Cours introductif de M2: Théorie des Nombres [Lecture notes]

67 Pages·2013·0.651 MB·French

by  Jean-François Dat

UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
Cours introductif de M2
ThØorie des Nombres
Jean-Fran(cid:231)ois Dat
2012-2013
RØsumØ
Ce cours est une introduction aux concepts et outils de base de la thØorie al-
gØbrique des nombres : thØorie des entiers, thØorie des valuations, etc.
Table des matiŁres
1 Introduction et survol 2
1.1 ThØorie de Galois (rappels et complØments) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Entiers algØbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 ThØorie des valuations (normes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 AlgŁbre commutative 10
2.1 Rappels et complØments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Extensions entiŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Traces et Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Discriminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Application au calcul de O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
K
3 Anneaux de Dedekind 24
3.1 Anneaux de valuation discrŁte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 IdØaux fractionnaires inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Anneaux de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 DØcomposition des idØaux premiers dans une extension . . . . . . . . . . . 34
3.5 Action de Galois. Groupes de dØcomposition et d’inertie . . . . . . . . . . . 40
4 Valeurs absolues et complØtions 46
4.1 Valeurs absolues et places des corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 ComplØtion dans le cas non-archimØdien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Lemme de Hensel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1
UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
5 GØomØtrie des nombres 60
5.1 RØseaux euclidiens et thØorŁme de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Finitude du nombre de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 ThØorŁme des unitØs de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1 Introduction et survol
Les objets principaux que nous voulons Øtudier ici sont les corps de nombres, i.e. les
Q C
extensions (cid:28)nies du corps des rationnels . Ces corps peuvent Œtre (cid:16)plongØs(cid:17) (dans ou
Q
dans une cl(cid:244)ture algØbrique prØalablement (cid:28)xØe), ou (cid:16)abstraits(cid:17).
Exemples.
(cid:21) corps plongØs : Q(i) (cid:16)sous-corps de C engendrØ par i(cid:17), ou plus gØnØralement Q(e2iπ/n).
(cid:21) corps abstraits : Q[X]/(X2 +1) ou Q[X]/(X3 +X +1).
En fait, par la thØorie gØnØrale des corps, on sait que :
C
i) tout corps de nombres abstrait peut Œtre plongØ dans (thØorŁme de d’Alembert :
C
est algØbriquement clos.)
ii) tout corps de nombres plongØ dans C est de la forme Q(α) (thØorŁme de l’ØlØment
primitif).
Notation. Pour un nombre algØbrique α ∈ C, on note f son polyn(cid:244)me minimal, ie le
α
gØnØrateur monique de l’idØal {f ∈ Q[X], f(α) = 0}. On a alors un isomorphisme de corps
∼
Q[X]/(f ) −→ Q(α) qui envoie X sur α.
α
Les outils principaux pour notre Øtude seront :
(cid:21) la thØorie de Galois (thØorie des corps gØnØrale)
(cid:21) la thØorie des entiers (algŁbre commutative)
(cid:21) la thØorie des valuations (analyse sur les corps).
1.1 ThØorie de Galois (rappels et complØments)
Q Q Q C
Choisissons une cl(cid:244)ture algØbrique de , par exemple la cl(cid:244)ture de dans . Comme
pour une extension (cid:28)nie, on note Gal(Q/Q) le groupe des automorphismes du corps Q.
1.1.1 Topologie de Gal(Q/Q). 1
Si K ⊂ Q est une extension normale de Q (i.e. pour tout α ∈ K, P est scindØ dans
α
K[X]), alors tout automorphisme de Q stabilise K, d’oø une application de restriction
(∗) : Gal(Q/Q) −→ Gal(K/Q),
dont on sait qu’elle est surjective.
1. Pour plus de dØtail on peut consulter les notes de cours de J. Milne (cid:16)Fields and Galois theory(cid:17) sur
www.jmilne.org/math/
2
UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
L’ensemble des extensions normales (=Galoisiennes puisqu’on est en caractØristique 0)
est ordonnØ par inclusion, et (cid:28)ltrant pour cet ordre (car le composØ de deux extensions
normales est une extension normale).
