Cultura Y Aprendizaje 03

91 Pages·9.676 MB·Spanish

by  Varios

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NUMERACION
Y CALCULO
BsRNento Góvtnz Arroñso
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T
ffi
I t¡. Simetríad inámica
Colección: iI! Rafael Pérez Gómez, Claudi Alsin¡r ('¡rt¡rl¡i.( 'cferino Ruiz Garrido
MATEMATICAS:C ULTURA Y APRENDIZAJE
14. Semejanza
Ricardo Luengo González
l. Area de conocimiento:d idáctica de las matemáticas
f 5. Poliedros
EnriqueV idalC osta
Gregoria Guillén Soler, Angel Salar Gálvez
2. Números y operaciones
16. Metodologla activa y lúdica de la geometría
LuisR icoR omeroE, ncarnacióCna stroM artínezE, nriqueC astroM artinez
AngeMl artínezR ecioF, ranciscJou anR ivayaF, ranciscJoa vieAr guilaR uiz
3. Numeración y cálculo
17. El problema de la medida
Bernardo Gómez Alfonso
Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez
4. Fracciones. La relación parte-todo
18. Circunferenciya cfrculo
Salvador Llinares Ciscar, M." Victoria SánchezG arcía
Francisco Padilla Díaz, Arnulfo Santos Hernández, Fidela Yelázquez Manuel, Manuel
5. Númerosd ecimales Fernández Reyes
Julia Centeno Pérez
19. SuperficieV. olumen
6. Números enteros M." Angeles del olmo Romero, Francisca Moreno Carretero, Francisco Gil cuadra
JoséL . GonzáleMz ari,M ." DoloresIr iarteB ustosA, lfonsoo rtiz comasI.n maculada
Vargas-Machuca, Manuela Jimeno Pérez,A ntonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jiménez 20. Proporcionalidad
7. Divisibilidad M." Luisa Fiol Mora, JosepM .' Fortuny Aymemi
ModestoS ierra vázquez,A ndréss ánchezG arcía,M ." T. GonzálezA studillo,M ario 21. Nudos y nexos:g rafos en la escuela
GonzálezA costa
Moisés Coriat Benarroch, Juana Sancho Gil, Antonio Marín del Moral, Pilar
8. Problemasa ritméticose scolares Gonzalvo Martínez
Luis Puig EspinosaF, ernandoC erdánp érez 22. Por los caminosd e la lógica
9. Estimación en cálculo y medida Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz
Isidoro SegoviaA Iex, EncarnaciónC astro Maftinez, EnriqueC astro Martínez,L uis Rico 23. Iniciación al álgebra
Romero
Manuel Martín socas Robayna, Matias camacho Machín, M.' Mercedes Palarea
10. Aritmética y calculadora Medina, Josefa Hernández Dominguez
Frederic Udina i Abelló
24. Ordenar y clasificar
ll. Materiales para construir la geometría GasparM ayor Forteza,T eresaR ieraM adurell
CarmeB urguéFsl americhC,l audAi lsinaC ataláJ, osepM ." FortunyA ymemi
25. Códigoss, ímbolosr,e presentacióyn c oordenadas
12. Invitación a la didáctica de la geometría Francisco Vecino Rubio, Gerardo Montero García, Tomás Sierra Delgado
Claudi Alsina Catalá, Josep M a Fortuny Aymemi, Carme Burgués Flamerich
-r1{
26. Funciones
Jordi Deulofeu Piquct, (larmen Azcárale Giménez
27. lvat y probabilidad
Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bernabéu, M., JesúsC añizares Castellano
28. Encuestas y precios
Andrés Nortes Checa
29. Heurística
FernandoC erdinP ére1L uis PuigE spinosa
30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso NUMERACION
José A. Cajaraville Pegito
Y CALCUTO
