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RevueÉlectroniqueFrancophoned’InformatiqueGraphique,Volume1,Numéro1,pp.1–35,2007 Constructions euclidiennes, dans le plan affine, d’arcs de coniques propres par des I.F.S. affines non stationnaires LionelGARNIER LE2i,UMRCNRS5158,UniversitédeBourgogne,B.P.47870,21078DijonCedex,France [email protected] Résumé DanslasecondemoitiéduXXesiècle,P.Bézierainventédescourbespermettantdedécriredesarcsdeconiques enconsidéranttroispointspondérés.R.Goldmanamontrél’auto-similaritédescourbesdeBézier.Quantàlui, P. DeCasteljaua proposé un algorithme permettant de créer cescourbes enutilisant unI.F.S.,soit en restant dans l’espace affine dans le cas de la parabole, soit en travaillant dans la fermeture projective du plan affine dans le cas des coniques à centre. Cette dernière méthode induit quelques problèmes aussi bien du point de vue de la modélisation (en géométrie projective, il n’y a pas de distinction entre un parabole et une conique à centre) que du point de vue de la construction (nous ne pouvons pas rester dans l’espace affine). Dans cet article, dans un premier temps, nous déterminons les éléments caractéristiques, en n’utilisant que des critères purementgéométriques,d’uneconiquepropre(parabole,ellipse,hyperbole)définiepartroispointspondérésqui peuventêtrelespointsdecontrôled’unecourbedeBézierquadratiquesousformequasistandard.Dansunsecond temps, nous proposons des algorithmes permettant de représenter un arc de conique à centre en construisant, dansleplanaffineeuclidien,unI.F.S.affinenonstationnaire.Touscesalgorithmess’appuientsurlespropriétés barycentriquesdescourbesdeBézieretsurlespropriétésgéométriquesdesconiquespropres.Achaqueétape,le pointconstruitappartientàunemédianedutrianglecequipermetunerépartitionuniformedespointsconstruits et nous transformons ce triangle en deux triangles. Dans tousles cas, nous construisons un polygone dont les sommetssontlespointsdelaconiquelimiteetunpolygonedontlescôtéssontlestangentesréellesàlaconique limiteauxsommetsdupolygoneprécédent. Notreméthodeprésentel’avantagederesterdansl’espaceaffineet den’utiliserquedesconceptsgéométriquesc’est-à-direque,silepoidsdupointintermédiaireestconstructible, lesconstructionsissuesdenosalgorithmespeuventêtreréaliséesàlarègleetaucompasetnouspouvonsalors utiliserunlogicieldegéométriedynamique(commeKig)cequipermetd’apporterunedimensionpédagogique etsanscalculsàlaconstructionitératived’arcsdeconiquespropres.Deplus,nosméthodespermettentd’utiliser lesrèglesdedéductionsbaséessurdesthéorèmesafindedéterminercertainespropriétésgéométriques. Motsclefs:I.F.S,Cercle,ellipse,parabole,hyperbole,courbesdeBézierdedegré2 InthesecondhalfoftheXXecentury,P.Bézierdefinedcurveswhichrepresentcirclearcsusingthreelevel-headed points.P.deCasteljaugaveanalgorithmwhichcanmodelizethesecurvesusinganlinearI.F.S.Inthisarticle,after determiningcharacteristicelementsofproperconic(parabola,ellipse,hyperbola),wegivealgorithms,basedon rationalquadraticBéziercurvesandpropertiesofcentralconics,whosecanmodelizeellipsesandhyperbolas.At eachstep,theconstructedpointbelongstoanmedianofthecontrolpolyhedron.Weconstruct,intheaffineplane, non-stationnaryprojectifI.F.S.usingeuclidienpropertiesofconics.Wecomputetwopolygons:theverticesofthe firstpolygonbelongtothelimitconic.Theedgesofthesecondpolygonarethetangenttotheconicatthevertice ofthefirstpolygon.Moreover,iftheweightisconstructible,theconstructionsstemmingfromouralgorithmscould bemadewithjustrulerstraightlineandcompass.So,thesealgorithmspermitaapprochteachingandlearning withoutcalculus.Moreover,geometricalpropertiescanbedeductbyasoftofdynamicalgeometryasKig. Keywords:I.F.S,Circle,ellipse,parabola,hyperbola,quadraticBéziercurves (cid:13)c REFIG2010,RevueÉlectroniqueFrancophoned’InformatiqueGraphique. Publiéeparl’AssociationFrançaised’InformatiqueGraphique 1 Introduction tées, ces éléments à l’aide de la règle et du compas. Il est alors possible d’utiliser les algorithmes proposés dans cet Danslesannées60,deuxpersonnesontdéfinilesmêmes articledansunlogicieldegéométriedynamiquecommeKig outils afin de résoudre leurs problèmes de modélisation http://edu.kde.org/kig/.Deplus,nosalgorithmespermettent en CFAO dans leurs industries respectives : Pierre Bézier de ne modéliser qu’un arc de la conique, ce qui peut être [Béz86]chezRenaultetPaulDeCasteljau[Cas85]chezCi- utilelorsdelaréalisationdejointures[Gar07].Notreprin- troën. L’idée est de réaliser une construction virtuelle de cipedeconstructionàchaqueétapedudéroulementdenotre l’objet (en l’occurrence des voitures) en utilisant des or- algorithme,àtransformeruntriangleendeuxtriangles:un dinateurs plutôt que des moules. Ce procédé permet alors trianglegaucheetuntriangledroit. de diminuer les coûts de productions et un gain de temps devient possible si la modélisation a été bien pensée. Ces Pour ce faire, nous sommes obligés de déterminer cer- courbess’appuientsurlespolynômesdeBernstein.Lorsque tains éléments caractéristiques de la conique puisque nous ces derniers sont de degré 2, le modèle polynômial de nous en servons dans nos algorithmes. Ce travail, condui- ces courbes permet de modéliser un arc de parabole tan- sant aux mêmes résultatsthéoriques, aétéfait par J.P.Bé- disquelemodèle rationnel permet d’obtenir lesautresco- car[Béc97]enutilisantdespointsmassiques[FJ89,FJ92]et niques propres, c’est-à-dire le cercle, l’ellipse et l’hyper- enreparamétrisantlacourbedeBézierrationnellededegré bole[Gar07,DP98,Far99,FJ89,FJ92]. 2 afin d’avoir deux sommets opposés et un vecteur. Deux autres méthodes ont été développés, en travaillant dans la LeflocondeKoch estl’unedespremièrescourbesfrac- fermetureprojectifduplanaffine,G.Albrechtenseservant talesàavoirétédécriteet apparaît en1906. R.Goldmana du calcul matriciel [Alb01], R. Goldman et W. Wang qui montré, en 2004, la nature fractale des courbes de Bézier seserventducalculmatricieletdelareparamétrisationdes [Gol04], c’est-à-dire leurs auto-similarités, en s’appuyant courbes[GW04].Cestroisméthodesprésententdeplusl’in- surlestravauxdeM.Barnsley[Bar88]etenparticuliersur convénientdenetravaillerquedansl’espaceprojectifalors lesnotionsd’attracteursetdesprocédésd’itérations.Plusde quelebutdecetarticleestderesterdansl’espaceaffineeu- détailssurlesfractalesetlamodélisationparI.F.S.sontdis- clidientantquenouslepouvons.Quantàlui,E.Lee,enres- poniblesdans[Tos96,Gen92,Zaï98,GTN06]. tantdansl’espaceaffine,aproposédesméthodes,baséessur En utilisant une courbe de Bézier quadratique (polyno- lareparamétrisationdescourbes,lecalculvectorieletl’uti- miale ou rationnelle) sous forme quasi standard [Gar07], lisationderelationsalgébriques[Lee85].Malheureusement, nous pouvons construire facilement l’arc de conique sou- laplupartdecesméthodessontinutilisablespourréaliserdes haité [Far99, Gar07] d’une conique donnée. Notre idée constructionsàlarègleetaucompastandisqued’autresne consiste à construire, de façon itérative lespoints d’un arc sontpasfacilement exploitables.Deplus,aucundenosal- deconiqueàcentre.Pourcefaire,nousdévelopponsdesal- gorithmesn’utiliseuneéquationparamétriquedeconiques, gorithmespermettantdeconstruire,dansleplanaffineeucli- aussibienusuellequesousformedecourbedeBézierqua- dien,unI.F.S.affinenonstationnaire†.Deplus,nousn’éva- dratique. luonsjamaislespolynômesdeBernsteinetn’avonspasbe- En mathématique, sur une feuille de papier, nous pou- soindel’équationparamétriqued’unecourbedeBézier.Par vonstracer des arcsde coniques de façon continue. Enin- rapport aux travaux précédents sur la modélisation de co- formatiquegraphique,cecin’estpluspossibledufaitqu’un niques,soitpardesI.F.S.[Zaï98,Gol04],soitpardescourbes écran est un ensemble fini de pixels. Ainsi, pour représen- de subdivision [MWW01,BCR07b], nos algorithmes per- ter,àl’écran,unarcdeconique,nousdevonsdiscrétiserce mettentdeconstruirelestangentesàlacourbelimiteetsont dernieretl’objetgéométriquequiestutiliséàlaplacedela inspirés de la méthode de De Casteljau [Cas85]. De plus coniqueestouunelignebrisée(ouunpolygonesinousre- nous imposons que le point construit appartienne à la mé- présentonstoutel’ellipse).Pourcefaire,nousavonschoisi dianedutriangle,constituédestroispointsdecontrôle, is- danscetarticled’utiliseruneméthodeitérativeinterpolante sue du point intermédiaire. Notons qu’il serait possible de pourconstruirecepolygone(ainsiqueceluidestangentes). calculercetI.F.S.nonstationnaireenutilisantlesformules Laméthodeclassiqueauraitconsistéàsubdiviserl’intervalle classiques de changements de poids d’une courbe de Bé- dedépartennvaleursetàafficherlespointscorrespondants. zier afin de la mettre sous forme quasi standard [Far99]. Ainsi,nousconstruisonsdeuxpolygones,celuidontlessom- Bien que lecercle soit une ellipse particulière (les deux mets sont des points de la conique limite et celui dont les foyerssontconfondus,lesdirectricessontàl’infini,l’excen- côtés sont tangents à la conique aux sommets construits tricitéestnulle,onnepeut plusparlerd’axefocaletd’axe précédemment. Nousutilisonsuneméthodepurement géo- nonfocal...),danslerestedecetarticle,letermeellipsene métrique afin de rester dans l’espace affine et nous pou- considère pas le cas particulier du cercle puisque lesalgo- vons ainsi construire, si certaines conditions sont respec- rithmesdéveloppés pour l’ellipsene fonctionnent paspour lecercle.Pourcedernier,unalgorithmeparticulierestpré- senté. † Achaqueétape,nousavonstroispointsetunnombreωdontla valeurchangeàchaqueétapeetdépenddesétapesprécédentes. Enrésumé,nousvoulonsconserverlarégularitéaffine delabase(→−ı ;→−).Lafermetureprojective[Gar07]duplan denosconstructionsc’est-à-direquesinousconsidérions affineeuclidien estl’espacequotient = →− /∽. lacourbedeBézierγ definieparlestroispointspondé- P P P ×R (cid:16) (cid:17) réspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1):lepointpondéré SoitM(x;y)unpointde .Lescoordbonnéeshomogènes P construitàl’étapesuivanteest γ 1 ;1 etnousvou- dupointM