Construction de Séries Discrètes p-adiques: Sur les Séries Discrètes non Ramifiées des Groupes Réductifs Déployés p-adiques

183 Pages·1975·2.984 MB·French

by  Prof. Paul Gérardin (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited yb .A Dold and .B Eckmann
264
luaP nidrar6G
noitcurtsnoC ed seir6S
set6rcsiD seuqida-p
ruS>> sel S6ries Discretes non Ramifi6es des
Groupes R6ductifs D6ploy6s <<seuqida-p
I I I III
galreV-regnirpS
Berlin.Heidelberg- New York 5791
Author
Prof. Paul G6rardin
Universite de Paris IIV
U.E.R. de Mathematiques
2, Place ueissuJ
?5 Paris/France
Library of Congress Cataloging in Publication Data
G~rardin, Paul, 19~3~
Constr~/ction de series discr~tes p-ad/ques.
(Lecture notes in mathematics ; v. 462)
Bibliography : .p
Includes index.
.i Lie groups. .2 Linear algebraic groups.
3. Finite groups. 4. Representations of 9TOUgS.
.5 Fields, Algebraic. .I Title. If. Series :
Lecture notes in mathematics (Berl/n) ; v. ~62.
QA3.L28 no.462 QA387 510'.8 512'.5 75-16187
AMS Subject Classifications (1970): 20C15, 20G 25, 22 E50
ISBN 3-540-07172-5 Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg (cid:12)9 New York
ISBN 0-387-07172-5 Springer-Veflag New York (cid:12)9 Heidelberg (cid:12)9 Berlin
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole
or part of the material is concerned, specifically those of translation,
reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photo-
copying machine or similar means, and storage in data banks.
Under w 54 of the German Copyright Law where copies are made for other
than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to
be determined by agreement with the publisher.
(cid:14)9 by Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg 1975
Printed ni Germany
Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
SOMMAIRE
Introduction I
I Groupes d'Heisenberg sur les corps finis 5
.I I Caract~res quadratiques 5
1.2 Groupes d'Heisenberg : premier exemple 11
1.3 Groupes d'Heisenberg : deuxi~me exemple 17
h.1 Groupes d'Heisenberg, cas general 34
II Groupes de Chevalley sur les COrps ~ -adiques 55
.2 I D@finition des groupes de Chevalley 55
2.2 Groupes de Chevalley sur les corps ~ -adiques 64
2.3 Caract~res 73
2.4 Groupes de Weyl affines 78
III Tores maximaux non ramifi@s 96
.3 I Tores maximaux 96
3.2 Nullit~ de cohomologie 101
3.3 Classification des tores maximaux 107
3.4 Totes maximaux non ramifi@s anisotropes 112
3.5 Orbites du groupe de Weyl 115
IV R~r@sentations du 6roupe des points entiers 122
.h I Notations 122
.2 Caract~res du tore 125
~.3 Un groupe r@soluble 133
h.4 Repr@sentations du sous-groupe compact maximal sp@cial 149
V Quel~ues repr@sentations supercuspidales 162
.5 I Repr@sentations admissibles 162
5.2 Representations du groupe des points rationnels sur 168
5.3 R@alisation des repr@sentations 175
BibliograDhie 179
INTRODUCTION
Dgsignons par G la composante neutre du groupe des points r~els d'un
groupe alg~brique connexe seml-simple ~ d~fini sur le corps E des nombres
r~els. La s~rie discrete de G est l'ensemble ~2(G) des classes d'~quiva-
lence des representations unitaires irr~ductibles de G qui sont de carr~
int~grable. Harish-Chandra a montr6 (volt ~i~) pour un expos~ de ses r~sul-
tats) que l'existence d'un tore maximal anisotrope d~fini sur R de ~ gqui-
vaut au fait que ~2(G) n'est pas vide. Dans ce cas, soit T le groupe, com-
pact, des points r~els d'un tel tore ~ ; on note R le syst~me de racines de
(~,~) , W son groupe de Weyl, et W(T) - le petit goupe de Weyl de ~ - le
quotient par T du normalisateur de ~ dans G . On suppose que le couple
(~,~) est acceptable, c'est-~-dire que, pour une base de R , la demi-somme
des racines positives est un caract~re rationnel de ~ . La formule
(I) ~ (exp H) = e <(}~ ,
oG ~ est un caract~re de T et o~ H parcourt l'alg%bre de Lie ~ de T,,
d~finit un ~l~ment @o de l'espace vectoriel i~ ! des formes lin~aires sur
qui prennent des valeurs imaginaires pures ; l'applivation ~ ~ ~ S ~ identi-
fie le groupe des caract~res de T ~ un r~seau de i{ n .
