Cours de mathématiques

529 Pages·2017·9.92 MB·French

2015-2016
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Licence Creative Commons
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– année
3 4
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iv 2
JannWEISS

S O M M A I R E
na e : é a on
A lys d riv ti
I 10
1 Versl’infini... 11
1.1 Quelquessituationsavecdesprocessusinfinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 «Tendrevers»... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Unpeud’histoireetunbrindephilosophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 LesparadoxesdeZénon(néentre495et480av.J.-C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Laméthodedel’exhaustion,embryondel’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Ya-t-ilplusieursinfinis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Propriétésdebasedesnombres 24
2.1 Lesensemblesdenombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Ladroitenumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 OpérationsdansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 PropriétésdesopérationsdansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.4 Identitésremarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Notiond’ordretotal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2 Opérationsetinégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Théorèmesdurangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Distance,valeurabsolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.1 Propriétésdelavaleurabsolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 LedernieraxiomedeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 L’inductionmathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Rappelssurlesfonctionsetleurreprésentationgraphique 39
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Quelquescatégoriesdefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Addition,produit,quotientetcompositiondefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Définitionensemblisted’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Graphiquesdefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6 Graphesdesfonctions f(x),f(x h), f(x) v etk f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
− + ·
3.7 Solutionsauxexercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Lepointsurlessituationsdutype«tendrevers» 52
5 Suitesetséries 56
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.1 Modesdedéfinitiond’unesuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.2 Représentationgraphiqued’unesuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.3 Variationsd’unesuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Convergenceoudivergenced’unesuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.1 Lasérieharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.2 Suitegéométriquederaisonsupérieureà1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.3 Quelquesremarquessurlethéorèmed’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.4 Suitesquitendentversunnombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3
4
5.3 Critèresdeconvergenced’unesuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 Limited’unefonctiond’unesuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.2 Suitesmonotonesbornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.3 Pointfixeetsuitesrécurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.4 Opérationsalgébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.5 Comparaisondesuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Lepointfinalsurlessuitesarithmétiquesetgéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6 Annexesurlaconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6.1 Illustrationduthéorème5 -4,page64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6.2 Considérationsautourduthéorème5 -5,page65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6.3 Rappelsurcertainessuitesenvuedefairedescomparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Variationsd’unefonction 78
6.1 Tauxd’accroissementetfonctiondérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.1 Méthodeélémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.2 Méthodesdecomparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2 Extremad’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.2 Recherchedesextremums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 Lepointsurlesvariationsd’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Limites 92
7.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2 Propriétésetthéorèmessurlalimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.3 Recherchedeδenfonctiond’unǫchoisi,avecGeogebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8 Fonctionscontinues 99
8.1 Continuitéenunpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2 Quatrethéorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.3 Limitesdefonctionscomposées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9 Extensiondelanotiondelimite 106
9.1 Limitesàl’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.2 Limitesinfinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.3 Opérationsalgébriquesetlimites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.3.1 Limited’unesommedefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.3.2 Limited’unproduitdefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.3.3 Limited’unquotientdefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.4 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.4.1 Asymptotesverticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.4.2 Asymptoteshorizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.4.3 Asymptotes«obliques» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.5 Asymptotesd’unefonctionrationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10Unpeud’histoire 117
10.1 Lesdébutsdeladérivation:Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.1.1 IsaacNewton:unebrèvebiographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.2 Leibnizetsanotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.2.1 Ladérivation:nouvellenotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.2.2 LarègleduproduitaveclanotationdeLeibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2.3 LarègledelacompositionaveclanotationdeLeibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11Ladérivation 123
11.1 Introductionetdéfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.1.1 Équationdelatangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.1.2 L’idéefondamentaleducalculdifférentiel:l’approximationlocaledesfonctionspardesfonctionsaffines126
11.1.3 Quelquesdérivéesélémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.2 Règlesdedérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.3 ApproximationdelaracinecarréeparlaméthodedeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
JannWeiss,LicenceCreativeCommons(cid:13)BY: (cid:13)$\ (cid:13)C ,2015-2016
5
11.4 Problèmesd’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.4.1 Recherched’unextremumsurunintervallefermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.5 Exemplesd’exercicesd’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.5.1 Laboîte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.5.2 Lephare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
