportadoa lgunasm otlilica- sancionesp enalesy el resarcimientoc ivil previstose n doncs para mejorarlo. las leyes, reproduci¡ registrar o transmitir esta publi- cación,í ntegrao parcialmente,p or cualquiers istema A Efraim Centenoq ue estuvoc erca de mí desdel os comienzos,c olaboró en la de recuperacióny por cualquierm edio,s eam ecánico, preparaciónd e fichas bibliográficas y ha aportado algunas ideas para facilitar la electrónico,m agnético,e lectroópticop, or fotocopiao letlura del texto. por cualquier otro, sin la autorizaciónp revia por escrito A BegoñaM elendo, y TeresaR odríguez. Sus observacionesm e han sido muy de Editorial SíntesisS, . A. ütila,r. A Francisco Javier Centeno que ha hecho con gran precisión y cuidado los di- @ Julia Centeno Pérez httio,t. o EDIToRTALsÍ NTEsrss, . A. A Guy Brousseaud e quien he aprendido mucho de lo que cuento en este libro. Vallehermoso,3 4. 28015M adrid tiul orientacionefsu eron decisivasp ara la redacciónJ inal quep resento.M i agradeci- Teléfono {'91\ 593 20 98 ml.,nlo es grandep or haber aceptadoh acer la presentaciónd e estet exto. ht tp://www.sintesis.com Muy particularmentea JoséM anuel Calzada que ha consagradom uchash oras Depósito le gal: M-43.829- 1,997 u lu lecturay mejora de laforma de presentarlo.Q uiero expresarlea quí mi reconoci- ISBN: 84-7738-028-7 Hlento por su generosay competentec olaboración. l"inalmenle a todos los que cerca de mí han sufrido los efectosd e estet rabajo y se Impreso en España - Printed in Spain alegranc onmigo de susr esuhados. Indice PRIMERA PARTE: ¿PORQ UE LOS NUMEROS DECIMALES? Prólogo 13 lntroducción 17 l. La realidads ociald e los númerosd ecimales 19 1.l . Usosy contextosm ás signihcativose n los que aparecen 19 1.2.¿ Qués ignihcane sosn úmerosc on coma?¿ Paraq ué sirven?. ... 2l 1.3. ¿Puedene xpresarselo s mismos conceptoss in utilizar números con coma? 22 1.4. ¿Soni ndispensablelos s númerosd ecimales? 22 1.5. Reflexionesy ejercicios 25 2. Los decimalese n la EnseñanzaO bligatoria 27 2.1. La educaciónm atemática:p reparaciónp ara la vida en la socie- dad... 27 2.2. Los decimaleesn los cuestionarioys o rientacioneosf iciales..... 29 2.3. Los númerosd ecimalesfi guran en todos los programasd e Ense- ñanzaPrimaria..... 32 2.4. Relaciónd e los númerosd ecimalesc on otrasá reasd el currículo 34 2.5. Pistasd e reflexión 35 SEGUNDA PARTE:¿ QUES ON LOS NUMEROS DECIMALES? 3. Antecedentehsi stóricosd e los númerosd ecimalesd: esdel a antigüedad hastae l siglox Ix 39 3.1. Introducción.. 39 3.2. Sistemab abilónicod e numeraciónd e posición 40 3.3. El sistemap osicionald e los sabiosc hinos . 4l 3.4. Sistemam aya de numeraciónd e posición 43 3.5. El origend el sistemap osicionali ndio .. 44 3.6. El sistemad e numeracióná rabe:p ropagaciónd el sistemad e nu- meraciónin dio .. 45 3.7. Consolidaciónd el sistemad e numeraciónd ecimal:l os números decimalesd e Stevin 47 9 3.8. Establecimientod erS istemaM étrico Decimal:s u interésp edagó- 8. Relaciónc one l saber:la s situacione.s.. .. I lJ grco... 50 8.1. Introducción.. ll3 3.9. Reflexioneys e jercicios...... 52 8.2. Situacionesp edagógicays situacionesm atemáticas. . . " l13 8.3. La teoríad e las situacionesd idácticasd e Brousseau il5 4. El número decimal: objeto de saber 53 8.4. Algunass ugerenciapsa ra seleccionayr construir situacioncsd c 4.1. Introducción 53 aprendizaje ilf{ 4.2. El número decimal:o bietod e saber 54 8.5. Situacionesd idácticasq ue permitena nalizarl as condicioncst lcl 4.3. Los númerosr ealesD: edekind,C antor v Hilbert 55 funcionamientod el conocimientos obrel os decimales-mcdid"a l19 4.4. Pistasdereflexión ....... . 