Cours de théorie des groupes

51 Pages·0.28 MB·French

by  Nicolas Jacon

Licence Math(cid:19)ematiques 3(cid:18)eme ann(cid:19)ee
COURS DE THEORIE DES GROUPES
Nicolas JACON
Universit(cid:19)e de Franche Comt(cid:19)e

Table des mati(cid:18)eres
1 Notions fondamentales sur les Groupes 5
1.1 Premi(cid:18)eres d(cid:19)e(cid:12)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Homorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Sous-groupes engendr(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Groupes quotients 19
2.1 Relations d’(cid:19)equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Sous-groupes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Exemple fondamental : les groupes quotients de Z . . . . . . 27
3 Th(cid:19)eor(cid:18)emes de Sylow 29
3.1 Actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Th(cid:19)eor(cid:18)emes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Groupes sym(cid:19)etriques 37
4.1 G(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Permutations d’un ensemble (cid:12)ni . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Produits directs et Produits semi-directs 45
5.1 Produits directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Bibliographie 51
3
Table des Mati(cid:18)eres
4
Chapitre 1
Notions fondamentales sur
les Groupes
1.1 Premi(cid:18)eres d(cid:19)e(cid:12)nitions
Rappellons tout d’abord qu’une loi de composition sur un ensemble E
est la donn(cid:19)ee d’une application :
: E E E
(cid:3) (cid:2) !
(x;y) x y
7! (cid:3)
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.1 Un groupe G est un ensemble non vide muni d’une loi de
composition : E E E v(cid:19)eri(cid:12)ant :
(cid:3) (cid:2) !
1. \ " est associative, c’est a(cid:18) dire :
(cid:3)
(x;y;z) E3; (x y) z = x (y z):
8 2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
2. \ " admet un (cid:19)el(cid:19)ement neutre e , c’est a(cid:18) dire :
G
(cid:3)
e G; x G; e x = x e = x:
G G G
9 2 8 2 (cid:3) (cid:3)
3. Tout (cid:19)el(cid:19)ement x de G admet un inverse not(cid:19)e x 1, c’est a(cid:18) dire :
(cid:0)
x E; x 1 E; x x 1 = x 1 x = e :
(cid:0) (cid:0) (cid:0) G
8 2 9 2 (cid:3) (cid:3)
On dira de plus que le groupe (G; ) est commutatif (ou ab(cid:19)elien) si la loi de
(cid:3)
composition \ " est commutative, c’est a(cid:18) dire :
(cid:3)
(x;y) E2; x y = y x:
8 2 (cid:3) (cid:3)
Par abus de notation, la plupart du temps, nous noterons G au lieu de
(G; ) pour d(cid:19)esigner un groupe. Il faut n(cid:19)eanmoins bien avoir en t^ete que la
(cid:3)
structure de groupe d(cid:19)epend des deux donn(cid:19)ees : celle de l’ensemble G et celle
de la loi de composition \ ".
(cid:3)
5
CHAPITRE 1 : NOTIONS FONDAMENTALES SUR LES GROUPES
Remarquons que l’(cid:19)el(cid:19)ement neutre e d’un groupe G est unique ainsi que
G
l’inverse d’un (cid:19)el(cid:19)ement. Traditionellement, la loi \ " est souvent not(cid:19)ee mul-
(cid:3)
tiplicativement c’est a(cid:18) dire qu’on remplace \ " par \:" dans la d(cid:19)e(cid:12)nition ci-
(cid:3)
dessus(onomettram^emeparfois\:"desortequex:y seranot(cid:19)exy),l’(cid:19)el(cid:19)ement
neutre est alors parfois not(cid:19)e 1. Cependant, dans le cas ou G est commutatif
(et seulement dans ce cas!), on utilisera parfois une notation additive : on
remplacealors par+danslad(cid:19)e(cid:12)nitionci-dessus,l’(cid:19)el(cid:19)ementneutreestalors
(cid:3)
not(cid:19)e 0 et l’inverse d’un (cid:19)el(cid:19)ement x G est not(cid:19)e x.
