Correspondances de Howe sur un corps p-adique

164 Pages·1987·2.802 MB·French

by  Colette Mœglin, Marie-France Vignéras, Jean-Loup Waldspurger (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by A. Dold and B. Eckmann
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Correspondances de Howe
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Berlin Heidelberg NewYork London Paris Tokyo
Auteurs
Colette Moeglin
Universit6 Pierre et Marie Curie, L.M.E
75252 Paris Cedex 02, France
Marie-France Vign~ras
Universit6 de Paris 7, Math6matiques, Tour 45-55 ° 5 6tage
75221 Paris Cedex 05, France
Jean-Loup Waldspurger
ENS-DMI
45 rue d'UIm, 75230 Paris Cedex 05, France
Mathematics Subject Classification (1980): Primary: 11 F 27, 11 F 70, 22 E50;
secondary: 11 E08, 20G25, 22E35
ISBN 3-540-18699-9 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
ISBN 0-387-18699-9 Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987
Printed ni Germany
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012345-041316412
INTRODUCTION.
Le s~minaire de l'Universit~ Paris VII sur les representations des
groupes r4ductifs (s~minaire Rodier) ~tait consacr4 en 85-86 aux represen-
tations m~taplectiques sur un corps p-adique. Les travaux sur ce sujet de
divers auteurs (Howe, Kudla, Rallis...) ont ~t4 exposes. Au cours de ce
s~minaire un certain travail de mise en forme, de "polissage", a ~t~ effec-
tu4, tant en ce qui concerne les g~n~ralit~s sur les representations m~ta-
plectiques qu'en ce qui concerne les travaux r4cents 4voqu~s ci-dessus.
Certains points se sont 4claircis, au moins aux yeux des auteurs, et il a
sembl4 qu'il n'~tait pas inutile de mettre au net une partie du travail
effectu~ et de la publier. Ce livre contient donc peu de travaux v~ritable-
ment originaux des auteurs, et doit ~tre concu comme un compte-rendu de
l'activit~ du s4minaire.
Le premier chapitre contient des g4n~ralit~s "g~om~triques" sur les espaces
hermitiens: classification, th~orgme de Witt, lagrangiens, groupes unitaires
et leurs sous-groupes paraboliques. En particulier, on y introduit et clas-
sifie les paires r~ductives duales. Le deuxi~me chapitre contient des g4n~-
ralit4s sur les representations m~taplectiques (ou "de Weil") sur un corps
p-adique: groupe d'Heisenberg, th~or~me de Stone-Von Neumann, groupes m~ta-
plectiques. On y 4nonce la conjecture de Howe. Le troisi~me chapitre se
d~compose en deux. Dans un,premier paragraphe, on montre qu'un groupe inter-
venant dans une paire r~ductive duale irr~ductible est "scind4" dans le
groupe m~taplectique, ~ l'exception du cas bien connu du groupe symplec-
tique. Le second paragraphe est un expos~ de l'article de Kudla "On the
local th~ta correspondence", g~n~ralis~ au cas d'une paire r~ductive duale
quelconque: compatibilit~ de la conjecture de Howe avec l'induction parabo-
lique, d~monstration de la conjecture pour les representations cuspidales
(ce dernier point s'appuyant essentiellement sur un travail de Rallis).
Le quatri~me chapitre contient quelques r4sultats se d4duisant de l'~tude
VI
des classes de conjugaison dans les groupes unitaires: d4termination des
contragr4dientes des repr4sentations de certains de ces groupes, commutati-
vlt~ de l'alg~bre de Hecke d'un groupe m~taplectique, commutant d'une palre
r~ductlve duale dans la representation m4taplectique. Le cinqui~me chapitre
expose la d~monstration de la conjecture de Howe pour les palres non rami-
fi~es. Qu'il solt bien clair que cette d~monstration est due ~ Howe, et
que c'est seulement parce que nous concevons ce livre comme un compte-rendu
de s~minaire que nous nous permettons de la publier. Le sixi~me chapitre
expose les travaux de Howe sur les repr4sentations de petit rang. On ~tend
cette notion dans le cadre des repr4sentations lisses, on classifle les
representations de petit rang, on 4tablit le lien entre cette classifica-
tion et la correspondance (conjecturale) de Howe.
