Cours et exercices

222 Pages·2014·0.38 MB·French

MT23-Algèbre linéaire
Chapitre4:Valeurspropres-Vecteurspropres
ÉQUIPEDEMATHÉMATIQUESAPPLIQUÉES
UTC
juillet2014
(cid:53)
suivant(cid:207)
Chapitre 4
Valeurs propres - Vecteurs propres
4.1 Vecteurspropres-Valeurspropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.2 Matricesàcoefficientscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Sous-espacepropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Réductiond’unematrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
2
chapitre(cid:78) sectionsuivante(cid:207)
4.1Vecteurspropres-Valeurspropres
4.1.1 Valeuretvecteurpropresd’unendomorphisme . . . . . . . . . . . . . 4
4.1.2 Valeuretvecteurpropresd’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.1.3 Lienentrelesvaleurspropresd’unematriceetcellesd’unendomorphisme 8
4.1.4 Polynômecaractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.5 Valeurspropresetmatricesparticulières . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.6 Valeurspropresetmatricessemblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
3
section(cid:78) suivant(cid:207)
4.1.1Valeuretvecteurpropresd’unendomorphisme
Exercices: Exemples:
ExerciceA.1.1 ExempleB.1.1
ExerciceA.1.2
SoitE unespacevectorielsurK (IRouC)dedimensionfinie.
SoituunendomorphismedeE.
Danscechapitre,onvachercherdesbasesdeE pourlesquelleslamatriceassociéeàuestlaplus
simple possible (diagonale, triangulaire). On parlera alors de diagonalisation et trigonalisation.
Lanotiondevecteurproprepermettrad’atteindrecebut.
Définition4.1.1. λ∈K estunevaleurpropredeus’ilexisteunvecteur(cid:126)y∈E nonnultelque
u((cid:126)y)=λ(cid:126)y. (4.1.1)
(cid:126)y estappeléunvecteurpropredeuassociéàlavaleurpropreλ.
Sommaire
Concepts
Ilestfondamentaldepréciser"(cid:126)y nonnul".Eneffetquand(cid:126)y=(cid:126)0,onau((cid:126)y)=(cid:126)0.Deplus,pourtout
λ∈K,λ(cid:126)y=(cid:126)0doncu((cid:126)y)=λ(cid:126)y(=(cid:126)0).DonctoutscalairedeK seraitvaleurpropredeu.
Exemples
Exemple:SoitE=F ⊕F oùF etF sontdifférentsde{(cid:126)0}. Exercices
1 2 1 2
Documents
(cid:207)(cid:207)
4
section(cid:78) suivant(cid:207)
Ondéfinitl’endomorphismep projectionsurF parallèlementàF ,alors
1 2 Valeuretvecteur
∀(cid:126)x ∈F , p((cid:126)x )=(cid:126)x , ∀(cid:126)x ∈F p((cid:126)x )=(cid:126)0. propresd’un
1 1 1 1 2 2 2
endomorphisme
Onadonc
– 1estvaleurpropredepettoutvecteurnonnuldeF estunvecteurpropreassociéàcettevaleur
1
propre;
– 0estvaleurpropredepettoutvecteurnonnuldeF estunvecteurpropreassociéàcettevaleur
2
propre.
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
(cid:206)(cid:206)
5
(cid:206)précédent section(cid:78) suivant(cid:207)
4.1.2Valeuretvecteurpropresd’unematrice
Exercices: Exemples:
ExerciceA.1.3 ExempleB.1.2
ExerciceA.1.4
Soit Aunematricecarrée.
Définition 4.1.2. On dit que λ∈K est une valeur propre de A ∈M (K) s’il existe un vecteur
n,n
Y ∈M (K),Y (cid:54)=0telque
n,1
AY =λY. (4.1.2)
OnditqueY estunvecteurpropreassociéàlavaleurpropreλetque(λ,Y)estuncouplepropre
de A.
MontrerenexercicequesiY estvecteurproprede Aassociéàlavaleurpropreλ,siα∈K,α(cid:54)=0,
alorsαY estégalementvecteurproprede Aassociéàlavaleurpropreλ:lesvecteurspropresne
sontpasuniques.
Sommaire
 
1 0 0
Concepts
Exemple:K =IR, A= 0 1 0 .OncherchelesvaleurspropresλetlesvecteurspropresY =
0 0 0
 y  Exemples
1
Exercices
 y2 . Documents
y
3
(cid:207)(cid:207)
6
(cid:206)précédent section(cid:78) suivant(cid:207)
Lacondition(4.1.2)s’écrity =λy , y =λy ,0=λy .
1 1 2 2 3 Valeuretvecteur
Onadoncdeuxfamillesdecouplespropres propresd’une
 α  matrice
– λ1=1etY1= β ,oùαetβsontdesréelsquelconques,
0
 
