Cours d>Analyse Numérique 2

125 Pages·2015·7.85 MB·French

UniversitØ Mohamed ChØrif Messaadia de Souk-Ahras
FacultØ des Sciences et Technologie
DØpartement des MathØmatiques et Informatique
Cours d(cid:146)Analyse NumØrique 2
ConformØment aux programmes
LMD : MathØmatiques appliquØes
MathØmatiques et informatique
Dr. BELLOUFI MOHAMMED
Site web :http ://www.univ-soukahras.dz/fr/pro(cid:133)le/mbellou(cid:133)
E-mail : mbellou(cid:133)[email protected]
Avr 2015

Table des matiŁres
Introduction Générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 RØsolution des systŁmes linØaires 4
1.1 Quelques rappels d(cid:146)algŁbre linØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Norme induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Rayon spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 MØthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 MØthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 MØthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 StratØgie du choix du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 StratØgie du pivot total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.5 La mØthode L:U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.6 MØthode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Le problŁme des erreurs d(cid:146)arrondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Conditionnement et majoration de l(cid:146)erreur d(cid:146)arrondi . . . . . . . . . . . 21
1.4 MØthodes itØratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 DØ(cid:133)nition et propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 MØthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et SOR/SSOR . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Travaux dirigØs 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Calcul des valeurs et vecteurs propres 45
2.1 MØthode de la puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Calcul de la valeur propre de plus petit module . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Calcul d(cid:146)autres valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Algorithme QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 MØthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Travaux dirigØs 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 RØsolution d(cid:146)Øquations et systŁmes non linØaires 60
3.1 Racines de l(cid:146)Øquation f(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 SØparation des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 MØthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1
3.2.2 MØthode de balayage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Approximation des racines : MØthodes itØrative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1 MØthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2 MØthode de Newton-Raphson pour deux inconnues . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3 La mØthode de Newton-Raphson et les polyn(cid:244)me . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.4 MØthode de point (cid:133)xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.5 AccØlØration de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.6 Convergence de la mØthode de newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.7 MØthode de la sØcante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.8 MØthode de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Travaux dirigØs 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 RØsolution numØrique des Øquations di⁄Ørentielles ordinaires d(cid:146)ordre 1 93
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 MØthodes numØriques (cid:224) un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.1 MØthode D(cid:146)EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.2 MØthode de Taylor (d(cid:146)ordre2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.3 MØthode du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.4 MØthode de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 MØthode numØriques (cid:224) pas multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.1 MØthode d(cid:146)Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.2 MØthode d(cid:146)Adams-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.3 MØthode de prØdiction-correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Autres MØthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4.1 MØthode d(cid:146)Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4.2 MØthode des approximations successives (Picard ) . . . . . . . . . . . . . 111
4.5 StabilitØ des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5.1 Cas d(cid:146)un systŁme linØaire (cid:224) coe¢ cients constants . . . . . . . . . . . . . 113
4.5.2 Ptite perturbation d(cid:146)un systŁme linØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6 Travaux dirigØs 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2
0.1. INTRODUCTION G(cid:201)N(cid:201)RALE
0.1 Introduction GØnØrale
D(cid:146)aprŁs les historiens, le calcul numØrique remonte au moins au troisiŁme millØnaire avant
notreŁre.Ilest(cid:224)l(cid:146)originefavorisØparlebesoind(cid:146)e⁄ectuerdesmesuresdansdi⁄Ørentsdomaines
de la vie courante, notamment en agriculture, commerce, architecture, gØographie et naviga-
tion ainsi qu(cid:146)en astronomie. Il semble que les Babyloniens (qui peuplaient l(cid:146)actuelle Syrie/Iraq)
sont parmi les premiers (cid:224) rØaliser des calculs algØbriques et gØomØtriques alliant complexitØ
et haute prØcision. Surtout, ils donnent une importance et un sens au placement relatif des
chi⁄res constituant un nombre, c(cid:146)est-(cid:224)-dire (cid:224) introduire la notion de base de dØnombrement, en
l(cid:146)occurrence, la base sexagØsimale que nous avons (cid:133)ni par adopter dans certains domaines. Ils se
distinguent ainsi d(cid:146)autres civilisations, mŒme bien plus rØcentes, qui dØveloppent des mØthodes
plus lourdes, en introduisant une plØthore de symboles. Il y a environ 3500 ans, les populations
de la vallØe de l(cid:146)Indus (rØgions de l(cid:146)Inde et du Pakistan) introduisent les notions de zØro et
emploient les nombres nØgatifs. Il adapte Øgalement le systŁme de comptage Babylonien au
systŁme dØcimal qui est le n(cid:244)tre aujourd(cid:146)hui. Ces premiers outils de calcul sont largement dØ-
veloppØs par la suite par les Grecs, puis transmis en Europe par l(cid:146)intermØdiaire des civilisations
musulmanes peuplant le bassin mØditerranØen.