31. Prensay matemáticas
AntonioF ernándeCz ano,L uis RicoR omero
32. Juegos y pasatiempos para la enseñanzad e la matemática elemental
Josefa Fernández Sucasas, M." Inés Rodriguez Vela
33. Pensamiento algorftmico BnnNanpo Góunz AlroNso
CandelarEias pineFl eblesC, asianRo odrígueLze ón
Profesorti tular de Didácticad e las Matemirticas
de la Universidadd e Valcncr¿r
34. Recursos en el aula de matemáticas
FranciscoH ernánS igueroE, lisaC arrilloQ uintela
EDITORIAL
SINTESIS
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tror. oiüoo eb erraJs3
tormad ea dquisiciÓ1un':¡ - {núu etnQ
tompra Canie Do¡ación
-
techad ea dqursrción
Año- Mes Día Indice
-
Fechdae P rocesamiento
Año- Mes
-
Proveedor
ProcesadPoo r
Al lector
ll
1. Introducción t7
1.1. ¿Quée se l número? l7
1.2. Caracterización 18
1.2.1.U sos l8
1.2.2. Invariantes 20
Primerar eimpresióno: ctubre1 989 1.2.3. Nacimientoy evolución 2l
Segundare impresiónn: oviembre1 993 . El sistemac ardinal 2l
Tercerar eimpresiónn: oviembre1 998 La unicidad 2l
Reservadotso dosl os derechosE. stáp rohibido,b ajo La coordinabilidad 2l
lass ancionepse nalesy el resarcimientcoi vil previstos El registro 22
en lasl eyes,r eproducir,r egistraro transmitire stap ubli- Lasetiquetas.... 23
cación,í ntegrao parcialmentep or cualquiers istema r El sistemao rdinal 23
de recuperacióyn por cualquierm edio,s eam ecánico, El orden 23
electrónicom, agnéticoe, lectroópticop, or fotocopiao El sistemad e numeración. . . 24
por cualquiero tro,s inl a autorizaciópnr eviap or escri-
to de EditorialS íntesisS. .A . Contar 25
Losadjetivos..... 26
@ BernardoG ómezA lfonso .,La historiar eal .. 27
¡ Contar con las partesd el cuerpo 29
O EDITORIAL SÍNTESIS,S .A .
Vallehermoso3, 4 - 28015M adrid 2. La numeracióne: volucióny comparaciónd e sistemas 31
Teléf.:9 1 5932098
http//:www.sintesis.com 2.1. Ejerciciosp reliminareso de partida 3l
2.2. Sistemasd e numeración 3l
Depósito Legal: M. 32.385-1998 2.2.1. Representaciósni mple 32
ISBN:8 4-7738-014-7 2.2.2. Agrupamientos imple 32
2.2.3. Agrupamientom últiple
Impresoe n España- Printedi n Spain JJ
o Sistema egipcio 34
2.2.4. Sislclrrrmrsu ltiplicativos.... 35 4. Losalgoritmos...... 103
r Sistcluaá tico. 35 4.1. Losalgoritmos.... 103
. Sistorncah ino-japoné.s.. . 36 4.2. Los algoritmosd c lipiz y ¡lr¡rcl 105
¡ Nucstros istemao ral . rCaracterísticas.. 106
)t
. Sistemab abilónico 37 4.3. Los algoritmose n cl ctrfríctll() 106
2.2.5. Sistcmam ultiplicativoo rdenado 38 4.3.1. Algoritmosp ara ll strrn¿. l 115
2.2.6. Sistemapso sicionales 39 4.3.2. Algoritmosp ara la rcsta . ll9
o Sistemam aya. 39 4.3.3. Algoritmosp ara la multiplicación.. . . 125
. El cero 40 . Las regletaso rodillosd e Neper 135
. Las cifras 4l . La multiplicacióne gipcia 136
2.2.7. Numeracióny cálculoe n los viejoss istemas 42 . La multiplicaciónr usa o campesina 137
o Egipto 42 4.3.4. Algoritmosp ara la división 139
. Babilonia 43
r53
. Grecia 43 ANEXO 1. La taiz cuadrada
. El sistemajó nico 44 1.1. El algoritmod e la raiz cuadrada 153
. La numeraciónr omana 46 1.1.1. Un tratamientom anipulativo(.L aboratoriob, loques). 155
