Table Of Content

Courbes Alge´briques Planes Alain Chenciner Courbes Alge´briques Planes AlainChenciner UniversitéParisVII DépartementdeMathématiques 2,PlaceJussieu 75251ParisCedex05 France and AstronomieetSyste`mesDynamiques, IMCCE77, avenueDenfertRochereau, 75014Paris, France [email protected] LibraryofCongressControlNumber:2007931602 MSC(2000):14-01,14H50,14H20 Premie`republication:PublicationsMathe´matiquesdel’Universite´ParisVII,1978 Ledessindelacouvertureestinspire´parunechore´graphiedetroiscorpsdećouverteparCarlesSimo´ ISBN978-3-540-33707-2SpringerBerlinHeidelbergNewYork Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du Il mars 1957interditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollective.Toutereprésentation, reprodutionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoit,sansleconsentementdel’auteur oudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionnéeparlesarticles425etsuivants duCodepénal. SpringerisapartofSpringerScience+BusinessMedia springer.com (cid:1)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2008 Typesettingbytheauthor Production:SPi,India Coverdesign:WMXDesign,Heidelberg Printedonacid-freepaper 41/3180/SPi 5 4 3 2 1 0 Table des matières Préface ........................................................ ix Introduction ................................................... 1 0 Courbesalgébriquesplanes................................... 3 1 Ensemblesalgébriquesaffines................................. 9 1.1 Polynômesàplusieursindéterminées: premièrespropriétés ....................................... 9 1.2 Ensemblesalgébriquesaffines: lethéorèmedeszéros ...................................... 12 1.3 Composantesirréductiblesd’unensemblealgébriqueaffine ...... 18 1.4 Idéauxayantunnombrefinidezéros ......................... 20 1.5 Morphismesd’ensemblesalgébriquesaffines .................. 25 1.6 Ensemblesalgébriquesaffinesirréductibles: fonctionsrationnellesetanneauxlocaux ...................... 28 1.7 Localisation .............................................. 31 2 Courbesplanesaffines ....................................... 33 2.1 Sous-ensemblesalgébriquesdeK2 ........................... 33 2.2 Propriétésinvariantesparchangement decoordonnéesaffines ..................................... 34 2.3 Pointsréguliers,pointssinguliers,multiplicités................. 35 2.4 Nombresd’intersections.................................... 38 3 Ensemblesalgébriquesprojectifs .............................. 43 3.1 L’espaceprojectifP (K) ................................... 43 n 3.2 Topologiedesespacesprojectifsréelsetcomplexes depetitedimension ........................................ 44 3.3 Ensemblesalgébriquesprojectifsetidéauxhomogènes .......... 47 3.4 Traductionaffine projectif: ↔ homogénéisationetdéhomogénéisation ....................... 49 vi Tabledesmatières 4 Courbesprojectivesplanes: lethéorèmedeBézout .............. 53 4.1 Quelquesexemples ........................................ 53 4.2 LethéorèmedeBézout(1èredémonstration)................... 57 5 Lerésultant ................................................ 59 5.1 Théorieélémentairedurésultant ............................. 59 5.2 Résultantetnombresd’intersection .......................... 62 5.3 RésultantetthéorèmedeBézout ............................. 65 6 Pointdevuelocal:anneauxdesériesformelles .................. 67 6.0 Introduction .............................................. 67 6.1 Sériesformellesàuneindéterminée:premièrespropriétés ....... 73 6.2 Sériesformellesàplusieurs indéterminées:premièrespropriétés.......................... 76 6.3 LethéorèmedepréparationdeWeierstrasspour lessériesformelles ........................................ 78 6.4 Passagedesfractionsrationnellesauxsériesformelles: séparécomplétéd’unanneau................................ 89 7 Anneauxdesériesconvergentes ............................... 