sontdéfiniespartouttripletdelaforme: 2 lons que les points construits s(cid:16)ur(cid:16)la (cid:17)coni(cid:17)que soient ré- (ωx;ωy;ω) où ω=0 (1) 6 partisdefaçonuniformesurl’arcdelaconiquepropre: pource faire, à chaque étape, le point construit appar- Réciproquement, si nous considérons un point M de P tientàlamédianedutriangleP0P1P2 issuedusommet de coordonnées (x;y;ω) telles que ω soit non nul, nous P1 et nous construisons ainsi directement dans le plan identifions le point M de avec le point du plan affineb, affineeuclidienusuel,unI.F.S.nonstationnaire. de coordonnées x;y . NPotons qu’au point de de co- A chaque étape du déroulement de notre procédé de ordonnées (x;y;ωω), ωω=0,bcorrespond, dans lepPlan affine ectonPs2traupctpiaorntiieténrnaetniftinàtlearpcoolnainqtu,eleàspcoeinnttrseetxatnrédmisaquuxePl0e Pgé,olmeéptoriientpproojnedcé(cid:0)trivéeMsoω6(cid:1)nt dωxis;pωyoni;bωles.dDaenssc[oAmupdl0é6mb,eLnatds0d2e, point pondéré (P1;ω) permet à la fois de contrôler les Lad03,Leh03]. (cid:0)(cid:0) (cid:1) (cid:1) tangentesàlacourbeauxpointsprécédentsetdeconti- Danscetarticle,nousauronsbesoin,parfois,dedétermi- nuerleprocessusd’itération.Deplus,lorsquelespoints nerlespointsàl’infinid’unedroiteoud’unecourbe. Pour P , P et P sont construitsà la règle et au compas et 0 1 2 si le nombre ω est constructible‡, les points construits cela,notonsIP →−P l’espacedéfinicommel’espacevecto- parl’I.F.S.nonstationairesontconstructiblesàlarègle riel→− quotient(cid:16)épa(cid:17)rlarelationd’équivalence suivante: et au compas et des déductions de propriétés géomé- P ∼→− P triques (parallèlisme, orthogonalité, appartenance à un 2 ensembledepoints...)peuventêtreaffichéesparunlogi- ∀(→−u;→−v)∈ →−P − →−0 , (2) cieldegéométriedynamiquecommeKig. →−u →−v (cid:16) λn o∗(cid:17)→−u =λ→−v ∼→− ⇐⇒∃ ∈R | P Le plan de l’article est le suivant. Après avoir effec- tuéquelquerappelsconcernantlescoordonnéeshomogènes, Il est possible de montrer que est isomorphe à l’en- P les points isogonaux, les tangentes de direction donnée à semble IP →− , c’est-à-dire que l’ensemble des uneconique,lesI.F.S.,nousprésentonslesmodèlesdeBé- P∪ P b H∞ pointsde de(cid:16)laf(cid:17)orme(x;y;0),appeléhyperplandel’in- zier quadratiques polynômiaux et rationnelles sous forme P fini, est isomorphe à IP →− qui est l’ensemble des direc- quasi standard. Dans la section 3, nous donnons les élé- b P mentscaractéristiquesdesconiquespropresdéfiniespartrois tionsduplanaffine . (cid:16) (cid:17) P points pondérés. Avant de conclure et de donner des pers- pectives,lasection4présentelesdifférentsalgorithmesper- 2.2 RappelssurlesI.F.S. mettant de modéliser des arcs de coniques à centre. Les annexes proposent des compléments sur quelques proprié- UnI.F.S.(IteratedFunctionSystems) [BD85,Bar88] est téssurlescourbesdeBézierrationnellesquadratiquessous basésurlethéorèmedupointfixe,dansunespacemétrique forme quasi standard ainsi que les justificatifs des algo- complet,appliquésurlescompactsenutilisantunopérateur rithmes6et7. appeléopérateurdeHutchinson[Hut81].Etantdonnéunes- Afind’augmenterlalisibilitédecetarticle,laplupartdesfi- pacemétrique(E,d),unI.F.S.estunensemblefinid’opé- gpuoruersceetrtlaeintaebsldea’eunxtrseonetlleresg,rloeudpéétsaiàl dlaefilancdoundstorcuucmtioennteestt rda.teurs {Ti}i∈[[0;N−1]] contractants sur E pour la distance rappelédedans. PourtoutI.F.S.,ilexisteununiquecompact telque: A Dans cet article, désigne le plan affine euclidien réel N 1 muniduproduitscalPaireusuel. = [− Ti( ) (3) A A i=0 2 Rappels où estappeléattracteurdel’I.F.S.etlaformule(3)traduit A la propriété d’auto-similarité de . Plus de détails sur les 2.1 Coordonnéeshomogènes A I.F.S.sontdisponiblesdans[GTN06,Gen92,Tos96,Zaï98]. Soit(W ;→−ı ;→−)unrepèreorthonormédirectduplanaffine .L’espacevectorielassocié→− àl’espaceaffine estmuni 2.3 Pointisogonaletsymédiane P P P Commençonsàdonnerlesdéfinitionsd’unpointisogonal ‡ ωestunnombrerationnel,uneracinecarréed’unnombreration- d’unautrepointrelativementàuntriangleetdesymédiane. nel... Définition1:Pointisogonal Définition4 :Cercledirecteurd’uneconiqueàcentre. SoitABCuntrianglenondégénéréetM unpointduplan. Soit F et F′ les foyers d’une conique à centre tels que la SoitsX laréflexiond’axelabissectriceissuedusommetX distanceentrelesdeuxsommetsdel’axefocalsoit2a. dansletriangleABC. Lecercledirecteur,notéS F (resp.S F′),associéaufoyerF′ Alors,lepointM′définipar: (resp.F)estlecercledecentreF (resp.F′)etderayon2a. M′ =sA((MA)) sB((MB)) sC((MC)) ∩ ∩ Lemme 1 :Déterminationdes tangentesàune conique à est ap(cid:8)pelé(cid:9)l’isogonal du point M (relativement au triangle centredansunedirectiondonnée ABC). SoitEuneconiqueàcentreetD unedroite. 0 SoitD F ladroitepassantparF etperpendiculaireàD 0. Définition2:Symédiane Soit M et M′ les intersections entre la droite D F et S F, SoitP0P1P2untriangle.SoitD m(resp.D )lamédiane(resp. cercledirecteurassociéaufoyerF′. bissectrice)dutriangleissuedeP1. Les médiatrices des segments [MF] et M′F sont deux Lasymédiane du triangle, issue de P1 est D s, image de la tangentes,parallèlesD 0,àlaconiqueàcentreE. droiteD mparlaréflexiond’axeD ,figure1. (cid:2) (cid:3) Démonstration:[Lad04,LH97](cid:4) Naturellement,siletriangleP0P1P2 estisocèledesom- metprincipalP1,alorsnousavonsD m=D =D sc’est-à-dire Nous énonçons une propriété essentielle, pour notretra- quelasymédianeissuedeP1estconfondueaveclamédiane vail, donnée par E. Lee [Lee85] et dont tous les éléments issuedeP1. pourladémonstrationsontdans[Lad03]: Notons que lepoint de Lemoine L, défini comme inter- Proposition1 :AlignementsdeP1,I1,O,N3+etN3−. sectiondestroissymédianesd’untriangleABC,etlepoint SoitCuneconiquepropredecentreO,P0etP2deuxpoints isogonalducentredegravitéOdutriangleABC,figure1. deCnonsymétriquesparrapportàO. SoitI1 lemilieudusegment [P0P2]etP1 lepoint d’inter- 2.4 Tangentes,ayantunedirectiondonnée,àune sectiondestangentesàCissuesdeP0etP2. coniqueàcentrenoncirculaire SoitN3+etN3−lesdeuxpointsdeCtelsquelestangentesà Commençonsparrappelerladéfinitiond’uneconique: Cencespointssoientparallèlesàladroite(P0P2). Définition3:SoitCunensembledepointsM(x;y)de . Ainsi,lespointsP1,I1,O,N3+etN3−sontalignés,figure6. P C est une conique s’il existe un polynôme P, à deux va- Pourfinirceparagraphesurlesconiquesdansleplanpro- riables,dedegré2telque: jectif,notons qu’il est ainsi possible de classifier, du point M(x;y) C, P(x;y)=0 (4) devueaffine,uneconiquepropreenfonctiondesespointsà ∀ ∈ l’infini[Gar07,Gar09b]: L’équation de la formule (4) est appelée équation im- ⋆ uneellipseouuncercleestuneconiquequinecoupe plicite ou équation cartésienne. Notons que chaque co- pasladroitedel’infini; niqueproprepossèdeaumoinsuneéquationparamétrique ⋆ unehyperboleestuneconique quicoupeladroitede usuellec’est-à-direqu’ilexisteuneapplicationγd’uninter- l’infiniexactementdeuxfois; valleIde dans telleque: ⋆ une parabole est une conique qui coupe la droite de R P l’infiniexactementunefois. M C, t0 I γ (t0)=M (5) ∀ ∈ ∃ ∈ | Notonsqu’ilestaussipossiblededirequelaparaboleest Nousverronsdansleparagraphe2.6untroisièmerepré- tangenteàladroitedel’infini[Aud06]. sentationpossibledesconiques. Nous n’exposons ici que les propriétés qui nous seront 2.5 CourbesdeBézierpolynomialesquadratiques utilesdanslesdifférentsalgorithmes.Lespropriétésusuelles Pourtappartenantà[0;1],lespolynômesdeBernsteinde desconiquespropresainsiquelesdémonstrationssontdis- degré2sont: ponibles dans [Gar07]. Dans certains de nos algorithmes, nousauronsbesoindeconstruirelatangenteàunpointd’une B0(t) = (1 t)2 − coniqueàcentrenoncirculaireselonunedirectiondonnée, B1(t) = 2t(1 t) (6) lemme1.Pourcefaire,nousavonsbesoindedéfinirlecercle B2(t) = t2 − directeurd’uneconiqueàcentre. B′ b b b A C L b b O b b A′ C′ b B Figure1:PointdeLemoineL,définicommeintersectiondestroissymédianesdutriangleABC,estl’isogonalducentrede gravitéOrelativementàcetriangle.Lesmédianessontenrouge,lessymédianessontenverttandisquelesbissectricessont enpointillésbleus. 2.5.1 Définition de 1 dans l’algorithme de De Casteljau [Gar09b,Gar07]. 2 Notons que cet algorithme est un cas particulier de l’algo- Définition5:courbedeBézierpolynomialededegré2 rithmede Chaikin [Cha74,Rie75]. D’après lethéorème de zSioeirtd(Peid)ie∈g[r[0é;22]] edteOp,oqinutastrdeepocionnttsrôdleeP(P.Li)aic[[o0u;2r]]beesdtel’Bené-- dlarodirtoeit(eNd1eNs m2)ilieesutxpaaprpallilqèlueéàdalansdlreoittreia(nPgl0ePP2)0Pet1Pe2st, llaa sembledespointsM(t)vérifiantlaformule:∈ tangenteà l’arcde paraboleau pointN3 [Gar09b]. En fait, ce qui est sous-jacent à l’algorithme 1, qui permet la 2 (cid:229) t [0;1], −O−M−−(→t)= Bi(t)−O−P→i (7) constructiond’unI.F.S.linéaireàlarègleetaucompas,c’est ∀ ∈ i=0 lamodélisationd’unarcdeparaboleparunecourbedeBé- etlespoints(Pi)i [[0;2]] définissentunpolygoneappelépo- zierpolynomialequadratiquedepointsdecontrôleP0,P1et lygonedecontrôl∈edelacourbedeBézier. P2. Notonsquel’algorithme1nenécessitequelaconstruction dumilieud’unsegment,ilestainsipossibledeconstruireles Géométriquement, pour t0 fixé dans l’intervalle pointsd’unarcdeparaboleàlarègleetaucompas. [0;1], M(t0) est le barycentre des points pondérés (Mi;Bi(t0))i [[0;2]].Ladéfinitiond’unecourbedeBézierde Lanotationbar (Ai;ai)i I désignelebarycentredes degré2,formu∈le(7),nedépendpasdupointOchoisietla pointspondérés(Ai;ai)avec∈i I.L’algorithme1peutêtre (cid:8) ∈(cid:9) courbedeBézierestinclusedanssonpolyèdredecontrôle. modéliséparunI.F.S.linéairecomposédedeuxtransforma- tionscontractantesT0etT1définiespar: NousavonsM(0)=P0 etM(1)=P2 etilestpossible demontrerquelatangenteàlacourbeaupointP0(resp.P2) P P 0 0 estladroite(P0P1)(resp.(P2P1))c’est-à-direquelepoint P1 permet decontrôler latangenteàlacourbeenP0 eten T0 P1 = bar{(P0;1);(P1;1)}  (8) P2.  