Cours de M1 fondamental Algèbre et théorie de Galois

118 Pages·2015·0.87 MB·French

UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
Cours de M1 fondamental
AlgŁbre et thØorie de Galois
Jean-Fran(cid:231)ois Dat
2015-2016
RØsumØ
CecoursintroduitlestechniquesalgØbriquesfondamentalesutilisØesenthØoriedes
nombres et en gØomØtrie algØbrique. Une grande partie concernera la thØorie gØnØrale
des anneaux (commutatifs) et de leurs modules, et une autre partie la thØorie des
extensions de corps.
Table des matiŁres
1 AlgŁbre commutative 2
1.1 Pourquoi l’algŁbre commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 GØnØralitØs sur les anneaux commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 GØnØralitØs sur les modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Anneaux de polyn(cid:244)mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Anneaux factoriels, principaux, euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6 Localisation, corps des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.7 Le thØorŁme de transfert de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.8 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.9 Quelques consØquences du lemme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.10 Modules de type (cid:28)ni sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Extensions de corps. ThØorie de Galois 78
2.1 GØnØralitØs sur les extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2 Corps algØbriquement clos, cl(cid:244)tures algØbriques . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3 Automorphismes. Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.4 CaractØristique et endomorphisme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.5 Polyn(cid:244)mes et extensions sØparables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.6 Corps parfaits et imparfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.7 Extensions Galoisiennes. Correspondance de Galois . . . . . . . . . . . . . 101
2.8 RØsolubilitØ par radicaux des Øquations algØbriques . . . . . . . . . . . . . 110
2.9 Polyn(cid:244)mes symØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
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1 AlgŁbre commutative
1.1 Pourquoi l’algŁbre commutative
L’algŁbre commutative est l’Øtude des anneaux commutatifs et de leurs modules. On
rappelle qu’un anneau (unitaire) A est un ensemble muni d’une addition + : A×A −→ A
qui admet un ØlØment neutre notØ 0 et fait de (A,+) un groupe abØlien, et d’une multi-
plication (ou produit) · : A×A −→ A qui admet un ØlØment neutre 1 et fait de (A,·) un
mono(cid:239)de associatif, et telles que · soit (cid:16)distributive(cid:17) (ou encore (cid:16)bilinØaire(cid:17)) par rapport (cid:224)
+. Cet anneau est dit commutatif si la multiplication · est commutative. Nous noterons
A× le sous-ensemble des ØlØments de A qui sont inversibles pour la multiplication, de sorte
que (A×,·) est un groupe. Lorsque A× = A\{0}, on dit que A est un corps.
Certaines dØ(cid:28)nitions et ØnoncØs de ce cours pourront paraitre bien abscons sortis de
leur contexte. C’est pourquoi il est important de garder en tŒte pourquoi et comment les
mathØmaticiens y ont ØtØ conduits. Ce n’est pas le plaisir de l’abstraction qui les a guidØs,
mais bien le dØsir de rØsoudre des problŁmes concrets en les reformulant convenablement.
1.1.1 L’anneau des entiers. Le premier exemple d’anneau commutatif est l’anneau
A = Z des entiers relatifs. Sa structure additive est claire (comme le sera celle de la
plupart des anneaux que nous rencontrerons) : elle est engendrØe par 1 qui en est la seule
(cid:16)brique ØlØmentaire(cid:17). C’est la structure multiplicative et son interaction avec l’addition qui
est intØressante. Ses (cid:16)briques ØlØmentaires(cid:17) en sont les nombres premiers, sur lesquels de
nombreuses conjectures sont encore ouvertes. Rappelons le rØsultat cØlŁbre d’Euclide :
ThØorŁme. (Unique factorisation) (cid:21) Tout nombre entier s’Øcrit sous la forme n =
±pv1pv2···pvr, oø les p sont des nombres premiers distincts 2 (cid:224) 2 et v ∈ N∗, et cette
1 2 r i i
Øcriture est unique (cid:224) l’ordre prŁs.
L’existence d’une factorisation comme ci-dessus se voit facilement par rØcurrence mais
l’unicitØ est plus subtile. Rappelons qu’elle dØcoule de la division euclidienne selon les
Øtapes suivantes :
(cid:22) (lemme de BØzout) si a,b ∈ Z \ Z× n’ont pas de diviseur commun, alors il existe
u,v ∈ Z tels que ua+vb = 1. En e(cid:27)et, posons r := |a| et r := |b| et notons r le
0 1 2
reste de la division euclidienne de a par b. On a donc r ∈ r +Zr et 0 (cid:54) r < r .
2 0 1 2 1
Notons que r (cid:54)= 0 puisque r ne divise pas r . Si r = 1, on a terminØ. Sinon, on
2 1 0 2
peut considØrer encore le reste 0 < r < r de la division euclidienne de r par r ,
3 2 1 2
puis, tant que r (cid:54)= 1, dØ(cid:28)nir r comme le reste de la division de r par r . On a
k k+1 k−1 k
alors r ∈ r +Zr puis, par une rØcurrence immØdiate, r ∈ Zr +Zr . Mais
k+1 k−1 k k+1 0 1
puisque r < r , l’algorithme s’arrŒte (cid:224) un rang k < |b| pour lequel on a r = 1.
k+1 k k+1
(cid:22) (lemme d’Euclide) si p premier divise ab, alors p|a ou p|b. En e(cid:27)et, si p ne divise
pas a, on peut trouver u,v tels que up+va = 1, donc upb+vab = b, ce qui montre
que p divise b.