93 7.1 Sériesentièresconvergentesauneindéterminée................ 93 7.2 Sériesentièresconvergentesàplusieursindéterminées .......... 97 7.3 Laméthodedessériesmajorantes ............................ 101 7.4 Lethéorèmedesfonctionsimplicitesetlethéorème depréparationpourlessériesconvergentes àplusieursindéterminées ................................... 104 7.5 Thèmed’étude............................................ 107 7.6 Envolée.................................................. 107 7.7 Lecture .................................................. 107 8 LethéorèmedePuiseux ...................................... 109 8.1 ParamétragesetpolygonedeNewton(casformel) .............. 109 8.2 FormulationduthéorèmedePuiseuxcomme unthéorèmedeclôturealgébrique............................ 114 8.3 Application à l’étude des éléments irréductibles de K((X)) Y , K X Y , K X,Y ............................ 116 [ ] [[ ]][ ] [[ ]] 8.4 Décompositiond’unpolynômedistinguéP K X Y ∈ [[ ]][ ] suivantlescôtésdesonpolygonedeNewton .................. 120 8.5 Détectionlocaledesfacteursmultiples d’unélémentdeK X,Y .................................... 123 [ ] 8.6 Résolutiondesproblèmesdeconvergence..................... 124 8.7 InterprétationtopologiqueduthéorèmedePuiseuxdans lecadredelathéoriedesfonctionsanalytiquescomplexes ....... 128 Tabledesmatières vii 9 Théorielocaledesintersectionsdecourbes ...................... 133 9.1 Branches=places(oùonfaitlepointsurcequiaprécédé)....... 133 9.2 Intersectiond’unebrancheetd’unedroitepassantparl’origine ... 136 9.3 Intersectiondedeuxcourbesformelles........................ 138 Appendice Un critère de rationalité pour les séries formelles àcoefficientsdansuncorps(d’aprèsBourbaki) .................. 143 Listed’exercicesetproblèmes..................................... 149 Problème1..................................................... 155 Problème2..................................................... 157 Index.......................................................... 159 Préface Issud’uncoursdemaîtrisedel’UniversitéParis7,celivreestrepubliételqu’il était paru en 1978, à la correction près de quelques phrases trop peu écrites dans l’original.Ilétait,m’a-t-ondit,utileauxétudiantspréparantl’agrégationetc’estce quim’adécidéàenproposerlarepublication.( ) JeremercieCatrionaByrned’avoir ∗ accueillicettepropositionavecsasourianteefficacité,SusanneDenskusd’enavoir suivilaréalisationavecbonnehumeuretJainendraKJaind’enavoirassurélacom- positionavecpatience.MerciàK.Venkatasubramanian(SPi,Inde)etEllenKattner pour la dernière étape. Merci enfin à Carles Simó qui m’a autorisé à transformer l’unedeses«chorégraphies»detroiscorpsenlepaisibleanimalquiveillesurla couverture. ÀParis le29août2006 A.Chenciner ( )avecunclind’œilamicalàRaymondeLombardoqui,ilyapasmald’années,m’avait ∗ donné“ledernierexemplaire”agrémentéd’unejoliefleur. Introduction CesnotescorrespondentàuncoursdeC4quej’aienseignéàParisVIIetàNice àpeudechosesprèscesontlesnotesquiontétédistribuéesauxétudiantsaujour lejour.J’aipréféré(pourdebonnesetdemoinsbonnesraisons)conserverl’aspect informeldutexteplutôtqu’écrireunmilleetunièmelivresurcesujet(cepourquoi jenesuispascompétent). L’idée du cours était de traiter un problème particulier (le théorème de Bézout pour les courbes) et d’introduire à son propos certains outils permettant l’étude globale et locale d’une courbe (par exemple : notions projectives, théorème de préparationdeWeierstrass,théorèmedePuiseux,places,etc.).Lesseulesoriginalités sontlesfiguresduchapitreIV(oùl’on“voit”queX3 Y3 Z3 0estuntore)et + + = lepassagedePuiseuxformelàPuiseuxconvergent(oùleséclatementsapparaissent naturellement). Les manques sont innombrables, ce qui n’empêche pas l’ensemble d’êtretroplongpouruncoursd’1h30annuelle. Trèsignorantaudépartencesmatières,j’ailargementprofitédelasciencede mescollèguesetamis,enparticulierJ.Briançon,Y.Colombé,J.Emsalem,G.Jacob, LêDuñgTráng1,M.LejeuneetB.Teissier. AusoleilàNice le25Mai1978 A.Chenciner 1quiadepluslemérite(!)denepasm’avoirlaisséenpaixjusqu’àcequej’aiefourni lesdernièrescorrectionsdecetexte(auxquellesilad’ailleursparticipé).Sonefficaciténe laissepasdem’inquiéter. 