Cours d'analyse fonctionnelle et complexe

240 Pages·2009·2.28 MB·English

by  Yves Caumel

Cours d’analyse
fonctionnelle et complexe
2e édition
Yves CAUMEL
Docteur en mathématiques,
diplômé en phi losophie des sciences.
Professeur de mathématiques à l’,
responsable de l’unité de formation mathématiques
à l’ENSICA.
Cépaduès-Éditions
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CHEZ LE MÊME ÉDITEUR
Robustesse et commande optimale ........................................................................Alazard D. et al.
Eléments d’analyse numérique ..........................................................................Attéia M., Pradel M.
Simulation et algorithmes stochastiques ......................................................Bartoli N., Del Moral P.
Mesure et intégration. Intégrale de Lebesgue ...............................................................Bouyssel M.
Modélisation probabiliste et statistique ................................................................................Garel B.
Mathématiques et résolution
des équations aux dérivées partielles classiques ........................................Giraud G., Dufour J.P.
Les fonctions spéciales vues par les problèmes ..............................................Groux R., Soulat Ph.
Principes généraux et méthodes fondamentales ..............................................................Groux R.
Polynômes orthogonaux et transformations intégrales .......................................................Groux R.
Les structures et les morphismes vus par les problèmes ................................Groux R., Soulat Ph.
Analyse : la convergence vue par les problèmes ............................................Groux R., Soulat Ph.
Algèbre linéaire, 2e éd. ......................................................................................................Grifone J.
Exercices d’algèbre linéaire et bilinéaire .....................................Hiriart-Urruty J.-B., Plusquellec Y.
Analyse fonctionnelle et théorie spectrale ........................................................................Intissar A.
Invitation à l’Algèbre .......................................................................................Jeanneret A., Lines D.

Probabilités
et statistique appliquées .......................Lacaze B., Mailhes C., Maubourguet M.M., Tourneret J.-Y.
Résolution numérique des équations aux dérivées partielles ....................................Le Pourhiet A.
Probabilités et statistiques pour ingénieurs et commerciaux ........Pellaumail J., Perret A., Basle L.
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Collection en six fascicules ....................Plusquellec Y., Agullo M., Boudet R., Fabre J., Guérin R.
Mathématiques générales, 1er cycle et formation continue ................................................Rovira P.
Analyse fonctionnelle .............................................................................Samuelides M., Touzillier L.
Analyse harmonique ..............................................................................Samuelides M., Touzillier L.
Problèmes d’analyses fonctionnelle et harmonique ..............................Samuelides M., Touzillier L.
Introduction à la Topologie .............................................................................Sondaz D., Morvan R.
© CEPAD 2003-2009 ISBN : 2.85428.914.5
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Dépôt légal : novembre 2009 N° éditeur : 914
Table des matières
Introduction 7
1 Théoriedelamesureetdel’intégration 9
1.1 Mesuresettribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Lestribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Mesuredesensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Fonctionsmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 L’intégraledeLebesgueetsespropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 IntégraledeLebesguedesfonctionspositives . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 IntégraledeLebesguedesfonctionsquelconquesetsespropriétés . . . 18
1.2.3 Propriétésdecontinuitéetdedérivabilitédesintégralesdépendantd’un
paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.4 Espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
(cid:0)
1.3 Laconvolutiond(cid:0)esfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4 LatransformationdeLaplacedesfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5 Thèmed’étude:applicationsdelatransformationdeLaplace . . . . . . . . . 41
1.6 Corrigésdesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Espacesvectorielsnormés 51
2.1 Espacesmétriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.1 Notionsbasiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.2 Espacescomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.3 Espacescompacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.4 Espacesconnexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Espacesvectorielsnormés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3 EspacesdeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.1 Propriétésd’orthogonalité... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.2 Famillesetbasesorthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4 Approximationdesfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4.1 Approximationdanslesespacespréhilbertiensethilbertiens . . . . . . 75
2.4.2 Méthodedesmoindrescarrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.3 Méthoded’approximationuniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5 Thèmed’étude:lespolynômesdeLegendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Corrigésdesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 TABLEDESMATIÈRES
3 SériesettransformationdeFourierdesfonctions 89
3.1 Sériestrigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 SériesdeFourierdesfonctionspériodiqueslocalementintégrables . . . . . . . 92
3.3 SériesdeFourierdesfonctionspériodiquesdeclasse . . . . . . . . . . 98
(cid:0)
3.4 TransformationdeFourierdans . . . . . . . .(cid:0).(cid:0)(cid:0).(cid:1)(cid:1).(cid:2).(cid:2). . . . . . . . . . 100
(cid:1)
3.5 TransformationdeFourierdans(cid:0) (cid:0)(cid:0).(cid:2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.6 TransformationdeFourierdans (cid:0)(cid:0)(cid:2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
(cid:0)(cid:0)
3.7 Introductionàlatransforméede(cid:0)Fo(cid:0)u(cid:0)ri(cid:2)erdiscrète. . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.8 Unmotsurlesondelettes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.8.1 Limitationsdel’analysedeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.8.2 LatransformationdeGabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.8.3 Transformationenondelettes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.9 Thèmed’étude:résolutiondel’équationdelachaleur. . . . . . . . . . . . . . 116
3.10 Corrigésdesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 Distributions 127
4.1 Uneapprochephysicienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2 L’espacedesdistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Dérivationdesdistribution(cid:3)s (cid:0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4 Produitd’unedistributionparunefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5 Convolutiondesdistributions . . . . . . . .(cid:1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
(cid:1)
4.6 TransformationdeFourierdesdistributionstempérées. . . . . . . . . . . . . . 141
4.7 SériesdeFourierdesdistributionspériodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.8 TransformationdeLaplacedesdistributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.9 Lesfiltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.10 Corrigésdesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5 Fonctionsholomorphes,transformationsconformes 159
5.1 Fonctionsd’unevariablecomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2 Fonctionsholomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.3 Transformationsconformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4 Intégraled’unefonctioncomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.5 LethéorèmedeCauchyetsescorollaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.6 RésolutionduproblèmedeDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.7 Thèmed’étude:applicationàlamécaniquedesfluides . . . . . . . . . . . . . 185
5.8 Corrigésdesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6 SériesentièresetdeLaurent;calculdesrésidus 197
6.1 Rappelssurlessériesdefonctionsd’unevariablecomplexe . . . . . . . . . . . 197
6.2 Sériesentièresetfonctionsanalytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.3 LessériesdeLaurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.4 ApplicationsdessériesdeLaurent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.4.1 CalculdessériesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.4.2 Latransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.5 Classificationdessingularités(cid:4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.6 Théorèmedesrésidus:applicationsaucalculd’intégrales . . . . . . . . . . . . 211
6.7 Corrigésdesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
TABLEDESMATIÈRES 5
A Lecorpsdescomplexes 221
B Rappelsdivers 223
C TransforméesdeFourieretdeLaplace 225
D Représentationdessignauxetleurspropriétés 231
Bibliographiecommentée 233

Introduction
Lecoursd’analysed’uneécoled’ingénieursestlesocleconceptuelsurlequelreposentles
autresenseignementsmathématiques,constituantensemblelecadrenatureldelamodélisation
desenseignementsscientifiques.Bienqu’inspiréparleprofiletlesbesoinsenmathématiques
du futur ingénieur, ce livreconvient à une introduction à l’analyse, destinée aux étudiants de
licence et de maîtrise des filières mathématiques. J’ai donc choisi d’exposer un cours d’ana-
lyseallégédesconceptsetdesrésultatsàfaibleplus-valuepratique,quinécessitentsouventun
investissement lourd tant pour l’enseignant que pour l’élève. Tel est le cas, par exemple, des
conceptsdemesurecomplexeoudetopologiedéfiniepardesfamillesdesemi-normes,quine
serontpasabordésici.