11.6 Exemplesd’étudecomplèted’unefonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.6.1 f :x 3x5 5x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7→ −
x3
11.6.2 f :x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7→ x2 4
−
x3
11.6.3 f :x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7→sx 2
−
12Lanotationdifférentielle 145
12.1 Variationd’unefonctionetdérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.2 Estimationdelavariationd’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.3 Notationdifférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.4 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12.5 Propriétésdeladifférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.5.1 Différentielled’unesomme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.5.2 Différentielled’unproduit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.5.3 Différentielled’unquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.5.4 Différentielled’unecomposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.6 Intégraled’unefonctionentredeuxbornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.7.1 Calculdel’aired’undisque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.7.2 Surfaced’unesphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.7.3 Volumed’unesphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.7.4 Longueurd’unarcdecourbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.7.5 Lachaînette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
13ThéorèmedeRolle,théorèmedesaccroissementsfinis 154
na e : n é a on
A lys i t gr ti
II 160
1 L’intégraledéfinie 161
1.1 Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
1.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1.3 L’intégraledéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.4 Propriétésdel’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1.5 Activitéautourduthéorèmedelamoyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
1.6 Quelestlevolumeintérieurd’unesphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
1.7 Longueurd’unarc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
1.8 Quadraturedel’hyperbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2 L’intégraleindéfinie 174
2.1 Problèmedutrain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.3 Equationsdifférentiellessimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2.4 Changementdevariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3 Lethéorèmefondamentalducalculintégral 180
4 Méthodesd’intégration 183
4.1 Intégrationparsubstitutionouchangementdevaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.2 Intégrationparparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.3 Intégralestrigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.4 Intégralesavecdesvaleursabsolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
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6
4.5 Substitutionsenutilisantlesfonctionstrigonométriquesinverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.6 Intégralestrigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.7 Fonctionsrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.8 Complément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.8.1 Dérivéedelaréciproqued’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.8.2 IntégrationparpartiesetformuledeTayloravecreste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.9 Solutionsauxexercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5 Fonctionlogarithmeetfonctionexponentielle 199
5.1 Rappelssurlesfonctionsexponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.2 Rappelssurlesfonctionslogarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.2.1 Rappelsurlareprésentationd’unefonctionetdesaréciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.2.2 Représentationgraphiquedulogarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.3 Propriétésdeslogarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.4 Définitionanalytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.4.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.5 Expressiondunombreecommelimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.6 Étudedefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.7 Angleentredeuxcourbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.7.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.7.2 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6 Solidederévolution(découpageendisques) 212
6.1 Rotationautourdel’axedesx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.2 Rotationautourdel’axedesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.2.1 Volumed’unsolidederévolutionparlaméthodedes«tubes» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.3 Exempledecalculd’unvolumed’unsolidederévolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.4 Quelquessolidesderévolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.4.1 Reprisedel’exempledelasectionprécédente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.4.2 Exercice5.54tiréduFundamentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.5 Autreexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7 Équationsdifférentielles 221
7.1 Quelquessituations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.2 Modélisationdecessituationsdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.3 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.4 Équationsdifférentiellesdupremierordre:interprétationgéométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.6 Équationsdifférentiellesdupremierordreàvariablesséparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.6.1 Casparticulier:y′′′ g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
===
7.6.2 Casgénéral:g(y) y′′′ f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
··· ===
7.7 Équationslinéairesdupremierordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.9 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.10 Général=Particulier+homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
éomé e e o e e
G tri v ct ri ll
III 243
1 Espacevectoriel:vecteurs,points,droitesetplans 244
1.1 Espacephysiqueetespacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
1.2 Notionsdebaseetdecoordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
1.2.1 Espacephysique,espacevectorielV3etR3:résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
1.3.1 Réponsespartielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
1.4 Quelquesconsidérationsremarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
1.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
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7
1.5.1 ÉquationsparamétriquesetcartésiennesdeladroitedansV3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
1.5.2 ÉquationsparamétriquesetcartésiennesdeladroitedansV2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
1.7 Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
1.7.1 Équationvectorielleduplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
1.7.2 Équationcartésienneduplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
1.8 Intersectionsplans/droitesetsystèmesd’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
1.8.1 Troisplansdonnésparleurséquationscartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
1.8.2 Unplandonnéparsonéquationcartésienneetunedroiteparsonéquationvectorielle . . . . . . . . . . 274