Les applications (∗) sont compatible aux restrictions et dØ(cid:28)nissent donc un morphisme :
Gal(Q/Q) −→ lim Gal(K/Q)
←−K⊂Q
(cid:89)
:= {(α ) ∈ Gal(K/Q), ∀K(cid:48) ⊂ K, (α ) = α }
K K K |K(cid:48) K(cid:48)
K⊂Q
Q
Ce morphisme est bijectif. En e(cid:27)et cela dØcoule du fait que est rØunion d’extensions
Q
(cid:28)nies Galoisiennes (tout ØlØment de appartient (cid:224) une telle extension, par exemple le
corps engendrØ par toutes les racines de son polyn(cid:244)me minimal).
La limite projective ci-dessus est un sous-espace fermØ du produit (cid:81) Gal(K/Q),
K⊂Q
donc un espace pro(cid:28)ni (compact et totalement discontinu). De plus, le produit et l’inverse
sont clairement continus pour cette topologie. Nous avons donc muni Gal(Q/Q) d’une
structure de groupe topologique pro(cid:28)ni.
Remarque. (cid:21) PlusgØnØralement,siLestuneextensionalgØbrique,sØparable,etnormale
d’un corps F, alors Gal(L/F) = lim Gal(L(cid:48)/F) oø L(cid:48) dØcrit les sous-extensions (cid:28)nies
←−L(cid:48)
Galoisiennes, ce qui munit Gal(L/F) d’une topologie pro(cid:28)nie. Si (Ln)n∈N est une suite
croissante de sous-corps, de rØunion L, on a aussi Gal(L/F) = lim Gal(L /F).
n
←−n
Exemple. F = F et L = F . On a ici Gal(F /F ) = lim Gal(F /F ) = lim Z/nZ = Zˆ
p p p p pn p
←−n ←−n
Z N
(complØtionpro(cid:28)niede ).Ici estordonnØpardivisibilitØetlesmorphismesdetransition
sont les projections Z/nZ −→ Z/mZ pour m|n.
Le thØorŁme fondamental de la thØorie de Galois usuelle s’Øtend alors de la maniŁre
suivante (voir les notes de Milne (cid:16)Fields and Galois Theory(cid:17) chap. 7) :
1.1.2 ThØorŁme.(cid:21) i) Si K ⊂ Q est un sous-corps, alors Gal(Q/K) est un sous-
groupe fermØ de Gal(Q/Q) et QGal(Q/K) = K.
ii) SiU estunsous-groupefermØdeGal(Q/Q),alorsQU estuncorpsetU = Gal(Q/QU).
iii) Les deux procØdØs ci-dessus induisent une bijection dØcroissante entre sous-groupes
fermØs de Gal(Q/Q) et sous-corps de Q, qui envoie sous-groupes distinguØs sur ex-
Q Q
tensions normales de et sous-groupes ouverts sur extensions (cid:28)nies de .
MoralitØ : l’Øtudes des corps de nombres est liØe (cid:224) l’Øtude du groupe topologique
Gal(Q/Q). Voici quelques exemples de problŁmes liØs directement (cid:224) ce groupe :
i) ProblŁmes inverses : Øtant donnØ un goupe (cid:28)ni simple, est-ce le groupe de Galois
d’un corps de nombres? Formulation Øquivalente : est-ce un quotient continu de
Gal(Q/Q)? C’est un problŁme encore ouvert.
3
UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
ii) DØcrire l’abØlianisØ (topologique) de Gal(Q/Q) : c’est ce que fait le thØorŁme de
Kronecker-Weber, cf plus bas. Plus gØnØralement, dØcrire l’abØlianisØ d’un sous-
groupe ouvert Gal(Q/K) : c’est l’objet de la thØorie du corps de classes.