Les chapitres Iet 3 ont ~t~ ~crlts par Vign~ras, les chapitres 2, 4,
5 par Waldspurger, le chapitre 6 par M~glin. Bien que chaque auteur assume
plus particuli~rement la responsabilit~ des chapitres qu'il (elle) a 4crits,
il y a eu naturellement des ~changes et influences r~ciproques entre eux
trois. Ii y a eu ~galement influence des autres participants au s4minaire
de Paris VII, que les auteurs remercient.
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE .I ESPACES HERMITIENS
I. G~n~ralit~s sur la classification des espaces hermitiens.
i D~finitions
2 Exemples
3 Involutions
4 Involutions sur un corps fini, local ou global
5 Espace &-hermitien de type 2, groupe de Witt
6 Th~or~me d'orthogonalisation, invariants
7 Espace altern~
8 Base hyperbolique, d~composition de Witt
9 Th~or~me de Witt
i0 Invariants
ii Classification des espaces hermitiens sur un corps fini ou local
12 Classification des espaces anti-hermitiens sur un corps de quaternions local
13 Princlpes de Hasse
14 D~viation au principe de Hasse dans le cas exceptlonnel
15 Invarlants des espaces L-hermitlens sur un corps global
16 Produit tensoriel
17 Paires duales
18 Classification des sous-alg~bres de Howe des alg~bres centrales simples
19 Classification des sous-groupes de Howe des groupes classiques
20 D~composition d'un espace symplectique en produit tensoriel
II. Lagranglens.
1 Description de ~hassoci~e ~ une polarisatlon
2 Description de~ associ~e ~ une d4composition en somme orthogonale
3 Lemmes g~om4triques
4 Lagranglens fixes par un sous-groupe de Howe r~ductif
5 Commutant de U(W) dans End W
III. Paraboliques.
1 Extension des scalaires
2 Groupes paraboliques
3 Normalisateurs, classes de conjugaison, parabollques maximaux
4 Preuve de la proposition 2
5 Description de P(X)
27
CHAPITRE .2 REPRESENTATIONS METAPLECTIQUES ET CONJECTURE DE HOWE
I. Le groupe d'Heisenberg.
1D4finltion
2 Th~or~me de Stone et Von Neumann
3 Construction de la representation m~taplectique du groupe d'Heisenberg
4 Exemples
5 Unlcit~ de la representation m~taplectique
6 Propri4t4s de la representation m4taplectique
7 Chan~ement de modules
8 Repr~sentatlons lisses du groupe d'Heisenberg
II. Le groupe symplectique, la repr4sentatlon m4taplectique.
i Le groupe m~taplectique et sa representation
2,3,4 Un module canonlque de la repr~sentatlon m4taplectique
5 Commutation dans le groupe m~taplectique
6 ModUle de Schr~dinger
7 ModUle de Schr~dinger mlxte
8 ModUle latticiel
9 Scindage au-dessus d'un sous-groupe
10 Scindage du sous-groupe compact maximal
III. La conjecture de Howe
1 Paire r~ductive duale dans le groupe m4taplectique
2 Premier ~nonc4 de la conjecture
Vl
3,4 Deux lemmes sur les produits tensoriels de repr~sentatlons
5 Deuxi~me ~nonc~ de la conjecture
6 Quelques questions ouvertes
CHAPITRE 3. CORRESPONDANCE DE HOWE ET INDUCTION 51
I. Restriction de l'extenslon m~taplectique aux palres duales.
1 Theorems
2 Restriction des scalaires
3,4 D~monstrations
5,6,7 Formule explicite pour le cocycle m~taplectlque
II. Remarques sur les representations des groupes p-adiques.
I D~finitlons
2 Induction, restriction pour un produit seml-dlrect
3 ind(C~G,G,l)
4 Induction dans ~p(W)
5 Repr~sentatlons de O(W)
6 Groupes orthogonaux en petite dimension
7 Induction dans les groupes orthogonaux
8,9 D~monstrations
III. Paires duales de type .2
1Correspondance de Howe modifies
2,3 Filtration
4,5 m' )~(