(cid:22) On en dØduit en particulier que si p divise un produit pv1pv2···pvr comme dans
1 2 r
le thØorŁme, alors p est Øgal (cid:224) l’un des p . De l(cid:224) l’unicitØ dØcoule facilement : si
i
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pv11pv22···pvrr = p(cid:48)1v1(cid:48)p(cid:48)2v2(cid:48) ···p(cid:48)r(cid:48)vr(cid:48)(cid:48) alors p1 est Øgal (cid:224) un (et un seul) des p(cid:48)i et, quitte (cid:224)
numØroteronpeutsupposerquec’estp(cid:48).ProcØdantdemŒmepourp etlessuivants,
1 2
on voit que r = r(cid:48) et qu’on peut supposer p = p(cid:48) pour tout i. Reste (cid:224) montrer que
i i
v = v(cid:48) pour tout i = 1,··· ,r, ce que l’on peut faire par rØcurrence sur l’entier
i i
v +···+v par exemple.
1 r
L’ØnoncØ d’Euclide peut s’Øcrire de la maniŁre alternative suivante : soit p premier et
soit ν (n) la valuation p-adique de n, i.e. le plus grand entier tel que pνp(n) divise n.
p
On a l’ØgalitØ n = ε(n)·(cid:81) pνp(n), oø ε(n) dØsigne le signe de n et le produit est indexØ
p
1
par tous les nombres premiers .
Le rØsultat d’Euclide a plusieurs consØquences auxquelles nous sommes habituØs depuis
longtemps,commel’existencedepgcdetdeppcm.Laformulationci-dessusfournitd’ailleurs
les formules agrØables suivantes :
(cid:89) (cid:89)
pgcd(n,m) = pmin(νp(n),νp(m)) et ppcm(n,m) = pmax(νp(n),νp(m)).
p p
Surtout, le rØsultat d’Euclide permet de rØsoudre certaines Øquations (cid:16)diophantiennes(cid:17),
Z Q
c’est-(cid:224)-dire des Øquations polyn(cid:244)miales dont on cherche les solutions dans ou dans .
Exemples :
(cid:22) L’Øquation x2 = 2 n’a pas de solution dans Q (exercice).
(cid:22) L’Øquation x2 −1 = y3 a pour solutions {(0,−1),(1,0),(−1,0),(3,2),(−3,2)}. En
e(cid:27)et, on peut factoriser x2−1 = (x−1)(x+1). Cherchons une solution (x,y) avec
x pair. Dans ce cas le p.g.c.d. de x − 1 et x + 1 est 1, et la propriØtØ d’unique
factorisation implique donc que x − 1 et x + 1 doivent Œtre des cubes d’entiers,
disons x − 1 = a3 et x + 1 = b3 avec ab = y. Or, cela implique b3 − a3 = 2, ce
qui implique b = 1 et a = −1 et donc x = 0 et y = −1. Cherchons ensuite une
solution avec x impair, disons x = 2x(cid:48) + 1. Alors y doit Œtre pair, disons y = 2y(cid:48),
et on a x(cid:48)(x(cid:48) + 1) = 2y(cid:48)3. Si x(cid:48) = 2x(cid:48)(cid:48) est pair, alors x(cid:48)(cid:48) et (x(cid:48) + 1) doivent Œtre
des cubes, disons a3 et b3, vØri(cid:28)ant la relation b3 −2a3 = 1. On se convainc (cid:224) coup
de majorations grossiŁres que les seules solutions sont (b,a) = (1,0) ou (−1,−1),
auxquels cas (x,y) = (1,0) ou (−3,2). Pour x(cid:48) impair, on trouve les possibilitØs
(−1,0) et (3,2).
Malheureusement, on est vite confrontØ (cid:224) des Øquations, pourtant trŁs proches, oø la
mØthode de factorisation ne s’applique plus du tout. Par exemple :
x2 +N = y3, oø N ∈ Z est (cid:28)xØ.
L’idØe, naturelle, qu’ont eu les mathØmaticiens est d’Ølargir le domaine des nombres (cid:16)uti-
lisables(cid:17) de maniŁre (cid:224) pouvoir factoriser x2 +N.
1. Cette expression, pour avoir un sens, sous-entend que νp(n) (cid:54)= 0 et donc pνp(n) (cid:54)= 1 seulement pour
un nombre (cid:28)ni de nombres premiers
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1.1.2 Anneaux d’entiers algØbriques. Nous supposerons, pour simpli(cid:28)er, que l’on dis-
C
pose du corps des nombres complexes et qu’on sait qu’il est algØbriquement clos. Pour
z ∈ C nous noterons Z[z] le sous-anneau de C engendrØ par z, i.e. le plus petit sous-
anneau de C qui contient z. ConcrŁtement, c’est le sous-groupe additif de C engendrØ par
les puissances {zn,n ∈ N} de z (s’en convaincre!).