iii) Etudier Gal(Q/Q) via ses reprØsentations linØaires continues. Par exemple, on sait
associer (cid:224) tout systŁme d’Øquations algØbriques (homogŁnes) (cid:224) coe(cid:30)cients rationnels
des reprØsentations de Gal(Q/Q) sur des espaces vectoriels sur un corps (cid:28)ni ou (cid:96)-
adique (cohomologie Øtale en gØomØtrie algØbrique). Le programme de Langlands est
un vaste programme qui devrait permettre (grossiŁrement) de classi(cid:28)er les reprØsen-
tations de Gal(Q/Q) en termes d’autres objets plus analytiques ((cid:16)reprØsentations
automorphes(cid:17))
Attention. La nature pro(cid:28)nie de la topologie de Gal(Q/Q) implique que tout sous-
groupe ouvert est d’indice (cid:28)ni. Mais la rØciproque est fausse. Par exemple, choisissons une
√ √
suite in(cid:28)nie p ,p ,··· de nombres premiers distincts et posons K = Q( p ,··· , p ) et
1 2 n 1 n
K = (cid:83) K . Alors Gal(K /Q) (cid:39) {±1}n et Gal(K/Q) = lim Gal(K /Q) (cid:39) {±1}N. Ce
n n n n
←−n
dernier groupe est un quotient continu de Gal(Q/Q). On sait par l’axiome du choix qu’il
existe une application F -linØaire non continue FN −→ F . Celle-ci fournit un quotient (cid:28)ni
2 2 2
{±1} non topologique de Gal(Q/Q).
1.1.3 Extensions cyclotomiques. Soit K un corps de caractØristique nulle et K une
cl(cid:244)ture algØbrique. Notons µ ⊂ K le groupe des racines n-Łmes de l’unitØ. Le corps
n
engendrØ K(µ ) est Galoisien. Si ζ est une racine n-Łme primitive de l’unitØ, on a un
n n
morphisme de groupe
χ : Gal(K(µ )/K) −→ (Z/nZ)×
n,K n
qui envoie σ sur l’unique ØlØment a ∈ (Z/nZ)× tel que σ(ζ ) = ζa (ne dØpend pas du choix
n n
de ζ ). Si m|n, la restriction Gal(K(µ )/K) −→ Gal(K(µ )/K) correspond (cid:224) l’application
n n m
Øvidente (Z/nZ)× −→ (Z/mZ)×.
(cid:83)
Soit alors K(µ ) := K(µ ) l’extension de K engendrØe par toutes les racines de
∞ n n
l’unitØ.Lesmorphismesci-dessusinduisentunmorphismecontinudegroupestopologiques:
χ : Gal(K(µ )/K) −→ Zˆ×.
K ∞
1.1.4 ThØorŁme.(cid:21) Pour K = Q, on a :
∼
i) χQ est un isomorphisme Gal(Q(µ∞)/Q) −→ Zˆ×.
ii) (Kronecker-Weber) L’application de restriction Gal(Q/Q) −→ Gal(Q(µ )/Q) induit
∞
∼
un isomorphisme Gal(Q/Q) −→ Gal(Q(µ )/Q).
ab ∞
Q
Le point i) revient (cid:224) prouver que les polyn(cid:244)mes cyclotomiques sont irrØductibles sur ,
ce que nous ferons plus bas.
Dans le point ii), l’abØlianisØ est au sens topologique : c’est le quotient par l’adhØrence
du sous-groupe engendrØ par les commutateurs. Le point ii) Øquivaut (cid:224) dire que toute
Q Q
extension Galoisienne abØlienne de se plonge dans une extension cyclotomique de .
Ceci n’est pas vrai en gØnØral pour les autres corps de nombres.
4
UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
1.2 Entiers algØbriques
Soit K un corps de nombres. On dit que α ∈ K est entier s’il existe f ∈ Z[X] tel que
f(α) = 0. Ceci Øquivaut en fait (cid:224) ce que f ∈ Z[X] en vertu de l’exercice suivant.
α
Exercice. (cid:21) Soit f ∈ Z[X] ayant une factorisation f = gh dans Q[X]. Alors g,h ∈ Z[X].
La thØorie gØnØrale des extensions entiŁres nous montrera :
1.2.1 Proposition.(cid:21) Soit O l’ensemble des ØlØments entiers de K. Alors
K
i) O est un sous-anneau de K.