Adepted’unepédagogieconstructiveetautantquepossiblemotivante,essayantd’éviter
lapesanteetsouventinefficacelinéaritédel’exposédéductif,quin’estpaspraticabledansles
limiteshorairesd’untelcours,j’aiseméleparcoursdunéophytedenombreuxexercicesetpro-
blèmescorrigés,d’appelsàl’intuitiongéométrique,d’applicationsàlaphysique,d’analogieset
deremarques quidevraienten faciliterlalentedigestion.Seulssontdémontréslesthéorèmes
importants,àconditiontoutefoisqueleurspreuvesnesoientnitroptechniques,nitroplongues;
enrevanche,certainesdémonstrations,abordablesdanslecadredececoursetmettantenœuvre
uneidéeouuneméthodeoriginale,sontproposéescommeexercices,afind’enfaciliterlacom-
préhensionetl’assimilation.
Six chapitres composent cet ouvrage : les quatrepremiers sont dédiés à l’analysefonc-
tionnelleetharmonique,lesdeuxautresexposentlathéoriedesfonctionsholomorphes.
Lepremierchapitreestunexposédelathéorieensemblistedelamesureetdel’intégra-
tion,quiseconclutparlaprésentationdesconcepts-outilsfondamentauxpourlamodélisation
dessystèmeslinéaires,quesontleproduitdeconvolutionetlatransformationdeLaplace.
Aprèsdenécessairesrappelsdetopologiemétrique,suivisd’unexposérapidedesbasesde
lathéoriedesespacesvectorielsnormés,ledeuxièmechapitreprésentedefaçonsuffisamment
détailléela théoriedes espaces hilbertienset ses applicationsà l’approximationfonctionnelle
danslesespaces .
(cid:0)
Le chapitre(cid:0)trois concerne l’analyse et la synthèse harmonique des fonctions réelles en
sériesettransforméesdeFourier.
8 TABLEDESMATIÈRES
Lechapitrequatreestuneintroductionàlathéoriedesdistributions,motivéeetillustrée
parlathéoriedusignal.
Lesfonctionsanalytiquesetleursapplicationsincontournablesquesontlatransformation
conforme,latransforméeen etlecalculd’intégralesparlaméthodedesrésidus,fontl’objet
desdeuxdernierschapitres. (cid:4)
Lescourtesbiographiesquiémaillentcecoursvoudraientdonnerunpeud’épaisseurhu-
maine et rendre hommage à ces immenses créateurs souvent méconnus, que sont les grands
mathématiciens.
QuemescollèguesChristianBès,XavierBuff,Jean-MichelBuilles,Jean-BaptisteCaillau,
Yves Coudières, Etienne Fieux, Daniel Gourion, Stéphane Grihon, Nicolas Gruyer, Frédéric
Rodriguez, Frank Seigneuret, qui ont enseigné ce cours ou l’enseignent encore aux élèves de
premièreannéedel’ENSICA,trouventicimonamicalegratitudepourlaqualitédeleurengage-
mentpédagogiqueetleslecturesqu’ilsontfaitesd’unmanuscritenperpétuellegestation.Ces
remerciementss’adressentbiensûràManuelSamuelides,ProfesseurdemathématiquesàSup
Aéro qui medonnanaguèrel’opportunitéd’enseignerl’analysefonctionnelledans son école,
ainsiqu’àLouisPinchard,maîtredeconférencesàl’ISIM,àJacquesAudounet,JeanGaches,
Jean-BaptisteHiriart-Urruty,Professeursàl’UniversitéPaulSabatier,avecunementionparticu-
lièrepourMichelSalaün,maîtredeconférencesauCNAM,dontlescritiquesetlesnombreuses
suggestionsm’ontétéprécieuses.