P2   bar{(P0;1);(P1;2);(P2;1)}  et     2.5.2 ArcdeparaboleetI.F.S.affinelinéaire P0 bar{(P0;1);(P1;2);(P2;1)} SoitP0,P1 et P2 troispoints nonalignés de .L’algo- rithme1permetdeconstruireunarcγ d’uneparPabole P, T1 P1 = bar{(P1;1);(P2;1)}  (9) C d’extrémités P0 et P2 et ayant pour tangentes les droites  P2   P2  (P0P1) et (P2P1), en utilisant seulement des triangles et     le théorème de la droite des milieux en prenant la valeur Lanotationmatricielledelaformule(8)serait: desdifférentsalgorithmes,nousavons: P0 1 0 0 P0 N1 = P10 T0 P1 = 12 12 0   P1  (10)  NN32 == PP2101 ×    1 1 1    cequisetraduitpar:  P2   4 2 4   P2  P0 P0 P00 et,pourtoutentiernaturelnnonnul,nousaurionsalors: T0 P1 = N1 = P10       P0 1 0 0 n P0 P2 N3 P20 et:       1 1 T0n P1 = 2 2 0   P1  (11) P0 N3 P01 ×    1 1 1    T1 P1 = N2 = P11   P2   4 2 4   P2  P2 P2 P21 cp’aesstd-eàs-dpioreinqtsuedelecocnatlrcôulledieniltaiaunx-idèmanesilteérsaetniosnoùneledécpalecnudl pc’oeisntt-àd-edire,qauloerssisPoin0..i.mina−g1e,,(pi0a;r.l.a.;tirnan−s1f)or∈m{a0ti;o1n}nco,nestrtaucn- P delapuissancedelamatriceestlemêmesinouschangeons tanteTin,in∈{0;1},estnotéPi0...in−1in.Ainsi,larepré- depointsdecontrôle. sentationd’un arcde parabole (maisaussi de conique) par unI.F.S.nécessitel’utilisationd’unefonctiond’adressageet Comme un des buts de cet article est de pouvoir réali- chaquepointdupolygoneapproximantlacourbeestrepré- ser des constructions àlarègle et aucompas, nous n’utili- sentéparunmot.Pourdeplusamplesinformationssurles sons pas les notations matricielles, car elles seraient inex- fonctionsd’adressageassociéesauxI.F.S.,lelecteurpeutse ploitables,etnouspréféronsgarderlesnotationsutiliséesen reporterà[Gen92,Tos96,Zaï98]. géométrieclassique. Hormisdanscetarticle,cespointssontaussicalculéspardes Lafigure7déroulel’algorithme1dansuneprofondeur§ produitsdematrices,dutypedecelledonnéeparlaformule de2.Enentrée,nousavonslesextrémitésP0etP2del’arc (10),enneconsidérantquedespropriétésbarycentriquesdes deparaboleγ etP1,pointdecontrôledestangentesences pointsdecontrôle. deuxextrémités. CommenousavonsP01=P20,c’estlepointderecolle- ment,danslasuite,nousécrirons: Algorithme1:Construction,àlarègleetaucompas,d’un arcdeparaboleparunI.F.S.linéairedansleplanaffineeu- P0 P20 clidien. T1 P1 = P11     Entrée:SoitP0,P1etP2troispointsnonalignésde . P2 P21 P ProcédureFractPara(P0,P1,P2)     Naturellement, nous avons P0 = P00 = P000 et P2 = 1. SoitN1lemilieudusegment[P0P1]. P21=P211. La première partie de la seconde étape est de 2. SoitN2lemilieudusegment[P2P1]. construirelespointsP100etP101,milieuxrespectifsdesseg- 3. SoitN3lemilieudusegment[N1N2]. ments[P0P10]et[P10P20],puisdeconstruirelepointP200, milieu du segment [P100P101]. La seconde partie de la se- 4. FractPara(P0,N1,N3). conde étape est de construire les points P110 et P111, mi- 5. FractPara(N3,N2,P2). lieux respectifs des segments [P20P11] et [P11P2] puis de Sortie:unarcdeparaboledéfinipartroispointsnonalignés construirelepointP210,milieudusegment[P110P111].Les P0,P1etP2. deuxpointsP200etP210sontdeuxautrespointsdel’arcde paraboleγ. Noussouhaitonsadapterl’algorithme1auxconiqueseu- Lapremièreétapedecetalgorithmeconsisteàconstruire clidiennes à centre et n’utiliser que des constructions géo- le point N1 (resp. N2), milieu du segment [P0P1] (resp. métriquesdansleplanaffineeuclidien. Pourcefaire,nous [P2P1]). Le point N3, milieu du segment [N1N2] est en- avons besoin des propriétés des courbes de Bézier ration- suite construit. En prenant la méthode d’adressage usuelle nellesquadratiquessousformequasistandardetnouspour- enthéoriedesI.F.S.,quenousgarderonslorsdudéroulement rons ainsi construire, à la règle et au compas¶, en restant dansleplanaffineeuclidien,unI.F.S.nonstationnairebasé surl’algorithmedeDeCasteljau. § L’algorithmeestrécursifetl’exécutionsedéroulesouslaforme d’unarbre. ¶ Lespointsdevrontêtreconstruits àlarègleetaucompasetle poidsωdevraêtreunnombreconstructible. 2.6 CourbesdeBézierrationnellesquadratiques pointsconstituéd’unefamilledebarycentredespointspon- (CBRQs)sousformequasistandard dérés: 2.6.1 Définition A partir de la définition d’une courbe de Bézier poly- Mi; ωiBi(t0)  ndoomnniéaeles,hfoomrmouglèene(7s),deilsetsrotipsopssoiibnltes,deencpornentraônlet,ledsecdoéofir--  (cid:229)2 ωiBi(t0) nir unecourbe deBézier polynomiale projective. Enchan-  i=0 i∈[[0;2]] geantdereprésentantprojectifetenrevenantdansl’espace oùt0 [0;1]. ∈ affine,nouspouvonsdéfinirlescourbesrationnellesdedegré Ainsi,d’aprèslaformule(7)(resp.formule(12)),nousob- 2[Gar07].Aunpointdel’espaceaffine ,nousfaisonscor- tenonsunetroisièmereprésentationpossibled’unarcdepa- P respondreuneclassed’équivalencede .D’unpointdevue rabole(resp.deconiquepropreàcentre). P affine,lechoixdeteloutelreprésentantsurunecourbede Si P0, P1 et P2 sont trois points non alignés, Bézierrationnellequadratiquejoueunbrôlesurlanaturede RQBC (P0;P1;P2) désigneunecourbedeBézierration- laconiqueeuclidienneobtenuedansleplanaffine[Gar09b]. { } nellequadratiquedepointsdecontrôleP0,P1 etP2 tandis En prenant ω0 =ω2 =1 et ω1 =ω 6=0, il est possible que RQBC{(P0;P1;P2),ω} désigne la courbe de Bézier dedéfiniruntypeparticulierdecourbedeBézierrationnelle rationnellequadratiquequasistandarddepointsdecontrôle quadratique: (P0;1),(P1;ω)et(P2;1). Définition6:CBRQaffinesousforme(quasi)standard 2.6.2 Modélisationd’arcsdecerclespardesCBRQs Soitωunréelnonnul. sousformequasistandard UnpointM(t)appartientàlaCBRQsousformequasistan- Ilestpossibledemodéliserdesarcsdecerclesenutilisant dard,définieparlespointsdecontrôle(Pi)0 i 2etlepoids descourbesdeBézierrationnellesquadratiques.Lorsqueles ω,sietseulement si pour unpoint O de ≤,p≤our tout tde extrémitésdel’arcdecerclemodélisénesontpasdiamétra- P [0;1],M(t)vérifiel’équation: lementopposées,lelecteurpeutsereporterà[Far99,Gar07] pourlesdémonstrations,danslecascontraire,casquenous −O−M−−(→t)= B0(t)−O−P→0+ωB1(t)−O−P→1+B2(t)−O−P→2 (12) excluonsdanscetarticle,lelecteurpeutsereporterà [FJ89]. B0(t)+ωB1(t)+B2(t) Lorsque nous avons ω >0, la CBRQ est dite sous forme 3 Déterminationdesélémentscaractéristiquesd’une standard. coniqueproprenoncirculaire Soit ω un nombre constructible et P0, P1 et P2 trois Naturellement,sinousavons: points, non alignés, construits à la règle et au compas. En n’utilisant que des concepts de géométrie classique et t [0;1], B0(t)+ωB1(t)+B2(t)=0 (13) ∀ ∈ 6 des constructions à la règle et au compas, nous détermi- laCBRQestinclusedansleplanaffine.Silaconditiondon- nons,lesélémentscaractéristiquesd’unarcdeconiquedé- néeparlaformule(13)n’estpasvérifiée,lavaleurt0corres- finiparlestroispointspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1). pondante induit une direction dans la fermeture projective Quelquesrésultatsquenousallonsutilisersontdisponibles duplanaffine. dans l’annexe A. Une équation paramétrique pourrait être obtenueenutilisantuneCBRQsousformequasi standard, La valeur de ω détermine alors la nature de la conique obtenue[Gar07]: de points de contrôle pondérés (P0;1), (P1;ω) et (P2;1), et il serait alors possible d’utiliser les résultats existants ⋆ si ω =1alorsledénominateurs’annuleunefoisetla [Béc97,Alb01,GW04,Lee85]. Malheureusement, ces mé- | | coniquecoupeladroitedel’infiniunefois,laCBRQ thodesnesontpasfacilementexploitablespourréaliserdes estunarcdeparabole, constructionsàlarègleetaucompas. ⋆ si ω >1alorsledénominateurs’annuledeuxfoisetla | | coniquecoupeladroitedel’infinideuxfois,laCBRQ 3.1 Casdelaparabole estunarcd’hyperbole, ⋆ si0< ω <1alorsledénominateurnes’annulepaset Dans ce paragraphe, nous considérons le cas où nous | | laconiquenecoupepasladroitedel’infini,laCBRQ avonsω= 1ouω=1,cederniercasrevenantàunecourbe estunarcd’ellipse. polynômial−e.NotretravailconsisteàdéterminerlefoyerF, lesommetSetladirectrice . D’aprèslaformule(12),unarcdeconiquepropreàcentre D peutêtrevuecommelelieugéométriqued’unensemblede L’algorithme2,illustréparlafigure8,détaillelesétapes permettantdeconstruirelesélémentsdelaparaboleinduite par trois points, non alignés, pondérés (P0;1), (P1;ω) et 3.2 Casdesconiquesàcentrenoncirculaires (P2;1)avec|ω|=1. Dansceparagraphe, nousneconsidéronspaslecaspar- \ Algorithme2Elémentscaractéristiquesd’uneparaboledé- ticulier du cercle (i.e. ω =cos −P−0−P→1,−P−0−P→2 ), pour plus | |6 finiepartroispointspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1)avec dedétails,consulter[Lee85,Far9(cid:16)9,Gar07,Gar(cid:17)09b,GFN06, ω =1. Gar04]. | | Donnée:troispoints,nonalignés,pondérés(P0;1),(P1;ω) L’algorithme3reposesurlethéorème1quiestillustrépar et(P2;1)avec|ω|=1. lafigure9: 1. DéterminationdeI1,milieudusegment[P0P2]. Théorème1 : 2. DéterminationdelamédianeD m=(P1I1). SoitEuneconiqueàcentrenoncirculairedecentreOetde 3. DéterminationdelabissectriceintérieureD ,issuedeP1, foyerF etF′. dutriangleP0P1P2. SoitA′,B′etC′troispointsdeuxàdeuxdistinctsapparte- 4. Détermination de la symédiane D s, issue de P1, du tri- nantàE. angleP0P1P2. SoitA,B et C lessommetsdu triangleformépar lestan- 5. Détermination de C1, cercle circonscrit au triangle gentesàEauxpointsA′,B′ etC′ (enutilisantlanotation P0P1P2. usuelle:lepointX′appartientaucôtéquin’estpasissudu 6. DéterminationdeI2,secondeintersectionentrelasymé- pointX). dianeD setlecercleC1 SoitO′l’isogonaldupointOrelativementautriangleABC. 7. DéterminationdufoyerF,milieudusegment[P1I2]. SoitOAl’intersectiondeladroite O′A aveclecerclecir- conscritautriangleAB′C′. 