DØfinition. (cid:21) On dit que z est un entier algØbrique s’il est annulØ par un polyn(cid:244)me
unitaire f(X) = Xd +a Xd−1 +···+a ∈ Z[X].
1 d
Dans ce cas, zd ∈ Z + Zz + ··· + Zzd−1 et par rØcurrence immØdiate chaque zn pour
n (cid:62) d est dans Z+Zz +···+Zzd−1. En d’autres termes, Z[z] est engendrØ, en tant que
groupe abØlien par la famille (cid:28)nie {1,z,··· ,zd−1}.
√ √ √
Exemple. (cid:21) L’anneau Z[ −2] et l’Øquation x2 + 2 = y3. Le nombre −2 := i 2,
√
qui est annulØ par X2 +2, est un entier algØbrique. L’anneau engendrØ s’Øcrit Z[ −2] =
√
Z ⊕ i 2Z (vØri(cid:28)er que c’est bien un sous-anneau!). Dans cet anneau, on peut factoriser
√ √ √
x2 + 2 = (x+ −2)(x− −2) pour tout x ∈ Z[ −2]. Nous verrons que cet anneau est
euclidien, ce qui signi(cid:28)e qu’on y dispose d’une certaine forme de division euclidienne. Ceci
impliquera l’existence (d’une forme) de pgcd et la notion d’Œtre (cid:16)premiers entre eux(cid:17) pour
deux ØlØments de cet anneau. Ceci impliquera aussi un rØsultat d’unique factorisation en
Z
puissances d’ØlØments irrØductibles analogue (cid:224) celui d’Euclide pour . On dira que cet
anneau est factoriel. PrØcisons un peu ce que cela signi(cid:28)e.
DØfinition. (cid:21) Dans un anneau commutatif A gØnØral, un ØlØment a ∈ A est dit
irrØductible s’il est non inversible et si a = bc ⇒ b ∈ A× ou c ∈ A×. Deux ØlØments
irrØductibles a,a(cid:48) sont dits Øquivalents s’il existe un inversible u ∈ A× tel que a(cid:48) = ua.
Par exemple dans Z, les irrØductibles sont les a = ±p avec p premier, et les classes
d’Øquivalences d’irrØductibles sont les {−p,p} avec p premier. Supposons que l’on ait choisi
unensembleP ⊂ AdereprØsentantsdesclassesd’Øquivalenced’ØlØmentsirrØducibles.Alors
l’anneau A est (cid:16)factoriel(cid:17) si tout ØlØment x s’Øcrit de maniŁre unique ((cid:224) l’ordre prŁs) sous
la forme x = upν1···pνr avec les p dans P et u ∈ A×.
1 r i √
ExpliquonscommentlefaitqueZ[ −2]estfactorielnouspermetderØsoudrel’Øquation
x2 +2 = y3 dans Z2. Tout d’abord, on peut remarquer en raisonnant modulo 4 que x ne
√
peut pas Œtre pair. Supposons donc x impair; on remarque alors que les ØlØments x+ −2
√ √
et x− −2 de Z[ −2] doivent Œtre premiers entre eux. En e(cid:27)et, un ØlØment irrØductible
√ √ √
3
qui diviserait chacun devrait diviser 2 −2 = − −2 donc Œtre Øgal (cid:224) ± −2 (qui est bien
√
irrØductible), mais ± −2 ne divise pas x qui est impair. Il dØcoule alors de la propriØtØ
√ √
d’uniquefactorisationquex+ −2etx− −2sontrespectivementdelaformeuα3 etu−1α¯3
√ √
(conjuguØ complexe) pour un inversible u ∈ Z[ −2]× et un ØlØment α ∈ Z[ −2]. En fait,
√ √ √
onvØri(cid:28)e(exercice)queZ[ −2]× = {±1},doncx+ −2etx− −2doiventŒtredescubes
√ √ √
parfaits dans Z[ −5]. Or un cube s’Øcrit (a+b −2)3 = (a3 −6ab2)+(3a2b−2b3) −2,
et on vØri(cid:28)e de maniŁre ØlØmentaire que 3a2b − 2b3 = 1 ⇔ (a,b) = (±1,1) tandis que
3a2b − 2b3 = −1 ⇔ (a,b) = (±1,−1). De l(cid:224) il dØcoule que les seuls x possibles sont
x = ±5, puis que les solutions de l’Øquation de dØpart sont (x,y) = (±5,3).
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√
Exemple. (cid:21) L’anneau Z[ −3] et l’Øquation x2 + 3 = y3. Essayons la mŒme stratØgie
√ √
avec 2 (cid:224) la place de 3. On considŁre donc l’anneau Z[ −3] = Z ⊕ i 3Z dans lequel on
√ √ √
peut factoriser x2 +3 = (x+ −3)(x− −3) pour tout x ∈ Z[ −3]. Malheureusement,
cet anneau n’est pas factoriel. En e(cid:27)et, regardons l’ØgalitØ
√ √
2·2 = 4 = (1+ −3)(1− −3).