K
ii) Frac(O ) = K
K
iii) O est de type (cid:28)ni en tant que Z-module.
K
Remarque. (cid:21) La preuve usuelle de i) est non-constructive. On peut se demander s’il
existe un moyen de trouver des polyn(cid:244)mes annulant α+β ou αβ, connaissant f et f . La
α β
rØponse est oui si on utilise le rØsultat intØressant suivant :
(∗) : Z[X ,··· ,X ]Sn (cid:39) Z[Σ ,··· ,Σ ]
1 n 1 n
oø Σ ,··· ,Σ sont les polyn(cid:244)mes symØtriques ØlØmentaires en X ,··· ,X donnØs par
1 n 1 n
l’ØgalitØ (cid:81)n (T −X ) = Tn −Σ Tn−1 +···+(−1)nΣ .
i=1 i 1 n
En e(cid:27)et (∗) implique que si f ∈ Z[X] a pour racines α ,··· ,α ∈ Q, alors pour tout
1 n
g ∈ Z[X ,··· ,X ], le polyn(cid:244)me g(X) := (cid:81) (X − g(α ,··· ,α )) est dans Z[X]. En
1 n (cid:101) σ∈Sn 1 n
choisissant f = f f et g = X + X , resp. g = X X , on obtient g(α + β) = 0, resp.
α β 1 2 1 2 (cid:101)
g(αβ) = 0 (mais bien-sßr on reste loin du polyn(cid:244)me minimal en gØnØral).
(cid:101)
Puisque Z est principal, les points ii) et iii) de la proposition montrent que O est libre
K
de rang [K : Q] sur Z. Ceci nous amŁne au premier problŁme naturel qui se pose.
1.2.2 ProblŁme 1 : trouver une base de O . L’outil principal sera la thØorie du dis-
K
criminant. En attendant voici un exemple illustrant la complexitØ du problŁme :
Exemple. (cid:21) (cas quadratique) On suppose [K : Q] = 2. On voit alors facilement qu’il
√ √
existe un unique entier d sans facteur carrØ tel que K = Q( d). Il est clair que Z[ d] ⊂
√
O √ mais en gØnØral Z[ d] (cid:54)= O √ . Par exemple :
Q( d) Q( d)
(cid:21) d = −1. Dans ce cas OQ(i) = Z[i]. En e(cid:27)et α = a + ib est entier si et seulement si
α+α¯ = 2a et αα¯ = a2 +b2 sont dans Z, et il est ØlØmentaire d’en conclure que a et
b sont alors aussi dans Z (exercice).
√ √
(cid:21) d = −3. Dans ce cas l’ØlØment j = −1+i 3 est entier (j3 = 1) mais pas dans Z[ −3].
2 √ √
Nous montrerons plus gØnØralement que O √ = Z[ d] = Z ⊕ dZ si d ≡ 2,3[4] et
Q( d)
√
O √ = Z⊕ 1+ dZ si d ≡ 1[4].
Q( d) 2
Exemple. (cid:21) (Cas cyclotomique) Nous verrons que OQ(µn) = Z[µn] = Z ⊕ ζnZ ⊕ ··· ⊕
ζϕ(n)−1Z oø ϕ(n) = |(Z/nZ)×|.
n
5
UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
Remarque. (cid:21) Dans les exemples ci-dessus, O Øtait monogŁne (de la forme Z[α]), mais
K
il existe des K pour lesquels O n’est pas monogŁne.
K
1.2.3 ProblŁme 2 : contrairement (cid:224) Z, O n’est pas toujours principal. Ni mŒme
K
factoriel (unique factorisation). Illustrons ce qui peut se passer par l’exemple des corps
quadratiques.
√
Exemple. (cid:21) Supposons K = Q( d).
i) Si d = −1, un argument de type division euclidienne montre que O = Z[i] est
K
principal (et donc factoriel). En e(cid:27)et, si I ⊂ Z[i] est un idØal et β ∈ I\{0} est choisi
de norme complexe minimale, alors pour tout α ∈ Z[i], on peut choisir γ ∈ Z[i] tel
que |γ − α|2 (cid:54) 1/2 (dessin!). Si α ∈ I, alors α −βγ est un ØlØment de I de norme
β
< |β|, donc nul. D’oø I = (β).