58 8.6.C onclusión. .. l.1l 8.7. Pistasd e reflexión,a ctividadesy talleres t32 i. El númerod ecimal: conocimientop ara enseñar 59 5.1. Insuficienciad e los númerosn aturalesp arar esolvera lgunosp ro- 9. Dificultades,e rrores' conflictos y obstáculos 135 blemas 59 9.1. Introducción.. 135 5.2. Construcciónd e los racionalesy de los decimales 6l 9.2. Erroresm ás frecuentesre lacionadosc on el conceptod e número 5.3. Fraccionesd ecimaless: usv entajas 66 decimal,c on su escrituray con suso peraciones. . . . 136 5.4. Escriturad ecimald e un número racional 69 9.3. Agruparl os erroresp ara identificarn ivelesd e comprensión' ' ' ' 138 5.5. Escriturase quivalentess:u importanciae n la enseñanza 70 9.4. ¿Sonú tilesc iertose rrorese n los procesosd e aprendizaje?' ' " ' ' 140 5.6. Otrase scriturasd ecimales 72 9.5. ¿Sonl os erroresú nicamenteí ndicesd e un aprendizajein comple- 5.7. Relaciónd e orden en el conjunto de los númerosd ecimales.. . . 73 io o de un fracaso?A: lgunasr eflexionesd idácticass obrel as cau- 5.8. Adición y sustraccióenn el conjuntod e númerosd ecimales"- .. 74 sasd e los errores t42 5.9. Multiplicaciódne númerosd ecimales .......:.. t5 9.6. Dificultad,c onflicto,o bstáculoe, rror . t44 5.10.División de númerosd ecimales 76 9.7. Identificaciónd e algunoso bstáculose pistemológicoesn los nú- 5.11.Ejercicios 78 merosdecimales.... t47 9.8. Pistasd e reflexión 148 TERCERA PARTE: EL PROBLEMA DE LA ORGANIZACION 10. Articulaciónd e los aprendizajesp:r ogresión 151 DE LA ENSEÑANZA DE LOS NUMEROS DECIMALES 10.1.I ntroducción. l5l 10.2.O bjetivosd e la enseñanzad e los decimales lti Introducción 8l 10.3.B osquejod el procesod e articulaciónq ueproponey desarrolla 6. Primerasl eccionesp ara introducirl os decimales 83 Brousseau r53 6.1. Como extensiónn aturald el sistemad e numeraciónd ecimal ... 83 10.4.Otra forma de articularl as enseñanzadse los decimales' r57 6.2. A partir de la medida ó) 10s.. Conclusión l6l ó.3. Presentacióna partir de funcionesn uméricas 90 r0.6E.jerciciosy pistasd e reflexrón 162 6.4. Conclusión. ...... 93 6.5. Pistasd e reflexióny ejercicios 93 CUARTA PARTE: SITUACIONESP ARA ENSEÑAR DIFERENTES 1 Materiales y ocasionesd e la vida corrientee n las que puedene ncontrarse ASPECTOSD E LOS NUMEROS DECIMALES los decimales 95 7.1. Introducción.. 95 lnlrrducción 165 7.2. Las regletasd e Cuisenaire 95 I l, Situacioness obrer epresentacións,i gnificadoy lecturad e decimales . . . 167 7.3. Bloquesa ritméticosm ultibased e Dienes 97 I l.l. Juegosd e estimaciónd e medidas 168 7.4. Ábacos 99 I 1.2. Adáptaciónd e la situación< reproduciru n segmento>) 168 7.5. Minicomputadodr e Papy 105 11.3.P asard e la escrituraf raccionariad e los racionalesd ecimalesa su 7.6. Introducciónd e los decimalesc on la calculadorad e bolsillo . . . . 109 escriturad ecimalJ. uegoss obrel a rectan umérica ..... 168 7.7. Otros materialesy situacionesd e la vida corriente 110 11.4.D iversojsu egoss obrela rectan umérica.. . -. 172 7.8. Algunasr eflexioness obrel a utilizaciónd e materiales lll I 1.5.I nstrumentodse medida 175 7.9. Pistasd e reflexión l2 I 1.6. Utilizar la calculadorad e bolsillo 175 l0 ll t.1.Sobree l usod el ceroy su signifrcacióenn la escritura. ........ 