LecalculnumØriquetelquenousleconcevonspratiquementaujourd(cid:146)huiconna(cid:238)tsonpremier
vØritable essor (cid:224) partir du XVIIŁme siŁcle avec les progrŁs fulgurants des MathØmatiques et
de la Physique, plus ou moins liØs aux observations et aux calculs astronomiques. Plusieurs
machines de calcul sont en e⁄et construites, comme la Pascaline" inventØe par B. Pascal en
n
1643. Babbage en 1834 mais qui fonctionnait mal, ou encore le tabulateur de H. Hollerith
spØcialement con(cid:231)u pour recenser la population amØricaine, vers 1890. Il s(cid:146)agit bien-entendu de
machines mØcaniques imposantes et d(cid:146)utilisation assez limitØe. Le manque de moyens de calcul
performants limite en fait l(cid:146)expansion et la validation de certaines thØories du dØbut du XXŁme
siŁcle. Ce fut le cas en particulier de la thØorie de la RelativitØ GØnØrale due (cid:224) A. Einstein.
La Seconde Guerre Mondiale et les progrŁs technologiques qu(cid:146)elle engendre va permettre au
calcul numØriqued(cid:146)amorcerunsecondenvol. Lesanglaismettentaupointlepremierordinateur
en 1939, Colossus, dont la mission est de dØcrypter les messages codes envoyØes par l(cid:146)Ømetteur
ENIGMA de l(cid:146)Allemagne nazie. Cette machine introduit les concepts rØvolutionnaires Ømis
par A. Turing dans les annØes 1936 concernant l(cid:146)automatisation des calculs. Les calculateurs
sont dØsormais entiŁrement Ølectroniques. Autre machine qui fait date dans l(cid:146)histoire, le ENIAC
( ElectronicNumericalIntegratorAndComputer)construiten1946.Malheureusement,cetype
n
de machine ne dispose pas de mØmoire interne et doit Œtre en permanence reprogrammØe.
A la (cid:133)n des annØes 1940, un certain J. von Neumann repense l(cid:146)architecture des ordina-
teurs et introduit, entre autres, les mØmoires permettant de sauvegarder les programmes, et les
conceptsdehardware(matØriel)etdesoftware(logiciel).LapremiŁremachinedecalculincluant
les concepts de von Neumann (et ceux de Turing) est ainsi produite par la (cid:133)rme amØricaine
IBM; elle s(cid:146)appelle MARK I et pŁse 5 tonnes. Les premiŁres applications concernent tous les
domaines sciatiques et techniques. Le FORTRAN I, un langage de programmation destine aux
scienti(cid:133)ques, est con(cid:231)u dŁs 1954. . . mais il lui manque un vrai compilateur.