√ √
ii) Si d = −5, on constate que 6 = 2 × 3 = (1 + −5)(1 − −5). Or, chacun des
√ √
nombres 2, 3, 1 + −5 et 1 − −5 est irrØductible2. En e(cid:27)et, soit N(α) ∈ Z la
√
norme de α (ie N(a + −5b) = a2 + 5b2). On voit que N(α) = ±1 ⇔ α ∈ O×
√ √ K
(auquel cas α−1 = N(α)/α¯). Comme N(1+ −5) = 6, si 1+ −5 = αβ avec α,β
non-inversibles, on doit avoir N(α) = 2 ou N(β) = 2, ce qui est impossible. Ceci
√
montre l’irrØductibilitØ de 1+ −5 et de mŒme on vØri(cid:28)e celle des 3 autres ØlØments
ci-dessus. Finalement, les deux factorisations de 6 du dØbut montrent bien que O
K
n’est pas factoriel dans ce cas.
√
Il n’est pas principal non plus; considØrons l’idØal I = (2,1 + −5). Ce n’est pas
l’idØal unitØ car O /I = Z[X]/(X2+5,1+X,2) = F [X]/(X+1,(X+1)2) = F (cid:54)= 0.
K √ 2 2
Il n’est pas principal, puisque 2 et 1+ −5 sont irrØductibles et non-Øquivalents, donc
n’ont pas de facteur commun.
Pour Øtudier les anneaux d’entiers, l’idØe fondamentale, qui remonte (cid:224) Dedekind, est de
s’intØresser aux idØaux plut(cid:244)t qu’aux nombres eux-mŒmes, et aux idØaux premiers plut(cid:244)t
qu’aux ØlØments irrØductibles. En e(cid:27)et, on montrera :
ThØorŁme. (cid:21) Tout idØal non nul I de O se factorise de maniŁre (cid:16)unique(cid:17) en un
K
produit I = Pe1Pe2···Per oø les P sont des idØaux premiers deux (cid:224) deux distincts.
1 2 r i
Exemple. (cid:21) Dans l’exemple ii) ci-dessus, l’idØal (2) n’est pas premier, bien que 2 soit
√ √
un ØlØment irrØductible. Il se dØcompose (2) = (2,1 + −5)(2,1 − −5). (En e(cid:27)et 2 =
√ √
(1+ −5)(1− −5)−2×2.)
Le dØfaut de principalitØ de O est mesurØ par son groupe de classes C(cid:96)(O ). Celui-ci
K K
est le quotient du groupe multiplicatif formØ par les idØaux non nuls par le sous-groupe
√
engendrØparlesidØauxprincipaux.ParexempleonpeutmontrerqueC(cid:96)(Z[ −5]) = Z/2Z.
C’est un problŁme gØnØralement di(cid:30)cile que de calculer ce groupe. Un des rØsultats les plus
profonds de ce cours sera :
2. Un ØlØment a d’un anneau est (cid:16)irrØductible(cid:17) si a = bc ⇒ (b ∈ A× ou c ∈ A×) pour tous b,c. Deux
ØlØments irrØductibles a,a(cid:48) sont (cid:16)Øquivalents(cid:17) s’il existe b∈A× tel que a(cid:48) =ab.
6
UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
ThØorŁme. (Dirichlet, Dedekind, Minlowski) (cid:21) C(cid:96)(O ) est un groupe (cid:28)ni.
K
1.2.4 ProblŁme 3 : dØcomposer (p) en un produit d’idØaux premiers. Ici p est un nombre
premier. C’est l’un des problŁmes fondamentaux du sujet, qui n’a pas de solution gØnØrale.
Ecrivons (p) = Pe1Pe2···Per la dØcomposition cherchØe. On montrera les faits gØnØraux
1 2 r
suivants :
(cid:21) Si f := [O /P : F ], alors [K : Q] = (cid:80)r e f .
i K i p i=1 i i
(cid:21) Si K est Galoisienne, alors e = e = ··· = e et f = f = ··· = f .