178 r.8A.reas de regionesd e papel cuadriculado 180 1.9.Pasadr e fraccioneas d ecimaleys viceversa .......... j. 183 1.10.Escriturasd ecimalese quivalentes 185 l.l L Sobree l orden en los decimales 187 t.12.Sobrel a densidadd e los decimales . . . 189 Prólogo r.l J. Algunasp reguntaas biertas¡ ....... 194 1.14.Adición, sustracción,m ultiplicación y división de números deci- males* 195 il t5 Sustracciónd e númerosd ecimales r98 ILló. Situacionesq ue permiten dar significadoa l producto de dos deci- males . 199 |.11, EI número decimal como factor de proporcionalidad,P roporcio- nalidad,p orcentajese, scalas 201 I l" ltl, Situacioneqs ue permitend ar signiñcadoa la divisiónd e números decimales 205 I l. I 9. Pistasd e reflexión,e jerciciosy talleres 206 BIBLIOGRAFiA 209 ¿Osh abéisf rjado algunav ez en una rueda de bicicleta?E s un prodigio de ligere- za, de robustezy , aparer'temented, e sencillez.¿ Habéisa preciadoa decuadamente itodal a ingeniosidadd e su construcción?P esosc onsiderablesp uedens uspendersdee los radiosq ue, en forma de tela de araña,e ndurecenla llanta y la mantienene n el ' planoq ue cortaa los dosc onosq ue forman;l os radiosp enetrant angencialmenteen el cubo para impedir la rotaciónd e éster espectod e la llanta; pero como para ello debenc ruzarses e les insertaa lternativamentea derechae izquierda del collarín del cubo,d ebiendot eneré stee xactamentee l espesoar decuadoy; ¿cómol ograrq ue las roscasd e los radiosn o sea flojenn unca solas?... Nunca acabaríamosd e enumerart odas las invencionesm ecánicasd e las quc csta maravillae s el resultado.P ero ¿quiént iene necesidadd e maravillarscd c su bicicleta?B astac on que ruede. Los númerosd ecimaless e parecenb astantea estoso bjetosf amiliaresp rctlados de matemáticasd, e cienciay de tecnologíap, ero cuyo uso no exigep rácticamente ningúnc onocimientoS. u invencióne mpezóe n el albad e la historia- con el ojo de Horusy las medidasd ecimalesc hinas- y no seh a terminadop rácticamenteh asta Dedekind v la matematizaciónd e los reales. Se trata de una estructura muy ingeniosa, apta para resolver problemas muy complejosy a vecesi nclusoa parentementeco ntradictoriosa, las puertas,a lavez, del álgebray del análisis.P or estop lanteanu n problemao riginal a la enseñanza. Por una parte, se parecen tanto a los naturales que es muy fácil emplearlos y Bprenderm uy pronto una cierta manerad e usarlos:f ueron inventadosp ara eso. Pero, por otra parte, esta primera comprensión se convierte en obstáculop ara un usom ásr efinadoy parau na buenac omprensiónd e cuestionefsu ndamentalesp,a ra Gle studiod e las matemáticasH. ace falta mucho tiempo para olvidar susp rimeros reflejosy aprenderlo contrariod e aquelloq ue nosh a permitidor esolvern umerosos 'problemasp rácticos.¿ Cómo organizar, por tanto, la enseñanzaa lo largo de una ridad obligatoriaq ue,.h oy día -felizmente-, va más allá de la mera inicia- t2 IJ En estel ibro, Julia Centenos eñalal as aportacionesm ás recientesd e los diversos tipos de investigación en esta materia y muestra los caminos que se abren ante profesoresy educadoresE. sta obra sea poya en un importante trabajo de documen- tación, de orígenesm uy diferentes,c uya sÍntesis,a causad e la variedad de puntos de vista, presentabad ificultadesq ue me pareceh an sido aquÍ felizmente superadas. Habiendo