CUADERNOS DE´ALGEBRA No. 4 ´Algebra lineal Oswaldo Lezama Departamento de

151 Pages·2014·0.86 MB·Spanish

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CUADERNOS DE ALGEBRA
No. 4
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Algebra lineal
Oswaldo Lezama
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Sede de Bogot´a
30 de junio de 2014
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Cuaderno dedicado a Ton˜ita, mi madre.
Contenido
Pro´logo v
1. Matrices 1
1.1. Estructuras algebraicas b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Matrices sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Inversa de una matriz y cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Matrices y operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 22
2.1. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Determinantes y funciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Menores y cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Ideales, rango y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. Producto tensorial 50
3.1. Producto tensorial de espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Producto tensorial de transformaciones y matrices . . . . . . . . . . . 54
3.3. Funciones multilineales y tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4. Tensores sim´etricos, antisim´etricos y alternados . . . . . . . . . . . . 63
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3.5. Algebras y producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4. Formas cano´nicas 77
4.1. Polinomios m´ınimo y caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2. Forma can´onica cl´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3. Forma can´onica racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4. Forma can´onica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5. Forma can´onica diagonal: valores y vectores propios . . . . . . . . . . 97
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
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iv
CONTENIDO
5. Grupos de matrices 109
5.1. Grupos de matrices sobre cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.1. El grupo lineal y algunos subgrupos destacados . . . . . . . . 109
5.1.2. Grupos cl´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2. Grupos de matrices sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3. El grupo elemental sobre anillos conmutativos . . . . . . . . . . . . . 127
5.3.1. Teorema de normalizaci´on de Suslin . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3.2. Teorema de estabilidad de Suslin . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4. Grupos cl´asicos sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Bibliograf´ıa 144
Pro´logo
La colecci´on Cuadernos de ´algebra consta de 10 publicaciones sobre los principales
temas de esta rama de las matem´aticas, y pretende servir de material para preparar
los ex´amenes de admisi´on y de candidatura de los programas colombianos de doc-
torado en matem´aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de
los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ıa;
los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los
ex´amenesdecandidatura,asaber:anillosym´odulos;categor´ıas;´algebrahomol´ogica;
´algebranoconmutativa;´algebraconmutativaygeometr´ıaalgebraica.Cadacuaderno
es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia
en los u´ltimos 25 an˜os, y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en
cada uno de ellos, como tambi´en en el libro Anillos, M´odulos y Categor´ıas, publicado
por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edici´on
est´a totalmente agotada (v´ease [7]). Un material similar, pero mucho m´as completo
que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang, Al-
gebra, cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (v´ease
[8]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de ´algebra sea su presentaci´on ordenada
y did´actica, as´ı como la inclusi´on de muchas pruebas omitidas en la literatura y
suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa. Los cuadernos son:
1. Grupos 6. Anillos y m´odulos
2. Anillos 7. Categor´ıas
´
3. M´odulos 8. Algebra homol´ogica
4. A´lgebra lineal 9. A´lgebra no conmutativa
´
5. Cuerpos 10. Algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica
Los cuadernos est´an dividido en cap´ıtulos, los cuales a su vez se dividen en
secciones. Para cada cap´ıtulo se an˜ade al final una lista de ejercicios que deber´ıa ser
complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen las
principales monograf´ıas relacionadas con el respectivo tema.
Cuaderno de ´algebra lineal. El presente cuaderno est´a dedicado al estudio
del ´algebra lineal generalizada, es decir, al estudio de los espacios vectoriales, los
operadores lineales, las matrices y las formas, pero consideradas sobre anillos di-
mensionales arbitratrarios, es decir, anillos para los cuales un espacio libre de bases
v
vi PRO´LOGO
finitas tiene dimensi´on. El ´algebra lineal sobre anillos ha sido tratada tambi´en por
otros autores, v´eanse por ejemplo las monograf´ıas [1] y [9] en las cuales se estudia
en ´algebra lineal sobre anillos conmutativos.
Para aprovechar mejor el material del presente cuaderno es conveniente que el
lector haya estudiado previamente un curso elemental de ´algebra lineal cl´asica, es
decir, de ´algebra lineal sobre cuerpos, y un curso b´asico de anillos y m´odulos (v´eanse
por ejemplo [5] y [6]).
El autor desea expresar su agradecimiento a Claudia Milena Gallego Joya, dis-
c´ıpula y amiga, por la digitalizaci´on del material del presente cuaderno.
