corso di analisi matematica 3

296 Pages·2013·1.05 MB·Italian

CORSO DI
ANALISI
MATEMATICA
3
Edizione provvisoria
Terza versione
Carlo Ravaglia
iv
⃝c
CarloRavaglia
Siconcedelapossibilit`adiriproduzionedifotocopieaglistudentidelcorsodiAnalisiMatematicaT-2,
perusodidattico
Indice
25 Funzioni di variabile complessa 1
25.1 Funzioni elementari complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
25.1.1 Derivata di una funzione di variabile complessa . . . . . . . . . 1
25.1.2 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
25.1.3 Argomento principale di un numero complesso . . . . . . . . . 2
25.1.4 Omotetia reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
25.1.5 Rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
25.1.6 Funzioni lineari complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
25.1.7 Funzioni affini complesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
25.1.8 Funzione potenza complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
25.1.9 Radice n-esima principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
25.1.10Funzione radice n-esima principale . . . . . . . . . . . . . . . . 7
25.1.11Funzione esponenziale complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
25.1.12Logaritmo principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
25.1.13Funzione logaritmo principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
25.1.14Potenze principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
25.1.15Funzione potenza principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
25.1.16Funzione esponenziale principale . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
25.1.17Funzione seno complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
25.1.18Funzione coseno complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
25.1.19Funzione seno iperbolico complessa . . . . . . . . . . . . . . . . 13
25.1.20Funzione coseno iperbolico complessa . . . . . . . . . . . . . . 13
25.2 Condizioni di monogenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
25.2.1 Differenziabilit`a per una funzione di variabili reali e a valori
complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
25.2.2 Condizione di monogenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
25.2.3 Condizioni di monogenia reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25.2.4 Differenziale di una funzione di variabile complessa e a valori
complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25.3 Integrale di funzione di variabile complessa . . . . . . . . . . . . . . . 23
25.3.1 Traiettorie chiuse omotope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
25.3.2 Invarianza per omotopia di traiettorie chiuse dell’integrale di
una forma differenziale chiusa su traiettorie chiuse . . . . . . . 24
v
vi INDICE
25.3.3 Forme differenziali chiuse su un aperto a omotopia nulla . . . . 25
25.3.4 Catene di traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
25.3.5 Catene di parametrizzazioni di dimensione 2 . . . . . . . . . . 27
25.3.6 Cicli omologhi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
25.3.7 Integrale di una forma differenziale su una catena. . . . . . . . 30
25.3.8 Invarianzaperomologiadell’integralediunaformadifferenziale
chiusa su un ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
25.3.9 Forme differenziali chiuse su un aperto a omologia nulla . . . . 31
25.3.10FormadifferenzialechiusasuunapertodiR2 privatodiunpunto 32
25.3.11Forme differenziali lineari complesse di variabili reali . . . . . . 32
25.3.12La forma differenziale complessa di variabile complessa f(z)dz 36
25.3.13Forma differenziale complessa di variabile complessa esatta . . 37
25.3.14Primitiva di una funzione complessa di variabile complessa . . 38
25.3.15Formadifferenzialelinearecomplessadivariabilirealiassociata
adunaformadifferenzialelinearecomplessadivariabilecomplessa 38
25.3.16Parte reale e parte immaginaria della forma differenziale com-
plessa di variabile reale fdx+ifdy . . . . . . . . . . . . . . . 39
25.3.17Integrali di forme differenziali complesse . . . . . . . . . . . . . 40
25.3.18Integrale del differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
25.3.19Forme differenziali esatte e integrali su traiettorie . . . . . . . . 43
25.3.20Esistenza della primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
25.3.21Primitivadiunafunzionecomplessa suunaperto privatodiun
punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
25.3.22Locale esattezza di una forma differenziale complessa di vari-
abile complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
25.3.23Invarianza per omotopia di traiettorie chiuse dell’integrale di
una forma differenziale complessa f(z)dz su traiettorie chiuse . 46
25.3.24Integrale su catene di traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
25.3.25Invarianza per omologia dell’integrale su cicli . . . . . . . . . . 47
25.3.26Generalizzazione alle traiettorie di classe lipschitziana . . . . . 48
25.3.27Integralesuunacurvaorientatadiunaformadifferenzialecom-
plessa di variabile complessa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
25.3.28Catena associata ad una sottovariet`a con bordo orientata com-
patta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
25.3.29Teorema di Cauchy per il bordo di domini . . . . . . . . . . . . 52
25.4 Indice di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
25.4.1 Indice di un punto rispetto ad una traiettoria chiusa . . . . . . 52
25.4.2 Indice di un punto rispetto ad un ciclo . . . . . . . . . . . . . . 58
25.4.3 Cicli omologhi a 0 e indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
25.5 Formula integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
25.5.1 Formula integrale di Cauchy per i cicli omologhi a 0 . . . . . . 59
25.5.2 Formula integrale di Cauchy per le traiettorie chiuse omotope a 0 61
25.5.3 Formula integrale di Cauchy per il bordo di domini . . . . . . . 62
25.5.4 Derivabilit`a di ogni ordine per una funzione complessa di vari-
abile complessa derivabile con derivata continua . . . . . . . . 62
INDICE vii
25.5.5 Formula integrale di Cauchy per le derivate d’ordine superiore 63
25.6 Funzioni analitiche complesse di variabile complessa . . . . . . . . . . 65
25.6.1 Funzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
25.6.2 Massima palla aperta contenuta in un insieme. . . . . . . . . . 67
25.6.3 Limite sotto il segno di integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
25.6.4 Serie di funzioni totalmente convergenti . . . . . . . . . . . . . 68
25.6.5 SviluppoinseriediTaylordellefunzioniderivabiliconderivata
continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
25.6.6 Funzioni con derivata continua ... analitiche . . . . . . . . . . 73
25.6.7 Funzioni derivabili con derivata continua nulle . . . . . . . . . 73
25.6.8 Teoremi di Morera e di Goursat. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
25.7 Stima di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
25.7.1 Stima di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
25.7.2 Teorema di Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
25.7.3 Principio del massimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
25.8 Sviluppi in serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
25.8.1 Serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
25.8.2 Funzione sviluppabile in serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . 79
25.8.3 Corone circolari massimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
25.8.4 Sviluppabilit`a in serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
25.9 Singolarit`a per una funzione analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
25.9.1 Punto singolare per un aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
25.9.2 Serie di Laurent in un punto singolare . . . . . . . . . . . . . . 91
25.9.3 Parte principale di una funzione in un punto . . . . . . . . . . 92
25.9.4 Singolarit`a rimovibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
25.9.5 Ordine degli zeri di una funzione analitica . . . . . . . . . . . . 94
25.9.6 Lo spazio S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
N
25.9.7 Singolarit`a polare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
25.9.8 Ordine di un polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
25.9.9 Singolarit`a essenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
25.10Teorema dei residui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
25.10.1Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
25.10.2Teorema dei residui per i cicli omologhi a 0 . . . . . . . . . . . 110
25.10.3Teorema dei residui per le traiettorie chiuse omotope a 0. . . . 111
25.10.4Teorema dei residui per il bordo di un dominio . . . . . . . . . 111
25.11Calcolo di integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