0
– λ2=0etY2= 0 ,oùγestunréelquelconque.
γ
PourqueY etY soientvecteurspropres,doncnonnuls,ilfautdeplus(α,β)(cid:54)=(0,0)etγ(cid:54)=0.
1 2
Onpeutmontrerenexercicequelesrésultatsconstatéssurl’exempleprécédentsegénéralisent:
– Lesvaleurspropresd’unematricediagonalesontsestermesdiagonaux.
– Anoninversible⇐⇒0estvaleurproprede A.
DepuisledébutducoursK =IRouK =C.Silestermesde A sontréels,puisqueIR⊂C,onpeut
considérer A ∈M (IR) et chercher alors les valeurs et vecteurs propres dans IR ou considérer
n,n
A∈M (C)etchercheralorslesvaleursetvecteurspropresdansC.Lorsquel’onneprécisepas,
n,n
si A∈M (IR),onétudieralesvaleursetvecteurspropresréelsde A.
n,n
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
(cid:206)(cid:206)
7
(cid:206)précédent section(cid:78) suivant(cid:207)
4.1.3Lienentrelesvaleurspropresd’unematriceetcellesd’unendomorphisme
Onvientdedéfinirdefaçonindépendantelesvaleurspropresetvecteurspropresd’unendomor-
phismeu∈L(E,E)puislesvaleurspropresetlesvecteurspropresd’unematrice A.
Si Aestunematriceassociéeàl’endomorphismeu,ya-t-ilunerelationentrelesvaleurspropres
etvecteurspropresdel’uneetlesvaleurspropresetvecteurspropresdel’autre?
Proposition4.1.1. E estmunid’unebaseE,u∈L(E,E)et(λ,(cid:126)y)estuncouplepropredeu:u((cid:126)y)=
λ(cid:126)y et(cid:126)y(cid:54)=(cid:126)0,
– si AestlamatriceassociéeàuquandonmunitE delabaseE,
– siY estlevecteurcolonnecontenantlescomposantesde(cid:126)y danslabaseE,
alorsona: AY =λY etY (cid:54)=0.Donc(λ,Y)estuncoupleproprede A.
Démonstration – AY est le vecteur colonne contenant les composantes de u((cid:126)y) dans la base E,
λY estlevecteurcolonnecontenantlescomposantesdeλ(cid:126)y danslabaseE.Onadonc AY =λY.
Deplus(cid:126)y(cid:54)=(cid:126)0doncY estunvecteurcolonnenonnul.
Exemple: Sommaire
– SiE estunespacevectorielmunid’unebase((cid:126)e ,(cid:126)e ,(cid:126)e ), Concepts
1 2 3
– siπestleplanvectorielengendrépar((cid:126)e ,(cid:126)e ),
1 2
– siD estladroitevectorielleengendréepar((cid:126)e ),
3
Exemples
– siuestlaprojectionsurπparallèlementàD,
Exercices
Documents
(cid:207)(cid:207)
8
(cid:206)précédent section(cid:78) suivant(cid:207)
 
1 0 0
Lienentreles
alorslamatricedeu estlamatrice A= 0 1 0 .Onacalculélesvaleurspropresetvecteurs
valeurspropres
0 0 0
d’unematriceet
propresdecettematricedansleparagrapheValeuretvecteurpropresd’unematrice.Onatrouvé
cellesd’un
 α   0  endomorphisme
λ1=1, Y1= β , λ2=0, Y2= 0 
0 γ
D’autrepart,commeonl’avudansl’exerciceA.1.2,lesvecteursduplansontdesvecteurspropres
deuassociésàlavaleurpropre1etlesvecteursdeladroitesontdesvecteurspropresdeuassociés
àlavaleurpropre0.Onretrouvebienlesmêmesvaleurspropresetlacorrespondanceentreles
vecteurspropresde Aetu:
– àY correspond(cid:126)y =α(cid:126)e +β(cid:126)e ;(cid:126)y estbienunvecteurduplanπ,
1 1 1 2 1
– àY correspond(cid:126)y =γ(cid:126)e ;(cid:126)y estbienunvecteurdeladroiteD.
2 2 3 2
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
(cid:206)(cid:206)
9
(cid:206)précédent section(cid:78) suivant(cid:207)
4.1.4Polynômecaractéristique
Exercices: Cours:
ExerciceA.1.5 Valeuretvecteurpropresd’unematrice
Onavudansl’exempleB.1.2quelecalculdesvaleurspropressefaitencherchantlesvaleursde
λquiannulentledéterminantdelamatrice A−λI.D’unefaçonplusgénérale,onpeutdéfinir:
Définition4.1.3. Onappellepolynômecaractéristiquede Alepolynôme
Π (s)=det(sI−A).
A
Lepolynômecaractéristiquede Aestdedegrénet,plusprécisement,ilestdelaforme:
ΠA(s)=sn+α1sn−1+α2sn−2+...+αn−1s+αn.
Eneffet,sI−Aestlamatrice
Sommaire
 s−a11 −a12 ... −a1i ... −a1n  Concepts
 −a s−a ... −a ... −a 
 21 22 2i 2n 
 ... ... ... ... ... ... 
sI−A= 
 −a −a ... s−a ... −a  Exemples
 i1 i2 ii in 
  Exercices
 ... ... ... ... ... ... 
Documents
−a −a ... −a ... s−a
n1 n2 ni nn
(cid:207)(cid:207)
10