2 (cid:0)
Exemple.
1. R (rep. Q) muni de l’addition est un groupe commutatif.
2. R(cid:3) (rep. Q(cid:3)) muni de la multiplication est un groupe commutatif.
3. Z muni de l’addition est un groupe commutatif.
4. Z(cid:3) muni de la multiplication n’est pas un groupe, 2 (par exemple)
n’ayant pas d’inverse dans Z.
5. Soit E = 1; ;n alors l’ensemble des bijections de E dans E, muni
f (cid:1)(cid:1)(cid:1) g
de la loi de composition est un groupe (d’(cid:19)element neutre l’identit(cid:19)e),
non commutatif en g(cid:19)en(cid:19)eral, et appel(cid:19)e groupe sym(cid:19)etrique. On le note
S .
n
6. L’ensembleGLn(R)desmatricescarr(cid:19)eesn ninversiblesa(cid:18)coe(cid:14)cients
(cid:2)
dans R et muni de la multiplication est un groupe non commutatif en
g(cid:19)en(cid:19)eral. L’(cid:19)el(cid:19)ement neutre est la matrice identit(cid:19)e.
7. L’ensemble Mn(R) des matrices carr(cid:19)ees n n a(cid:18) coe(cid:14)cients dans R et
(cid:2)
muni de la multiplication n’est pas un groupe en g(cid:19)en(cid:19)eral (la matrice
de Mn(R) possedant tous ses coe(cid:14)cents nuls n’est pas inversible).
8. Plus g(cid:19)en(cid:19)eralement, si V est un espace vectoriel sur un corps k (=R ou
C), l’ensemble des bijections lin(cid:19)eaires GLk(V) muni de la composition
est un groupe, non commutatif en g(cid:19)en(cid:19)eral.
Parmi les exemples ci-dessus, le groupe Z poss(cid:18)ede des propri(cid:19)et(cid:19)es parti-
culi(cid:18)eres, entre autre une autre loi : la multiplication qui donne une structure
plus riche a(cid:18) cet ensemble : c’est un anneau (cf le cours du 2(cid:18)eme semestre).
Nous nous servirons dans la suite particuli(cid:18)erement des propri(cid:19)et(cid:19)es suivantes
(il est ici tres important de les ma^(cid:16)triser).
{ Z est muni de la division euclidienne c’est a(cid:18) dire que pour tout n Z
2
et m Z(cid:3), il existe q Z et r N tel que 0 r < m et tel que :
2 2 2 (cid:20) j j
n = mq+r:
{ Pour n Z et m Z tous les deux non nuls, on note pgcd(m;n), le
2 2
plus grand (au sens de la divisibilit(cid:19)e) entier positif divisant m et n.
C’est aussi l’entier positif c v(cid:19)eri(cid:12)ant :
x Z; x m et x n x c:
8 2 j j () j
6
1.2. Sous-groupes
Si pgcd(m;n) = 1 alors on dit que m et n sont premiers entre eux.
{ Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Gauss : si a est premier avec b et divise bc alors il
divise c.
Revenonsa(cid:18)lastructuredegroupe.Donnonsquelquesr(cid:18)eglesetremarques
relatives aux calculs dans un groupe G.
{ On a e 1 = e et pour tout x G, on a (x 1) 1 = x.
(cid:0)G G 2 (cid:0) (cid:0)
{ Pour tout (x;y;z) G3, on a :
2
xy = xz = y = z et yx = zx = y = z:
) )
{ Par la r(cid:18)egle d’associativit(cid:19)e, il est inutile de garder les parenth(cid:18)eses
dans une expression. Ainsi, un produit quelconque d’(cid:19)el(cid:19)ements x (i =
i
1; ;n) de G sera not(cid:19)e x x x .