1 2 r 1 2 r
On introduira aussi la terminologie suivante :
(cid:21) pestdit(cid:16)rami(cid:28)Ø(cid:17) s’ilexisteitelquee (cid:54)= 1.Cespl(cid:224)sont(cid:16)dØtectØs(cid:17) parlediscriminant
i
et sont en nombre (cid:28)ni.
(cid:21) p est dit (cid:16)totalement dØcomposØ(cid:17) si r = [K : Q]
(cid:21) p est dit (cid:16)inerte(cid:17) s’il est non rami(cid:28)Ø et r = 1, i.e. si (p) est un idØal premier de O .
K
Une question beaucoup moins ambitieuse serait de caractØriser les premiers qui sont to-
talement dØcomposØs dans O . Une rŁgle prØcise sera donnØe pour les extensions cyclo-
K
tomiques et quadratiques (ou, plus gØnØralement, abØliennes), mais en gØnØral seule une
estimØe (Thm de densitØ de Chebotarev) est disponible.
Exemples. (cid:21) ConsidØrons le cas K quadratique. Dans ce cas on a trois possibilitØs : (p)
√
est premier, (p) = P P , ou (p) = P2. Supposons pour simpli(cid:28)er que O = Z[ d]. Alors
1 2 K
O /(p) = F [X]/(X2 +d). On a alors trois cas :
K p
(cid:21) Si p|d ou p = 2, alors O /(p) est non-rØduit donc p est rami(cid:28)Ø.
K
(cid:21) Si d ∈ (F×)2 alors p est dØcomposØ. ConcrŁtement, si a est tel que p|a2 − d, alors
√p √
(p) = (p, d−a)(p, d+a).
(cid:21) Si d n’est pas un carrØ modulo p, alors p est inerte.
On voit que la dichotomie inerte-dØcomposØ fait intervenir la loi de rØciprocitØ quadratique.
(cid:18) (cid:19)
d
p dØcomposØ ⇔ = 1 ⇔ p satisfait certaines congruences.
p
Par exemple, on trouve que p est dØcomposØ dans Z[i] si p ≡ 1[4] et inerte si p ≡ 3[4]. Pour
d = −5, on trouve que p est dØcomposØ si p ≡ 1,3,7,9[20] et inerte si p ≡ 11,13,17[20].
Le symbole au milieu de l’Øquivalence ci-dessus est le symbole de Legendre qui vit
dans {±1}. Pendant des dØcennies, les mathØmaticiens ont essayØ de gØnØraliser cette
caractØrisation des premiers dØcomposØs par des conditions de congruences. En fait, ce
n’est pas possible en gØnØral, mais la thØorie du corps de classes le fait pour toute extension
abØlienne K d’un corps de nombres L. De maniŁre trŁs grossiŁre, si P est un idØal premier
(cid:16) (cid:17)
de O , on lui associe son symbole d’Artin K/L ∈ Gal(L/K) et on a des Øquivalences
L P
(cid:18) (cid:19)
K/L
P totalement dØcomposØ ⇔ = 1 ⇔ P satisfait certaines "congruences".
P
La seconde Øquivalence fait partie de la (cid:16)loi de rØciprocitØ d’Artin(cid:17), vaste gØnØralisation de
la loi de rØciprocitØ quadratique.
7
UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
Dans ce cours nous nous contenterons du cas L = Q et nous prouverons en particulier
la loi de rØciprocitØ quadratique.
1.2.5 ProblŁme 4 : dØterminer O×. C’estencoreunproblŁmedi(cid:30)cileettoujoursØtudiØ
K
de nos jours. La torsion (O×) est un groupe de racines de l’unitØ, donc cyclique. Si K
K tors
admet un plongement rØel, on a simplement (O×) = Z/2Z.
K tors
Nous dØmontrerons le fameux thØorŁme des unitØs de Dirichlet :
ThØorŁme. (cid:21) O× est un groupe abØlien de type (cid:28)ni de rang r−1 oø r est le nombre
K
de plongements K −→ C modulo conjugaison.
