Cours d'algèbre pour la licence et le Capes

606 Pages·2017·2.06 MB·French

Cours d’algèbre pour la licence et le Capes
Jean-Étienne ROMBALDI
26 avril 2018
ii
Table des matières
Avant-propos ix
Notation xi
I Notions de base 1
1 Éléments de logique et de théorie des ensembles 3
1.1 Quelques notions de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Les connecteurs logiques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Quelques méthodes de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Notions de ba∑se sur l∏es ensembles. Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Les symboles et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Les théorèmes de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 L’algèbre des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Applications. Notions d’injectivité, surjectivité et bijectivité . . . . . . . . . . . 29
2 Analyse combinatoire 39
2.1 Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Ensembles infinis dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Arrangements et permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Problèmes de tirage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Nombres de surjections entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Le problème des rencontres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Relations d’ordre et d’équivalence 45
4 L’ensemble N des entiers naturels 47
5 L’ensemble Z des entiers relatifs 49
6 L’ensemble Q des nombres rationnels 51
7 Le corps C des nombres complexes 53
7.1 Conditions nécessaires à la construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3 Conjugué et module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.4 Les équations de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.5 Les équations de degré 3 et 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
iii
iv
7.6 Arguments d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.7 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
II Algèbre linéaire et bilinéaire sur R ou C 89
8 Espaces vectoriels réels ou complexes 91
8.1 L’espace vectoriel Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2 Définition d’un espace vectoriel réel ou complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.4 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.5 La base canonique de Kn et expression matricielle des applications linéaires de
Kn dans Km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.6 Matrices réelles ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.6.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.6.2 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.6.3 Déterminant d’une matrice d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.6.4 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.6.5 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.7 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.8 Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 119
9 Espaces vectoriels réels ou complexes de dimension finie 123
9.1 Systèmes libres, systèmes générateurs et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3 Rang d’un système de vecteurs ou d’une application linéaire . . . . . . . . . . . 134
9.4 Expression matricielle des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.5 Formules de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10 Opérations élémentaires et déterminants 145
10.1 Opérations élémentaires. Matrices de dilatation et de transvection . . . . . . . . 146
10.2 Déterminants des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.3 Déterminant d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.4 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11 Formes bilinéaires et quadratiques réelles ou complexes 165
11.1 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2 Formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.3 Expression matricielle des formes bilinéaires (en dimension finie) . . . . . . . . . 170
11.4 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.5 Théorème de réduction de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.5.1 Cas des espaces de dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.5.2 Cas des espaces de dimension n (cid:21) 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.6 Orthogonalité, noyau et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.7 Signature d’une forme quadratique réelle en dimension finie . . . . . . . . . . . . 207
11.8 Quadriques dans Rn ou Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.9 Quadriques dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
v
12 Espaces préhilbertiens 217
12.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.3 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.4 Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.5 Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie . . . . . . . . . . . 238
12.6 Caractérisation des projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien . . . . . . 247
12.7 Réduction des matrices symétriques réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13 Géométrie dans les espaces préhilbertiens 249
13.1 Mesures de l’angle non orienté de deux vecteurs non nuls . . . . . . . . . . . . . 249
13.2 Sphères dans un espace préhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
13.3 Sphères dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
13.4 Hyperplans dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13.5 Hyperplan médiateur dans un espace préhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
13.6 Intersection d’un hyperplan et d’une sphère dans un espace euclidien . . . . . . 260
13.7 Intersection de deux sphères dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . 261
13.8 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
13.9 Symétries orthogonales dans les espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.10Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
13.11Orientation d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
13.12Produit vectoriel dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.13Isométries en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.13.1Isométries directes ou rotations. Angles orientés de vecteurs . . . . . . . 279
13.13.2Isométries indirectes ou réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
13.14Isométries en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
13.14.1Isométries directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
14 Espaces préhilbertiens complexes 289
14.1 Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
14.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
III Géométrie affine 297
15 Espaces affines 299
15.1 Définition d’un espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
15.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
15.3 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
15.4 Équations cartésiennes d’une droite du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
15.5 Le triangle dans le plan affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
15.5.1 Médianes d’un triangle, centre de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
15.5.2 Médiatrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
15.5.3 Hauteurs d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
16 Espaces affines euclidiens 307
17 Applications affines 309
vi
18 Coniques 311
18.1 Définition par directrice, foyer et excentricité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
18.2 Équation réduite d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
18.2.1 Les paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