2.2.8. La herenciah indú. 47 . Problemap reliminaro de partida 155
2.2.9. Europa:u n caminop lagadod e dihcultades. . .. . ... 50 . La situación de partida 155
. La oscuridad. . . 51 . Trazando un plan 156
.ElalboreaÍ..... 53 1.1.2. Un tratamientoa ritmético.( Lápiz y papel) 159
. Innovaciónc ontra conservadurismo. 54 . Problemap reliminaro de Partida r59
2.2.10.E l sistemad ecimal 55 . La situaciónd e partida 159
. Modo de leeru n númerod e muchasc ifras . ... . . 56 o Trazando un plan 159
. Caracteristicas. . 56 1.1.3. Un tratamientoa lgebraico('L ápiz y papel) 161
. Desarrolloc urricular 57
. Uso de materiale structurado 57 ANEXO 2. Los materialesm anipulativos.. 163
o La integraciónd el contexto 58 2.1. Los ábacos 164
2.2.11.A ritméticay sistemasd e numeración .. . 59 2.1.1. Abacosd ecimales 166
2.2.12.A ritméticay enseñanzao bligatoria 59 2.2. Los bloquesm ultibase r67
2.2.1. Diferenciase ntre los bloquesy los ábacos 169
2.2.2. Actividades 169
3. Cálculom ental.C álculop ensado 65
2.3. Los númerose n color 170
3.1. Cálculom ental,c álculop ensado 65 2.3.1. Estructura l7l
3.2. Cálculom ental:l as tablas 68 2.3.2. Operaciones 172
3.2.1. La tabla de sumar 70
. Las tablillasd e Lucas 75 Bibliogralla 173
3.2.2. La tabla de multiplicar . . . 76
3.3. La multiplicaciónc on los dedos 82
3.4. Cálculop ensado 85
3.4.1. Cálculo pensadoa ditivo 85
3.4.2. Cálculo pensador nultiplicativo . . . . 87
3.5. Explorandoe n aritmética... .. 9l
3.6. Las tablasd e doble entrada 94
¿
-'1
Al lector
Grabado de Ia portada Habrán ustedes notado que la gente nunca contesta a lo que se le dice.
de una edición de uno Contesta siempre a lo que uno piensa al hacer la pregunta, o a lo que sef igura
de los Rechenbücher que estó uno pensando. Supongan ustedesq ue una dama le dice a otra, en una
de Adam Riese,e l famo- casa de campo: <¿Hay alguien contigo?))L a ofta no contesta: <Sí, el mayordo-
so Rechenmeister. de mo, los tres criados, la doncellas, etc.D,a un cuando la camarera esté en el otro
1529. En él se represen- cuarto y el mayordomo detrás de la silla de la señóra, sino que contesta' (No;
ta una competición en- no hay nadie conmigo>, con lo cual quiere decir: <No hay nadie de la clase
tre un algorista y un social a la que tú te refieres.> Pero si es el doctor el que hace la pregunta, en un
abacista.
caso de epidemia: <¿Quién más hay aquí?l, entonces la señora recordará, sin
duda, al mayordomo, a la camarera, etc. Y así se habla siempre. Nunca son
literales las respuestas,s in que dejan por eso de ser uerídicas.
(El candor del padre Brown. <El hombre invisible>.
CHssr¡Rror.¡.)
He escrito este libro con la intención de contestar en la medida de mis
posibilidades y a la vista de la bibliografia actual, como yo pienso que el
lectore speraq ues el e contestea algunasp reguntass obrel a Numeracióny el
Cálculo,q ue yo creoq uep uedenh aberp asadop or su cabezae n relaciónc on
su actividadp rofesionaol su formaciónc omo maestro.
¿Quieree llo decirq ue aquí va a encontrara lgunas olucióna susp roble-
mas?