Vers la (cid:133)n des annØes 1960, l(cid:146)apparition progressive des transistors et de leur assemblage
massif sur des surfaces de plus en plus rØduites augmente considØrablement les performances
1
des machines et permet des simulations numØriques de rØalisme croissant. Cet e⁄ort de minia-
turisation est d(cid:146)ailleurs imposØ par la course (cid:224) la conquŒte de l(cid:146)espace. Apparaissent ainsi en
1970 les fameux microprocesseurs mis au point par les (cid:133)rmes Intel et Motorola qui Øquipent
la majeure partie des sondes spatiales de l(cid:146)Øpoque. Le calcul numØrique devient rapidement
une science (cid:224) part entiŁre. Les annØes 70 marquent aussi le tournant pour les langages de pro-
grammation : certains sont dØ(cid:133)nitivement produits (cid:224) des (cid:133)ns scienti(cid:133)ques, alors que d(cid:146)autres
seront pensØs pour la gestion, comme le Cobol. Au dØbut des annØes 1980, l(cid:146)ordinateur le plus
puissant du monde s(cid:146)appelle CRAY I. Sa forme est spØcialement choisie pour optimiser la rapi-
ditØ des calculs. C(cid:146)est aussi le dØbut de l(cid:146)informatique familiale avec la mise sur le marchØ des
PERSONAL COMPUTERS D(cid:146)IBM
En une quinzaine d(cid:146)annØes, la rapiditØ des calculateurs a ØtØ multipliØe par plus de 10000.
Lavitessed(cid:146)exØcutiondesopØrationsØlØmentairessecomptemaintenantendizainesdemillions
de millions d(cid:146)opØrations (cid:224) la seconde (ou dizaines de TØra-(cid:135)ops, (cid:224) comparer (cid:224) la centaine de
mØga -(cid:135)ops du CRAY I). Les capacitØs de stockage ont gagnØ 7 ordres de grandeur au moins.
Aujourd(cid:146)hui, toutes ces performances doublent tous les ans. Pour le monde scienti(cid:133)que, celui de
la Recherche Fondamentale et de l(cid:146)Industrie, les calculateurs et le dØveloppement de techniques
de programmation spØci(cid:133)ques (comme la programmation parallŁle) sont devenus des outils
incontournables (cid:224) la connaissance et ouvrent de nouveaux horizons pour la modØlisation et la
comprØhension des phØnomŁnes complexes et la mise au point de nouvelles technologies.
On regroupe sous le terme gØnØrique de "mØthodes numØriques", toutes les techniques de
calcul qui permettent de rØsoudre de maniŁre exacte ou, le plus souvent, de maniŁre appro-
chØe un problŁme donnØ. Le concept de calcul est assez vaste et doit Œtre pris au sens large.
Il peut s(cid:146)agir de dØterminer l(cid:146)inconnue d(cid:146)une Øquation, de calculer la valeur d(cid:146)une fonction en
un point ou sur un intervalle, d(cid:146)intØgrer une fonction, d(cid:146)inverser une matrice, etc. Bien que la
mise en Øquation d(cid:146)un problŁme et sa rØsolution passent naturellement par les MathØmatiques,
les problØmatiques sous-jacentes concernent des disciplines aussi variØes que la Physique, l(cid:146)As-
trophysique, la Biologie, la MØdecine, l(cid:146)Economie, etc. Il existe ainsi une grande variØtØ de
problŁmes possibles avec pour chacun d(cid:146)eux, des mØthodes trŁs spØci(cid:133)ques. De fait, le nombre
total de mØthodes numØriques dont nous disposons (cid:224) l(cid:146)heure actuelle est vraisemblablement
gigantesque.
UnemØthodenumØriquemeten(cid:156)uvreunecertaineprocØdure,unesuited(cid:146)opØrations,gØnØ-
ralement en tries grand nombre, que l(cid:146)on transcrira ensuite dans un langage de programmation.