8. DéterminationdeC2,cercledecentreP0passantparF. SoitOB l’intersectiondeladroite(cid:0)O′B(cid:1)aveclecerclecir- 9. DéterminationdeJ1,intersectiondeC2aveclaparallèle conscritautriangleBA′C′. àD mpassantparP0tellequelesvecteurs−I1−P→1 et−P−0→J1 SoitOC l’intersectiondeladroite(cid:0)O′C(cid:1)aveclecerclecir- soientdemêmesens. conscritautriangleCB′A′. (cid:0) (cid:1) 10. Détermination de ladirectriceD, tangente au cercleC2 Alors les quadrangles A,OA,F,F′ , B,OB,F,F′ et aupointJ1. C,OC,F,F′ sontharmoniques. (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) 11. Détermination de l’axe focal D F, droite parallèle àD m (cid:2) (cid:3) passantparF. Dém: La démonstration est laissé au lecteur. Une mé- thodeanalytiqueestpossibleenutilisantlesexpressionsra- 12. Déterminationdupoint H,intersectionentrelesdroites etD . tionnellesdesfonctionscos,sinettanetlelogiciel maple. F D NotonsquelelogicielKigpermetdejustifierlaconstruction, 13. Détermination du sommet S de la parabole, milieu du figure9. segment[HF]. (cid:4) Sortie : le foyer F, le sommet S et la directrice d’une D Rappelonsquelefaitquelequadrangle[A,B,C,D]soit parabole. harmoniqueimpliquelacocyclicitédesquatrepointsA,B, CetD. Nous proposons une esquisse de justification de l’algo- Pourdesraisonsdevisibilité,lafigure9n’illustrelethéo- rithme2.LefaitquelefoyerF appartientàlasymédianeest rème1quepourlespointsA,A′etOA.LesquatrepointsA, une conséquence du second théorème dePoncelet. Il suffit OA,F etF′sontbiencocycliquesetappartiennentaucercle ensuite de considérer la similitude directe sF de centre F CFF′OAA. tel que sF(P0)=P1 et sF(P1)=P2 ce qui conduit à la LepremiertravailestladéterminationducentreOetdes formulededivisionharmoniquedeNewton: foyersF etF′delaconique,algorithme3.Dansunsecond 2 FP1 =FP2 FP0 temps, nous déterminerons les autres éléments en fonction × dutypedelaconiqueàcentre. et,lefaitqueF estlemilieudusegment[P1I2],nouspermet d’obtenirlarelationdedivisionharmonique: LaconstructionducentreOetdesfoyersFetF′delaco- 2 niquesefaitentroisétapes:déterminationdeO,construc- FI2 =FP2×FP0 tiondupointI2telquelequadrangle[P1,I2,F,F′]soithar- ce qui montre que I2 est bien l’intersection entrela symé- monique[Lad03]etconstructiondesfoyersF etF′.Lafi- diane issuede P1 dans letriangleP0P1P2 et lecerclecir- gure10illustrel’algorithme3. conscritautriangleP0P1P2. LapremièreétapeestladéterminationdelamédianeD m dutriangleP0P1P2issuedeP1. Algorithme 3 Détermination du centre, des foyers et des L’étapesuivanteestlaconstructiondupointI2,seconde axesfocaletnonfocald’uneconiqueàcentre. intersectionducerclepassantparP0,P1 etP2 estlasymé- Donnée:troispoints,nonalignés,pondérés(P0;1),(P1;ω) dianeD s dutriangleP0P1P2 issuedeP1 cequiestréalisé \ parlesétapesde3à6. et(P2;1)avec:0= ω =1et ω =cos −P−0−P→1,−P−0−P→2 . 6 | |6 | |6 Lesétapes7à11permettentdeconstruirelesdeuxfoyers 1. Détermination delamédiane D m=((cid:16)P1I1)oùI1 (cid:17)estle del’ellipseetnousfinissonsparcalculerleparamètrecdela milieudusegment[P0P2]. coniqueàcentre. 2. DéterminationducentreO,delaconique. 3.2.1 Casdel’ellipse 3. Détermination de D , bissectrice issue de P1 dans le tri- angleP0P1P2. L’algorithme4permetdedéterminerlesélémentsrestants 4. DéterminationdelasymédianeD s,imagedelamédiane del’ellipseàpartirducentreO, desfoyersF etF′ etdes D mparlaréflexiond’axeD . axesfocaletnonfocalobtenusparl’algorithme3. 5. Détermination de C , cercle circonscrit au triangle 1 Algorithme 4 Détermination des éléments caractéristiques P0P1P2. d’une ellipse définie par trois points pondérés (P0;1), 6. Détermination du point I2 comme seconde intersection (P1;ω)et(P2;1). deladroiteD saveclecercleC1. Donnée:lecentreOdel’ellipse,lesfoyersF etF′,l’axe 7. Détermination de l’axe focal D F de la conique comme focalD F etl’axenonfocalD f donnésparl’algorithme3. bissectrice,issuedeO,dansletriangleP1OI2. 1. Déterminationdudemi-grandaxe: 8. Détermination de l’axe non focal D de la conique, f commeperpendiculairedeD F passantparlecentreO. a= FN3++F′N3+ 2 9. DéterminationdeI3,imagedeI2 parlaréflexiond’axe nonfocalD f. ainsiquelessommetsAetA′ del’axefocalparOA= 10. DéterminationdeC2,cerclepassantparI2I3P1. OA′=a. 2. Détermination du demi-petit axe b = √a2 c2 et les 11. DéterminationdesfoyersF etF′par: − sommetsBetB′del’axenonfocalparOB=OB′=b. F;F′ =C2∩D F 3. Déterminationdel’excentricitédel’ellipsee= ac. 12. Calculdec=OF.(cid:8) (cid:9) 4. DéterminationdespointsH etH′,distincts,deD F tels Sortie:LecentreOdelaconique,lesfoyersF etF′,l’axe queAH=A′H′=eAF. focalD F etl’axenonfocalD f. 5. pDeértpeernmdiincautliaoinredseàsDdFeuextdpiarsescatnritcreesspdeeclt’iveellmipesnetDparetHDe′t, H′. LadeuxièmeétapeestladéterminationducentreOdela Sortie : Le centre O de l’ellipse, les foyers F et F′, les coniqueàcentre.Cecipeutêtreréalisé: quatresommetsA,B,A′etB′,lesdirectrices et ′ainsi D D quel’excentricitée. en employant les deux CBRQs sous forme quasi • standard, γ+ = RQBC (P0;P1;P2),ω et γ− = RQBC (P0;P1;P2), ω{, en considéran}t les points Connaissant un point de l’ellipse, en appliquant la défi- { − } nitionbifocaledel’ellipse,nouspouvonsdéterminerlava- P1, N3+ =γ+ 12 , N3− =γ− 21 et I1, milieu du leurdudemi-grandaxea.Maintenantquenousconnaissons segment[P0P2](cid:16),th(cid:17)éorème2. (cid:16) (cid:17) l’axefocal,lenombrec=OF eta,nousdéterminonslava- • en construisant le point N3+ (resp. N3−) comme ba- leurdudemi-petitaxeb.Nouspouvonsendéduirelesquatre rycentredespointspondérés(I1;1)et(P1;|ω|)(resp. sommetsA,A′surl’axefocal,etBetB′surl’axenonfo- (P1; ω)),théorème2del’annexeA. cal. −| | enutilisantlarelationdonnéeparLee[Lee85]: • L’algorithme 4 permet de déterminer les derniers élé- 1 −P−1→O= 1 ω2−P−1→I1 (14) ments restants, l’excentricité e et lesdeux directrices D et − ′[Gar07]. Remarquons, danslesdeuxpremierscas,quelefaitque D les CBRQs soient sous forme quasi standard nous assure 3.2.2 Casdel’hyperbole l’alignement des points N3+, P1 et I1 d’une part, N3−, P1 L’algorithme4permetdedéterminerlesélémentsrestants etI1 d’autrepart.LecentreO del’ellipseestlemilieudu segment N3−N3+ . adxeels’hfyopcearlbeotlneoànpfaorctiarldoubtceennutrsepOar,ld’easlgfooryiethrsmFe3e.tF′etdes h i Connaissantunpointdel’hyperbole,enappliquantladé- Prenons P0(1;0), P1(1;1), P2(0;1) et ω = √22, ainsi la finitionbifocaledel’hyperbole,nouspouvonsdéterminerla CBRQinduiteparcespointsdecontrôleestl’arcdecercle valeurdudemi-grandaxea.Maintenant quenousconnais- de centreO(0;0)et de rayon 1 situédans lepremier qua- sonsl’axefocal,lenombrec=OF eta,nousdéterminons drant.Nousavonsalors,encoordonnéeshomogènes,defa- Ala,vAal′eudredl’eaxbe.Nfoocuasl,plo’euxvcoennstreicnitdééedueitrelelsesdeduexuxdisroemctmriceetss çon naturelle : P0 ∼(1;0;1), P1 ∼ √22;√22;√22 , P2 ∼ DetD′[Gar07]. (0;1;1). Nous cavons alors Nc1 ∼ (cid:16)2+4√2;√42;2+(cid:17)4√2c et Algorithme 5 Détermination des éléments caractéristiques N2∼ √42;2+4√2;2+4√2 .Ficnaleme(cid:16)nt, lepoint obtenu(cid:17)est d’une hyperbole définie par trois points pondérés (P0;1), Nc3∼(cid:16)1+4√2;1+4√2;2+4√(cid:17)2 quidéfinitlepointaffinepon- (P1;ω)et(P2;1). déré:(cid:16) (cid:17) Donnée : le centre O de l’hyperbole, les foyers F et F′, c 1+√2 1+√2 2+√2 l’axefocalD etl’axenonfocalD donnésparl’algorithme ; ; F f 2+√2 2+√2 4 3. (cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:19) cequinepermetpasdegarderlesCBRQsousformequasi 1. Déterminationdudemi-grandaxe: standard puisque la valeur du poids du point construit est a= FN3+−F′N3+ 2+4√2 alorsquenousvoulonsavoir1.Pourtenterderémé- 2. ODaiénAtse′ir=qmuiaen.alteisonsodmeml’eetxsc(cid:12)(cid:12)eAnterticAit2é′ ddeell’’ealxl(cid:12)(cid:12)eipfsoeceal=pacr.OA= tdNceine1ur∼àecs(cid:16)et1pN;r21o3;b∼1l(cid:17)èmeet34,;Ncp43r2;e1∼non(cid:16)qs12uPc;i11d;∼é1fi(cid:17)(n.1iF;l1ien;a1pl)oe.imAnteinnastf,ifi,lneneopuposoinantvdooénbrés- 3. DéterminationdespointsH etH′,distincts,deaD F tels (N3;1)=c 43;(cid:16)34 ;1 .(cid:17)Nousavons: queAH=A′H′=eAF. (cid:16)(cid:16) (cid:17) (cid:17) 3 2 9 9 4. Détermination des deux directrices de l’hyperbole et ON32=2× 4 =2×16 = 8 ′,perpendiculairesàD F etpassantrespectivemenDtpar (cid:18) (cid:19) D c’est-à-dire: H etH′. Sortie:LecentreOdel’hyperbole,lesfoyersF etF′,les ON36=OP0=OP2=1 deux sommets A et A′, les directrices et ′ ainsi que ce qui prouve que l’I.F.S. linéaire projectif déduit de l’al- D D l’excentricitée. gorithmedeDeCasteljauneconvientpas.Sinousvoulions construirenotreI.F.S.,nousdevrions,àchaqueitération,dé- terminer quels sont les “bons” représentants des points de contrôleàconsidérer et quelleestlavaleur duparamètret 4 Modélisation,dansleplaneuclidien,d’arcsde àprendre dans l’intervalle[0;1]. Unesolution seraitde re- coniquesàcentreparunI.F.S.nonstationnaire calculertouslespoidsàchaqueitération,cequirendraitla Une conique propre est complètement déterminée par constructionàlarègleetaucompastrèslourde,enutilisant cinqcontraintes.EnpartantdespointsP0etP2delafuture lesformulesdonnéesparG.Farin[Far99]: coniqueetdesdeuxtangentes(P0P1)et(P2P1),ilnoussuf- fitd’ajouterunecontraintesimple:unpointdelamédiane ω0=1 ω1= ωω10 ωω02 ω2=1 iPds’1suu.teiClid’seeesrPtdc1ierdtetaecntedsmelreenntirètiralenegscloepnrPsoip0dPréiré1atPtéi2sonodueqsuuincoapuoértibédesscωhdoeaisuBiepéoazfiiiennrt oanùcωie0n,sωp1oeitdωsc2ωs0o,nωt1leesctnωou2v.eCaeuqcxippoeirdmsecctatrlcauitlécsepàepnadratinrtddees quadratiquesetlecorollaire1exhibecelien. concservcerlavcaleurde 12 pourleparamètret. Deplus,commedupointdevueprojectif,iln’yapasde Nous voulons conserver la régularité affine de nos distinction entre les diverses coniques propres, il n’est pas constructions c’est-à-dire que si nous considérons la légitime “d’adapter” la version projective de l’algorithme courbe de Bézier γ definie par les trois points pondé- 1afind’obtenirdesconiqueseuclidiennes, nousproposons réspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1):lepointpondéré donc d’autres méthodes, basées sur des critères euclidiens construit à l’étape suivante est γ 12 ;1 . En d’autre purementgéométriques,permettantderesterdansleplanaf- terme,nousvoulonstransformerno(cid:16)tre(cid:16)cou(cid:17)rbe(cid:17)deBézierra- fineetrendantpossiblel’utilisationd’unlogicieldegéomé- tionnelle quadratique sous forme quasi standard, sous ja- triedynamiquecommeparexempleKig.Eneffet,silepoids cente, en deux courbes de même nature : ainsi le point ω et lescoordonnées des points de contrôle sont construc- construit, recollement de ces deux dernières, doit avoir un tibles, la construction à la règle et au compas est possible poids de 1. Montrons qu’il ne suffit pas d’appliquer puisquelebarycentredespointspondérés(P0;1)et(P1;ω) l’I.F.S. issu de la version projective de l’algorithme 1. l’estenutilisantlethéorèmedeThalès.