* Puedeq ue sí,p uedeq ue no. No me esp osibles aberlon, i tampocom e es
posibleh, onradamented,a r un recetarioo un manuald e instruccionesc,o mo
f
si el aula fuerau n electrodomésticoL.a libertad,e l gustoy el estilop ersonal
del profesorn i puedenn i debens er soslayadosD. ebe ser él quien decida
sobrel as situacionedse aprendizajeq uel e permitand esarrollarla s capacida-
desd e susa lumnos,a sumiendola responsabilidadde su clasec on todass us
consecuenciacso, nsciented e que cualquiert exto,p or muy bien presentado,
elaboradoe, scrito,p rogramadoe, structuradoo divertidoq ue sea,n o puede
Tomado del grabado
reulizarn ingunal abor didácticap or sí mismo.E s imprescindiblela criba y
anterior. Reelaborado
posteriora ctuaciónd el profcsor,y éstan o es programabled e antemanod e
por el autor.
modo rígido:s u ingenioy cl de susa lumnosc ondicionaráne l desarrollod e la
10
1l
¡
clased e modo irn¡rrcvisiblAc,f ortunJdamentpeo, rquee llo signilicaráq ues e didáctico.S acara l¿rl t¡z hrs p¡rsrtso cultos,m ostrar los contextose n que
está educandoc rr nrrrtcrrriiticay sq ue no se pierded e vista quién es el se mueven,d escubrirv irn¡rttlcsy tliscutir sobre sus ventajase lnconve-
verdaderop rotagorristdirc la clase.
nientes. Se trata dc tlru sc¡tlttkr it las conexionese ntre los pasos,
Dicho esto,¿ ,quócs cstcl ibro? establecere tapas c()n sus litscsc orrcspondientesy perhlar una adecua-
A vecese sm ásf ácild ecirl o quen o sonl asc osasE. sten o es un libro de da secuencializaciódni diicti cl
matemáticaesn el scntidou suald el término.N o esp ara unosp ocosN. o es . Destacar el papel dc lir calcul¿rdorac omo herramienta para el trabajo
intimidatorio.N o es parae l fracasoN. o esp ara la frustraciónN. o es parala rápido, para el cálcukl scguro y para el razonamiento inteligente.
ansiedad.
Por el contrario, éste es un libro de recursosp ara la educacióne n
matemáticasu;n libro parala participación,p arala integracióny no para la l. La numeración
selecciónP. ara despertars entimientosp ositivos,p ara desmitifrcarp, ara ser
entendido. Huelga extenderses obre la importancia de una buena comprensión de la
Es criterio de estel ibro vencere l obstáculoe mocionalr esponsabled el estructura multiplicativa del número y lo inútil que resulta hablar de algorit-
aburrimientoc on que muchosm aestross ep lanteanl a aritméticae; sc onven- mos de cálculo si falla ésta.
cerlesd e que debajod e la rutina de un algoritmo o de la perfecciónd e la Conocer la evolución histórica de los sistemasd e numeración y saber las
expresiónn uméricah ay cientosy cientosd e añosd e creaciónd, e dificultades razones que provocaron los cambios y el abandono de unos sistemas por
y bloqueosd, e logros y avancesd, e retrocesose incompresionesd,e fatiga, otros, contribuye a dar sentido a los conocimientos previos o ya adquiridos
sudor,e sfuerzoe ilusión.c onocer algo de lo que ha ocurridop uedes uponer por el lector. Además, gracias a la motivación cultural que supone eliminar
un cambioe n el tratamientoe scolard e la aritmética,p uedeh acerlai ntere- la sensaciónd e <ya visto> el camino se anda sin difrcultad y, por añadidura,
santec omo si de una novelad e suspenssee tratara y tan humanísticoc omo los conocimientos quedan reforzados al ir emparejados con alguna narra-
puedas erloc ualquiero tro campod e conocimientoE. stoe sa lgo quem uchos ción, anécdota o curiosidad histórica.
de nosotrosn o descubrimose n nuestraju ventud,p orquen adief ue capazd e
explicárnosloa, unquee n cierto modo comenzábamoas sospecharlo.
