Contribution à la modélisation dynamique des systèmes articulés. Bases mathématiques et outils ...

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by  Ali Hamlili

Contribution à la modélisation dynamique des systèmes
articulés. Bases mathématiques et outils informatiques
Ali Hamlili
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Ali Hamlili. Contribution à la modélisation dynamique des systèmes articulés. Bases mathématiques
et outils informatiques. Modélisation et simulation. Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, 1993.
Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-00523121￿
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A¿S.¿OD33 /y
3 DES PONTS hT CHAUSSEES
THESE DE DOCTORAT
présentée
à
L'ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES
Spécialité
MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
CONTRIBUTION A LA MODELISATION DYNAMIQUE DES
SYSTEMES ARTICULES
(BASES MATHEMATIQUES ET OUTILS INFORMATIQUES)
par
ALI HAMULI
Soutenue le 17 Septendne 1093, devant- le Jiny d'Examen composé de:
Mme PASCAL Madeleine Président Rappoiteur
MM. LAZARD Daniel Rapporteur
CHEVALLIER Dominique Directeur de thèse
LALEMENT René Examinateur
LERBET Jean Examinateur
RIGOLOT Alain Examinateur
E.N.P.C.
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ABSTRACT
During the last years, mechanical articulated systems have become increasingly important in
the field of automation. This work makes two important contributions towards a better utilization
of mathematical abstraction:
• The first contribution concerns the dynamic modélisation of articulated systems like mechan
ical manipulators and complex open kinematic chains. The mathematical abstraction by the
Lie groups and Lie algebras theory offers an excellent means for simplifying the syntactical
form of expressions of models. New methods for describing (by fundamental families) con
figurations of mechanical systems and an original efficient recursive computational scheme
of Newton-Euler dynamics are developed. With this formulation, it should be possible to
compute a near-optimal Newton-Euler dynamics in real time.
• The second contribution concerns algebraic typing, term rewriting theory and automatic gen
eration of codes. These problems lead to new computer algebra system architectures based
on artificial intelligence methods and representations in multi-equational specifications. In
this order of ideas, a prototype of computer algebra system (SURVEYOR) and an extension
(MEDUSA MF77) of Maple system, based on object oriented programming and artificial
intelligence control, are realized. A software tool for generating Fortran and Maple iterative
symbolic optimized codes of our dynamic formulation is developed with MEDUSA MF77sys
tem .
Keywords:
Kinematics, Dynamics, Simple and Complex Open Kinematic Chains, Differential Geometry,
Lie Groups and Lie Algebras, Artificial Intelligence, Object Oriented Programming, Automatic
Generation of Codes.

REMERCIEMENTS
II m'est agréable d'exprimer dans ces quelques lignes ma reconnaissance et ma gratitude aux
personnes qui ont contribué à la réussite de ce travail:
Monsieur Dominique CHEVALLIER, Directeur-adjoint du CERMA, a dirigé cette thèse. Il
m'a prodigué conseils constructifs et remarques pertinentes tout au long de ces années de
recherche à ses cotés. Qu'il me permette de lui témoigner ma profonde reconnaissance.
Madame Madeleine PASCAL, Professeur de l'université d'Evry Val. d'Essonne, a accepté
d'être président rapporteur du jury. Je lui exprime tout mon respect et ma gratitude.
Monsieur Daniel LAZARD, Professeur de l'Université Pierre et Marie Curie, a accepté d'être
rapporteur de ce travail. Je le remercie vivement pour l'intérêt qu'il a manifesté à l'égard de
mes travaux et pour l'enthousiasme avec lequel il a lu ce document.
Monsieur René LALEMENT, Professeur à l'ENPC et Directeur-adjoint du CERMICS, je le
remercie sincèrement pour ses remarques valeureuses concernant la partie informatique de ce
travail.
Monsieur Jean LERBET, Maître de conférence à l'université de Tours, acceptera que j'évoque
ici l'aide amicale qu'il m'a apporté dans la hâte des derniers jours. Je l'en remercie cordiale
ment.
Monsieur Alain RIGOLOT, Professeur des universités, m'a fait l'honneur d'examiner mes
travaux et de participer au jury de thèse. Je le remercie pour l'enthousiasme chaleureux avec
lequel il m'a fait part de ses remarques.
J'adresse mes sincères remerciements à la direction de l'école nationale des ponts et chaussés
et aux membres du centre d'enseignement et de recherche en mathématiques appliquées qui m'ont
accueilli aux seins de leur centre pour toute la période de ma thèse. Ils ont su écouter mes exposés,
leurs remarques et leurs questions m'ont été précieuses. Je n'oublie pas de remercier Madame
Véronique SERRE secrétaire du CERMA pour sa gentillesse et ses compétences multiples, ainsi
qu'à tous mes camarades du centre pour leur amitié.
Enfin, je dédie ce travail à mes parents et ma famille. Je leur serai éternellement reconnaissant
pour leur soutien et leur amour.

TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION 1
0.1 Contexte de notre travail 1
0.2 Fondements et buts de la thèse . 3
0.3 Etat de la question de dynamique 4
0.3.1 Formalisme de Lagrange 6
0.3.2 Formalisme de Gibbs-Appel 6
0.3.3 Formalisme de Newton-Euler 6
0.4 Pian et apports de la thèse 7
0.4.1 La partie 1 7
0.4.2 La partie 2 8
0.4.3 La partie 3 10
0.4.4 Les annexes 10
Partiel ASPECTS MATHEMATIQUES 11
1 ELEMENTS DE LA REPRESENTATION DUALE 15
1.1 Introduction 15
1.2 Nombres duaux 16
1.2.1 Définition structurelle 16
1.2.2 Parties réelle et partie duale d'un nombre dual 17
1.2.3 Nombres duaux inversibles - Quotient 17
1.3 Fonction d'une variable duale 18
1.3.1 Définition - Exemples 18
1.3.2 Limite et continuité de fonctions de variable duale . 19
1.3.3 A-difFérentiabilité - Dérivée d'une fonction de variable duale . . . . . .. 19
1.3.4 Conditions de A-diffêrentiabilité 19
1.3.5 Prolongement canonique dual d'une fonction de variable réelle 21
1.4 Vecteurs duaux 22
1.4.1 Construction des vecteurs duaux - Définitions 22
1.4.2 Opérations élémentaires sur les vecteurs duaux 24
1.5 Matrices duales 26
v
Partie 0 TABLE DES MATIERES
1.5.1 Construction 26
1.5.2 Inversion de matrices carrées duales 28
1.5.3 Matrice duale orthogonale 28
1.6 Conclusion 29
2 CONCEPTS ET OUTILS PRELIMINAIRES DE MODELISATION 31
2.1 Introduction 31
2.1.1 Notion du groupe des déplacements euclidiens 32
2.1.2 Notion de configuration d'un corps rigide 32
2.2 Algèbre de Lie des torseurs 32
2.2.1 Rappels - Définitions - Notations 32
2.2.2 Structure d'algèbre de Lie de l'espace vectoriel des torseurs . . . . . . .. 34
2.2.3 Multiplication des torseurs par les nombres duaux 35
2.3 Représentation duale des torseurs 35
2.3.1 Opérateur de réduction d'un torseur en un point 35
2.3.2 Produit scalaire dual sur le A-module des torseurs 36
2.3.3 Pseudo-norme sur le A-module des torseurs 37
2.3.4 Produit mixte dual de torseurs . 37
2.3.5 Torseurs unitaires et torseurs orthogonaux 38
2.4 Famille fondamentale de l'algèbre de Lie des torseurs 38
2.5 Groupe orthogonal de D - Déplacements euclidiens 42
2.6 Action du groupe des déplacements à gauche sur $ 44
2.7 Isomorphie de (S, D, •) et (#,D,o) 45
2.8 Notion de mouvement de solide rigide - Familles mobiles 46
2.9 Exponentielle de torseurs - Générateur infinitésimal d'un déplacement 46
2.10 Calcul de la représentation adjointe d'un déplacement 48
2.11 Déplacements élémentaires - Décomposition canonique des déplacements 49
2.12 Changement de coordonnées relatif à un changement de configurations 51
2.13 Conclusion 51
Partie 2 MODELISATION DES SYSTEMES ARTICULES 53
3 MODELE GEOMETRIQUE DES SYSTEMES ARTICULES 57
3.1 Introduction 57
3.2 Liaison - Paire cinématique - Degrés de liberté 59
3.3 Classification des paires cinématiques par sous-groupes de 3D) 64
3.4 Chaîne cinématique 66
3.5 Structure topologique des mécanismes 69
3.5.1 Graphe des mécanismes à topologie arborescente 69
3.5.2 Parcours en largeur de l'arbre topologique 70
TABLE DES MATIERES Partie 0
3.5.3 Exemple de structure arborescente 73
3.6 Variétés d'étude des systèmes articulés 74
3.6.1 Espace opérationnel 74
3.6.2 Espace articulaire . 74
3.7 Cosinus directeurs duaux 75
3.8 Systèmes de coordonnées 77
3.8.1 Angles de Brian t duaux: Roulis, Tangage et Lacet duaux 80
3.8.2 Angles d'Euler duaux: Précession - Nutation et Rotation propre duales . 83
3.9 Modèle géométrique des mécanismes à structure ouverte simple 87
3.9.1 Déplacements de passage entre éléments adjacents du robot . 88
3.9.2 Modèle géométrique en terme de déplacements de passage 88
3.10 Conventions de Denavit-Hartenberg 88
3.10.1 Algorithme pour les systèmes en chaîne ouverte simple 89
3.10.2 Commentaires et preuve de l'algorithme 93
3.11 Modèle géométrique d'un manipulateur à structure arborescente 94
3.11.1 Formulation itérative du modèle géométrique 94
3.11.2 Généralisation de l'algorithme par les conventions de Denavit-Hartenberg
aux systèmes arborescents 95
3.12 Conclusion 97
MODELE DYNAMIQUE DES SYSTEMES ARTICULES 99
4.1 Introduction 99
4.2 Descriptions du champ des vitesses 100
4.2.1 Dérivée temporelle d'un champ . 100
4.2.2 Descriptions euierienne et lagrangienne des vitesses 100
4.3 Accélérations d'un corps rigide - Lois de composition de mouvements 102
4.3.1 Résultats préliminaires 102
4.3.2 Vitesses et accélérations dar s une paire cinématique 103
4.4 Cinétique du corps solide 107
4.4.1 Description de la masse inerte 107
4.4.2 Description du centre de masse 107
4.4.3 Tenseur d'inertie d'ordre deux 108
4.4.4 Torseur cinétique - Opérateur généralisé d'inertie . . . . . . . . . . . . .. 109
4.5 Torseur dynamique - Loi de Newton-Euler 111
4.6 Modèle dynamique des robots à chaîne ouverte simple . . . , , ., 113
4.6.1 Algorithmes récurrents pour le calcul des vitesses et accélérations 114
4.6.2 Application des lois de Newton-Euler 118
4.6.3 Efforts des actionneurs au niveau des articulations 119
4.6.4 Algorithme de "propagation" des forces et couples articulaires 122
4.6.5 Efforts généralisés - Coefficient caractéristique 123