Chapitre 1
Théorie de la mesure et de l’intégration
En1823,Cauchyconstruisitl’intégraled’unefonctioncontinue ,définiesurl’intervalle
(cid:5)
,commelimite,quand delasomme (cid:1) ,défini-
(cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6)
(cid:3)(cid:6)(cid:1)(cid:7)(cid:4) (cid:8) (cid:5) (cid:4) (cid:5) (cid:6)(cid:5)(cid:9) (cid:4)
tionquifutplustardétenduep(cid:2)arRi(cid:3)emannauxfonct(cid:0)ions(cid:8)co(cid:1)nti(cid:2)n(cid:2)u(cid:1)ess(cid:0)aufenu(cid:0)nen(cid:8)sem(cid:1)b(cid:1)lefinide
(cid:2)
points.Maisl’intégraledeRiemannseheurtarapidementàd’incontournableslimitations;ainsi
lalimited’unesuitedefonctionsRiemann-intégrablesnel’estpasnécessairementouencorela
primitive (cid:3) n’estpasnécessairementdérivableentout etdedérivéeégaleà
(cid:10)(cid:0)(cid:11)(cid:2)(cid:6) (cid:5)(cid:0)(cid:12)(cid:2)(cid:13)(cid:12) (cid:11)
,saufauxpoint(cid:3)s(cid:0)decontinuité.AprèsdenombreusestentativesduesàJordan( )
(cid:3)
(cid:5)et(cid:0)(cid:11)à(cid:2)Borel(1871-1956),Lebesgue(1875-1941)s’appuyantsurlestravauxdeced(cid:7)e(cid:8)r(cid:9)n(cid:8)ier(cid:7)su(cid:10)r(cid:11)(cid:11)le
(cid:4)
conceptdemesure,proposaaudébutdusiècleunenouvellenotiond’intégraleplusrobusteque

celledeRiemann,définiesurunensembleplusétendudefonctions.Lathéoriedelamesureet
del’intégrationdeLebesgueestaujourd’huiàlabasedel’édificedel’analysefonctionnelleet
delathéoriedesprobabilitésgrâceauxtravauxduprobabilistesoviétiqueKolmogorovaucours
desannéestrente.
1.1 Mesures et tribus
1.1.1 Lestribus
Nousavonstousl’intuitiondelanotiondemesure,parexempleenconsidérantl’applica-
tion quiassocieàtoutintervalle deladroiteréelle,salongueur ouencorel’application
quia(cid:14)ssocieàtoutsous-ensemble(cid:15) de “suffisammentrégulier”(cid:14)(cid:0)((cid:15)e(cid:2)n(cid:1)unsensquiseraprécisé(cid:16))
(cid:0)
sasurface . (cid:17) (cid:0)
Nous(cid:16)(cid:0)a(cid:17)ll(cid:2)onsdéfinirpourtoutensemble ,finiouinfini,unsous-ensemble departies
de accessiblesàlamesure,appelétribu. (cid:18)
(cid:5)
(cid:18)
Définition1: Unefamilledeparties d’unensemble donnéestunetribusiellecontient
l’ensemble etsielleeststablepar: (cid:18)
(cid:5)
– Complém(cid:18)entation:pourtout , ,
– Uniondénombrable:pourtou(cid:17)tefamil(cid:0)le(cid:17) où , .