6 Description conjecturale de la correspondance de Howe
7 D4monstratlons
IV. Paires duales de type .I
1Correspondance de Howe modlfi@e
2 m' (~)
3 Les repr~sentatlons analogues de ~i0
4 Theorems principal
5,6 rt (~m,m,)
7,8,9 (~m,m,)H
m
i0 D~monstration du theorems 4
V. D~monstrations des th~or~mes 5,7: calcul de colnvarlants de ~m,m'"
CHAPITRE 4. SUR LES CLASSES DE CONJUGAISON DANS CERTAINS GROUPES UNITAIRES 79
I. Conjugalson dans certains groupes unitaires.
i Hypotheses
2 La proposition fondamentale
3 R~duction A deux cas irr~ductibles
4 Le cas II
5 Le cas I: transformation du probl~me
6 ........ : cas particulier
7 ........ : cas g~n~ral
8 La proposition adapt4e au groups m~taplectlque
9 Une r~duction: produit de plusleurs groupes
i0 ............. : extension du corps de base
ii Cas partlculier: espace de dimension 2
12 D~monstratlon du cas g~n4ral
13 conJugaison conservant le sous-groupe compact maximal
II. Contragr~dientes des repr4sentatlons des groupes unltaires.
1D~termlnation de la representation contragr4diente
2 .................................................. : cas du groups m~taplec-
tique
III. Commutativlt~ de l'alg~bre de Hecke de ~p(W).
IV. Apropos d'un commutant.
1Commutant d'une pairs r4ductive duals dans la repr~sentatlon m~taplectique
VII
2 Un lenzme sur les orbites
3,4 D~monstratlon de la proposition IV 1
5 Application aux corps finis
CHAPITRE 5. PAIRES REDUCTIVES DUALES NON RAMIFIEES 99
I. Sous-groupes compacts des groupes de Howe et representation m~taplectique.
1 Hypotheses
2 Groupes de congruence
3 Action des groupes de congruence
4 Th~or~me d'engendrement d'un espace d'invarlants
5 Proposition compl~mentalre
6 Th~or~me (conjecture de Howe)
7,8,9 D~monstratlon du th~or~me 1 6
I0 Cas des repr~sentatlons non ramifi4es
Ii Alg~bres de Hecke
II. R~seaux autoduaux.
I Bases et congruences
2 Classification
3 Espaces isotropes et congruences
4 Cas symplectique
5 Rel~vement des transformations unitalres
6 Sous-espaces et congruences
7 Base adapt~e relativement g deux r4seaux
8 Un lemme sur des orbltes
III. Les d~monstrations.
i Une base de l'espace des Invariants
2 Dyades
3 Dyades et invariance
4 D~monstratlon du th~or~me 1 4. R~duction au niveau 1
5 ............................. . Sch4ma de la d~monstration au nlveau i
6 Construction d'un ~14ment invariant
7 Fin de la d~monstration
8 D~monstration de la proposition 1 5
CHAPITRE 6. REPRESENTATIONS DE PETIT RANG DU GROUPE SYMPLECTIQUE 127
I Notations g~n~rales
2 Enonc~ du th~or~me
3 D~flnition locale du petit rang et lien avec la d~flnition globale
4 On se place dans le cadre lisse
5 Enonc~ du th~or~me local
6 Quelques lemmes
7 Quelques notations et le cas de ~=0
8 Diagramme permettant une r~currence
9 D~but de la r~currence: le cas de S
2
I0 Preuve du th~or~me 5 (saul iv)
Ii Lien avec la repr~sentatlon m~taplectlque; premieres notations et remarques
12 Preuve de 5 iv
13 Lien de avec la conjecture de Howe
14 Etude de ~r/~+l__
15 Preuve de la proposition 13 i
16 Preuve de 13 ii
Index Termino!ogique 163
Chapitre 1. Espaces hermitiens.
I - G~n6ralit~s sur la classification des espaces hermitiens.
1. D$finitions. Soit Dun corps (pas ndcessairement commutatif, mais de dimension finie sur
son centre), mtmi d'une involution x, i.e.d'un anti-automorphisme de carr6 l'application identique.
On a donc
"c(d+d')=x(d)+'c(d'), x(dd')='~(d')l:(d), '~('c(d))=d, pour d,d' e D.