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et sans calculs à la construction itérative d'arcs de coniques propres. De plus, nos be made with just ruler straightline and compass. So, these
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Constructions euclidiennes, dans le plan affine, d'arcs de coniques propres par des IFS affines non PDF

36 Pages·2010·0.45 MB·French
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RevueÉlectroniqueFrancophoned’InformatiqueGraphique,Volume1,Numéro1,pp.1–35,2007 Constructions euclidiennes, dans le plan affine, d’arcs de coniques propres par des I.F.S. affines non stationnaires LionelGARNIER LE2i,UMRCNRS5158,UniversitédeBourgogne,B.P.47870,21078DijonCedex,France [email protected] Résumé DanslasecondemoitiéduXXesiècle,P.Bézierainventédescourbespermettantdedécriredesarcsdeconiques enconsidéranttroispointspondérés.R.Goldmanamontrél’auto-similaritédescourbesdeBézier.Quantàlui, P. DeCasteljaua proposé un algorithme permettant de créer cescourbes enutilisant unI.F.S.,soit en restant dans l’espace affine dans le cas de la parabole, soit en travaillant dans la fermeture projective du plan affine dans le cas des coniques à centre. Cette dernière méthode induit quelques problèmes aussi bien du point de vue de la modélisation (en géométrie projective, il n’y a pas de distinction entre un parabole et une conique à centre) que du point de vue de la construction (nous ne pouvons pas rester dans l’espace affine). Dans cet article, dans un premier temps, nous déterminons les éléments caractéristiques, en n’utilisant que des critères purementgéométriques,d’uneconiquepropre(parabole,ellipse,hyperbole)définiepartroispointspondérésqui peuventêtrelespointsdecontrôled’unecourbedeBézierquadratiquesousformequasistandard.Dansunsecond temps, nous proposons des algorithmes permettant de représenter un arc de conique à centre en construisant, dansleplanaffineeuclidien,unI.F.S.affinenonstationnaire.Touscesalgorithmess’appuientsurlespropriétés barycentriquesdescourbesdeBézieretsurlespropriétésgéométriquesdesconiquespropres.Achaqueétape,le pointconstruitappartientàunemédianedutrianglecequipermetunerépartitionuniformedespointsconstruits et nous transformons ce triangle en deux triangles. Dans tousles cas, nous construisons un polygone dont les sommetssontlespointsdelaconiquelimiteetunpolygonedontlescôtéssontlestangentesréellesàlaconique limiteauxsommetsdupolygoneprécédent. Notreméthodeprésentel’avantagederesterdansl’espaceaffineet den’utiliserquedesconceptsgéométriquesc’est-à-direque,silepoidsdupointintermédiaireestconstructible, lesconstructionsissuesdenosalgorithmespeuventêtreréaliséesàlarègleetaucompasetnouspouvonsalors utiliserunlogicieldegéométriedynamique(commeKig)cequipermetd’apporterunedimensionpédagogique etsanscalculsàlaconstructionitératived’arcsdeconiquespropres.Deplus,nosméthodespermettentd’utiliser lesrèglesdedéductionsbaséessurdesthéorèmesafindedéterminercertainespropriétésgéométriques. Motsclefs:I.F.S,Cercle,ellipse,parabole,hyperbole,courbesdeBézierdedegré2 InthesecondhalfoftheXXecentury,P.Bézierdefinedcurveswhichrepresentcirclearcsusingthreelevel-headed points.P.deCasteljaugaveanalgorithmwhichcanmodelizethesecurvesusinganlinearI.F.S.Inthisarticle,after determiningcharacteristicelementsofproperconic(parabola,ellipse,hyperbola),wegivealgorithms,basedon rationalquadraticBéziercurvesandpropertiesofcentralconics,whosecanmodelizeellipsesandhyperbolas.At eachstep,theconstructedpointbelongstoanmedianofthecontrolpolyhedron.Weconstruct,intheaffineplane, non-stationnaryprojectifI.F.S.usingeuclidienpropertiesofconics.Wecomputetwopolygons:theverticesofthe firstpolygonbelongtothelimitconic.Theedgesofthesecondpolygonarethetangenttotheconicatthevertice ofthefirstpolygon.Moreover,iftheweightisconstructible,theconstructionsstemmingfromouralgorithmscould bemadewithjustrulerstraightlineandcompass.So,thesealgorithmspermitaapprochteachingandlearning withoutcalculus.Moreover,geometricalpropertiescanbedeductbyasoftofdynamicalgeometryasKig. Keywords:I.F.S,Circle,ellipse,parabola,hyperbola,quadraticBéziercurves (cid:13)c REFIG2010,RevueÉlectroniqueFrancophoned’InformatiqueGraphique. Publiéeparl’AssociationFrançaised’InformatiqueGraphique 1 Introduction tées, ces éléments à l’aide de la règle et du compas. Il est alors possible d’utiliser les algorithmes proposés dans cet Danslesannées60,deuxpersonnesontdéfinilesmêmes articledansunlogicieldegéométriedynamiquecommeKig outils afin de résoudre leurs problèmes de modélisation http://edu.kde.org/kig/.Deplus,nosalgorithmespermettent en CFAO dans leurs industries respectives : Pierre Bézier de ne modéliser qu’un arc de la conique, ce qui peut être [Béz86]chezRenaultetPaulDeCasteljau[Cas85]chezCi- utilelorsdelaréalisationdejointures[Gar07].Notreprin- troën. L’idée est de réaliser une construction virtuelle de cipedeconstructionàchaqueétapedudéroulementdenotre l’objet (en l’occurrence des voitures) en utilisant des or- algorithme,àtransformeruntriangleendeuxtriangles:un dinateurs plutôt que des moules. Ce procédé permet alors trianglegaucheetuntriangledroit. de diminuer les coûts de productions et un gain de temps devient possible si la modélisation a été bien pensée. Ces Pour ce faire, nous sommes obligés de déterminer cer- courbess’appuientsurlespolynômesdeBernstein.Lorsque tains éléments caractéristiques de la conique puisque nous ces derniers sont de degré 2, le modèle polynômial de nous en servons dans nos algorithmes. Ce travail, condui- ces courbes permet de modéliser un arc de parabole tan- sant aux mêmes résultatsthéoriques, aétéfait par J.P.Bé- disquelemodèle rationnel permet d’obtenir lesautresco- car[Béc97]enutilisantdespointsmassiques[FJ89,FJ92]et niques propres, c’est-à-dire le cercle, l’ellipse et l’hyper- enreparamétrisantlacourbedeBézierrationnellededegré bole[Gar07,DP98,Far99,FJ89,FJ92]. 2 afin d’avoir deux sommets opposés et un vecteur. Deux autres méthodes ont été développés, en travaillant dans la LeflocondeKoch estl’unedespremièrescourbesfrac- fermetureprojectifduplanaffine,G.Albrechtenseservant talesàavoirétédécriteet apparaît en1906. R.Goldmana du calcul matriciel [Alb01], R. Goldman et W. Wang qui montré, en 2004, la nature fractale des courbes de Bézier seserventducalculmatricieletdelareparamétrisationdes [Gol04], c’est-à-dire leurs auto-similarités, en s’appuyant courbes[GW04].Cestroisméthodesprésententdeplusl’in- surlestravauxdeM.Barnsley[Bar88]etenparticuliersur convénientdenetravaillerquedansl’espaceprojectifalors lesnotionsd’attracteursetdesprocédésd’itérations.Plusde quelebutdecetarticleestderesterdansl’espaceaffineeu- détailssurlesfractalesetlamodélisationparI.F.S.sontdis- clidientantquenouslepouvons.Quantàlui,E.Lee,enres- poniblesdans[Tos96,Gen92,Zaï98,GTN06]. tantdansl’espaceaffine,aproposédesméthodes,baséessur En utilisant une courbe de Bézier quadratique (polyno- lareparamétrisationdescourbes,lecalculvectorieletl’uti- miale ou rationnelle) sous forme quasi standard [Gar07], lisationderelationsalgébriques[Lee85].Malheureusement, nous pouvons construire facilement l’arc de conique sou- laplupartdecesméthodessontinutilisablespourréaliserdes haité [Far99, Gar07] d’une conique donnée. Notre idée constructionsàlarègleetaucompastandisqued’autresne consiste à construire, de façon itérative lespoints d’un arc sontpasfacilement exploitables.Deplus,aucundenosal- deconiqueàcentre.Pourcefaire,nousdévelopponsdesal- gorithmesn’utiliseuneéquationparamétriquedeconiques, gorithmespermettantdeconstruire,dansleplanaffineeucli- aussibienusuellequesousformedecourbedeBézierqua- dien,unI.F.S.affinenonstationnaire†.Deplus,nousn’éva- dratique. luonsjamaislespolynômesdeBernsteinetn’avonspasbe- En mathématique, sur une feuille de papier, nous pou- soindel’équationparamétriqued’unecourbedeBézier.Par vonstracer des arcsde coniques de façon continue. Enin- rapport aux travaux précédents sur la modélisation de co- formatiquegraphique,cecin’estpluspossibledufaitqu’un niques,soitpardesI.F.S.[Zaï98,Gol04],soitpardescourbes écran est un ensemble fini de pixels. Ainsi, pour représen- de subdivision [MWW01,BCR07b], nos algorithmes per- ter,àl’écran,unarcdeconique,nousdevonsdiscrétiserce mettentdeconstruirelestangentesàlacourbelimiteetsont dernieretl’objetgéométriquequiestutiliséàlaplacedela inspirés de la méthode de De Casteljau [Cas85]. De plus coniqueestouunelignebrisée(ouunpolygonesinousre- nous imposons que le point construit appartienne à la mé- présentonstoutel’ellipse).Pourcefaire,nousavonschoisi dianedutriangle,constituédestroispointsdecontrôle, is- danscetarticled’utiliseruneméthodeitérativeinterpolante sue du point intermédiaire. Notons qu’il serait possible de pourconstruirecepolygone(ainsiqueceluidestangentes). calculercetI.F.S.nonstationnaireenutilisantlesformules Laméthodeclassiqueauraitconsistéàsubdiviserl’intervalle classiques de changements de poids d’une courbe de Bé- dedépartennvaleursetàafficherlespointscorrespondants. zier afin de la mettre sous forme quasi standard [Far99]. Ainsi,nousconstruisonsdeuxpolygones,celuidontlessom- Bien que lecercle soit une ellipse particulière (les deux mets sont des points de la conique limite et celui dont les foyerssontconfondus,lesdirectricessontàl’infini,l’excen- côtés sont tangents à la conique aux sommets construits tricitéestnulle,onnepeut plusparlerd’axefocaletd’axe précédemment. Nousutilisonsuneméthodepurement géo- nonfocal...),danslerestedecetarticle,letermeellipsene métrique afin de rester dans l’espace affine et nous pou- considère pas le cas particulier du cercle puisque lesalgo- vons ainsi construire, si certaines conditions sont respec- rithmesdéveloppés pour l’ellipsene fonctionnent paspour lecercle.Pourcedernier,unalgorithmeparticulierestpré- senté. † Achaqueétape,nousavonstroispointsetunnombreωdontla valeurchangeàchaqueétapeetdépenddesétapesprécédentes. Enrésumé,nousvoulonsconserverlarégularitéaffine delabase(→−ı ;→−).Lafermetureprojective[Gar07]duplan denosconstructionsc’est-à-direquesinousconsidérions affineeuclidien estl’espacequotient = →− /∽. lacourbedeBézierγ definieparlestroispointspondé- P P P ×R (cid:16) (cid:17) réspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1):lepointpondéré SoitM(x;y)unpointde .Lescoordbonnéeshomogènes P construitàl’étapesuivanteest γ 1 ;1 etnousvou- dupointM sontdéfiniespartouttripletdelaforme: 2 lons que les points construits s(cid:16)ur(cid:16)la (cid:17)coni(cid:17)que soient ré- (ωx;ωy;ω) où ω=0 (1) 6 partisdefaçonuniformesurl’arcdelaconiquepropre: pource faire, à chaque étape, le point construit appar- Réciproquement, si nous considérons un point M de P tientàlamédianedutriangleP0P1P2 issuedusommet de coordonnées (x;y;ω) telles que ω soit non nul, nous P1 et nous construisons ainsi directement dans le plan identifions le point M de avec le point du plan affineb, affineeuclidienusuel,unI.F.S.nonstationnaire. de coordonnées x;y . NPotons qu’au point de de co- A chaque étape du déroulement de notre procédé de ordonnées (x;y;ωω), ωω=0,bcorrespond, dans lepPlan affine ectonPs2traupctpiaorntiieténrnaetniftinàtlearpcoolnainqtu,eleàspcoeinnttrseetxatnrédmisaquuxePl0e Pgé,olmeéptoriientpproojnedcé(cid:0)trivéeMsoω6(cid:1)nt dωxis;pωyoni;bωles.dDaenssc[oAmupdl0é6mb,eLnatds0d2e, point pondéré (P1;ω) permet à la fois de contrôler les Lad03,Leh03]. (cid:0)(cid:0) (cid:1) (cid:1) tangentesàlacourbeauxpointsprécédentsetdeconti- Danscetarticle,nousauronsbesoin,parfois,dedétermi- nuerleprocessusd’itération.Deplus,lorsquelespoints nerlespointsàl’infinid’unedroiteoud’unecourbe. Pour P , P et P sont construitsà la règle et au compas et 0 1 2 si le nombre ω est constructible‡, les points construits cela,notonsIP →−P l’espacedéfinicommel’espacevecto- parl’I.F.S.nonstationairesontconstructiblesàlarègle riel→− quotient(cid:16)épa(cid:17)rlarelationd’équivalence suivante: et au compas et des déductions de propriétés géomé- P ∼→− P triques (parallèlisme, orthogonalité, appartenance à un 2 ensembledepoints...)peuventêtreaffichéesparunlogi- ∀(→−u;→−v)∈ →−P − →−0 , (2) cieldegéométriedynamiquecommeKig. →−u →−v (cid:16) λn o∗(cid:17)→−u =λ→−v ∼→− ⇐⇒∃ ∈R | P Le plan de l’article est le suivant. Après avoir effec- tuéquelquerappelsconcernantlescoordonnéeshomogènes, Il est possible de montrer que est isomorphe à l’en- P les points isogonaux, les tangentes de direction donnée à semble IP →− , c’est-à-dire que l’ensemble des uneconique,lesI.F.S.,nousprésentonslesmodèlesdeBé- P∪ P b H∞ pointsde de(cid:16)laf(cid:17)orme(x;y;0),appeléhyperplandel’in- zier quadratiques polynômiaux et rationnelles sous forme P fini, est isomorphe à IP →− qui est l’ensemble des direc- quasi standard. Dans la section 3, nous donnons les élé- b P mentscaractéristiquesdesconiquespropresdéfiniespartrois tionsduplanaffine . (cid:16) (cid:17) P points pondérés. Avant de conclure et de donner des pers- pectives,lasection4présentelesdifférentsalgorithmesper- 2.2 RappelssurlesI.F.S. mettant de modéliser des arcs de coniques à centre. Les annexes proposent des compléments sur quelques proprié- UnI.F.S.(IteratedFunctionSystems) [BD85,Bar88] est téssurlescourbesdeBézierrationnellesquadratiquessous basésurlethéorèmedupointfixe,dansunespacemétrique forme quasi standard ainsi que les justificatifs des algo- complet,appliquésurlescompactsenutilisantunopérateur rithmes6et7. appeléopérateurdeHutchinson[Hut81].Etantdonnéunes- Afind’augmenterlalisibilitédecetarticle,laplupartdesfi- pacemétrique(E,d),unI.F.S.estunensemblefinid’opé- gpuoruersceetrtlaeintaebsldea’eunxtrseonetlleresg,rloeudpéétsaiàl dlaefilancdoundstorcuucmtioennteestt rda.teurs {Ti}i∈[[0;N−1]] contractants sur E pour la distance rappelédedans. PourtoutI.F.S.,ilexisteununiquecompact telque: A Dans cet article, désigne le plan affine euclidien réel N 1 muniduproduitscalPaireusuel. = [− Ti( ) (3) A A i=0 2 Rappels où estappeléattracteurdel’I.F.S.etlaformule(3)traduit A la propriété d’auto-similarité de . Plus de détails sur les 2.1 Coordonnéeshomogènes A I.F.S.sontdisponiblesdans[GTN06,Gen92,Tos96,Zaï98]. Soit(W ;→−ı ;→−)unrepèreorthonormédirectduplanaffine .L’espacevectorielassocié→− àl’espaceaffine estmuni 2.3 Pointisogonaletsymédiane P P P Commençonsàdonnerlesdéfinitionsd’unpointisogonal ‡ ωestunnombrerationnel,uneracinecarréed’unnombreration- d’unautrepointrelativementàuntriangleetdesymédiane. nel... Définition1:Pointisogonal Définition4 :Cercledirecteurd’uneconiqueàcentre. SoitABCuntrianglenondégénéréetM unpointduplan. Soit F et F′ les foyers d’une conique à centre tels que la SoitsX laréflexiond’axelabissectriceissuedusommetX distanceentrelesdeuxsommetsdel’axefocalsoit2a. dansletriangleABC. Lecercledirecteur,notéS F (resp.S F′),associéaufoyerF′ Alors,lepointM′définipar: (resp.F)estlecercledecentreF (resp.F′)etderayon2a. M′ =sA((MA)) sB((MB)) sC((MC)) ∩ ∩ Lemme 1 :Déterminationdes tangentesàune conique à est ap(cid:8)pelé(cid:9)l’isogonal du point M (relativement au triangle centredansunedirectiondonnée ABC). SoitEuneconiqueàcentreetD unedroite. 0 SoitD F ladroitepassantparF etperpendiculaireàD 0. Définition2:Symédiane Soit M et M′ les intersections entre la droite D F et S F, SoitP0P1P2untriangle.SoitD m(resp.D )lamédiane(resp. cercledirecteurassociéaufoyerF′. bissectrice)dutriangleissuedeP1. Les médiatrices des segments [MF] et M′F sont deux Lasymédiane du triangle, issue de P1 est D s, image de la tangentes,parallèlesD 0,àlaconiqueàcentreE. droiteD mparlaréflexiond’axeD ,figure1. (cid:2) (cid:3) Démonstration:[Lad04,LH97](cid:4) Naturellement,siletriangleP0P1P2 estisocèledesom- metprincipalP1,alorsnousavonsD m=D =D sc’est-à-dire Nous énonçons une propriété essentielle, pour notretra- quelasymédianeissuedeP1estconfondueaveclamédiane vail, donnée par E. Lee [Lee85] et dont tous les éléments issuedeP1. pourladémonstrationsontdans[Lad03]: Notons que lepoint de Lemoine L, défini comme inter- Proposition1 :AlignementsdeP1,I1,O,N3+etN3−. sectiondestroissymédianesd’untriangleABC,etlepoint SoitCuneconiquepropredecentreO,P0etP2deuxpoints isogonalducentredegravitéOdutriangleABC,figure1. deCnonsymétriquesparrapportàO. SoitI1 lemilieudusegment [P0P2]etP1 lepoint d’inter- 2.4 Tangentes,ayantunedirectiondonnée,àune sectiondestangentesàCissuesdeP0etP2. coniqueàcentrenoncirculaire SoitN3+etN3−lesdeuxpointsdeCtelsquelestangentesà Commençonsparrappelerladéfinitiond’uneconique: Cencespointssoientparallèlesàladroite(P0P2). Définition3:SoitCunensembledepointsM(x;y)de . Ainsi,lespointsP1,I1,O,N3+etN3−sontalignés,figure6. P C est une conique s’il existe un polynôme P, à deux va- Pourfinirceparagraphesurlesconiquesdansleplanpro- riables,dedegré2telque: jectif,notons qu’il est ainsi possible de classifier, du point M(x;y) C, P(x;y)=0 (4) devueaffine,uneconiquepropreenfonctiondesespointsà ∀ ∈ l’infini[Gar07,Gar09b]: L’équation de la formule (4) est appelée équation im- ⋆ uneellipseouuncercleestuneconiquequinecoupe plicite ou équation cartésienne. Notons que chaque co- pasladroitedel’infini; niqueproprepossèdeaumoinsuneéquationparamétrique ⋆ unehyperboleestuneconique quicoupeladroitede usuellec’est-à-direqu’ilexisteuneapplicationγd’uninter- l’infiniexactementdeuxfois; valleIde dans telleque: ⋆ une parabole est une conique qui coupe la droite de R P l’infiniexactementunefois. M C, t0 I γ (t0)=M (5) ∀ ∈ ∃ ∈ | Notonsqu’ilestaussipossiblededirequelaparaboleest Nousverronsdansleparagraphe2.6untroisièmerepré- tangenteàladroitedel’infini[Aud06]. sentationpossibledesconiques. Nous n’exposons ici que les propriétés qui nous seront 2.5 CourbesdeBézierpolynomialesquadratiques utilesdanslesdifférentsalgorithmes.Lespropriétésusuelles Pourtappartenantà[0;1],lespolynômesdeBernsteinde desconiquespropresainsiquelesdémonstrationssontdis- degré2sont: ponibles dans [Gar07]. Dans certains de nos algorithmes, nousauronsbesoindeconstruirelatangenteàunpointd’une B0(t) = (1 t)2 − coniqueàcentrenoncirculaireselonunedirectiondonnée, B1(t) = 2t(1 t) (6) lemme1.Pourcefaire,nousavonsbesoindedéfinirlecercle B2(t) = t2 − directeurd’uneconiqueàcentre. B′ b b b A C L b b O b b A′ C′ b B Figure1:PointdeLemoineL,définicommeintersectiondestroissymédianesdutriangleABC,estl’isogonalducentrede gravitéOrelativementàcetriangle.Lesmédianessontenrouge,lessymédianessontenverttandisquelesbissectricessont enpointillésbleus. 2.5.1 Définition de 1 dans l’algorithme de De Casteljau [Gar09b,Gar07]. 2 Notons que cet algorithme est un cas particulier de l’algo- Définition5:courbedeBézierpolynomialededegré2 rithmede Chaikin [Cha74,Rie75]. D’après lethéorème de zSioeirtd(Peid)ie∈g[r[0é;22]] edteOp,oqinutastrdeepocionnttsrôdleeP(P.Li)aic[[o0u;2r]]beesdtel’Bené-- dlarodirtoeit(eNd1eNs m2)ilieesutxpaaprpallilqèlueéàdalansdlreoittreia(nPgl0ePP2)0Pet1Pe2st, llaa sembledespointsM(t)vérifiantlaformule:∈ tangenteà l’arcde paraboleau pointN3 [Gar09b]. En fait, ce qui est sous-jacent à l’algorithme 1, qui permet la 2 (cid:229) t [0;1], −O−M−−(→t)= Bi(t)−O−P→i (7) constructiond’unI.F.S.linéaireàlarègleetaucompas,c’est ∀ ∈ i=0 lamodélisationd’unarcdeparaboleparunecourbedeBé- etlespoints(Pi)i [[0;2]] définissentunpolygoneappelépo- zierpolynomialequadratiquedepointsdecontrôleP0,P1et lygonedecontrôl∈edelacourbedeBézier. P2. Notonsquel’algorithme1nenécessitequelaconstruction dumilieud’unsegment,ilestainsipossibledeconstruireles Géométriquement, pour t0 fixé dans l’intervalle pointsd’unarcdeparaboleàlarègleetaucompas. [0;1], M(t0) est le barycentre des points pondérés (Mi;Bi(t0))i [[0;2]].Ladéfinitiond’unecourbedeBézierde Lanotationbar (Ai;ai)i I désignelebarycentredes degré2,formu∈le(7),nedépendpasdupointOchoisietla pointspondérés(Ai;ai)avec∈i I.L’algorithme1peutêtre (cid:8) ∈(cid:9) courbedeBézierestinclusedanssonpolyèdredecontrôle. modéliséparunI.F.S.linéairecomposédedeuxtransforma- tionscontractantesT0etT1définiespar: NousavonsM(0)=P0 etM(1)=P2 etilestpossible demontrerquelatangenteàlacourbeaupointP0(resp.P2) P P 0 0 estladroite(P0P1)(resp.(P2P1))c’est-à-direquelepoint P1 permet decontrôler latangenteàlacourbeenP0 eten T0 P1 = bar{(P0;1);(P1;1)}  (8) P2.  