Le syst~me de racines inverses de R s'identifie ~ une partie (H~ 6 R
de l'espace i~ . On dit que le caract~re ~ de T est r~6ulier si l'on a
(2) <O~ # 0 pour toute racine ~ER ,
ce qui signifie que les transform~s de e ~ par les glgments du groupe de Weyl
W sont tous distincts. Un ~l~ment t ~T est dit rggulier si
(3) t g - I # 0 pour toute racine 0(~R ,
c'est-~-dire si ses transform~s par les ~l~ments de W sont tous dictincts.
Haris-Chandra a prouv~ (4~~)) clue l'ensemble ~2(G) est param~tr& par
les orbites du petit groupe de Weyl W(T) darts les caract~res rgguliers de
T ; au caract~re r&gulier 0 de T on associe la classe de representations
,I
~2(G) i dont le caract~re est une fonction localement sommable sur G
$
donn~e sur les ~l~ments rgguliers de T par la formule
/aim G/K
(~) Tr ~ (t) = (-I sgn <~'+,li~ ~=_ e(wt)/A+(wt)
#
W(T)
en notant K un sous-groupe compact maximal de G , et flxant une base
pour d~finir le polynSme ~+ = I~ H sur l'espace des formes lin@aires
$ g~ 0
complexes sur ~ , et
(tW/2 t -~/2) .
_
Pour deux caract~res r~guliers 10 te 0 de T , on a l'@quivalence
2
De plus, la representation contragr~diente de ~9 est ~-I " Enfin, il y a
une mesure de Haar dx sur le groupe G telle que, pour des vecteurs uni-
taires quelconques u et v de l'espace d'une r~alisation de 7@ on a
)7( IG l<1(x)u'v~12 dx = d(~)-1~
oGle nombre d(0)> 0 est donn~ par la formule
l= ~1"
)8( d(~) <0~ I/2
Lorsque le groupe ~ est anisotrope, le groupe G est compact, et ces repre-
sentations ~@ sont les classes des repr~sentatlons irr~ductlbles de G ; elles
sont de dimension finie, ~gale ~ d(@)/d(~) , o~ f est la demi-somme des racines
positives de R darts une base. Losque G n'est pas anisotrope, prenons K
contenant T ; le caract~re 9 d~finit la classe de representations irr~ducti-
bles ~@ de K , et on conjecture que ~@ est contenue dans ~g avec multipli-
cit~ I .
Ce travail a pour objet de montrer que ces r~sultats sont ~galement valables
pour certains groupes ~-adiques. Pour cela, on est amen~ ~ ~tudier des repre-
sentations de certains groupes r~solubles finis, extensions de groupes nilpotents
deux pas par des totes : cette ~tude est l'objet du chapitre I (cf IO ~) , le
th~or~me I (1.4.10) en ~tant le r~sultat essentiel ; on construit ces representa-
tions ~ l'aide des techniques introduites par A.Weil (I~). Le chapitre II
donne les r~sultats concernant les groupes de Chevalley qui seront utilis~s par
la suite ; les groupes de Weyl affines sont introduits par l'interm~diaire des
valuations sur ces groupes, suivant la m~thode de F.Bruhat et J.Tits ( & a),b)).
Au chapitre IIIs on classe les totes maximaux des groupes r~ductifs d~ploy~s
-adiques ; en particulier (th~or~me 2,3.3.6), is ~ d~signe un groupe alg~-
brique connexe semi-simple et simplement connexe d~fini sur le corps ~-adique
k , les tores maximaux de G d~finis sur k et non ramifies (c'est-~-dire qui
se d~ploient dans une extension non ramifi~e de k ) sont classes, ~ conjugaison
pros par un ~l~ment de ~(k) = G, par les classes de conjugaison des ~l~ments d'or-
dre finl du groupe de Weyl affine W de ~ : is wEW correspond au tore ~ ,
la dimension du s@us-espace des points fixes de w est le rang d~ploy~ de ~ ~
et l'ordre de w est le degr@ de la plus petite extension non ramifi~e de k
qui d6plole ~ .