18.2.2 Les coniques à centres, ellipses et hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . 323
18.2.3 Construction des tangentes à une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
18.3 Définition bifocale des coniques à centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
18.4 Lieu orthoptique d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
18.4.1 Lieu orthoptique d’une ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
18.4.2 Lieu orthoptique d’une hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
18.4.3 Lieu orthoptique d’une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
18.5 Cocyclicité de 4 points sur une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
18.5.1 Cocyclicité de 4 points sur une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
18.5.2 Cocyclicité de 4 points sur une ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
18.6 Équations des coniques dans un repère quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
19 Nombres complexes et géométrie euclidienne 345
19.1 Le plan affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
19.2 Le plan d’Argand-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
19.3 Équations complexes des droites et cercles du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
19.3.1 Droites dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
19.3.2 Cercles dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
19.4 Interprétation géométrique du module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . 349
19.4.1 Module et distance euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
19.4.2 L’égalité du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
19.4.3 L’inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
19.5 Lignes de niveau associées aux module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
19.6 Interprétation géométrique de l’argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . 356
19.7 Lignes de niveau associées à l’argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
19.8 Le triangle dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
19.8.1 Relations trigonométriques pour un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . 366
19.8.2 Aire d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
19.8.3 Centre de gravité d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
19.8.4 Cercle circonscrit à un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
19.8.5 Orthocentre d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
19.8.6 Triangle équilatéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
19.9 Interprétation géométrique des applications z 7! az +b; z 7! az +b . . . . . . . 377
IV Structures algébriques et arithmétique 379
20 Structure de groupe 381
20.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
20.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
20.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
20.4 Sous-groupe engendré par une partie d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
20.5 Groupes monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
20.6 Groupes finis. Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
20.7 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
vii
20.8 Sous-groupes distingués, groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
20.9 Ordre d’un élément dans un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
20.10Sous-groupes des groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
21 Structure d’anneau 421
21.1 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
21.2 Éléments inversibles dans un anneau unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
21.3 Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
21.4 Morphismes d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
22 Structure de corps 435
22.1 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
22.2 Morphismes de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
23 Division euclidienne dans Z 441
23.1 L’anneau Z des entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
23.2 Divisibilité et congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
23.3 Le théorème de division euclidienne dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
23.4 Les systèmes de numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
23.5 Caractéristique d’un anneau ou d’un corps commutatif . . . . . . . . . . . . . . 451
23.6 Plus grand commun diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
23.6.1 Plus petit commun multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
23.7 L’algorithme d’Euclide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
23.8 Equations diophantiennes ax+by = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
23.9 Equations ax (cid:17) b (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
23.10Le théorème Chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
23.11Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout et de Gauss . . . . . . . . 466
24 Nombres premiers 473
24.1 L’ensemble P des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
24.2 L’ensemble P des nombres premiers est infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
24.3 Décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
24.4 Valuation p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
24.5 Le postulat de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
24.6 Les théorèmes de Fermat et de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
Z
24.7 Les anneaux Z = et la fonction indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . 500
n nZ
25 Les anneaux Z=nZ 503
25.1 Congruences dans Z: Anneaux Z=nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
25.2 Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
25.3 Fonction indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
26 Utilisation des congruences et des anneaux Z=nZ 511
26.1 Équations diophantiennes ax (cid:17) b (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
26.2 Équations diophantiennes x (cid:17) a (n); x (cid:17) b (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
26.3 Critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
viii
V Problèmes d’algèbre 515
27 Le théorème de d’Alembert-Gauss 519
27.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
27.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
28 La forme quadratique Tr(M2) sur M (R) 521
n
28.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
28.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
29 Décomposition d’un entier en carrés. Entiers de Gauss 525
29.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
29.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
30 Nombres de Fibonacci 543
30.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
30.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
31 Infinitude de l’ensemble des nombres premiers 551
31.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
31.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
32 Le théorème de Fermat pour n = 2 et n = 4 571
32.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
32.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
33 L’anneau Z=nZ et les nombres de Carmichaël 575
33.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
33.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
34 Sous-groupes de L(E) 591
Avant-propos
Ce livre est en construction.
Cet ouvrage destiné aux étudiants préparant le Capes externe de Mathématiques et aux
enseignants préparant l’agrégation interne fait suite au livre « Éléments d’analyse réelle pour
le Capes et l’Agrégation Interne de Mathématiques ».
ix