1 2 n
(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
{ Si x et y sont deux (cid:19)el(cid:19)ements de G alors xyy 1x 1 = e . Il suit que
(cid:0) (cid:0) G
(xy) 1 = y 1x 1 qui est di(cid:11)(cid:19)erent de x 1y 1 en g(cid:19)en(cid:19)eral (si le groupe
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n’est pas commutatif).
{ Pourx G,onnoteraxn l’(cid:19)el(cid:19)ementx xxsinestpositifaveccomme
2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)
nfois
convention x0 = e . Pour n n(cid:19)egatif, on note xn = (x 1) n. On a alors
G (cid:0) (cid:0)
| {z }
les regles de calculs :
xmxn = xm+n et (xn)m = xmn:
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.2 On dit qu’un groupe G est (cid:12)ni si il comporte un nombre
(cid:12)ni d’(cid:19)el(cid:19)ements. L’ordre de G not(cid:19)e o(G) est par d(cid:19)e(cid:12)nition le cardinal de G.
Si G comporte un nombre in(cid:12)ni d’(cid:19)el(cid:19)ements, on dit que G est d’ordre in(cid:12)ni.
Exemple.
1. Le nombre de bijections de 1; ;n dans 1; ;n (cid:19)etant(cid:19)egal a(cid:18) n!,
f (cid:1)(cid:1)(cid:1) g f (cid:1)(cid:1)(cid:1) g
on en d(cid:19)eduit que le groupe sym(cid:19)etrique S est un groupe (cid:12)ni d’ordre
n
n!.
2. On consid(cid:18)ere l’ensemble 0;1 muni d’une loi interne not(cid:19)ee \+" et
f g
d(cid:19)e(cid:12)nie par 0+0 = 0, 0+1 = 1+0 = 1 et 1+1 = 0. Il est imm(cid:19)ediat
de v(cid:19)eri(cid:12)er qu’on obtient une structure de groupe commutatif d’ordre
2. Ce groupe sera not(cid:19)e Z=2Z dans la suite.
1.2 Sous-groupes
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.2.1 Soit G un groupe et sa loi de composition. On dit que
(cid:3)
H G est un sous-groupe de G si :
(cid:26)
1. H est non vide,
2. la restriction de la loi \ " a(cid:18) H H prend ses valeurs dans H et induit
(cid:3) (cid:2)
une structure de groupe sur H.
7
CHAPITRE 1 : NOTIONS FONDAMENTALES SUR LES GROUPES
Ainsi, un sous-groupe d’un groupe H est lui-m^eme un groupe pour la loi de
composition restreinte a(cid:18) H. Notons que l’ensemble des sous-groupes d’un
groupe G est ordonn(cid:19)e (partiellement)par l’inclusion. Une notation classique
pour \H sous-groupe de G" est H < G.
Si G est un groupe alors G et e (ou(cid:18) e est l’(cid:19)el(cid:19)ement neutre de G)
G G
f g
sont des sous-groupes de G appel(cid:19)es sous-groupes triviaux. Les sous-groupes
non triviaux de G sont appel(cid:19)es les sous-groupes propres de G et on notera
alors H (cid:12) G.
Exemple.
1. Z est un sous-groupe de Q lui m^eme sous-groupe de R, lui m^eme sous-
groupe de C pour la loi d’addition.
2. Si n N>0, l’ensemble nZ := nk k Z est un sous-groupe de Z.
2 f j 2 g
En e(cid:11)et, nZ est non vide et si (x;y) nZ nZ alors x+y nZ. La
2 (cid:2) 2
loi + est associative, 0 est l’(cid:19)element neutre et il est dans nZ. De plus,
si x nZ, on a x nZ. On verra dans le chapitre suivant que ces
2 (cid:0) 2
sous-groupes sont en fait les seuls sous-groupes de Z.