Par exemple, on voit que O× est (cid:28)ni si et seulement si K est quadratique imaginaire.
K
Le problŁme qui reste di(cid:30)cile est de trouver un systŁme d’unitØs fondamentales, ie r−1
unitØs qui engendrent le quotient O×/(O×) .
K K tors
√ √
Exemple. (cid:21) Z[ 3]× = {±1}×(2+ 3)Z.
1.3 ThØorie des valuations (normes)
Une norme (ou valuation multiplicative) sur un corps K est une application |.| : K −→
R telle que pour tout x,y on a
+
(cid:21) |xy| = |x||y|
(cid:21) |x+y| (cid:54) |x|+|y|
(cid:21) |x| = 0 ⇔ x = 0.
A une telle norme on associe la topologie engendrØe par les boules ouvertes. Deux normes
sont Øquivalentes si elles dØ(cid:28)nissent la mŒme topologie, les classes d’Øquivalences sont ap-
pelØes places de K.
Exemple. (cid:21) Sur Q, on a la valeur absolue usuelle, que l’on note |.| , et pour chaque
∞
premier p, on a la norme p-adique dØ(cid:28)nie par |x| = p−r si x = pra avec (a,p) = (b,p) = 1.
p b
Les normes p-adiques vØri(cid:28)ent une version plus forte du deuxiŁme axiome : pour tous
x,y, on a |x+y| (cid:54) max(|x| ,|y| ). De telles normes sont dites (cid:16)non-archimØdiennes(cid:17). On
p p p
montrera le thØorŁme classique :
1.3.1 ThØorŁme. (Ostrowski)(cid:21) Sur Q, toutes les normes sont Øquivalentes (cid:224) |.| ou
∞
une norme |.| .
p
Autrement dit {places de Q} = {nbres premiers}∪{∞}. Plus gØnØralement, pour un
corps de nombres K on verra que
{places de K} = {idØaux premiers de O }∪{plongements K (cid:44)→ C} .
K /conj
8
UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
Il y a une analogie intØressante avec les corps de fonctions : en e(cid:27)et on montre aussi que :
{places de C(X)} = {idØaux premiers de C[X]}∪{f (cid:55)→ deg(f)}
= {points de la droite a(cid:30)ne complexe}∪{point (cid:224) l’in(cid:28)ni}
= P1(C)
et plus gØnØralement pour le corps des fonctions mØromorphes M(S) d’une surface de
Riemann S, on a
{places de M(S)} = S.
Ainsi on peut penser (cid:224) l’ensemble des places d’un corps de nombre comme (cid:224) une (cid:16)complØ-
tion(cid:17) ou (cid:16)compacti(cid:28)cation(cid:17) de l’ensemble des idØaux premiers de son anneau d’entiers.
1.3.2 ComplØtion. On sait bien que Q n’est pas complet pour |.| et que le complØtØ
∞
est (par dØ(cid:28)nition) R. De mŒme, Q n’est pas complet pour |.| et le complØtØ se note Q
p p
et est appelØ (cid:16)corps des nombres p-adiques(cid:17). C’est un corps localement compact, sur lequel
R
on peut faire de l’analyse comme sur .
Applications :
(cid:21) La dØcomposition de (p) dans OK se (cid:16)lit(cid:17) sur K⊗QQp. Par exemple, p est totalement
dØcomposØ si et seulement si K ⊗Q Qp (cid:39) Qp[K:Q].
Q
(cid:21) Pourmontrerqu’uneØquationalgØbriquesur n’apasdesolution,ilsu(cid:30)tdetrouver
p tel que cette Øquation n’a pas de solution dans Q . L’avantage est que l’on peut
p
Q
utiliser des outils analytiques dans .
p
1.3.3 AdŁles. On peut maintenant mettre tous les complØtØs ensemble en dØ(cid:28)nissant
(cid:48)
(cid:89)
A := R× Q
p
p
(cid:81)(cid:48)
oø le (produit restreint) dØsigne les ØlØments du produit dont presque toutes les com-
posantes sont entiŁres (dans Z ). On obtient un anneau localement compact. Si S est un
p
A
ensemble (cid:28)ni de places, on dØ(cid:28)nit aussi comme le produit restreint ci-dessus auquel on
S
enlŁve les facteurs indexØs par S. Si le temps le permet nous montrerons :
Proposition. (cid:21) i) L’image du plongement Q (cid:44)→ A est discrŁte et cocompacte.
ii) (approximation forte) l’image du plongement Q (cid:44)→ AS est dense pour tout S (cid:54)= ∅.