25.11.1Integrale di una funzione razionale del seno e del coseno . . . . 113
25.11.2Integrale su R di una funzione razionale . . . . . . . . . . . . . 115
25.11.3Integrale su R di una funzione razionale assolutamente conver-
gente per eiαx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
25.11.4Integrale su R di una funzione razionale per eiαx convergente . 122
25.11.5Valore principale di un integrale improprio . . . . . . . . . . . 126
25.11.6Valore principale dell’integrale ... in un polo semplice . . . . . 127
25.11.7Lemma di Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
25.11.8Limite dell’integrale su un arco in un polo semplice . . . . . . . 135
viii INDICE
∫
25.11.9L’integrale +∞ sin2xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
0 x2
26 Trasformata di Fourier 145
26.1 Spazi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
26.1.1 Spazi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
26.1.2 Spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
26.1.3 Spazi vettoriali topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
26.1.4 Spazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
26.1.5 Serie in uno spazio di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
26.1.6 Gli spazi di Banach Lp(A;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
26.1.7 Gli spazi di Banach l (Z;C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
p
26.1.8 Spazio vettoriale topologico localmente convesso . . . . . . . . 153
26.1.9 Spazio di Fr´echet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
26.2 Trasformata di Fourier in L1(RN;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
26.2.1 Trasformata di Fourier in L1(RN;C). . . . . . . . . . . . . . . 154
26.2.2 Trasformata di Fourier di una funzione reale . . . . . . . . . . 155
26.2.3 Trasformata di Fourier di una funzione reale pari . . . . . . . . 155
26.2.4 Trasformata di Fourier di una funzione reale dispari . . . . . . 155
26.2.5 Alcune trasformate di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
26.2.6 Linearit`a della trasformata di Fourier in L1(RN;C) . . . . . . 159
26.2.7 Estensione del teorema della convergenza dominata . . . . . . . 159
26.2.8 Continuit`a della trasformata di Fourier di u . . . . . . . . . . . 159
26.2.9 Limite 0 per ξ →∞ della trasformata di Fourier di u. . . . . . 159
26.2.10Continuit`a della trasformazione di Fourier . . . . . . . . . . . . 160
26.2.11Trasformata di Fourier e traslazioni . . . . . . . . . . . . . . . 160
26.2.12Trasformata di Fourier e coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . 161
26.2.13Trasformata di Fourier di funzioni pari e di funzioni dispari . . 161
26.2.14Trasformata di Fourier e matrici invertibili . . . . . . . . . . . 162
26.2.15Trasformata di Fourier e omotetie . . . . . . . . . . . . . . . . 162
26.2.16Trasformata di Fourier e matrici ortogonali . . . . . . . . . . . 163
26.2.17Trasformata di Fourier di funzioni radiali . . . . . . . . . . . . 163
26.2.18Formula del prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
26.2.19Trasformata di Fourier su L1(RN;C) . . . . . . . . . . . . . . 163
26.3 Trasformata di Fourier in L1(RN;C) e derivata . . . . . . . . . . . . . 164
26.3.1 Trasformata di Fourier della derivata . . . . . . . . . . . . . . . 164
26.3.2 Derivata sotto il segno di integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 166
26.3.3 Derivata della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 167
26.4 Regolarit`a e comportamento all’infinito per la trasformata di Fourier . 168
26.4.1 Regolarit`a di u e trascurabilt`a all’infinito della trasformata di
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
26.4.2 Comportamento all’infinito di u e regolarit`a della trasformata
di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
26.5 Antitrasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
26.5.1 Antitrasformata di Fourier di una funzione di L1(RN;C) . . . 169
26.5.2 Antitrasformata della trasformata . . . . . . . . . . . . . . . . 170
INDICE ix
26.6 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
26.6.1 Lo spazio vettoriale topologico D(A;C) . . . . . . . . . . . . . 170
26.6.2 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
26.6.3 Funzioni localmente integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
26.6.4 La distribuzione δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
a