3. Si n N, l’ensemble Cn = z C zn = 1 des racines ni(cid:18)emes de
2 f 2 j g
l’unit(cid:19)e est un sous-groupe de C muni de la multiplication. En e(cid:11)et,
cet ensemble est non vide car 1 C . De plus, si xn = 1 et yn =
n
2
1 pour x et y dans C alors (xy)n = 1 : la restriction de la loi de
multiplication a(cid:18) C C prend donc ses valeurs dans C . Elle est
n n n
(cid:2)
(cid:19)evidemment associative. L’(cid:19)el(cid:19)ement neutre 1 est dans C et l’inverse
n
d’un (cid:19)el(cid:19)ement x dans C est dans C : si xn = 1 alors (xn) 1 = 1 =
n n (cid:0)
(x 1)n.
(cid:0)
La proposition suivante fournit une d(cid:19)e(cid:12)nition (cid:19)equivalente a(cid:18) la notion de
sous-groupe.
Proposition 1.2.2 Une partie H d’un groupe G est un sous-groupe de G
si et seulement si :
1. H est non vide.
2. Pour tout x et y dans H, on a xy 1 H.
(cid:0)
2
Preuve.
{ Supposons que H soit un sous-groupe de G. Alors, par d(cid:19)e(cid:12)nition H
est non vide. Soit x et y deux (cid:19)el(cid:19)ements de H. Alors, x et y 1 sont
(cid:0)
dans H d’ou(cid:18) xy 1 H.
(cid:0)
2
{ Supposons maintenant que H est non vide et v(cid:19)eri(cid:12)e la propri(cid:19)et(cid:19)e sui-
vante : (x;y) H2; xy 1 H.
(cid:0)
8 2 2
1. Montrons tout d’abord que e (l’(cid:19)el(cid:19)ement neutre de G) est dans
G
H. Comme H est non vide, il existe un (cid:19)el(cid:19)ement x de H, alors on
a par hypoth(cid:18)ese xx 1 H d’ou(cid:18) e H.
(cid:0) G
2 2
8
1.2. Sous-groupes
2. Montrons que si x est dans H, alors x 1 est dans H. Soit donc
(cid:0)
x H, alors, comme e H, on a par hypoth(cid:18)ese e x 1 H
G G (cid:0)
2 2 2
d’ou(cid:18) x 1 H.
(cid:0)
2
3. Montronsen(cid:12)nquesi(x;y) H2 alorsxy H.Soitdonc(x;y)
2 2 2
H2. Alors, x H et y 1 H d’apr(cid:18)es (2). Donc, par hypoth(cid:18)ese,
(cid:0)
2 2
on a x(y 1) 1 H mais (y 1) 1 = y donc xy H.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 2
Ainsi,laloidecompositionrestreintea(cid:18)H H prendsesvaleursdansH
(cid:2)
par(3).Cetteloiestassociative(carGestungroupe),onal’existence
de l’(cid:19)el(cid:19)ement neutre par (1) et de l’inverse par (2). On en d(cid:19)eduit que
H est bien un sous-groupe de G.
(cid:3)
Eng(cid:19)en(cid:19)eral,pourmontrerqu’unsous-ensembleH d’ungroupeGestunsous-
groupe, on montre tout d’abord que l’(cid:19)el(cid:19)ement neutre e est dans H ce qui
G
montre que H est non vide. La proposition suivante nous donne un exemple
important de sous-groupe.
Proposition 1.2.3 Si G est un groupe quelconque, l’ensemble suivant :
Z(G):= z G g G; zg = gz
f 2 j 8 2 g
est un sous-groupe de G appel(cid:19)e le centre de G.
Preuve.Onvautiliserlaproposition1.2.2.L’(cid:19)el(cid:19)ementneutree estdansH,
G
ene(cid:11)et,pourtoutx G,onaxe = e x.Onend(cid:19)eduitqueH estnonvide.
G G
2
Soient maintenant x et y deux(cid:19)el(cid:19)ements de Z(G), on veut montrer que xy 1
(cid:0)
est dans Z(G) c’est a(cid:18) dire que pour tout z G, on a zxy 1 = xy 1z. Soit
(cid:0) (cid:0)
2
donc z G. Comme x Z(G), on a zx = xz, on a donc zxy 1 = xzy 1.
