Cours de mathématiques spéciales, tome 3 : Analyse fonctionnelle et calcul différentiel

456 Pages·1993·23.774 MB·French

by  Bernard Gostiaux

Bernard
Gostiaux
Cours de
mathématiques :
spéciales
3. Analyse fonctionnelle
et calcul différentiel

Cours de mathématiques spéciales
Tome 3
Analyse fonctionnelle
et calcul différentiel
COLLECTION DIRIGÉE PAR PAUL DEHEUVELS
COURS
DE MATHÉMATIQUES
SPÉCIALES
TOME 3
Anaryse fonctionnelle
et calcul différentiel
BERNARD GOSTIAUX
PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE.
ISBN 2 13 045849 1
ISSN 02(.6-3822
Dépl>t légal - 1•• édition : 1993, août
© Presses Univenitaires de France, 1993
108, boulevard Saint-Germain, 75006 Paris
Sommaire
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
Chapitre ll. - Séries numériques, séries dans les espaces
vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Séries à termes réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Critères de convergence pour les séries de terme général
positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Critères de convergence des séries à valeurs réelles ou
complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5. Opérations algébriques sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6. Le «fin du fin» sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Chapitre 12. - Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1. Convergence simple, convergence uniforme . . . . . . . . . . . . 69
2. Séries de fonctions ......... ·.......................... 81
3. Un espace fonctionnel: fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . 86
4. Théorème de Stone Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5. Fonctions définies par des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Chapitre 13. - Séries entières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
1. Définitions, domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2. Propriétés des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3. Développements en série entière : analycité . . . . . . . . . . . 146
4. Développements en série entière des fonctions usuelles :
cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5. Fonctions élémentaires de variable complexe . . . . . . . . . . 156
6. Théorème d'interversion des limites, retour sur l'ana-
lycité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7. Un peu de variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
VI Algèbre
Chapitre 14.-Espaces préhilbertiens réels, espaces eucli·
diens.................................................. 215
1. Définitions, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
2. Des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3. Projection orthogonale ............................... 223
4. Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5. Adjoint d'un opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6. Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Chapitre 15. - Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
1.. Trois espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
2. Egalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
3. Etude de la convergence uniforme de la série de Fourier 285
4. Autres types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Chapitre 16. - Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
1. Rappels sur les fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . 311
2. Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
3. Différentielles d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
4. Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
5. Extrema des fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . 343
6. Fonctions homogènes, fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . 347
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Chapitre 17. - Difféomorphismes, fonctions implicites . . . 369
1. Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
2. Théorème d'inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
3. Problèmes d'extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Chapitre 18. - Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
1. Généralités sur les équations différentielles . . . . . . . . . . . 393
· 2. Théorème de Cauchy Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
3. Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
4. Cas des équations différentielles linéaires en dimension
finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
5. Equations différentielles scalaires d'ordre n . . . . . . . . . . . 415
6. Equations linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . 420
7. Quelques recettes de cuisine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Lexique.....................................................
441
Avant-propos
Dans ce troisième volume sur les espaces fonctionnels, j'applique les
résultats de Topologie et d'Algèbre, à l'étude des espaces préhilbertiens
réels ou complexes.
En disant un mot des fonctions réglées, j'ai voulu mettre en évidence
le procédé constructif qui consiste à passer à une adhérence, procédé que
l'on retrouve dans le lemme de Lebesque.
J'ai voulu, en rédigeant cet ouvrage, donner une vision constructive
des mathématiques, qui dégage les r~sonnements fondamentaux, et c'est
pourquoi je ne me suis pas trop soucié d'un programme. Je ne sais pas si
je suis parvenu à mon but, mais je me suis fait plaisir en rédigeant ces
pages. Puissent-elles vous servir.
Symboles
((un))neN. 11.3 SOn(R), 14.51
âf
lira sup, 11.37 a(a), 16.2
n->+oo Xi
lira inf, 11.38 a21
n-++oo 16.4
ÔXiÔXj '
(,), 14.5
df(x), 16.11
l2(R), 14.11
d2 f(xo), 16.15
O(n,K), 14.46
Isorac(E, F), 17.3