P2   bar{(P0;1);(P1;2);(P2;1)}  et     2.5.2 ArcdeparaboleetI.F.S.affinelinéaire P0 bar{(P0;1);(P1;2);(P2;1)} SoitP0,P1 et P2 troispoints nonalignés de .L’algo- rithme1permetdeconstruireunarcγ d’uneparPabole P, T1 P1 = bar{(P1;1);(P2;1)}  (9) C d’extrémités P0 et P2 et ayant pour tangentes les droites  P2   P2  (P0P1) et (P2P1), en utilisant seulement des triangles et     le théorème de la droite des milieux en prenant la valeur Lanotationmatricielledelaformule(8)serait: desdifférentsalgorithmes,nousavons: P0 1 0 0 P0 N1 = P10 T0 P1 = 12 12 0   P1  (10)  NN32 == PP2101 ×    1 1 1    cequisetraduitpar:  P2   4 2 4   P2  P0 P0 P00 et,pourtoutentiernaturelnnonnul,nousaurionsalors: T0 P1 = N1 = P10       P0 1 0 0 n P0 P2 N3 P20 et:       1 1 T0n P1 = 2 2 0   P1  (11) P0 N3 P01 ×    1 1 1    T1 P1 = N2 = P11   P2   4 2 4   P2  P2 P2 P21 cp’aesstd-eàs-dpioreinqtsuedelecocnatlrcôulledieniltaiaunx-idèmanesilteérsaetniosnoùneledécpalecnudl pc’oeisntt-àd-edire,qauloerssisPoin0..i.mina−g1e,,(pi0a;r.l.a.;tirnan−s1f)or∈m{a0ti;o1n}nco,nestrtaucn- P delapuissancedelamatriceestlemêmesinouschangeons tanteTin,in∈{0;1},estnotéPi0...in−1in.Ainsi,larepré- depointsdecontrôle. sentationd’un arcde parabole (maisaussi de conique) par unI.F.S.nécessitel’utilisationd’unefonctiond’adressageet Comme un des buts de cet article est de pouvoir réali- chaquepointdupolygoneapproximantlacourbeestrepré- ser des constructions àlarègle et aucompas, nous n’utili- sentéparunmot.Pourdeplusamplesinformationssurles sons pas les notations matricielles, car elles seraient inex- fonctionsd’adressageassociéesauxI.F.S.,lelecteurpeutse ploitables,etnouspréféronsgarderlesnotationsutiliséesen reporterà[Gen92,Tos96,Zaï98]. géométrieclassique. Hormisdanscetarticle,cespointssontaussicalculéspardes Lafigure7déroulel’algorithme1dansuneprofondeur§ produitsdematrices,dutypedecelledonnéeparlaformule de2.Enentrée,nousavonslesextrémitésP0etP2del’arc (10),enneconsidérantquedespropriétésbarycentriquesdes deparaboleγ etP1,pointdecontrôledestangentesences pointsdecontrôle. deuxextrémités. CommenousavonsP01=P20,c’estlepointderecolle- ment,danslasuite,nousécrirons: Algorithme1:Construction,àlarègleetaucompas,d’un arcdeparaboleparunI.F.S.linéairedansleplanaffineeu- P0 P20 clidien. T1 P1 = P11     Entrée:SoitP0,P1etP2troispointsnonalignésde . P2 P21 P ProcédureFractPara(P0,P1,P2)     Naturellement, nous avons P0 = P00 = P000 et P2 = 1. SoitN1lemilieudusegment[P0P1]. P21=P211. La première partie de la seconde étape est de 2. SoitN2lemilieudusegment[P2P1]. construirelespointsP100etP101,milieuxrespectifsdesseg- 3. SoitN3lemilieudusegment[N1N2]. ments[P0P10]et[P10P20],puisdeconstruirelepointP200, milieu du segment [P100P101]. La seconde partie de la se- 4. FractPara(P0,N1,N3). conde étape est de construire les points P110 et P111, mi- 5. FractPara(N3,N2,P2). lieux respectifs des segments [P20P11] et [P11P2] puis de Sortie:unarcdeparaboledéfinipartroispointsnonalignés construirelepointP210,milieudusegment[P110P111].Les P0,P1etP2. deuxpointsP200etP210sontdeuxautrespointsdel’arcde paraboleγ. Noussouhaitonsadapterl’algorithme1auxconiqueseu- Lapremièreétapedecetalgorithmeconsisteàconstruire clidiennes à centre et n’utiliser que des constructions géo- le point N1 (resp. N2), milieu du segment [P0P1] (resp. métriquesdansleplanaffineeuclidien. Pourcefaire,nous [P2P1]). Le point N3, milieu du segment [N1N2] est en- avons besoin des propriétés des courbes de Bézier ration- suite construit. En prenant la méthode d’adressage usuelle nellesquadratiquessousformequasistandardetnouspour- enthéoriedesI.F.S.,quenousgarderonslorsdudéroulement rons ainsi construire, à la règle et au compas¶, en restant dansleplanaffineeuclidien,unI.F.S.nonstationnairebasé surl’algorithmedeDeCasteljau. § L’algorithmeestrécursifetl’exécutionsedéroulesouslaforme d’unarbre. ¶ Lespointsdevrontêtreconstruits àlarègleetaucompasetle poidsωdevraêtreunnombreconstructible. 2.6 CourbesdeBézierrationnellesquadratiques pointsconstituéd’unefamilledebarycentredespointspon- (CBRQs)sousformequasistandard dérés: 2.6.1 Définition A partir de la définition d’une courbe de Bézier poly- Mi; ωiBi(t0)  ndoomnniéaeles,hfoomrmouglèene(7s),deilsetsrotipsopssoiibnltes,deencpornentraônlet,ledsecdoéofir--  (cid:229)2 ωiBi(t0) nir unecourbe deBézier polynomiale projective. Enchan-  i=0 i∈[[0;2]] geantdereprésentantprojectifetenrevenantdansl’espace oùt0 [0;1]. ∈ affine,nouspouvonsdéfinirlescourbesrationnellesdedegré Ainsi,d’aprèslaformule(7)(resp.formule(12)),nousob- 2[Gar07].Aunpointdel’espaceaffine ,nousfaisonscor- tenonsunetroisièmereprésentationpossibled’unarcdepa- P respondreuneclassed’équivalencede .D’unpointdevue rabole(resp.deconiquepropreàcentre). P affine,lechoixdeteloutelreprésentantsurunecourbede Si P0, P1 et P2 sont trois points non alignés, Bézierrationnellequadratiquejoueunbrôlesurlanaturede RQBC (P0;P1;P2) désigneunecourbedeBézierration- laconiqueeuclidienneobtenuedansleplanaffine[Gar09b]. { } nellequadratiquedepointsdecontrôleP0,P1 etP2 tandis En prenant ω0 =ω2 =1 et ω1 =ω 6=0, il est possible que RQBC{(P0;P1;P2),ω} désigne la courbe de Bézier dedéfiniruntypeparticulierdecourbedeBézierrationnelle rationnellequadratiquequasistandarddepointsdecontrôle quadratique: (P0;1),(P1;ω)et(P2;1). Définition6:CBRQaffinesousforme(quasi)standard 2.6.2 Modélisationd’arcsdecerclespardesCBRQs Soitωunréelnonnul. sousformequasistandard UnpointM(t)appartientàlaCBRQsousformequasistan- Ilestpossibledemodéliserdesarcsdecerclesenutilisant dard,définieparlespointsdecontrôle(Pi)0 i 2etlepoids descourbesdeBézierrationnellesquadratiques.Lorsqueles ω,sietseulement si pour unpoint O de ≤,p≤our tout tde extrémitésdel’arcdecerclemodélisénesontpasdiamétra- P [0;1],M(t)vérifiel’équation: lementopposées,lelecteurpeutsereporterà[Far99,Gar07] pourlesdémonstrations,danslecascontraire,casquenous −O−M−−(→t)= B0(t)−O−P→0+ωB1(t)−O−P→1+B2(t)−O−P→2 (12) excluonsdanscetarticle,lelecteurpeutsereporterà [FJ89]. B0(t)+ωB1(t)+B2(t) Lorsque nous avons ω >0, la CBRQ est dite sous forme 3 Déterminationdesélémentscaractéristiquesd’une standard. coniqueproprenoncirculaire Soit ω un nombre constructible et P0, P1 et P2 trois Naturellement,sinousavons: points, non alignés, construits à la règle et au compas. En n’utilisant que des concepts de géométrie classique et t [0;1], B0(t)+ωB1(t)+B2(t)=0 (13) ∀ ∈ 6 des constructions à la règle et au compas, nous détermi- laCBRQestinclusedansleplanaffine.Silaconditiondon- nons,lesélémentscaractéristiquesd’unarcdeconiquedé- néeparlaformule(13)n’estpasvérifiée,lavaleurt0corres- finiparlestroispointspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1). pondante induit une direction dans la fermeture projective Quelquesrésultatsquenousallonsutilisersontdisponibles duplanaffine. dans l’annexe A. Une équation paramétrique pourrait être obtenueenutilisantuneCBRQsousformequasi standard, La valeur de ω détermine alors la nature de la conique obtenue[Gar07]: de points de contrôle pondérés (P0;1), (P1;ω) et (P2;1), et il serait alors possible d’utiliser les résultats existants ⋆ si ω =1alorsledénominateurs’annuleunefoisetla [Béc97,Alb01,GW04,Lee85]. Malheureusement, ces mé- | | coniquecoupeladroitedel’infiniunefois,laCBRQ thodesnesontpasfacilementexploitablespourréaliserdes estunarcdeparabole, constructionsàlarègleetaucompas. ⋆ si ω >1alorsledénominateurs’annuledeuxfoisetla | | coniquecoupeladroitedel’infinideuxfois,laCBRQ 3.1 Casdelaparabole estunarcd’hyperbole, ⋆ si0< ω <1alorsledénominateurnes’annulepaset Dans ce paragraphe, nous considérons le cas où nous | | laconiquenecoupepasladroitedel’infini,laCBRQ avonsω= 1ouω=1,cederniercasrevenantàunecourbe estunarcd’ellipse. polynômial−e.NotretravailconsisteàdéterminerlefoyerF, lesommetSetladirectrice . D’aprèslaformule(12),unarcdeconiquepropreàcentre D peutêtrevuecommelelieugéométriqued’unensemblede L’algorithme2,illustréparlafigure8,détaillelesétapes permettantdeconstruirelesélémentsdelaparaboleinduite par trois points, non alignés, pondérés (P0;1), (P1;ω) et 3.2 Casdesconiquesàcentrenoncirculaires (P2;1)avec|ω|=1. Dansceparagraphe, nousneconsidéronspaslecaspar- \ Algorithme2Elémentscaractéristiquesd’uneparaboledé- ticulier du cercle (i.e. ω =cos −P−0−P→1,−P−0−P→2 ), pour plus | |6 finiepartroispointspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1)avec dedétails,consulter[Lee85,Far9(cid:16)9,Gar07,Gar(cid:17)09b,GFN06, ω =1. Gar04]. | | Donnée:troispoints,nonalignés,pondérés(P0;1),(P1;ω) L’algorithme3reposesurlethéorème1quiestillustrépar et(P2;1)avec|ω|=1. lafigure9: 1. DéterminationdeI1,milieudusegment[P0P2]. Théorème1 : 2. DéterminationdelamédianeD m=(P1I1). SoitEuneconiqueàcentrenoncirculairedecentreOetde 3. DéterminationdelabissectriceintérieureD ,issuedeP1, foyerF etF′. dutriangleP0P1P2. SoitA′,B′etC′troispointsdeuxàdeuxdistinctsapparte- 4. Détermination de la symédiane D s, issue de P1, du tri- nantàE. angleP0P1P2. SoitA,B et C lessommetsdu triangleformépar lestan- 5. Détermination de C1, cercle circonscrit au triangle gentesàEauxpointsA′,B′ etC′ (enutilisantlanotation P0P1P2. usuelle:lepointX′appartientaucôtéquin’estpasissudu 6. DéterminationdeI2,secondeintersectionentrelasymé- pointX). dianeD setlecercleC1 SoitO′l’isogonaldupointOrelativementautriangleABC. 7. DéterminationdufoyerF,milieudusegment[P1I2]. SoitOAl’intersectiondeladroite O′A aveclecerclecir- conscritautriangleAB′C′. 