26.6.5 Prodotto di una funzione di classe C∞ e di una distribuzione . 172
26.6.6 Distribuzione indotta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
26.6.7 Supporto di una distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
26.6.8 Distribuzioni a supporto compatto . . . . . . . . . . . . . . . . 173
26.6.9 Derivata di una distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
26.6.10Alcune derivate distribuzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
26.6.11Equazioni differenziali lineari distribuzionali . . . . . . . . . . . 175
26.6.12Valore principale di un integrale come distribuzione . . . . . . 175
26.6.13Lo spazio di Sobolev Wm(A;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
loc
26.6.14Lo spazio di Sobolev W1 (I;C). . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
loc
26.6.15Lo spazio di Sobolev W1 (A;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
loc
26.6.16Equazioni differenziali lineari in Wn (I;C) . . . . . . . . . . . 176
loc
26.6.17Equazioni differenziali lineari in Wn ([a,b[;C) . . . . . . . . . 177
loc
26.7 Distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
26.7.1 Lo spazio di Fr´echet S(RN;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
26.7.2 Lo spazio vettoriale topologico delle distribuzioni temperate . . 178
26.7.3 Distribuzioni a supporto compatto come distribuzioni temperate179
26.7.4 Distribuzioni f ·λ che sono distribuzioni temperate . . . . . . . 179
26.7.5 Derivata di una distribuzione temperata . . . . . . . . . . . . . 179
26.7.6 Prodottodiunafunzionetemperataediunadistribuzionetem-
pera-ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
26.8 Trasformata di Fourier in S′(RN;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
26.8.1 Trasformata di Fourier in S(RN;C) . . . . . . . . . . . . . . . 180
26.8.2 Trasformata di Fourier della derivata in S(RN;C) . . . . . . . 180
26.8.3 Derivata della trasformata di Fourier in S(RN;C) . . . . . . . 180
26.8.4 Trasformata di Fourier in S′(RN;C) . . . . . . . . . . . . . . . 181
26.8.5 Cotrasformata di Fourier in S′(RN;C). . . . . . . . . . . . . . 181
26.8.6 Trasformata e cotrasformata di una distribuzione temperata . . 182
26.8.7 Trasformata di Fourier in S′(RN) come isomorfismo . . . . . . 182
26.8.8 Trasformata di Fourier e traslazione . . . . . . . . . . . . . . . 183
26.8.9 Trasformata di Fourier e derivazione . . . . . . . . . . . . . . . 184
26.8.10Trasformata di Fourier di u(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
26.8.11Trasformata di Fourier di u (T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
t
26.8.12La trasformata di Fourier F e F in S′(RN;C) . . . . . . . . . 186
1
26.9 Trasformata ... di L1(RN;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
26.9.1 Restrizione della trasformazione di Fourier. . . . . . . . . . . . 186
26.9.2 Trasformata di Fourier di una funzione localmente integrabile
come limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
26.9.3 Valore principale dell’integrale di una funzione su ]−∞,+∞[ . 192
26.9.4 Formula di inversione come valore principale . . . . . . . . . . 192
x INDICE
26.10Trasformata di Fourier della distribuzione δ . . . . . . . . . . . . . . 201
0
26.10.1Trasformata e cotrasformata di Fourier della distribuzione δ e
0
di λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
26.11Trasformata di Fourier del valore principale di 1 . . . . . . . . . . . . 203
x
26.11.1Trasformata di Fourier della distribuzione valore principale di
1 e della funzione segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
x
26.12Trasformata di Fourier di una distribuzione a supporto compatto . . . 204
26.12.1FunzionetemperatatrasformatadiFourierdiunadistribuzione
a supporto compatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
26.12.2Funzione intera trasformata di Fourier di una distribuzione a
supporto compatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
26.13La trasformata di Fourier in L2(RN;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
26.13.1Spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
26.13.2Lo spazio di Hilbert L2(RN;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
26.13.3Trasformata di Fourier di un elemento di L2(RN;C) . . . . . . 206
26.13.4La trasformata di Fourier in L2(RN;C) . . . . . . . . . . . . . 206
26.13.5La trasformata di Fourier in L2(RN;C) . . . . . . . . . . . . . 207
26.14Trasformata di Fourier e convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
26.14.1Convoluzione di una funzione di L1(RN;C) e di una funzione
di Lp(RN;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
26.14.2Trasformata di Fourier e convoluzione in L1(RN;R) . . . . . . 208
26.14.3TrasformatadiFouriereconvoluzionefraL1(RN;R)eL2(RN;C)208
26.14.4Convoluzione di funzioni di L2(RN;C). . . . . . . . . . . . . . 208
26.14.5Trasformata di Fourier e convoluzione . . . . . . . . . . . . . . 209
26.14.6Convoluzione di una distribuzione temperata e di una funzione
declinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
26.14.7Trasformata di Fourier e convoluzione fra una distribuzione di
S′(RN;C) ed una funzione di S(RN;C) . . . . . . . . . . . . . 209
27 Serie di Fourier 211
27.1 Trasformata di Fourier di una distribuzione periodica. . . . . . . . . . 211
27.1.1 Distribuzioni periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
27.1.2 Lo spazio vettoriale topologico delle successioni a decrescenza
rapida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
27.1.3 Lo spazio vettoriale topologico delle successioni temperate . . . 212
27.1.4 Trasformata di Fourier di una distribuzione periodica . . . . . 212
27.1.5 Trasformata e cotrasformata di Fourier della derivata di una
distribuzione periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
27.1.6 Trasformata ... di una distribuzione ... successione temperata 214
27.1.7 Sviluppo in serie di Fourier di una distribuzione periodica di
periodo T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
27.2 Serie di Fourier di una funzione periodica . . . . . . . . . . . . . . . . 215
27.2.1 Funzioni periodiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
27.2.2 Coefficienti di Fourier di una funzione periodica . . . . . . . . . 217
27.2.3 Teorema di Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
INDICE xi
27.2.4 Serie di Fourier di una funzione periodica di periodo T . . . . . 218
27.2.5 Coefficienti di Fourier di una funzione periodica reale. . . . . . 218
27.2.6 Serie ordinaria associata ad una serie di Laurent . . . . . . . . 220
27.2.7 Coefficienti di Fourier ordinari di una funzione periodica reale . 220
27.2.8 Coefficienti di Fourier di una funzione periodica reale pari . . . 223
27.2.9 Coefficienti di Fourier di una funzione periodica reale dispari . 224
27.2.10Trasformata di Fourier di funzioni periodiche pari e di funzioni
periodiche dispari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
27.3 Regolarit`a e comportamento all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
27.3.1 Coefficienti di Fourier in l (Z;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
1
27.3.2 Coefficienti di Fourier (nmcn)n∈Z in l1(Z;C) . . . . . . . . . . 226
27.3.3 u di classe Cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
27.3.4 u di classe C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
27.3.5 u analitica su {z ∈C;|ℑz|<r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
27.3.6 u funzione intera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
27.4 Serie di Fourier e spazio di Hilbert P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
T
27.4.1 Lo spazio di Hilbert P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
T
27.4.2 Lo spazio di Hilbert l (Z;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
2
27.4.3 Funzione u∈P2 e coefficienti di Fourier . . . . . . . . . . . . . 229
T
27.4.4 Sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert . . . . . . . . . . 229
27.4.5 Sistema ortonormale completo di P2 . . . . . . . . . . . . . . . 230
T
27.5 Convergenza puntuale e uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
27.5.1 Convergenza puntuale della serie di Fourier . . . . . . . . . . . 231
27.5.2 Successione dei coefficienti di Fourier in l (Z;C) . . . . . . . . 233
1
27.5.3 Convergenza uniforme∑della serie di Fourier . . . . . . . . . . . 234
27.5.4 La somma della serie ∞ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
n=1 n2
28 Trasformata di Laplace 247
28.1 Trasformata di Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
28.1.1 Ascissa di assoluta convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
28.1.2 Funzione trasformabile secondo Laplace . . . . . . . . . . . . . 248
28.1.3 Trasformata di Laplace in un punto . . . . . . . . . . . . . . . 248
28.1.4 Trasformata di Laplace di una funzione localmente integrabile. 248