Bien qu(cid:146)une mØthode numØrique puisse s(cid:146)e⁄ectuer mentalement (du moins avec un crayon et un
papier) comme inverser une matrice 2x2, rØsoudre tan x 1 = 0, ou calculer p2, elle nØcessite
(cid:0)
dans la majoritØ des cas un ordinateur qui a l(cid:146)avantage de la rapiditØ (mais pas de la prØcision).
Il convient (cid:224) ce niveau de bien di⁄Ørencier la partie mØthode numØrique, souvent indØpendante
du calculateur et du langage, et la partie programmation qui met en (cid:156)uvre d(cid:146)une part l(cid:146)algo-
rithme et d(cid:146)autre part une suite d(cid:146)instructions Øcrites dans un langage de programmation. Bien
sßr, une mØthode numØrique pourra dØpendre de l(cid:146)architecture d(cid:146)un ordinateur et du langage
utilisØ. Toutefois, l(cid:146)un des soucis majeurs de l(cid:146)utilisateur et du programmeur est d(cid:146)assurer (cid:224)
son programme une certaine portabilitØ, c(cid:146)est-(cid:224)-dire de pouvoir l(cid:146)exØcuter sur des machines
di⁄Ørentes sans avoir besoin d(cid:146)adaptations (trop) spØci(cid:133)ques.
Les mØthodes numØriques sont indispensables (cid:224) la rØalisation de programmes de calculs ou
2
0.1. INTRODUCTION G(cid:201)N(cid:201)RALE
codes de calcul. En particulier, pour les astrophysiciens qui ne bØnØ(cid:133)cient pas d(cid:146)un laboratoire
permettant de valider leurs thØories (cid:224) partir d(cid:146)expØriences renouvelables (cid:224) loisir et contr(cid:244)lables,
ces outils sont le seul moyen de simuler ou de modØliser les phØnomŁnes que nous observons,
de les interprØter et de les comprendre. Rappelons que les mØthodes numØriques sont en e⁄et
prØsentent dans toutes les disciplines de l(cid:146)Astrophysique moderne : la cosmologie, l(cid:146)instrumen-
tation, le traitement de donnØes, la planØtologie, la physique solaire, la physique des galaxies,
la physique extragalactique, etc. S(cid:146)il est vrai qu(cid:146)il existe une trŁs grande diversitØ de mØthodes
numØriques avec lesquelles ont peut, en pratique, quasiment tout faire, certains problŁmes (par
exempleentraitementdusignal,enmØcaniquecØlesteouenmØcaniquedes(cid:135)uides)ontnØcessitØ
la mise au point de mØthodes trŁs spØci(cid:133)ques.
L(cid:146)objet de l(cid:146)analyse numØrique est de concevoir et d(cid:146)Øtudier des mØthodes de rØsolution de
certains problŁmes mathØmatiques, en gØnØral issus de la modØlisation de problŁmes (cid:147)rØels", et
dont on cherche (cid:224) calculer la solution (cid:224) l(cid:146)aide d(cid:146)un ordinateur.
Le cours est structurØ en quatre grands chapitres :
(cid:150)RØsolution des systŁmes linØaires
(cid:150)Calcul des valeurs et vecteurs propres
(cid:150)SystŁmes non linØaires
(cid:150)Equations diگrentielles.
3
Chapitre 1
RØsolution des systŁmes linØaires
On note MN(R) l(cid:146)ensemble des matrices carrØes d(cid:146)ordre N. Soit A MN(R) une matrice
2
inversible, et b Rn, on a comme objectif de rØsoudre le systŁme linØaire Ax = b, c(cid:146)est (cid:224) dire
2
de trouver x solution de :
x RN
2 (P)
Ax = b
(cid:26)
Comme A est inversible, il existe un unique vecteur x RN solution de (P). Nous allons
2
Øtudier dans les deux chapitres suivants des mØthodes de calcul de ce vecteur x : la premiŁre
partie de ce chapitre sera consacrØe aux mØthodes (cid:147)directes" et la deuxiŁme aux mØthodes (cid:147)itØ-
ratives". Nous aborderons ensuite en troisiŁme partie les mØthodes de rØsolution de problŁmes
aux valeurs propres.