Oswaldo Lezama
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia
Bogot´a, Colombia
[email protected]
Cap´ıtulo 1
Matrices
El estudio de los espacios vectoriales sobre anillos, desde la perspectiva matricial,
tensorial y de las formas can´onicas y sesquilineales que estudiaremos en el presente
cuaderno, constituye la denominada ´algebra lineal generalizada, o tambi´en llamada
´algebra lineal sobre anillos. Esta ´area por supuesto se puede considerar como una
rama de la teor´ıa de m´odulos (v´ease [6]). La teor´ıa que desarrollaremos se har´a sobre
anillos arbitrarios (principalmente conmutativos), sin embargo, los ejemplos estar´an
centrados en los siguientes anillos particulares: un cuerpo cualquiera K, el anillo Z
de los nu´meros enteros, el anillo Z de los enteros m´odulo n ≥ 2, y el anillo K[x] de
n
los polinomios en una indeterminada con coeficientes en el cuerpo K.
1.1. Estructuras algebraicas b´asicas
La primera secci´on de este cap´ıtulo es de caracter introductorio y permite repasar
algunos conceptos de anillos y m´odulos, sin embargo, invitamos al lector a recordar
la teor´ıa b´asica de los cuadernos 2 y 3, la cual usaremos libremente durante todos
los desarrollos del presente cuaderno (v´eanse [5] y [6]).
Definicio´n 1.1.1. Sea G un conjunto no vac´ıo. Una operaci´on binaria interna
en G es una funci´on ∗ con dominio el producto cartesiano G×G y codominio G
∗
G×G −→ G
(a,b) 7→ a∗b.
Si la operaci´on ∗ es asociativa en el sentido que
(a∗b)∗c = a∗(b∗c)
para cualesquiera elementos a,b,c ∈ G, entonces se dice que (G,∗) es un semi-
grupo. Si en el conjunto G del semigrupo (G,∗) existe un elemento e tal que
1
2 CAP´ITULO1. MATRICES
e∗a = a = a∗e
para cada a ∈ G, se dice que (G,∗) es un monoide con elemento neutro e. Si
(G,∗) es un monoide y cada elemento a ∈ G tiene un inverso, es decir, existe a0 ∈ G
tal que
a∗a0 = e = a0 ∗a
entonces se dice que (G,∗,e) es un grupo. Si adem´as la operaci´on ∗ es conmutativa,
es decir,
a∗b = b∗a
para cualesquiera elementos a,b ∈ G, entonces se dice que el grupo (G,∗,e) es
conmutativo (tambi´en llamado abeliano).
Los semigrupos, monoides y grupos se acostumbran a denotar simplemente por
su conjunto de elementos, de tal manera que por ejemplo el grupo (G,∗,e) se deno-
tar´a por G.
Ejemplo 1.1.2. El conjunto N = {0,1,2,...} de los nu´meros naturales es un
monoide conmutativo respecto de la adici´on usual y tiene como elemento neutro al
natural 0. De igual manera, el conjunto Z = {...,−2,−1,0,1,2,...} de los nu´meros
enteros es un grupo abeliano con la adici´on usual.
Proposicio´n 1.1.3. En cualquier grupo el elemento neutro y el inverso de un ele-
mento son u´nicos.
Demostraci´on. La prueba es una consecuencia directa de las definiciones.
Notemos que el conjunto Z posee dos operaciones, la adici´on y el producto, de tal
forma que respecto de la primera es un grupo abeliano, mientras que con la segunda
es un monoide. Conjuntos con tal condici´on conforman los llamados anillos.
Definicio´n 1.1.4. Un anillo es un conjunto A con dos operaciones + y . llamadas
adici´on y producto, tal que
(i) A es un grupo conmutativo respecto de la adici´on.
(ii) A es un monoide respecto del producto.
(iii) El producto se distribuye sobre la adici´on, es decir,
a·(b+c) = a·b+a·c
(a+b)·c = a·c+b·c.
1.1. ESTRUCTURASALGEBRAICASBA´SICAS 3
(iv) El anillo A es conmutativo si el producto es conmutativo.
(v) Un elemento a ∈ A es invertible si tiene inverso respecto del producto.
Observacio´n 1.1.5. Todoslosanillostendr´anelementoneutrorespectodelproduc-
to, este elemento ser´a denotado por 1. El neutro respecto de la adici´on ser´a denotado
por 0. Si a ∈ A, entonces el inverso de a respecto de la adici´on se denominar´a en
adelante el opuesto de a, y se denotar´a por −a. El producto a·b ser´a simbolizado
simplemente como ab, es decir, omitiremos el punto para el producto de dos elemen-
tos del anillo A. Si a ∈ A es invertible, entonces el inverso de a es u´nico y se denota
por a−1.