(cid:6)(cid:5) (cid:6)(cid:5)
Unetribuestaussinommée -algèbre. (cid:0)(cid:17)(cid:4)(cid:2)(cid:4) (cid:5) (cid:15) (cid:1) (cid:4) (cid:5)(cid:17)(cid:4)
(cid:2) (cid:6)(cid:5) (cid:7) (cid:2) (cid:6)(cid:5)
(cid:19)
(cid:4)
10 CHAPITRE1. THÉORIEDELAMESUREETDEL’INTÉGRATION
Définition 2 : Un ensemble munid’une tribu est un espace mesurable, noté :
toutélémentde estditsous-e(cid:18)nsemblemesurable. (cid:0)(cid:18)(cid:1) (cid:2)
(cid:5) (cid:5)
Toutetribu(cid:5) estinclusedanslaplusgrandetribuconstructiblesur àsavoirl’ensemble
despartiesde ,etinclutlapluspetited’entreelles: (cid:18)(cid:1)
(cid:5)
(cid:0)(cid:18)(cid:2) (cid:18) (cid:1)(cid:18) (cid:20)
(cid:8) (cid:9)(cid:10) (cid:11)
Définition 3 : Étant donné un sous-ensemble de on génère grâce aux opérations
de complémentation et d’union dénombrable, la plus pe(cid:0)ti(cid:18)te(cid:2)(cid:1)tribu contenant , appelée tribu
(cid:12) (cid:8)
engendréepar .
(cid:12)
(cid:12)
Théorème1 Si est une application d’un ensemble dans un espace mesurable ,
l’imageinversed(cid:5)e par estunetribusur . (cid:18) (cid:0)(cid:10)(cid:1) (cid:2)
(cid:5)
(cid:5) (cid:18)
(cid:5)
E1
(1) Construirelatribuengendréeparlesous-ensemble de .
(2) DémontrerleThéorème1. (cid:17)(cid:1)(cid:21) (cid:0)(cid:18)(cid:2)
(cid:9) (cid:11) (cid:8)
Définition 4 : La tribu des boréliens sur est la tribu engendrée par l’ensemble des ou-
verts de ; on la notera . De façon génér(cid:0)ale, la tribu des boréliens définie sur un espace
topologiq(cid:0)ue estlatri(cid:0)buengendréeparl’ensemble desouverts.
(cid:13)
(cid:0)(cid:18)(cid:1) (cid:2)
(cid:14) (cid:14)
De toutesles tribus constructiblessur , latribu des boréliens,du nom deson créateur
EmileBorel,estcellequiconvientenanalys(cid:0)eclassique.Ilestfaciled’établirque peutêtre
aussigénéréeparl’ensembledesintervallesfermésde ,oubienparl’ensembledes(cid:0)intervalles
(cid:13)
ouverts;malgrélarichesseetladiversitédeseséléme(cid:0)nts,latribu nes’identifiepasàl’en-
semble des parties de . En effet, on sait construire, difficile(cid:0)ment il est vrai et grâce à
(cid:13)
l’axiomed(cid:0)u(cid:0)(cid:2)choix,unepartie(cid:0)de quin’estpasunborélien.Lagénéralisationàlatribudesbo-
(cid:8)
réliensdéfiniesur estimmédi(cid:0)ate,sil’onconsidèrel’ensemblegénérateurdespavésouverts,
(cid:2)
définiscommeles(cid:0)produitscartésiensdesintervallesouverts.
1.1.2 Mesuredesensembles
Il s’agit maintenantde se doterd’un concept permettantde mesurer les éléments d’une
tribu,naturellementnommémesure,etgénéralisantlesconceptsclassiquesdelongueur,d’aire
etdevolume.
Notation:l’uniondénombrabledespartiesdeuxàdeuxdisjointes s’écrit .
(cid:17)(cid:4) (cid:4)(cid:17)(cid:4)
Définition5: Unemesurepositive surl’ensemblemesurable estune(cid:5)applicationde
dans vérifiantlesaxiomes: (cid:22) (cid:0)(cid:18)(cid:1) (cid:2)
(cid:5)
(cid:0)(cid:3)
((cid:5)M1) Axiomede -additivité: où estunensembledénombrable.
(cid:19) (cid:22) (cid:17)(cid:4) (cid:6) (cid:22)(cid:0)(cid:17)(cid:4)(cid:2) (cid:15)
(M2) . (cid:6)(cid:4) (cid:5) (cid:8) (cid:4) (cid:5)
(cid:7)(cid:2) (cid:2)(cid:2)
(cid:22)(cid:0) (cid:2)(cid:6)(cid:1)
(cid:10)