tenido accesoa fuentes todavía no publicadasy a investigacionesp oco conocidas,l a autora presenta muchas ideas nuevas e interesantesp ara todos los públicos,s in rechazart ampoco los enfoquesm ás clásicos.O frece ademáso tras proposicionesr,e sultadod e reflexionese investigaciondpse rsonales. No era tarea fiicil, habida cuenta de los torbellinos y reformas que no dejan de agitar la pedagogíal,a psicologÍac ognoscitivay la didáctica de las matemáticas.E l resultadom uestrau n muy loablee sfuerzoa lavez de eclecticismoy de precisión que merecerás, in duda, la estimad e los lectores. Debod ecir,p or último, que,e n cuantot rabajod e síntesisr,e sultad e grana ctua- lidad ya que el problemaq ue hemosp lanteadoa l principio no se resolveráh asta PRIMERA PARTE: que el conjunto de los interesadosp: rofesoresd e distintosn iveles,m atemáticos, organizadoredse programasy evidentementeta mbién el público, no seh agac ons- ¿PORQ UE LOS NUMEROS cicnted c la naturalezac ultural -y no solamenteté cnica,a dministrativay científi- ca- dc las solucionesa proponer. DECIMALES? 4: Guy Brousseau t4 Introducción Los números decimaless e han convertido en los últimos años en protagonistas de todos los cálculos -hasta el punto de que en la práctica desplazanc ompleta- mente a las fracciones- debido a la disponibilidad creciented el uso de calculado- ras y de ordenadoresq ue hacen las operacionesc on ellos. En opinión de BnowN ( 198l ): <<Puestqou e el sistemad ecimal ha sido adoptadop ara las calculadorasy los ordenadores,p arecep robable que los decimaless e utilizarán cadav ez más en las aplicaciones;y el uso de las fraccionesd ecaerág radualmente.>S egún esto, una primera respuestain genua a la pregunta con la que iniciamos esta primera parte rría: <<Noso cupamosd e los decimalesp orque las calculadorasy los ordenadores ;alculan con decimales.>> Con el fin de acercarnosa una respuestam ¿iss atisfactoriap resentamose n el capÍtulo primero algunass ituacionesf amiliares en las que la información cuantifi- cadas e transmite por medio de unos símbolosn uméricos escritosc on una coma, Ilamadosh abitualmented ecimales. Nos interrogamos a continuación sobre la signiñcación de estase scrituras y rerca de su utilidad. En un principio, la palabra< <decimabti ene la acepciónq ue se le atribuye habitualmente,q ue sueles er equivalentea la expresión:< <númerocso n :oma), por oposición a números sin coma o números enteros.P ero necesitamos :Dnocer1 oq ue les caracteiza por sÍ mismos. Para ello, podemosc uestionarnoss obrel a posibilidad de sustituirlos -en algu- úrs casos- por números enteros,s in que varíe el significadod e la frasee n la que ry.recían con coma. Es decir, buscamosa quellass ituacionese n las que seap osible ;rescindir de los números con coma. )' finalmente indagaremosc uáles son las situacionese n las que no es posible nm¡smitir una información numéricad isponiendos ólo de los números enteros.S on rsas situacionesl as que permitirán dar sentido a los números decimales,q ue no ¡uredenc aracterizarsep or la manera de estar escritos sino por la función que cum- ¡im. En el capÍtulo segundor ecogeremosla s distintasp rogresionesq ue sobree l tema ,rmnmerosd ecimales>e>n contramos en los cuestionarioso ficiales de los últimos mg'r ta años para la enseñanzao bligatoria, y nos interrogaremos acercad e la idea de rmr€ro decimal que se transmite en ellos. T7