Un des points essentiels dans l(cid:146)e¢ cacitØ des mØthodes envisagØes concerne la taille des
systŁmes (cid:224) rØsoudre. Entre 1980 et 2000, la taille de la mØmoire des ordinateurs a augmentØ
de fa(cid:231)on drastique. La taille des systŁmes qu(cid:146)on peut rØsoudre sur ordinateur a donc Øgalement
augmentØ.
Le dØveloppement des mØthodes de rØsolution de systŁmes linØaires est liØe (cid:224) l(cid:146)Øvolution des
machines informatiques. Un grand nombre de recherches sont d(cid:146)ailleurs en cours pour pro(cid:133)ter
au mieux de l(cid:146)architecture des machines (mØthodes de dØcomposition en sous domaines pour
pro(cid:133)ter des architectures parallŁles, par exemple).
Danslasuitedecechapitre,nousverronsdeuxtypesdemØthodespourrØsoudrelessystŁmes
linØaires : les mØthodes directes et les mØthodes itØratives. Pour faciliter la comprØhension de
leur Øtude, nous commen(cid:231)ons par quelques rappels d(cid:146)algŁbre linØaire.
1.1 Quelques rappels d(cid:146)algŁbre linØaire
1.1.1 Norme induite
DØ(cid:133)nition 1.1.1 (Norme matricielle, norme induite) On note MN(R) l(cid:146)espace vectoriel
(sur R) des matrices carrØes d(cid:146)ordre N .
4
1.1. QUELQUES RAPPELS D(cid:146)ALG¨BRE LIN(cid:201)AIRE
1. On appelle norme matricielle sur MN(R) une norme : sur MN(R) t.q.
k k
AB A B ; A;B MN(R)
k k (cid:20) k kk k 8 2
2. On considŁre MN(R) muni d(cid:146)une norme : . On appelle norme matricielle induite (ou
k k
norme induite) sur MN(R) par la norme : , encore notØe : , la norme sur MN(R) dØ(cid:133)nie par :
k k k k
A = sup Ax ; x Rn; x = 1 ; A MN(R)
k k fk k 2 k k g 8 2
Proposition 1 Soit MN(R) muni d(cid:146)une norme induite : . Alors pour toute matrice A
k k 2
MN(R), on a :
1. Ax A x ; x Rn;
k k (cid:20) k kk k 8 2
2. A = max Ax ; x = 1; x Rn ;
k k fk k k k 2 g
3. A = max kAxk; x Rn 0
k k x 2 nf g
k k
4. : est une nnorme matricielle. o
k k
Proposition 2 Soit A = (ai; j) MN(R)
i;j 1;:::;N 2
1. On munit Rn de la norme2f: get MN(R) de la norme induite correspondante, notØe
k k
aussi : . Alors 1
k k
1 N
A = max a
i; j
k k1 i 1;:::;N j=1j j
2f g
P
2. On munit Rn de la norme k:k1 et MN(R) de la norme induite correspondante, notØe aussi
: . Alors
k k1
N
A = max a
k k1 j 1;:::;N i=1j i; jj
2f g
3. On munit Rn de la norme k:k2 et MN(R) de laPnorme induite correspondante, notØe aussi
: . Alors
k k2
1
A = (cid:26) AtA 2
k k2
(cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:1)
1.1.2 Rayon spectral
DØ(cid:133)nition 1.1.2 (Valeurs propres et rayon spectral) Soit A MN(R) une matrice in-
2
versible. On appelle valeur propre de A tout (cid:21) C tel qu(cid:146)il existe x CN ,x = 0 tel que
2 2 6
Ax = (cid:21)x. L(cid:146)ØlØment x est appelØ vecteur propre de A associØ (cid:224) (cid:21). On appelle rayon spectral de
A la quantitØ (cid:26)(A) = max (cid:21); (cid:21) C, (cid:21) valeur propre de A .
f 2 g
Lemme 1.1.1 (Convergence et rayon spectral) OnmunitMN(R)d(cid:146)unenorme,notØe : .
k k
Soit A MN(R).