0 Courbes algébriques planes Sous-ensemblesalgébriquesdeC Danstoutcecours,lesanneauxconsidéréssontcommutatifsavecunité. SoitK uncorps,I unensemble,etpourchaquei I,φ K X unpolynôme i ∈ ∈ [ ] àuneindéterminéeàcoefficientsdansK.Quepeut-ondiredel’ensemble V((φ ) ) x K i I,φ (x) 0 ? i i I i ∈ ={ ∈ |∀ ∈ = } Toutd’abord,ona V((φ ) ) V(J) x K f J,f(x) 0 , i i I ∈ = ={ ∈ |∀ ∈ = } oùJ estl’idéaldeK X engendréparlesφ ,c’est-à-dire i [ ] J f K X p N, i1,...,ip I, g1,...,gp K X , ={ ∈ [ ]|∃ ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ [ ] f g φ g φ . = 1 i1 +···+ p ip} Contrairementauxapparences,nousavonsbeaucoupgagnéàaugmenterainsile nombredeséquations.RappelonseneffetquesiK estuncorps,K X estunanneau [ ] principal : tout idéal J de K X est principal, c’est-à-dire engendré par un seul [ ] élément(ilsuffitdeprendreunélémentf J dedegréminimumetd’effectuerla ∈ divisioneuclidienneparf detouslesélémentsdeJ ; onnotealorsJ (f)). = Sif estungénérateurdel’idéalengendréparles(φ ) ,onobtient i i I ∈ V((φ ) ) V(f) x K f(x) 0 . i i I ∈ = ={ ∈ | = } PourétudierV(f)ilfautmaintenantcomprendrelastructuredef ; commençons parrappelerdeuxdéfinitions: Définition0.0.1 –SoitAunanneauintègre(i.e.sansdiviseurdezéro); unélément a Aestditirréductible(oupremier)sia 0,an’estpasuneunité(i.e.unélément ∈ (cid:6)= inversible),etsichaquefoisquea bcavecb,c A,ouboucestuneunité. = ∈ 4 0 Courbesalgébriquesplanes Définition0.0.2 –UnanneauAestditfactoriels’ilestintègreetsitoutélémenta 0 Aadmetuneunique1 factorisationenélémentsirréductibles: celasignifiequ’(cid:6)=il ∈ existeuneunitéuetdesélémentsirréductiblesp ,...,p telsquea up ,...,p , 1 r 1 r = etquesia vq ,...,q estuneautrefactorisation,onar set,aprèspermutation 1 s = = éventuelledesindices,p u q oùlesu sontdesunités. i i i i = Théorème0.0.3 –Unanneauintègreetprincipalestfactoriel. Parexemple,Zestfactoriel. Démonstration: Soit a 0 A n’admettant pas de factorisation en éléments 0 (cid:6)= ∈ irréductibles; enparticulier,a n’estpasirréductible,ets’écritdonca a a , 0 0 1 ′1 = · oùnia nia n’estuneunitéetoùl’unaumoins,parexemplea ,n’admetpasde 1 ′1 1 factorisationenélémentsirréductibles; onconstruitainsiunesuiteinfinied’idéaux distincts (a0) (cid:1) (a1) (cid:1) (a2) (cid:1) ... ((a )désignel’idéaldeAengendrépara ). 0 0 Maisilestfaciledevoirqu’unetellesuitedevientstationnaireàuncranfinisiA estprincipal,cequiestunecontradiction. L’unicitévientd’unargumentbienconnudedivisibilité.(VoirLangp.71,72). Corollaire0.0.4 –SiK estuncorps,K X estfactoriel Sif u k fmi estunefactorisat[ion] enélémentsirréductibles,onvoitque = i=1 i (cid:1) k k V(f) V(fmi) V(f ). = i = i i 1 i 1 (cid:2)= (cid:2)= IlestenparticulierclairqueladonnéedeV(f)nepermetpasderetrouverf.Si K R,l’exemplef(X) X2 1 R X montrequelasituationestdésespérée. = = + ∈ [ ] SurC,toutsepasselemieuxpossiblegrâceauthéorèmeded’Alembert–Gauss.Avant d’énoncercedernier,énonçonsuneproposition(dontladémonstrationestlaisséeen exercice). Proposition0.0.5 –SoitKuncorps,lestroisassertionssuivantessontéquivalentes. (a) ToutpolynômeF,dedegrésupérieurouégalà1,deK X admetuneracine [ ] dansK. (b) ToutpolynômeirréductibledeK X estdedegré1. [ ] (c) Tout polynôme non constant de K X se décompose en un produit de- [ ] polynômesdedegré1. Définition0.0.6 – On dit qu’un corps K est algébriquement clos s’il vérifie l’une destroispropriétéséquivalentesci-dessus. 1Ilpeutyavoirexistencesansqu’ilyaitunicité: dansZ√ 5,onalesdeuxdécompo- [ − ] sitions6 2.3 (1 √ 5)(1 √ 5); cegenred’exempleestàlabasedelathéorie = = + − − − desidéauxdeKummer.