8. DéterminationdeC2,cercledecentreP0passantparF. SoitOB l’intersectiondeladroite(cid:0)O′B(cid:1)aveclecerclecir- 9. DéterminationdeJ1,intersectiondeC2aveclaparallèle conscritautriangleBA′C′. àD mpassantparP0tellequelesvecteurs−I1−P→1 et−P−0→J1 SoitOC l’intersectiondeladroite(cid:0)O′C(cid:1)aveclecerclecir- soientdemêmesens. conscritautriangleCB′A′. (cid:0) (cid:1) 10. Détermination de ladirectriceD, tangente au cercleC2 Alors les quadrangles A,OA,F,F′ , B,OB,F,F′ et aupointJ1. C,OC,F,F′ sontharmoniques. (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) 11. Détermination de l’axe focal D F, droite parallèle àD m (cid:2) (cid:3) passantparF. Dém: La démonstration est laissé au lecteur. Une mé- thodeanalytiqueestpossibleenutilisantlesexpressionsra- 12. Déterminationdupoint H,intersectionentrelesdroites etD . tionnellesdesfonctionscos,sinettanetlelogiciel maple. F D NotonsquelelogicielKigpermetdejustifierlaconstruction, 13. Détermination du sommet S de la parabole, milieu du figure9. segment[HF]. (cid:4) Sortie : le foyer F, le sommet S et la directrice d’une D Rappelonsquelefaitquelequadrangle[A,B,C,D]soit parabole. harmoniqueimpliquelacocyclicitédesquatrepointsA,B, CetD. Nous proposons une esquisse de justification de l’algo- Pourdesraisonsdevisibilité,lafigure9n’illustrelethéo- rithme2.LefaitquelefoyerF appartientàlasymédianeest rème1quepourlespointsA,A′etOA.LesquatrepointsA, une conséquence du second théorème dePoncelet. Il suffit OA,F etF′sontbiencocycliquesetappartiennentaucercle ensuite de considérer la similitude directe sF de centre F CFF′OAA. tel que sF(P0)=P1 et sF(P1)=P2 ce qui conduit à la LepremiertravailestladéterminationducentreOetdes formulededivisionharmoniquedeNewton: foyersF etF′delaconique,algorithme3.Dansunsecond 2 FP1 =FP2 FP0 temps, nous déterminerons les autres éléments en fonction × dutypedelaconiqueàcentre. et,lefaitqueF estlemilieudusegment[P1I2],nouspermet d’obtenirlarelationdedivisionharmonique: LaconstructionducentreOetdesfoyersFetF′delaco- 2 niquesefaitentroisétapes:déterminationdeO,construc- FI2 =FP2×FP0 tiondupointI2telquelequadrangle[P1,I2,F,F′]soithar- ce qui montre que I2 est bien l’intersection entrela symé- monique[Lad03]etconstructiondesfoyersF etF′.Lafi- diane issuede P1 dans letriangleP0P1P2 et lecerclecir- gure10illustrel’algorithme3. conscritautriangleP0P1P2. LapremièreétapeestladéterminationdelamédianeD m dutriangleP0P1P2issuedeP1. Algorithme 3 Détermination du centre, des foyers et des L’étapesuivanteestlaconstructiondupointI2,seconde axesfocaletnonfocald’uneconiqueàcentre. intersectionducerclepassantparP0,P1 etP2 estlasymé- Donnée:troispoints,nonalignés,pondérés(P0;1),(P1;ω) dianeD s dutriangleP0P1P2 issuedeP1 cequiestréalisé \ parlesétapesde3à6. et(P2;1)avec:0= ω =1et ω =cos −P−0−P→1,−P−0−P→2 . 6 | |6 | |6 Lesétapes7à11permettentdeconstruirelesdeuxfoyers 1. Détermination delamédiane D m=((cid:16)P1I1)oùI1 (cid:17)estle del’ellipseetnousfinissonsparcalculerleparamètrecdela milieudusegment[P0P2]. coniqueàcentre. 2. DéterminationducentreO,delaconique. 3.2.1 Casdel’ellipse 3. Détermination de D , bissectrice issue de P1 dans le tri- angleP0P1P2. L’algorithme4permetdedéterminerlesélémentsrestants 4. DéterminationdelasymédianeD s,imagedelamédiane del’ellipseàpartirducentreO, desfoyersF etF′ etdes D mparlaréflexiond’axeD . axesfocaletnonfocalobtenusparl’algorithme3. 5. Détermination de C , cercle circonscrit au triangle 1 Algorithme 4 Détermination des éléments caractéristiques P0P1P2. d’une ellipse définie par trois points pondérés (P0;1), 6. Détermination du point I2 comme seconde intersection (P1;ω)et(P2;1). deladroiteD saveclecercleC1. Donnée:lecentreOdel’ellipse,lesfoyersF etF′,l’axe 7. Détermination de l’axe focal D F de la conique comme focalD F etl’axenonfocalD f donnésparl’algorithme3. bissectrice,issuedeO,dansletriangleP1OI2. 1. Déterminationdudemi-grandaxe: 8. Détermination de l’axe non focal D de la conique, f commeperpendiculairedeD F passantparlecentreO. a= FN3++F′N3+ 2 9. DéterminationdeI3,imagedeI2 parlaréflexiond’axe nonfocalD f. ainsiquelessommetsAetA′ del’axefocalparOA= 10. DéterminationdeC2,cerclepassantparI2I3P1. OA′=a. 2. Détermination du demi-petit axe b = √a2 c2 et les 11. DéterminationdesfoyersF etF′par: − sommetsBetB′del’axenonfocalparOB=OB′=b. F;F′ =C2∩D F 3. Déterminationdel’excentricitédel’ellipsee= ac. 12. Calculdec=OF.(cid:8) (cid:9) 4. DéterminationdespointsH etH′,distincts,deD F tels Sortie:LecentreOdelaconique,lesfoyersF etF′,l’axe queAH=A′H′=eAF. focalD F etl’axenonfocalD f. 5. pDeértpeernmdiincautliaoinredseàsDdFeuextdpiarsescatnritcreesspdeeclt’iveellmipesnetDparetHDe′t, H′. LadeuxièmeétapeestladéterminationducentreOdela Sortie : Le centre O de l’ellipse, les foyers F et F′, les coniqueàcentre.Cecipeutêtreréalisé: quatresommetsA,B,A′etB′,lesdirectrices et ′ainsi D D quel’excentricitée. en employant les deux CBRQs sous forme quasi • standard, γ+ = RQBC (P0;P1;P2),ω et γ− = RQBC (P0;P1;P2), ω{, en considéran}t les points Connaissant un point de l’ellipse, en appliquant la défi- { − } nitionbifocaledel’ellipse,nouspouvonsdéterminerlava- P1, N3+ =γ+ 12 , N3− =γ− 21 et I1, milieu du leurdudemi-grandaxea.Maintenantquenousconnaissons segment[P0P2](cid:16),th(cid:17)éorème2. (cid:16) (cid:17) l’axefocal,lenombrec=OF eta,nousdéterminonslava- • en construisant le point N3+ (resp. N3−) comme ba- leurdudemi-petitaxeb.Nouspouvonsendéduirelesquatre rycentredespointspondérés(I1;1)et(P1;|ω|)(resp. sommetsA,A′surl’axefocal,etBetB′surl’axenonfo- (P1; ω)),théorème2del’annexeA. cal. −| | enutilisantlarelationdonnéeparLee[Lee85]: • L’algorithme 4 permet de déterminer les derniers élé- 1 −P−1→O= 1 ω2−P−1→I1 (14) ments restants, l’excentricité e et lesdeux directrices D et − ′[Gar07]. Remarquons, danslesdeuxpremierscas,quelefaitque D les CBRQs soient sous forme quasi standard nous assure 3.2.2 Casdel’hyperbole l’alignement des points N3+, P1 et I1 d’une part, N3−, P1 L’algorithme4permetdedéterminerlesélémentsrestants etI1 d’autrepart.LecentreO del’ellipseestlemilieudu segment N3−N3+ . adxeels’hfyopcearlbeotlneoànpfaorctiarldoubtceennutrsepOar,ld’easlgfooryiethrsmFe3e.tF′etdes h i Connaissantunpointdel’hyperbole,enappliquantladé- Prenons P0(1;0), P1(1;1), P2(0;1) et ω = √22, ainsi la finitionbifocaledel’hyperbole,nouspouvonsdéterminerla CBRQinduiteparcespointsdecontrôleestl’arcdecercle valeurdudemi-grandaxea.Maintenant quenousconnais- de centreO(0;0)et de rayon 1 situédans lepremier qua- sonsl’axefocal,lenombrec=OF eta,nousdéterminons drant.Nousavonsalors,encoordonnéeshomogènes,defa- Ala,vAal′eudredl’eaxbe.Nfoocuasl,plo’euxvcoennstreicnitdééedueitrelelsesdeduexuxdisroemctmriceetss çon naturelle : P0 ∼(1;0;1), P1 ∼ √22;√22;√22 , P2 ∼ DetD′[Gar07]. (0;1;1). Nous cavons alors Nc1 ∼ (cid:16)2+4√2;√42;2+(cid:17)4√2c et Algorithme 5 Détermination des éléments caractéristiques N2∼ √42;2+4√2;2+4√2 .Ficnaleme(cid:16)nt, lepoint obtenu(cid:17)est d’une hyperbole définie par trois points pondérés (P0;1), Nc3∼(cid:16)1+4√2;1+4√2;2+4√(cid:17)2 quidéfinitlepointaffinepon- (P1;ω)et(P2;1). déré:(cid:16) (cid:17) Donnée : le centre O de l’hyperbole, les foyers F et F′, c 1+√2 1+√2 2+√2 l’axefocalD etl’axenonfocalD donnésparl’algorithme ; ; F f 2+√2 2+√2 4 3. (cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:19) cequinepermetpasdegarderlesCBRQsousformequasi 1. Déterminationdudemi-grandaxe: standard puisque la valeur du poids du point construit est a= FN3+−F′N3+ 2+4√2 alorsquenousvoulonsavoir1.Pourtenterderémé- 2. ODaiénAtse′ir=qmuiaen.alteisonsodmeml’eetxsc(cid:12)(cid:12)eAnterticAit2é′ ddeell’’ealxl(cid:12)(cid:12)eipfsoeceal=pacr.OA= tdNceine1ur∼àecs(cid:16)et1pN;r21o3;b∼1l(cid:17)èmeet34,;Ncp43r2;e1∼non(cid:16)qs12uPc;i11d;∼é1fi(cid:17)(n.1iF;l1ien;a1pl)oe.imAnteinnastf,ifi,lneneopuposoinantvdooénbrés- 3. DéterminationdespointsH etH′,distincts,deaD F tels (N3;1)=c 43;(cid:16)34 ;1 .(cid:17)Nousavons: queAH=A′H′=eAF. (cid:16)(cid:16) (cid:17) (cid:17) 3 2 9 9 4. Détermination des deux directrices de l’hyperbole et ON32=2× 4 =2×16 = 8 ′,perpendiculairesàD F etpassantrespectivemenDtpar (cid:18) (cid:19) D c’est-à-dire: H etH′. Sortie:LecentreOdel’hyperbole,lesfoyersF etF′,les ON36=OP0=OP2=1 deux sommets A et A′, les directrices et ′ ainsi que ce qui prouve que l’I.F.S. linéaire projectif déduit de l’al- D D l’excentricitée. gorithmedeDeCasteljauneconvientpas.Sinousvoulions construirenotreI.F.S.,nousdevrions,àchaqueitération,dé- terminer quels sont les “bons” représentants des points de contrôleàconsidérer et quelleestlavaleur duparamètret 4 Modélisation,dansleplaneuclidien,d’arcsde àprendre dans l’intervalle[0;1]. Unesolution seraitde re- coniquesàcentreparunI.F.S.nonstationnaire calculertouslespoidsàchaqueitération,cequirendraitla Une conique propre est complètement déterminée par constructionàlarègleetaucompastrèslourde,enutilisant cinqcontraintes.EnpartantdespointsP0etP2delafuture lesformulesdonnéesparG.Farin[Far99]: coniqueetdesdeuxtangentes(P0P1)et(P2P1),ilnoussuf- fitd’ajouterunecontraintesimple:unpointdelamédiane ω0=1 ω1= ωω10 ωω02 ω2=1 iPds’1suu.teiClid’seeesrPtdc1ierdtetaecntedsmelreenntirètiralenegscloepnrPsoip0dPréiré1atPtéi2sonodueqsuuincoapuoértibédesscωhdoeaisuBiepéoazfiiiennrt oanùcωie0n,sωp1oeitdωsc2ωs0o,nωt1leesctnωou2v.eCaeuqcxippoeirdmsecctatrlcauitlécsepàepnadratinrtddees quadratiquesetlecorollaire1exhibecelien. concservcerlavcaleurde 12 pourleparamètret. Deplus,commedupointdevueprojectif,iln’yapasde Nous voulons conserver la régularité affine de nos distinction entre les diverses coniques propres, il n’est pas constructions c’est-à-dire que si nous considérons la légitime “d’adapter” la version projective de l’algorithme courbe de Bézier γ definie par les trois points pondé- 1afind’obtenirdesconiqueseuclidiennes, nousproposons réspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1):lepointpondéré donc d’autres méthodes, basées sur des critères euclidiens construit à l’étape suivante est γ 12 ;1 . En d’autre purementgéométriques,permettantderesterdansleplanaf- terme,nousvoulonstransformerno(cid:16)tre(cid:16)cou(cid:17)rbe(cid:17)deBézierra- fineetrendantpossiblel’utilisationd’unlogicieldegéomé- tionnelle quadratique sous forme quasi standard, sous ja- triedynamiquecommeparexempleKig.Eneffet,silepoids cente, en deux courbes de même nature : ainsi le point ω et lescoordonnées des points de contrôle sont construc- construit, recollement de ces deux dernières, doit avoir un tibles, la construction à la règle et au compas est possible poids de 1. Montrons qu’il ne suffit pas d’appliquer puisquelebarycentredespointspondérés(P0;1)et(P1;ω) l’I.F.S. issu de la version projective de l’algorithme 1. l’estenutilisantlethéorèmedeThalès.

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et sans calculs à la construction itérative d'arcs de coniques propres. De plus, nos be made with just ruler straightline and compass. So, these
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