2
Alors :
1. (cid:26)(A) < 1 si et seulement si Ak 0 quand k .
! ! 1
1
2. (cid:26)(A) < 1 limsup Ak k 1.
k
) 1 !1 (cid:20)
3. liminfk Ak k < 1. (cid:13) (cid:13)
!1 (cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13) 5
CHAPITRE 1. R(cid:201)SOLUTION DES SYST¨MES LIN(cid:201)AIRES
1
4. (cid:26)(A) = lim Ak k :
k
!1
5. On suppose de plus que : une norme matricielle (induite ou non). Alors
(cid:13) (cid:13) k k
(cid:13) (cid:13)
(cid:26)(A) A :
(cid:20) k k
Remarque 1.1.1 (Convergence des suites) Une consØquence immØdiate du lemme est que
si x(0) est donnØ et x(k) dØ(cid:133)ni par x(k+1) = Ax(k), alors la suite x(k) converge vers 0 si et
k N
seulement si (cid:26)(A) < 1. 2
(cid:0) (cid:1)
Proposition 3 (Rayon spectral et norme induite) Soient A MN(R) et " > 0. Il existe
2
une norme sur Rn (qui dØpend de A et ") telle que la norme induite sur MN(R), notØe k:kA; "
vØri(cid:133)e A (cid:26)(A)+".
k kA; " (cid:20)
Lemme 1.1.2 (Triangularisation d(cid:146)une matrice) Soit A MN(R) une matrice carrØe
2
quelconque,alorsilexisteunebase(f1;:::;fN)deCetunefamilledecomplexes((cid:21)i; j)
i=1;:::;N;j=1;:::;N;j<i
telles que Af = (cid:21) f + (cid:21) f De plus (cid:21) est valeur propre de A pour tout i 1;:::;N .
i i;i i i;j j i;j
2 f g
j<i
P
On admettra ce lemme.
Nous donnons maintenantunthØorŁmequi nous serautiledans l(cid:146)Øtudeduconditionnement,
ainsi que plus tard dans l(cid:146)Øtude des mØthodes itØratives.
ThØorŁme 1.1.1 (Matrices de la forme Id+A) 1. Soit une norme matricielle induite, Id
la matrice identitØ de MN(R) et A MN(R) telle que A < 1.
2 k k
Alors la matrice Id+A est inversible et
1
(Id+A) 1 :
(cid:0)
(cid:20) 1 A
(cid:0)k k
(cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13)
2. Si une matrice de la forme Id + A MN(R) est singuliŁre, alors A 1 pour toute
2 k k (cid:21)
norme matricielle : :
k k
1.1.3 Matrices diagonalisables
DØ(cid:133)nition 1.1.3 (Matrice diagonalisable) Soit A une matrice rØelle carrØe d(cid:146)ordre n. On
dit que A est diagonalisable dans R si il existe une base ((cid:8)1;:::;(cid:8)n) et des rØels (cid:21)1;:::;(cid:21)n (pas
forcØment distincts) tels que A(cid:8) = (cid:21)(cid:8) pour i = 1;:::;n. Les rØels (cid:21) ;:::;(cid:21) sont les valeurs
i i 1 n
propres de A, et les vecteurs (cid:8) ;:::;(cid:8) sont les vecteurs propres associØs.
1 n
Lemme 1.1.3 Soit A une matrice rØelle carrØe d(cid:146)ordre n, diagonalisable dans R. Alors
A = Pdiag((cid:21) ;:::;(cid:21) )P 1;
1 n (cid:0)
oø P est la matrice dont les vecteurs colonnes sont Øgaux aux vecteurs (cid:8) ;:::;(cid:8) .
1 n
6