√
L’ØlØment 2 est irrØductible car si on Øcrit 2 = xy avec x,y ∈ Z[ −3], on a 4 = xx¯yy¯
donc xx¯, qui est entier positif, vaut 1, 2 ou 4, mais il ne peut pas valoir 2 car l’Øquation
u2 + 3v2 = 2 n’a pas de solution dans Z2, donc on a soit xx¯ = 1 auquel cas x = ±1,
√ √
soit yy¯ = 1 auquel cas y = ±1. Pour la mŒme raison, les ØlØments 1 + −3 et 1 − −3
√
sont irrØductibles. Comme Z[ −3]× = {±1}, ces trois ØlØments sont non Øquivalents 2 (cid:224) 2,
et l’ØgalitØ ci-dessus montre que la propriØtØ d’unique factorisation n’est pas vØri(cid:28)Øe dans
√
Z[ −3].
En fait, cet anneau est encore (cid:16)pire(cid:17) que non factoriel : il n’est pas intØgralement clos
non plus. Cela signi(cid:28)e (on y reviendra) que son corps des fractions, qui n’est autre que le
√ √
sous-corps Q[ −3] de C engendrØ par −3, contient des entiers algØbriques qui ne sont
√
pas dans cet anneau. Un exemple est j := −1+ −3, qui est bien entier algØbrique, puisque
2
racine du polyn(cid:244)me X3 −1, et plus prØcisØment du polyn(cid:244)me irrØductible X2 +X +1.
√
Il se trouve que l’anneau Z[j], qui contient Z[ −3], est bien meilleur que ce dernier;
nous verrons qu’il est euclidien, et donc factoriel (et aussi intØgralement clos). Noter que
√ √
l’ØgalitØ 2·2 = (1+ −3)(1− −3) ne contredit pas l’unicitØ des factorisations dans Z[j]
√ √
puisque 2, 1 + −3 et 1 − −3 sont des ØlØments irrØductibles Øquivalents en vertu des
√ √
ØgalitØs 2 = −j(1 + −3) = −j−1(1 − −3) et du fait que j ∈ Z[j]×. D’ailleurs, il sera
utile de remarquer que Z[j]× = µ = {±1,±j,±¯j}.
6 √ √
Puisque la factorisation x2+3 = (x+ −3)(x− −3) vit dans Z[j], on peut l’utiliser
pour Øtudier l’Øquation x2 +3 = y3. Remarquons que pour une Øventuelle solution (x,y)
√ √
on aura x (cid:54)= 0. Les ØlØments x+ −3 et x− −3 sont donc premiers entre eux. En e(cid:27)et,
√ √
un diviseur commun diviserait aussi 2 −3. Or 2 et −3 sont irrØductibles et ne divisent
√
visiblement pas x ± −3 si x (cid:54)= 0. Gr(cid:226)ce (cid:224) la propriØtØ d’unique factorisation, on peut
√
donc Øcrire x+ −3 sous la forme
√ √ √
x+ −3 = u(a+b −3)3 = u((a3 −9ab2)+(3a2b−3b3) −3)
√ √
avec u ∈ {±1, ±1± −3}. On voit toute de suite, en comparant les termes en −3, qu’il n’y
2 √
a pas de possibilitØ avec u = ±1. Avec u = 1+ −3, on obtient la contrainte
2
a3 −9ab2 +3a2b−3b3 = 2.
Avec (cid:16)un peu(cid:17) d’astuce on remarque la congruence modulo 4
a3 −9ab2 +3a2b−3b3 ≡ a3 +3ab2 +3a2b+b3 ≡ (a+b)3(mod4).
Or2n’estpasuncubedansZ/4Z,donclacontrainteci-dessusestimpossible.Unargument
similaire pour les autres u nous mŁne (cid:224) la conclusion que l’Øquation x2+3 = y3 n’a pas de
solution (le vØri(cid:28)er).
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√
Exemple. (cid:21) L’anneau Z[ −5] et l’Øquation x2 + 5 = y3. Rempla(cid:231)ons maintenant 3
√ √
par 5 et considØrons donc l’anneau Z[ −5] = Z ⊕ i 5Z dans lequel on peut factoriser
√ √ √
x2 +5 = (x+ −5)(x− −5) pour tout x ∈ Z[ −5]. (cid:192) nouveau, cet anneau n’est pas
factoriel, comme le montre par exemple l’ØgalitØ
√ √
2·3 = (1+ −5)(1− −5).
√ √
(Exercice : vØri(cid:28)er que 2, 3, 1 + −5 et 1 − −5 sont des Ølements irrØductibles non
√ √
Øquivalents de Z[ −5]). Mais cette fois-ci c’est plus grave : Z[ −5] est tout de mŒme
intØgralement clos, donc on ne peut pas l’agrandir un peu pour le rendre factoriel, comme
√
on l’a fait pour Z[ −3].
C’est pour pallier les di(cid:30)cultØs liØes au dØfaut d’unicitØ des factorisations que Dedekind
a dØgagØ la notion d’idØal d’un anneau.