Es un libro donde hallar puntos de partida para la reflexión,s oportes 2. Los materiales
para los deseosd e cambio o fuentesp ara la inspiraciónp edagógicaE. stá
Los conocimientos anteriores contribuyen, por añadidura, a facilitar cl
pensadop ara los futuros maestrosy maestrose n ejercicioy aborda ese
accesoa la estructura de los materiales manipulativos; ayudan a compren-
aspectod e la enseñanzda, el asm atemáticatsa n poco tratadoe n nuestrop aís
derlos y sugieren las líneas para su utilización en el aula.
(manualese scolareasp arte)i:d easp ara la clasem, étodosy formasd e presen-
En el Anexo 2 se da una breve descripción del material más destacadoy
tación, secuencializaciófnu,n damentaciónm, aterialesm anipulativosc, arac-
conocido en cada caso y ademásd e sus característicasd idácticass e muestran
terísticasy sugerenciapsa ra su utilización.
algunas vías de actuación acompañadas de ejemplos en situacionesc oncre-
tas. Un desarrollo más detallado del material podrá encontrarsee n la bibtio-
. Objetivos grafia que se acompaña.
El libro se articula en torno a los siguienteso bjetivos:
3. El cálculo mental. El cálculo pensado
. Lograr un conocimientom ás profundo de la numeracióny de las
razonesq ue han conducidoa su expresióny forma actual. El cálculo mental, cálculo pensado,e s el cálculo sin lápiz ni papel, es el
. Incidir sobree l material manipulativo,d escribirlo, analizarloy mostrar cálculo callejero, cotidiano. El conocimiento de sus métodos y estrategias,
sugerenciapsa ra su uso.
sus condiciones más adecuadas de uso, etc., conforman un bagaje poco
. Apoyare l usod e estrategiadse cálculom entaly pensadoD. escribirlas, tratado en la Escuela. En este libro se aborda la descripción de los más
clasificarlasy presentare jemplosq ue muestrenc ómo se utilizan. corrientes, se organizan en función de sus característicasy , cómo no, se
o Presentaer strategiaps ara la construccióne, squematizacióyn a brevia- trabajan las formas de acercarsea las tablas, ya que son el soporte impres-
ción progresivad e los algoritmosu sualesd e cálculo como recurso cindible para alcanzltr un adecuado nivel de destreza.
t2 13
por su paciencia,y en parti t'trl¡tr¡ r l,ttis l)uig, por haberme embarcado en
Seh aceh incapióc n la observaciónd e lts númerose n relaciónc on otros
esta aventura; a Francisco Solr¡. pot st¡s cfluvios narrativos, y a Fernando
númeross obrel as tablasp itagóricaso de doble entradad e sumas,p roduc-
Cerdán, por las ideasq uc tttt: ltit it¡rrtllitdo.
tos, doblesy cuadrados.S e buscah abituar al niño a descubrirp atrones,
Quiero concluir signilicrttttlot ¡rrc si algo tiene de bueno este libro es
reglasy leyes,r ecurrenciase,f ectoss orprendentesa,s pectosin sólitoso cho-
debido a una multitud dc pcrsotuts,k rs quc han escrito las fuentes en donde
cantese, tc.A demáse staf ormad e actuart ienel a ventajaq uep ermitee stimu-
he bebido y los que me ha¡t itytttlitdoi t organizarlasP. ero, sin embargo,t odo
lar el trabajo y el ingenio personala l tiempo que contribuyea un mejor
lo mucho que tiene de malo sillo cs achacable,n aturalmente, a una persona;
conocimientod e los númerosv susi nterrelaciones.
al autor.