Ejemplo 1.1.6. El conjunto Z de los nu´meros enteros es un anillo conmutativo
respecto de las operaciones usuales de adici´on y producto. El neutro aditivo es 0
y el neutro del producto es 1. De igual manera, si restringimos el conjunto de los
enteros a los 8 primeros enteros no negativos, es decir, Z = {0,1,2,3,4,5,6,7}
8
y realizamos las operaciones tomando res´ıduos respecto de 8 obtenemos el llamado
anillodeenterosm´odulo8(v´ease[8]).Elneutroaditivoesnuevamenteel0yelneutro
multiplicativoes1.Esteejemploporsupuestosepuedegeneralizaracualquierentero
positivon ≥ 2(v´eanse[5]y[7]).Deotraparte,elconjuntodetodoslospolinomiosen
lavariablexyconcoeficientesrealesconstituyenotroejemplodeanilloconmutativo,
el cual se acostumbra denotar por R[x]. El neutro aditivo es el polinomio nulo y el
neutro multiplicativo es el polinomio constante 1 (v´eanse [5], [7] y [8]).
Ejemplo 1.1.7. Es posible que el lector est´e familiarizado con el conjunto de las
matrices cuadradas reales de taman˜o 2 × 2, M (R) (v´eanse [5], [7] y [8]). Estas
2
matrices conforman un anillo no conmutativo respecto de la adici´on y multiplicaci´on
habituales, el neutro aditivo es la matriz nula y el neutro multiplicativo es la matriz
id´entica. Notemos que
(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21)
1 0 0 1 0 1 1 0
6= .
0 0 0 0 0 0 0 0
En la definici´on de anillo no se exige que cada elemento no nulo tenga inverso
respecto del producto. As´ı por ejemplo, Z es un anillo en el cual no existe entero
x tal que 2x = 1. Sin embargo, existen anillos en los cuales este tipo de ecuaciones
tiene soluci´on, tal es el casode anillo de los nu´meros racionales Qcon las operaciones
habituales. Esta observaci´on permite definir el siguiente tipo de anillo.
Definicio´n 1.1.8. Un anillo A es de divisi´on si cada elemento no nulo es in-
vertible. Si adem´as A es conmutativo, entonces se dice que A es un cuerpo.
Proposicio´n 1.1.9. Sea A un anillo, el conjunto A∗ conformado por los elemen-
tos invertibles de A es un grupo respecto del producto, y se denomina el grupo de
elementos invertibles de A.
4 CAP´ITULO1. MATRICES
Demostraci´on. Ejercicio para el lector.
Segu´nlaproposici´onanterior,Aesunanillodedivisi´onsi,ys´olosi,A∗ = A−{0}.
Ejemplo 1.1.10. Los nu´meros racionales Q, los nu´meros reales R y los nu´meros
complejos C, con sus operaciones habituales, son cuerpos. Notemos adicionalmente
que Z∗ = {1,−1} es decir, Z no es un cuerpo. De otra parte, M (R)∗ consta de las
2
matrices invertibles, es decir, aquellas que tienen determinante no nulo. Este grupo
se denomina grupo lineal general de orde 2 sobre R y se denota por GL (R).
2
Sobre estos grupos de matrices invertibles volveremos m´as adelante.
Un tipo de estructura m´as compleja que las definidas anteriormente la consti-
tuyen los llamados espacios vectoriales, tambi´en denominados m´odulos, los cuales
conforman los objetos en se basa el ´algebra lineal generalizada.
Definicio´n 1.1.11. Un espacio vectorial es una tripla conformada por
(a) Un grupo abeliano V cuyos elementos llamaremos vectores.
(b) Un anillo A cuyos elementos llamaremos escalares.
(c) Una operaci´on externa entre escalares y vectores
V ×A → V
(v,a) 7→ v ·a
que satisface las siguientes condiciones:
(i) (v +u)·a = v ·a+u·a
(ii) v ·(a+b) = v ·a+v ·b
(iii) v ·(ab) = (v ·a)·b
(iv) v · 1 = v
para cualesquiera elementos a,b ∈ A, v,u ∈ V.
Si no hay lugar a confusi´on, el espacio vectorial (V,A,.) ser´a denotado sim-
plemente por V y se dir´a que V es un espacio vectorial sobre A, o que V es un
A-espacio. Cuando los escalares operan al lado izquierdo se dice que V es un A-
espacio a izquierda, sin embargo, es necesario aclarar que la teor´ıa de ´algebra lineal
desarrolladaaizquierdaescompletamenteequivalentealadesarrolladaaderecha.Si
no se advierte lo contrario, todos los espacios vectoriales del presente cuaderno son
espacios vectoriales a derecha. Los espacios vectoriales sobre anillos se les denomina
tambi´en m´odulos (v´ease [6]). As´ı pues, en teor´ıa de anillos y m´odulos se dir´a que
V es un A-m´odulo a derecha.