(cid:0) (cid:0)
2 2
Ensuite, comme y Z(G) et comme z 1 G, il suit que yz 1 = z 1y. En
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 2
inversant de chaque cot(cid:19)e de l’(cid:19)equation, on obtient zy 1 = y 1z. Finalement,
(cid:0) (cid:0)
on conclut que zxy 1 = xzy 1 = xy 1z ce qu’il fallait montrer.
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:3)
D’autres sous-groupes classiques d’un groupe G sont donn(cid:19)es par les
exemples suivants :
Exemple.
1. SiGestungroupequelconque,AunepartiedeG,l’ensemblesuivant:
C (A) := x G a A; xa = ax
G
f 2 j 8 2 g
est un sous-groupe de G (a(cid:18) faire en exercice) appel(cid:19)e le centralisateur
de A dans G.
2. SiGestungroupequelconque,B unepartiedeG,l’ensemblesuivant:
N (B) := x G xBx 1 = B
G (cid:0)
f 2 j g
9
CHAPITRE 1 : NOTIONS FONDAMENTALES SUR LES GROUPES
est un sous-groupe de G (a(cid:18) faire aussi en exercice) appel(cid:19)e le normali-
sateur de de B dans G. Rappellons la notation xBx 1 := xbx 1 b
(cid:0) (cid:0)
f j 2
B .
g
Proposition 1.2.4 L’intersection d’une famille quelconque de sous-groupes
de G est un sous groupe de G.
Preuve. Soit G un groupe et H une famille de sous-groupes de G. On
i i I
f g2
veut montrer que H := H est un sous-groupe de G. On utilise pour cela
i
i I
la Prop. 1.2.2. \2
1. H est non vide car l’(cid:19)el(cid:19)ement neutre e de G est dans tous les H pour
G i
i I, il est donc dans H.
2
2. Soit (x;y) H2. On veut montrer que xy 1 est un (cid:19)el(cid:19)ement de H. Il
(cid:0)
2
su(cid:14)tdemontrerquepourtouti I,xy 1 H .Soitdonci I,alors
(cid:0) i
2 2 2
x et y sont des (cid:19)el(cid:19)ements de H (puisqu’ils sont dans H). H (cid:19)etant un
i i
sous-groupe de G, on a alors xy 1 H d’apr(cid:18)es la Prop. 1.2.2. Donc
(cid:0) i
2
xy 1 H.
(cid:0)
2
(cid:3)
Attention!!! La r(cid:19)eunion de deux sous-groupes n’est pas toujours un sous-
groupe. Par exemple, 2Z et 3Z sont des sous-groupes de Z mais 2Z 3Z n’en
[
est pas un : 2 et 3 sont dans 2Z 3Z mais pas 2+3 = 5, la loi + n’est donc
[
pas interne dans 2Z 3Z!!!
[
1.3 Homorphismes de groupes
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.3.1 Soient G et H deux groupes. Une application f : G H
!
est un homomorphisme (ou morphisme) de groupes si et seulement si elle
v(cid:19)eri(cid:12)e :
(x;y) G G; f(x:y) = f(x):f(y):
8 2 (cid:2)
On notera Hom(G;H) l’ensemble des homomorphismes de G dans H.
Un homomorphisme de groupes est donc une application \compatible"
avec les lois de compositions induites par les structures de groupes. Atten-
tion encore aux notations de ces lois : dans la d(cid:19)e(cid:12)nition ci-dessus, les lois
internes sont not(cid:19)es multiplicativement.
Exemple.
1. Si G est un groupe, l’application identit(cid:19)e est un homomorphisme de
groupe (de G dans G).
2. Si G est un groupe et H un sous-groupe de G alors l’application sui-
vante :
f : H G
!
x x
7!
10