1.1.3 IdØaux. Rappelons qu’un idØal I de A est un sous-groupe additif de A stable
par multiplication par A. Si a ,··· ,a sont des ØlØments de A, on note (a ,··· ,a ) l’idØal
1 n 1 n
engendrØ par ces ØlØments, i.e. le plus petit idØal qui les contient. On a donc
(a ,··· ,a ) = (a )+···+(a ) = Aa +···+Aa
1 n 1 n 1 n
oø l’on utilise la notation (cid:16)somme(cid:17) pour deux sous-ensembles S ,S de A :
1 2
S +S = {x ∈ A,∃(s ,s ) ∈ S ×S , x = s +s }.
1 2 1 2 1 2 1 2
Un idØal engendrØ par une famille (cid:28)nie comme ci-dessus est dit de type (cid:28)ni. Il est dit
principal s’il est engendrØ par un seul ØlØment.
Les idØaux de A peuvent Œtre (cid:16)additionnØs(cid:17) et (cid:16)multipliØs(cid:17). L’addition est simplement
donnØe par la somme ensembliste ci-dessus :
I +J = {x ∈ A, ∃(i,j) ∈ I ×J, x = i+j}.
Le produit d’idØaux est plus subtil : si on multiplie na(cid:239)vement les ensembles I et J, l’en-
semble obtenu est certes stable par multiplication par A, mais pas par addition. Il convient
de prendre l’idØal engendrØ par ce produit na(cid:239)f. Explicitement, on a
I ·J := {x ∈ A,∃n ∈ N,∃(i ,··· ,i ,j ,··· ,j ) ∈ In ×Jn, x = i j +···i j }.
1 n 1 n 1 1 n n
La dØcouverte de Dedekind est que, pour un anneau de nombres intØgralement clos
√
comme Z[ −5] par exemple, les idØaux propres non nuls admettent une factorisation (cid:16)uni-
que(cid:17), mŒme si l’anneau n’est pas factoriel. Evidemment cela suppose d’avoir un analogue
pour les idØaux de la notion d’ØlØment irrØductible. C’est la notion d’idØal premier.
DØfinition. (cid:21) On dit que l’idØal I (cid:54)= A est premier si pour tout x,y ∈ A, on a
xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I.
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IldØcoule decettedØ(cid:28)nition quepoura ∈ Anonnul,si l’idØal(a)estpremier alorsaest
irrØductible. La rØciproque n’est pas toujours vraie. En fait, elle est Øquivalente au lemme
√ √
d’Euclide, dont on a vu qu’il n’est pas vrai dans Z[ −5]. ConcrŁtement, si x = 1+ −5
√
et y = 1− −5, on a xy ∈ (2) mais ni x ni y n’appartient (cid:224) (2) donc l’idØal (2) n’est pas
premier bien que 2 soit irrØductible.
√
ThØorŁme. (Dedekind) (cid:21) Dans l’anneau Z[ −5] (ou dans tout autre anneau d’entiers
algØbriques intØgralement clos), tout idØal propre non nul I s’Øcrit de maniŁre (cid:16)unique (cid:224)
l’ordre prŁs(cid:17) I = pν1 ·pν2···pνr pour des idØaux premiers p distincts 2 (cid:224) 2.
1 2 r i
Par exemple on a les ØgalitØs d’idØaux suivantes :
√ √ √
(2) = (2,1+ −5)·(2,1− −5) = (2,1+ −5)2
√ √
(3) = (3,1+ −5)·(3,1− −5)
√ √ √
(1+ −5) = (2,1+ −5)·(3,1+ −5)
√ √ √
(1− −5) = (2,1− −5)·(3,1− −5).
√
Expliquons par exemple la premiŁre ligne. Tout d’abord il est clair que (2,1 + −5) =
√ √ √
(2,1 − −5), puisque 1 − −5 = 2 − (1 + −5). En remarquant que (α,β) · (α(cid:48),β(cid:48)) =
√ √ √
(αα(cid:48),αβ(cid:48),βα(cid:48),ββ(cid:48)), on voit que (2,1+ −5)2 = (4,2+2 −5,−4−2 −5). En particulier
cet idØal est engendrØ par des multiples de 2, donc est contenu dans (2). De plus il contient
√ √
l’ØlØment 2 = 4+(2+2 −5)−4−2 −5), donc contient l’idØal (2), et lui est (cid:28)nalement
Øgal. On raisonne de mŒme pour les autres ØgalitØs. On peut dØmontrer que les idØaux
√ √ √
p := (2,1+ −5), p := (3,1+ −5) et p := (3,1− −5) sont premiers, et on voit que
1 √2 √ 3
l’ØgalitØ 2·3 = (1+ −5)(1− −5) qui nous posait problŁme, devient p2p p = p p p p
1 2 3 1 2 1 3
dans le monde des idØaux, ce qui est conforme (cid:224) la propriØtØ d’unique factorisation pour
les idØaux.
Exercice : vØri(cid:28)er que les idØaux p ci-dessus sont bien premiers (ce sera plus facile
i
quand on aura avancØ dans la thØorie) et ne sont pas principaux.