4, Los algoritmosd e las operacionees lementales
Se haceu n recorridos obrel as distintasf ormasd e presentarlo s algorit-
mos y sobres usj ustificacionesS. e sucedenlo s planteamientoisn strumenta-
les,r elacionaleys constructivosS. e hacev er el trasfondos acandoa relucir
sus pasoso cultosy los conocimientosp reviosq ue se necesitanp ara com-
prenderl o que ocurre.S et rabajanl os algoritmosh istóricosy la búsquedad e
variantes.S ed a entrada a la secuencializaciínd idáctica,a la discusións obre
ventajase inconvenientess,e rompe la tradicionalr igidez,h abitual en las
presentacioneess colaredse los algoritmosy sed a lugar a formasp ersonales,
divertidaso ultrarrápidasd e cálculo.
Una incursión a la búsquedad e conjeturas,e xplicacionesa, nalogias,
extensioneys generalizacionehsa,r á ver que la Aritmétican o sólo esc álculo,
también es matemáticasP. or añadidura,a l utilizar la calculadorac omo
utilisimah erramientae n estai ncursión,s e hacev er el inteligentisimop apel
que tienee stei nstrumentoe n el lanzamientoy contrastaciónd e conjeturas.
5. La ruíz cuadrada
En el Anexo I sc abordan los div€rsos tratamientos d€l algodtmo de la
raiz cuadraala.N o porque oec onsidorei mportente por si mismo, sino por la
riqueza d€ posibilidades que encierra y, sobre todo, como muestra de lo que
se ha hecho coD los elgoritmos y lo qu€ s€ ha podido hacer y no se ha hocho.
. Agt¡decimiertos
Cúmplcme revelar la colaboración qu€ m. ha pltstado Luis Rico, direc-
tor del Dop¿rtamento de Didáctica de la matemática de la Universidad de
Granada y mieñbro del consejo editor d€ la seri€ de la que este lib¡o forma
part€, cuya valiosa ayuda s9 ha plasmado en aportaciones concretasy acer-
tadisimas co¡reccionesq ue han contribuido a redondcarlo su¡tancialm€nte.
Mi agradecimientot ¿mbién al resto de mis compañerosd e departamento
tn"
Introducción
Las ideasr eferenteas la numeracióny al números uelenc onfundirsey no
fueron objetos diferenciadosd e estudio de los currículose scolaresh asta
entradoslo s añoss etentaL. a numeraciónti eneq ue ver con las reglass intác-
ticasy fonéticasp ara expresare l númeroy el número...
1.1. ¿QUE ES EL NUMERO?
Esta es una de esasp reguntasc uya respuestas ueles oslayarse¡.T odo el
mundo sabeq ué cosae s el número!A hora bien, si se reiteral a pregunta,
unosg uardaráns ilencioo, tros sej ustihcaránd iciendoq ue lo que lesp asae s
que no tienenp alabrasp ara explicarsey, los más,b ueno,l os más...
Aun no sabiendolo que ese l número,m uchosa ceptaránq ue el 6 lo es y
que tambiénl o es VI, y tambiénI IIIII; y que todase sasc osass on el mismo
número. Pero esto no puedes er, ya que son objetosd istintos,y objetos
distintosn o puedens erl a mismac osa.D ecir que6 no esu n número,e sc omo
decir que Pepe no es un hombre. ¡Es cierto, 6 es sólo el nombre de un
número,c omo Pepee s sólo el nombred e un hombre!
Aclaradoe sto,v olvamosa dondee stábamos¿: Quée s el número?P ode-
mosc onvenirq uee l significadod e lasp alabrasn o hay queb uscarlod e modo
aislado,s inoe n el contextod e todo un enunciadop, or lo quec abee stablecer
la preguntae n estoso tros términos:¿ quée s,p or ejemplo,e l número uno?
<A la pregunta de qué cosa es el número uno, o de qué denota el signo I, se
puede responder: pues una cosa. Y si se hace notar entonces que el enunciado
-el número uno es una cosa- no es una definición, porque a un lado se halla
el artículo determinado y al otro el indeterminado, y que tal enunciado sólo
expresa que el número uno pertenece a las cosas,p ero no qué cosa es...>
(FnncE, 1972,p á9. 13.)
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