On note Fle corps commutatif form6 par les points fixes de x. Soit W un espace vectoriel t~ droite
sur D, de dimension n, muni d'un produit e-hermitien, i.e. d'une application sesquilintaire <, >
de WxW dans D, lintaire en la seconde variable, i.e. <wd,w'd'>=z(d)<w,w'>d', non ddgtntrde,
telle que
<w',w> = e x(<w,w'>).
Pour que cette d6finition ait un sens, e doit appartenir au centre F' de D, et vtrifier ex(e)=l.
Deux 616ments de W sont orthogonaux si leur produit hermitien est nul.
Deux D-espaces e-hermitiens sont isomttriques (resp. semblables) s'il existe une application
D-lintaire bijective de run sur rautre conservant le produit hermitien (resp. t~ multiplication pros par
un 6Itment du centre de D). Une telle application s'appelle une isomStrie (resp. similitude).
L'ensemble des isomttries de (W,<, >) darts lui-mame forment un groupe U appel6 te groupe
unitaire de (W,<, >).
Ces dtfinitions se g6ntralisent au cas a?o D est un anneau ~ involution [Sc 7.1].
Remarques : Un D-module ~ gauche Vest canoniquement un D°-module t~ droite, o5 ° D est le
corps oppos6 D ~ (la multiplication est dtfinie par dxd' = d'd). L'involution permet de convertir un
D-module ~? droite en un D-module ~ gauche, en posant dxv=vx(d) si ve V,de D. Une application
sesquilintaire sur un D-module t~ gauche V t~ valeurs dans D est lintaire en la premiere variable :
si v,v'e V et d,d'~ D, on a <dv,d'v'>=d<v,v'>x(d'). Inversement, tout D-module ~ gauche peut atre
convertie n un D-module t~ droite.
L'ensemble V*=Hom(V,D) est muni naturellement d'une structure de D-espace t~ gauche donnte
pas (df)(v)--d(f(v)) si f~ V*. Nous considtrons toujours V* avec sa structure d'espace t~ droite
d6finie comme ci-dessus, m~me si D est commutatif.., et nous rappelons le dual de V. Avec cette
dtfinition, le produit hermitien dtfinit un D-isomorphisme entre Wet son dual : w--->w*,
w*(v)=<w,v> si w,ve W.
1I ddfinit sur l'alg~bre A=EndDW une involution : f--if*, o5
<f(w),w'>=<w,f*(w')> si w,w'e W ;
f* est radjoint de f. Le groupe unitaire U(W) est 6gal ~ {ueA, uu*=id. } II est bien connu que
l'application W---~A=EndDW induit une bijection entre
a) les espaces hermitiens de dimension fine, t~ similitude pros,
b) les alg~bres centrales simples ~ involution de dimension finie, ~ isomorphisme pr~s.
2. Exemples. Les espaces e-hermitiens sont des gtntralisations des espaces
1) quadratiques (D=F, e=l)
2) symptectiques (D=F, e=-l, caracttristique difftrente de 2)
3) hermitiens (D=F' est une extension quadratique de F, e=l)
Dans le cas 1) le groupe U est le groupe orthogonal de W, not6 aussi O(W), dans le cas 2) le
groupe U est le groupe sympleetique de W, not6 encore Sp(W).
Les exemples fondamentaux :
4) les espaees e-hermitiens D(a) de dimension 1. Soit a~ D tel que a=e1:(a). On note D(a)
le D-espace vectoriel ~ droite D muni du produit e-hermifien <d,d'> = x(d)ad'.
5) le plan hyperbolique e-hermitien H 6gal au D-espace vectoriel ~ droite DxD muni du
produit e-hermitien <(dl,d2),(d' 1,d'2)> = X(dl)d'2+ex(d2)d'l.
6) Si Vest un D-espace ~ droite, W=V+V* muni du produit hermitien
<(v,f),(v',f)>=f (v)+ez(f(v'))
est un espace e-hermitien canonique associ6 t~ V gtntralisant 5).