√ √
Revenons (cid:224) l’Øquation x2+5 = y3 que l’on factorise en y3 = (x+ −5)(x− −5) dans
√
l’anneau Z[ −5]. L’absence d’unicitØ des factorisations ne permet pas de conclure que
√
x+ −5 est de la forme u·α3 comme prØcØdemment. Mais le thØorŁme de Dedekind nous
√ √
assure tout de mŒme que l’idØal engendrØ par x+ −5 est de la forme (x+ −5) = I3 pour
√ √ √
un idØal non nul de Z[ −5], (cid:224) condition de voir que les idØaux (x+ −5) et (x− −5)
n’ont pas de diviseur premier p commun, c’est-(cid:224)-dire qu’il n’y a pas d’idØal premier p qui
√
les contienne tous les deux. En e(cid:27)et un tel p devrait contenir 2 −5, donc contenir 2,
√ √ √
auquel cas p = (2,1 + −5), ou −5, auquel cas p = ( −5) (le vØri(cid:28)er!). Or, puisque
√ √ √ √
x (cid:54)= 0, −5 ne divise pas x + −5 donc ( −5) ne contient pas (x + −5). De plus, si
√ √
(2,1+ −5) contient (x+ −5) alors 2 divise y, donc x est impair, ce qui est impossible
car on obtiendrait modulo 4 l’ØgalitØ 1+5 = 0.
Ici intervient un invariant trŁs important de la thØorie des anneaux de nombres, appelØ
nombre de classes, qui mesure le (cid:16)dØfaut(cid:17) de principalitØ (et donc de (cid:16)factorialitØ(cid:17)) d’un
anneau de nombres. Nous dØ(cid:28)nirons cet invariant plus tard si le temps le permet, sinon il
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sera dØ(cid:28)ni dans le cours (cid:16)thØorie des nombres(cid:17). Le point est que 3 ne divise pas le nombre
√
de classes de Z[ −5] et que cela implique (si l’on sait ce qu’est cet invariant) que tout
idØal dont le cube est principal est lui-mŒme principal. Il s’ensuit que I = (α) pour un
√ √ √
α ∈ Z[ −5], donc (x+ −5) = (α3) et on en dØduit (cid:28)nalement que x+ −5 est bien de
la forme u·α3 comme souhaitØ. (cid:192) partir de l(cid:224), le mŒme genre de raisonnement ØlØmentaire
que dans le cas de l’Øquation x2 + 3 = y3 montre que l’Øquation x2 + 5 = y3 n’a pas de
solution.
1.1.4 Un autre problŁme classique de thØorie des nombres. Outre les Øquations dio-
phantiennes, un autre problŁme classique est de dØterminer quels nombres entiers sont
(cid:16)reprØsentØs(cid:17) par une forme quadratique (cid:28)xØe. Par exemple, quels nombres entiers sont-il
sommes de 2,3 ou 4 carrØs? Quels nombres sont-ils de la forme x2+xy+y2 avec x,y ∈ Z?
Exemple. (Entiers de Gauss et problŁme des 2 carrØs) (cid:21) L’anneau Z[i] des entiers de
Gauss est le cadre naturel pour attaquer le problŁme des deux carrØs : quels premiers p
peuvent-il s’Øcrire sous la forme p = a2 + b2 avec a,b ∈ Z? En e(cid:27)et, la factorisation
a2 + b2 = (a + ib)(a − ib) dans Z[i] implique qu’un tel p n’est pas irrØductible dans Z[i].
RØciproquement, si p n’est pas irrØductible dans Z[i], on peut le factoriser en p = αβ avec
¯
α,β non-inversibles, ce qui implique αα¯ > 1 et ββ > 1 (le vØri(cid:28)er, en remarquant que αα¯ et
ββ¯ sont des entiers!). Mais alors, l’ØgalitØ (αα¯)(ββ¯) = pp¯= p2 montre que αα¯ = ββ¯ = p.
(cid:201)crivant α = a+ib on obtient p = a2+b2. Le problŁme des deux carrØs est donc Øquivalent
au suivant : dØterminer les premiers p qui ne sont pas irrØductibles dans Z[i].
En rØduisant modulo p l’ØgalitØ p = a2+b2, on constate qu’une condition nØcessaire est
que −1 soit un carrØ dans F×. Pour montrer que cette condition est su(cid:30)sante, supposons
p
qu’il existe m ∈ N tel que p|(m2 +1). Ecrivons alors m2 +1 = (m+i)(m−i) dans Z[i].
Remarquons que p ne divise ni m+i ni m−i dans Z[i] puisque m ± i n’est pas dans Z[i].
p p
D’aprŁs le lemme d’Euclide, il s’ensuit que p n’est pas irrØductible dans Z[i], comme voulu.
Remarque : pour avoir une rØponse satisfaisante au problŁme des 2 carrØs, il faut re-
marquer (exercice classique) que la condition (cid:16)−1 est un carrØ modulo p(cid:17) est Øquivalente
(cid:224) p = 2 ou p ≡ 1(mod4).