1.8.3 Unplandonnéparsonéquationvectorielleetunedroiteparsonéquationvectorielle . . . . . . . . . . . 275
1.8.4 Unplandonnéparsonéquationcartésienneetunedroiteparsonéquationcartésienne . . . . . . . . . 275
1.8.5 Unplandonnéparsonéquationcartésienneetunsecondplanparsonéquationvectorielle . . . . . . . 275
1.8.6 Deuxplansdonnésparleurséquationscartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
1.8.7 Deuxplansdonnésparleurséquationsvectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
1.9 Sectiond’uncubeparunplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
1.10 Solutionsauxexercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
2 Produitscalaire 304
2.1 Définitionetpropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
2.1.2 Définitionduproduitscalairedansunrepèreorthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
2.1.3 Propriétésdelanorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
2.1.4 Vecteursorthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
2.1.5 Plandonnéparunvecteurnormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
2.1.6 Projectionorthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
2.1.7 Distanceentreunpointetunedroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
2.1.8 Distanceentreunpointetunplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
2.1.9 Projectionorthogonaled’unpointsurunplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
2.1.10 Symétriqued’unpointparrapportàunplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
2.2 Angleentredeuxplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
2.4 Solutionsauxexercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
3 Rappelsurquelquesméthodes 324
3.1 Trouverunvecteurorthogonalàdeuxautresvecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
3.2 Intersectiondedeuxdroites... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
3.3 Intersectiond’unplanetd’unedroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
3.4 Intersectiondedeuxplans... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
3.5 Intersectiondetroisplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4 Produitvectoriel,produitmixte 330
4.1 Produitvectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
4.1.1 Applicationsduproduitvectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
4.2 Produitmixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.2.1 Applicationsduproduitmixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.4 Solutionsdecertainsexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
è e néa e
Alg br li ir
IV 354
1 Systèmeslinéairesetmatrices 355
1.1 Approchegéométriquedessystèmeslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
1.1.1 Équationsavec2variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
1.1.2 Équationsavec3variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
1.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
1.2 MéthodedeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
1.2.1 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
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8
1.3 Notationmatriciellepourlessystèmesd’équationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
1.4 Général=particulier+homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
2 Espacesvectoriels 370
2.1 Définitionetexemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
2.2 Indépendancelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
2.3 Based’unespacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
2.4 Dimensiond’unespacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
2.4.1 Espacesvectorielsetsystèmeslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
3 Applicationsentreespacesvectoriels 391
3.1 Isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
3.2 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
3.3 Imageetnoyaud’uneapplicationlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
3.4 Applicationslinéairesetmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
3.4.1 Représentationd’uneapplicationlinéaireparunematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
3.5 Opérationssurlesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
3.5.1 Lasommeetmultiplicationparunscalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
3.5.2 Multiplicationmatricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
3.5.3 Matricesinverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
3.6 Annexe1:parcoursàtraversquelques-unesdesnotionstraitées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
3.6.1 Commentvérifierqu’uneapplicationestunautomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
3.6.2 Uneapplicationlinéaireestdéfinieparlesimagesdesvecteursdelabase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
3.6.3 Lesautomorphismesoutransformationslinéaires:aspectsgéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
3.6.4 Changementdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
3.7 Annexe2:unexemplenongéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
3.8 Annexe3:illustrationduthéorèmedurang3 -3,page403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
o a é
Pr b bilit s
V 434
1 Combinatoire 435
1.1 Quelquessituations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
1.3 Combinaisons,triangledePascal,binômedeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
1.3.1 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
1.3.2 BinômedeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
2 Théoriedesprobabilités 445
2.1 Notionsdebase:expériencealéatoire,événement... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
2.2 Définitionsd’uneprobabilitésimple,conditionnelleoutotale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
2.2.1 Probabilitéd’unévénement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
2.2.2 Probabilitéconditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
2.2.3 Événementsindépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
2.2.4 Formuledesprobabilitéstotales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
2.3 Lesaxiomesdesprobabilitésetpropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
2.3.1 LesaxiomesdeKolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
2.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
2.5 Notionsdevariablealéatoire,d’espérancemathématiqueetdevariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
2.5.1 Fonctionderépartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
2.5.2 Espérancemathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
2.5.3 Linéaritédel’espérancemathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
2.5.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
2.6 Loioudistributionbinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
2.7 Variablesaléatoirescontinues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
2.8 Laloinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
JannWeiss,LicenceCreativeCommons(cid:13)BY: (cid:13)$\ (cid:13)C ,2015-2016
2.8.1 Loinormalecentréeréduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
2.8.2 Passaged’unevariablequelconqueàsaformecentréeréduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
2.8.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
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L s br s c pl x s
VI 474
Première partie
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A lys d riv ti
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