3. Involutions. La classification des involutions sur une algtbre simple est bien connue. Une
involution x sur D envoie le centre F' de D sur lui-m~me, ce qui ouvre la vole i? deux
possibilitts :
1) c'est l'identit6 sur F', on dit alors qu'elle est de premiere esp~ce, alors e = +1 (respace sera
dit hermitien) ou -1 (espace antihermitien). On dolt avoir D--D °. C'est un thtor~me [Sc. 8.4] que D
admet une involution de premiere esp~ce si et seulement si D=D °.
2) F' est une extension quadratique stparable de F, x restreint t~ F' est le F-automorphisme non
trivial cr de F'. On dit alors que x est de seconde esp~ee. Mais par le thtor~me 90 de Hilbert, si
e~ F' vtrifie eeCr=l, il existe Ixa F' tel que e=ktg/kt. On a
~t<w,w'>=~tex(<w',w>)---x(~t<w',w>).
La multiplication par t.I foumit une bijection entre les espaces e-hermitiens et les espaces
1-hermitiens (dits hermitiens). On se limitera donc aux espaces hermitiens, quand l'involution est de
seconde esp~ce.
Si g D est le corps conjugu6 de D, on doit avoir D=D cr°. Inversement, si D=D or°, il existe un
anti-automorphisme t de D prolongeant or. Comme 2 t est un automorphisme, il existe a~D , tel
que 2 t (d)=ada 1- , d~D. C'est un thtorbme [8.8.2] que t~=at(a) ~ F ne dtpend que de D, et que D
admet une involution prolongeant rc si et seulement si tx est norme d'un 616ment de F'. Si D est un
corps de quatemions, on peut montrer qu'une involution de seconde esp~ce existe sur D, sie t
seulement si D = DI®F F' a?o 1 D est un corps de quaternions sur F.
4. Involutions sur tm corps fini, local, ou global.
1) Si F est ffmi, tout corps fini 6tant commutatif, on a seulement deux cas : D=F, ou D=F' est
runique extension quadratique de F.
2) Si F' =C, D=C, rinvolution est triviale, ou l'unique automorphisme non trivial d'ordre 2 de C,
la conjugaisonc omplexe.
3) Si F'=]R, D=It, ou le corps des quaternions H de Hamilton. Comme IR n'admet pas
d'automorphisme d'ordre 2, rinvolution dans ce cas est triviale. De plus, H n'admet pas
d'involution de seconde esp~ce. Le th6or~me de Skolem-Noether montre que la conjugaison
canonique de H sur ]Rest t~ multiplication par un automorphisme int6rieur prbs, l'unique
involution de premiere esp~ce sur H.
4) Si F est un corps local non archim6dien, par le mSme raisonnement, on trouve :
a) D=F
b) D=F', une extension quadratique s6parable de F
c) D=le corps de quatemions H sur F' (unique t~ isomorphisme pros), involution canonique h
automorphisme int6rieur pros, et F'=F.
1I n'y en a pas d'autre, la condition D=DI®F ' de (3.2) 6tant impossible.
5) Si F est un corps global, on a encore les trois cas a),b), et c) pour un corps de quatemions
quelconque, mais ce n'est pas tout : il y a des cas d'involution de seconde esp~ce.
d) Si F' est une extension quadratique s6parable de F, O D un corps de quatemions de centre F,
D=Do®FF' est muni de l'involution de seconde esp~ce, produit tensorielde l'involution canonique
de O D sur F et de ~J.
Soit p une place quelconque de F' et dp ~ Q/Z rinvariant local en p du corps gauche D. On a
dp = 0 (i.e. Dp=D®FF' pest une alg~bre de matrices),pour presque tout p, et ~5p = 0.
A isomorphisme pros, D est caract6ris6 par ses invariants locaux.
d g6n6ral) F' est une extension quadratique s6parable de F, d'automorphisme non trivial (~, D un
corps gauche de centre F', tel que
dp= 0, si Op-_p et dp+dpo = 0 , sinon
Alors D admet une involution prolongeant ~.
Ces conditions sont 6videmment n6cessaires car dp(Dg°)= -de~, par (3.2) et (4). Inversement, elles
impliquent D=D g° , et F et~ de (3.2) est une norme locale partout, donc la norme d'un 616ment de
F,
La liste est complete.