Exemple. (cid:21) En imitant les arguments ci-dessus, on pourrait vouloir utiliser l’anneau
√ √
Z[ −3] = Z[i 3] pour montrer que les premiers p qui s’Øcrivent sous la forme p = a2+3b2,
a,b ∈ Z sont ceux pour lesquels −3 est un carrØ dans F× (qui est une condition nØcessaire
p
assez claire). Or, le premier exemple est un contre-exemple : −3 est bien un carrØ modulo
2 mais 2 n’est pas de la forme a2 +3b2... Oø le raisonnement prØcØdent coince-t-il? L(cid:224) oø
√
on utilise le lemme d’Euclide, qui n’est pas valable dans Z[ −3] qui n’est pas factoriel.
Cependant,celemmed’Euclideestvalabledansl’anneauunpeuplusgrosZ[j]rencontrØ
prØcØdemment. Travaillons donc dans cet anneau. On cherche les premiers p qui peuvent
s’Øcrire sous la forme a2+3b2 et une condition nØcessaire est que −3 soit un carrØ dans F .
√ √ p
RØciproquement,sitelestlecas,ilexistemtelquepdivisem2+3 = (m+ −3)(m− −3).
√
Orpnedivisepasm± −3dansZ[j],sauf si p = 2.Doncsipimpair,pn’estpasirrØductible
et se factorise p = αβ avec α,β ∈ Z[j] non inversibles. On doit alors avoir αα¯ = p. Le
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√
problŁme est que α s’Øcrit sous la forme a+b −3, donc αα¯ = a2+3b2 = p. On ne peut donc
2 4
pas en conclure que p est de la forme a2 +3b2 en gØnØral.
LeproblŁmeestquel’anneauZ[j]n’estpasengendrØparuneracinedupolyn(cid:244)meX2+3.
Il est par contre engendrØ par j , qui est racine de X2 + X + 1. De ce fait, il est plut(cid:244)t
adaptØ (cid:224) la forme quadratique x2 +xy +y2. On peut en e(cid:27)et se servir de la factorisation
X2 +X +1 = (X −j)(X −¯j) pour montrer, par le mŒme argument que dans l’exemple
prØcØdent, qu’un premier p est de la forme p = a2 +ab+b2 si et seulement si l’Øquation
X2+X+1 a une solution dans F . Si p (cid:54)= 3, ceci Øquivaut (cid:224) ce que F× contienne une racine
p p
primitive troisiŁme de l’unitØ, ce qui est encore Øquivalent (cid:224) ce que 3 divise l’ordre (p−1)
du groupe cyclique F×. On obtient (cid:28)nalement que p s’Øcrit sous la forme a2+ab+b2 si et
p
seulement si p = 3 ou p ≡ 1(mod3).
Tous les exemples ci-dessus ont pour but de montrer comment certains concepts de la
thØorie des anneaux (irrØductibilitØ, factorialitØ, cl(cid:244)ture intØgrale, idØaux) sont nØs parce
qu’ils se sont rØvØlØs utiles pour rØsoudre des problŁmes de thØorie des nombres d’appa-
rence plus ØlØmentaire. D’oø l’intØrŒt de dØvelopper une thØorie systØmatique des anneaux
commutatifs comme nous allons le faire dans ce cours. Cependant, loin des jolies propriØtØs
des anneaux de nombres, nous allons aussi rencontrer beaucoup de pathologies. Voici par
exemple un exemple d’anneau pourtant naturel qui ne possŁde aucun ØlØment irrØductible!
Exemple. (cid:21) SoitZ ⊂ Cl’ensembledetouslesentiersalgØbriques.Nousverronsplustard
que c’est un sous-anneau de C. Notons que ce n’est pas un corps : par exemple 1/n pour
n > 1 entier n’est jamais entier algØbrique (le vØri(cid:28)er). Soit z ∈ Z non nul et non inversible,
√
et soit z une racine carrØe de z dans C (qui est algØbriquement clos!). C’est encore un
√ √
ØlØment de Z, non nul et non inversible dans Z (justi(cid:28)er). Mais alors l’ØgalitØ z = z· z
montre que z n’est pas irrØductible. Ainsi Z ne possŁde aucun ØlØment irrØductible.
Nous montrerons plus tard que pour les anneaux noethØriens, cette pathologie n’appa-
rait pas; tout ØlØment non nul et non inversible y est produit d’irrØductibles.
Une autre source de motivation pour la thØorie des anneaux est la gØomØtrie algØbrique.
1.1.5 Anneaux de la gØomØtrie algØbrique classique. LagØomØtriealgØbrique(cid:16)classique(cid:17),
dØveloppØe notamment par Hilbert puis par l’Øcole italienne au dØbut du XXŁme siŁcle,
Øtudie les sous-ensemble de Cn dØ(cid:28)nis par des Øquations polyn(cid:244)miales (ainsi que leurs
variantes projectives dont nous ne parlerons pas ici). Un tel ensemble est donc dØ(cid:28)ni par
une famille de polyn(cid:244)mes (cid:224) n variables f ,··· ,f ∈ C[X ,··· ,X ] comme suit :
1 r 1 n
V(f ,··· ,f ) := {(z ,··· ,z ) ∈ Cn, f (z,··· ,z ) = ··· = f (z ,··· ,z ) = 0}.