Pour un corps de nombre, on dØ(cid:28)nit AK := A⊗Q K qui est aussi le produit restreint
des complØtØs de K en toutes ses places. Le symbole d’Artin fournit un morphisme
K×\A× −→ Gal(Q/K)
K ab
qui dans le cas K = Q redonne l’isomorphisme Zˆ× (cid:39) Gal(Q/Q) mentionnØ plus haut
ab
(thØorŁme de Kronecker-Weber).
9
UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
2 AlgŁbre commutative
Pour plus de dØtails sur l’algŁbre commutative, on pourra consulter le livre de D.
Eisenbud (cid:16)Commutative Algebra, with a view towards Algebraic Geometry(cid:17).
2.1 Rappels et complØments
Sauf mention contraire, tous les anneaux considØrØs ici seront unitaires et commutatifs.
On rappelle qu’un tel anneau est dit intŁgre si ∀x,y ∈ A,(xy = 0) ⇒ (x = 0 ou y = 0).
2.1.1 IdØaux. Soit A un anneau, I et J deux idØaux de A.
OpØrations sur les idØaux : on dØ(cid:28)nit la somme et le produit de I et J par
(cid:40) (cid:41)
n
(cid:88)
I +J = {i+j, i ∈ I,j ∈ J} et IJ = i j , i ,··· ,i ∈ I,j ,··· ,j ∈ J
k k 1 n 1 n
k=1
Ce sont aussi des idØaux. Noter que IJ est l’idØal engendrØ par l’ensemble {ij,i ∈ I,j ∈ J},
et que IJ ⊂ I ∩J. Le lemme Chinois nous dit que si I +J = A (on dit que I et J sont
premiers entre eux), alors IJ = I ∩J et l’application canonique
A/IJ −→ A/I ×A/J
est bijective. Par ailleurs, on dØ(cid:28)nit le radical de I
√
I : {x ∈ A,∃n,xn ∈ I},
(cid:112)
qui est encore un idØal de A, contenant I. On rappelle que A est dit rØduit si (0) = (0).
PropriØtØs de (cid:28)nitude : I est principal (ou encore monogŁne) s’il est de la forme I =
(a) := Aa pour un ØlØment a. L’anneau A est dit principal si tous ses idØaux le sont. Par
ailleurs, I est de type (cid:28)ni s’il est engendrØ par un nombre (cid:28)ni d’ØlØments, i.e. somme d’un
nombre (cid:28)ni d’idØaux principaux : I = (a )+···+(a ). L’anneau A est dit noethØrien si
1 n
tous ses idØaux sont de type (cid:28)ni. Ceci Øquivaut (cid:224) ce que toute suite croissante d’idØaux soit
stationnaire.
PrimalitØ, maximalitØ : l’idØal I = A est appelØ idØal unitØ. Les autre idØaux sont dits
propres. Un idØal I est dit maximal si c’est un idØal maximal pour l’inclusion parmi les
idØaux propres. Ceci Øquivaut (cid:224) ce que A/I soit un corps. On note Max(A) l’ensemble des
idØaux maximaux de A. Un idØal I est dit premier si ∀x,y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I,
ce qui Øquivaut (cid:224) : A/I est intŁgre. On note Spec(A) l’ensemble des idØaux premiers de A.
2.1.2 DivisibilitØ et factorisations. Soit A un anneau intŁgre, a,b ∈ A.
DivisibilitØ : On dit que a divise b (notation a|b) si (b) ⊆ (a), et divise strictement b
si (b) (cid:32) (a). On dit que a est irrØductible s’il est non-inversible, non-nul, et n’a pas de
diviseur strict non-inversible. Il est clair que
10