28.1.5 Analiticit`a della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . 249
28.1.6 Trasformata di Laplace sulle funzioni localmente integrabili . . 249
28.1.7 Funzione di Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
28.1.8 Trasformata di Laplace della funzione di Heaviside . . . . . . . 250
28.1.9 Trasformata di Laplace della funzione H(t)eαt . . . . . . . . . 250
28.1.10Trasformata di Laplace della funzione H(t)sin(ωt) . . . . . . . 251
28.1.11Trasformata di Laplace della funzione H(t)cos(ωt) . . . . . . . 251
28.1.12Trasformata di Laplace della funzione H(t)sh(ωt) . . . . . . . 252
28.1.13Trasformata di Laplace della funzione H(t)ch(ωt) . . . . . . . 252
28.1.14Trasformata di Laplace di u come funzione con restrizioni a
semipiani limitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
28.1.15Limite 0 per ℜs→+∞ della trasformata di Laplace di u . . . 253
xii INDICE
28.1.16Limite della trasformata in un punto della retta di assoluta
convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
28.1.17Generalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
28.1.18Trasformata di Laplace della traslata di una funzione . . . . . 254
28.1.19Traslata della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 255
28.1.20Trasformata di Laplace e omotetie . . . . . . . . . . . . . . . . 256
28.2 Trasformata di Laplace di una funzione e derivata . . . . . . . . . . . 256
28.2.1 Trasformata di Laplace della derivata . . . . . . . . . . . . . . 256
28.2.2 Trasformata di Laplace della derivata . . . . . . . . . . . . . . 257
28.2.3 Trasformata di Laplace della derivata di ordine n . . . . . . . . 258
28.2.4 Derivata della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . 258
28.2.5 Trasformata di Laplace della funzione H(t)tn . . . . . . . . . . 263
28.3 Trasformata di Laplace e convoluzione di funzioni . . . . . . . . . . . . 264
28.3.1 Convoluzione di due funzioni di supporto incluso in [0.+∞[. . 264
28.3.2 Trasformata di Laplace e convoluzione di funzioni . . . . . . . 264
28.4 La trasformata di Laplace di una distribuzione . . . . . . . . . . . . . 265
28.4.1 Ascissa di convergenza di una distribuzione . . . . . . . . . . . 265
28.4.2 Distribuzione trasformabile secondo Laplace . . . . . . . . . . . 265
28.4.3 Trasformata di Fourier di e−σtT . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
28.4.4 Trasformata di Laplace di una distribuzione in un punto . . . . 266
28.4.5 Trasformata di Laplace di una distribuzione . . . . . . . . . . . 266
28.4.6 Analiticit`a della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . 266
28.4.7 Trasformata di Laplace sulle distribuzioni . . . . . . . . . . . . 266
28.4.8 Trasformata di Laplace di una funzione u e della distribuzione
u·λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
28.4.9 Generalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
28.4.10TrasformatadiLaplacediunadistribuzioneasupportocompatto267
28.4.11Trasformata di Laplace della traslata di una distribuzione . . . 268
28.4.12Traslata della trasformata di Laplace di una distribuzione . . . 268
28.4.13Trasformata di Laplace di una distribuzione e omotetie . . . . 268
28.4.14Trasformata di Laplace della derivata di una distribuzione . . . 269
28.4.15Derivata della trasformata ... temperata. . . . . . . . . . . . . 269
28.4.16Trasformata di Laplace della distribuzione δ e di (δ )′ . . . . . 269
0 0
28.5 Antitrasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
28.5.1 Antitrasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
28.5.2 Distribuzioni uguali e trasformata di Laplace . . . . . . . . . . 271
28.5.3 Antitrasformata e derivate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
28.5.4 Espressione dell’antitrasformata. . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
28.5.5 Antitrasformata come funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
28.5.6 Alcune funzioni antitrasformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
28.5.7 Antitrasformata di e−asf(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
28.5.8 Antitrasformata di f(s−α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
28.5.9 Antitrasformata di un prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
28.6 Equazioni differenziali lineari su [0,+∞[ . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
28.6.1 Equazioni differenziali lineari su [0,+∞[ . . . . . . . . . . . . . 280