1 r 1 n 1 n r 1 n
Un tel sous-ensemble sera appelØ (cid:16)sous-ensemble algØbrique(cid:17) ou (cid:16)fermØ de Zariski(cid:17) de Cn.
On aimerait Øtudier ce genre d’ensembles de maniŁre intrinsŁque, c’est-(cid:224)-dire de maniŁre
indØpendante des donnØe (cid:16)auxiliaires(cid:17) utilisØes pour le dØ(cid:28)nir, (cid:224) savoir n et les polyn(cid:244)mes
f . Parexemple,onaimeraitpouvoiridenti(cid:28)erlacourbeplaned’ØquationX3−Y2 = 0dans
i
C2 avec l’ensemble algØbrique de C3 dØ(cid:28)ni par les Øquations f = X3 −Z et f = Y2 −Z,
1 2
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comme l’intuition nous le dicte. Pour cela, il faut une notion d’isomorphisme, et pour
commencer, une notion de morphisme entre ensembles algØbriques. La notion naturelle est
celle d’application polyn(cid:244)miale.
DØfinition. (cid:21) Soient V ⊂ Cn et V(cid:48) ⊂ Cn(cid:48) deux sous-ensembles algØbriques. Une
application ϕ : V −→ V(cid:48) est dite polyn(cid:244)miale si elle est la restriction d’une application
polyn(cid:244)miale ϕ˜ : Cn −→ Cn(cid:48), c’est-(cid:224)-dire de la forme
(z ,··· ,z ) ∈ Cn (cid:55)→ (f (z ,··· ,z ),··· ,f (z ,··· ,z )) ∈ Cn(cid:48)
1 n 1 1 n n(cid:48) 1 n
pour des polyn(cid:244)mes f ,··· ,f ∈ C[X ,··· ,X ]..
1 n(cid:48) 1 n
Cas particulier : une fonction polyn(cid:244)miale sur V est une application polyn(cid:244)miale
V −→ C en le sens prØcØdent. L’ensemble O(V) des fonctions polyn(cid:244)miales sur V est
C
manifestement une -algŁbre (via l’addition et la multiplication point par point des fonc-
tions). Si ϕ : V −→ V(cid:48) est une application polyn(cid:244)miale, il dØcoule de ces dØ(cid:28)nitions que la
composition des fonctions f(cid:48) (cid:55)→ ϕ◦f induit un morphisme de C-algŁbres
ϕ∗ : O(V(cid:48)) −→ O(V), f(cid:48) (cid:55)→ ϕ˜◦f.
Nous expliquerons plus tard le rØsultat remarquable suivant :
ThØorŁme. (cid:21) L’application ϕ (cid:55)→ ϕ∗ induit une bijection entre l’ensemble des applica-
tions polyn(cid:244)miales V −→ V(cid:48) et l’ensemble des morphismes de C-algŁbres O(V(cid:48)) −→ O(V).
Ceci signi(cid:28)e qu’Øtudier les ensembles algØbriques et les applications polyn(cid:244)miales entre
C
eux revient (cid:224) Øtudier certaines -algŁbres et les homomorphismes d’algŁbres entre elles.
C’est pourquoi l’algŁbre commutative joue un r(cid:244)le prØpondØrant en gØomØtrie algØbrique.
OnpeutsedemanderquellesalgŁbressontdesalgŁbresdefonctionspolyn(cid:244)mialessurun
ensemble algØbrique. Par dØ(cid:28)nition on a O(Cn) = C[X ,··· ,X ]. Toujours par dØ(cid:28)nition,
1 n
pour V ⊂ Cn, l’application de restriction des fonctions
O(Cn) = C[X ,··· ,X ] −→ O(V),f (cid:55)→ f
1 n |V
est surjective. Ceci montre que O(V) est une C-algŁbre de type (cid:28)ni, c’est-(cid:224)-dire engendrØe
par un nombre (cid:28)ni d’ØlØments. De plus, elle possŁde la propriØtØ d’Œtre rØduite, au sens oø
pour f ∈ O(V) et k ∈ N∗, fk = 0 ⇒ f = 0.
RØciproquement, soit A une C-algŁbre de type (cid:28)ni rØduite. Si on choisit des gØnØrateurs
x ,··· ,x de A, on obtient un morphisme surjectif de C-algŁbres
1 n
C[X ,··· ,X ] −→ A, X (cid:55)→ x .
1 n i i
Soit I le noyau de ce morphisme. C’est un idØal de C[X ,··· ,X ]. Nous dØmontrerons le
1 n
thØorŁme suivant, dß (cid:224) Hilbert.
ThØorŁme. (cid:21) L’idØal I est engendrØ par un nombre (cid:28)ni de fonctions, disons f ,··· ,f .
1 r
Ces fonctions dØ(cid:28)nissent un sous-ensemble algØbrique V = V(f ,··· ,f ). Le noyau de
1 r
l’application de restriction O(Cn) −→ O(V) est justement I, de sorte que O(V) = A.
10