Les chapitres IV et V sont consacr~s ~ la construction de repr@sentatlons
de G et d'un sous-groupe compact maximal sp@cial K adapt~ au tore maximal
non ramifi@ ~ (tores appel@s icl sp~cia.ux). Soient T = ~(k), R le syst~me
de racines de (~,~) , W son groupe de Weyl, et W(T) - le petit groupe de
Weyl de ~ - le quotiant par T du normalisateur de ~ dans ~ . Supposons,
pour simplifier, que le groupe ~ est semi-slmple et simplement connexe. D~-
signons par L une extension non ramifi@e de k qui d~plole ~ , et par ~L
son id@al de la valuation ; la filtration (1+~),n ~I, de son groupe des
unit@s d~flnit une filtration T(~n),n~ ,I sur le groupe T et ~n),n$ ,I
sur son alg~bre de Lie ~ . Les groupes finis ~ ~n)/~ (~n+1) et T(~n)/T(~ n+1)
sont isomorphes ~ notons H % ~ e H cet isomorphisme." Si" e est un caract~re
de T , on appelle conducteur de ~ le plus petit entier f tel que
soit trivial sur T(~f). Si ~ est un caraet~re de conducteur f~ 2 , il d@fi-
nit donc un caract~re " du groupe T(~I-I)/T(~ f ) - ; flxons un caract~re W d'ordre
0 du groupe additif de k ; solt (cid:12)9 ~ # l'espace dual de ~ ; on d&finit un
o -f)!
~l@ment 0% ~'(~ ( ) par la formule, analogue ~ (I) :
(9)
Le syst~me de racines inverses de R s'envoie naturellement sur une partie (H~)~6 R
des points strad L de l'alg~bre de Lie de T . L'@l@ment (O~ appartient
~Lf/~L f+1 . On fait l'hypoth~se suppl@mentalre sur le caract~re :
(10) <~~ # 0 pour toute racine ~R
qui est v@rifi@e si les transform~s de e~ par les @l@ments du groupe W sont
tous distlncts. A un tel caract~re le th~or~me 3 (4.4.1) associe une representation
~g du groupe K : elle est monomiale si f est pair, et construite avec les tech-
niques du chapitre I si f est impair ; ~ une constante pros qui ne d@pend que
du syst~me de racines R , de la classe de T dans le groupe de Weyl affine W ,
et du corps r~siduel de k , son degr@ est
dee) :l 1 / 2(ef,@i _ . .
La dimension du commutant de ?~e est l'ordre du stahilisateur de la restriction
de 9 ~ T(~K clans le groupe W(T) . Deux tels caract~res 1~ et ~2 de T
donnent des repr@sentatlons ~quivalentes de K si et seulement si ils sont
conjugu@s par le groupe W(T). Le th~or~me h (4.h.7) donne la valeur du caract~re
de la repr@sentation ~@ en un point t~T satisfaismnt ~ la condition
(12)
val(t ~ -I) ~ f/3 , pour ~oute racine ~R ,
on a :
~_9(wt)/~ (t) ;
(13). TrEe(t) -- (-I) ItTl#
W(T)
~') est le rang anlsotrope de et ~(t) est une racine carrie eonvenable
(t~/2 - t-"/2) I -
de I ~
4 e R
Le chapitre V se limite au cas o~ le tore ~ est anisotrope ; le th~or~me
5 (5.2.1) montre que la representation ~@ induit une representation ~9 de G
qui est de carr~ zntegrable, qui a pour commutant celul de ~@ , pour degr~ formel
relativement ~ une mesure de Haar eonvenable sur G l'entier d(@) de (11). Deux
tels earact~res ~I et ~2 de T donnent des representations ~#I et ~@2
~quivalentes si et seulement si ils sont conjugu~s par W(T) . La representation
~0_1
contragr~diente de ~0 est ~quivalente ~ la repr@sentation . Si le stabi-
lisateur de ~ dans W(T) est trivial, la representation ~Q est irr~ductible et
~@ intervient avec multipllcit@ I dans ~9 ; c'est m~me la seule representation
de K intervenant dans~ui soit triviale sur le noyau de la r~duction modulo ~ f
sur .K Enfin, pour les ~16ments t ~T satisfaisant ~ la condition (12), le ea-
ract~re de la repr~sentatlon ~9 coincide avec la fonction
)hl( Tr~t) = (-I) ~f ~'- ~(wt)/~(t)
W(T)
oh ~ est le rang du groupe ~ .
On se place en fait dans un cadre, un peu plus g~n~ral, des groupes r~ductifs
d~ploy~s dont le groupe d~riv~ est simplement connexe, de fagon ~ englober le groupe
GL (cf lO~d)). On donne ~galement les op~rateurs d'une r@alisation de la repr~-
~n
sentation, ainsi que, lorsque ~0 est irr~ductible , un vecteur g@n~rateur.
Ces r~sultats ont ~t@ annonc~s en ~0 )a et b), ainsi qu'~ Oberwolfach en
ao~t 1973.
Ce travail n'aurait pu voir le jour sans les encouragements constants et les
multiples discussions avec R.Godement, les pr~cisions sur le chapitre I de Bruhat-Tits
(s je tiens de F.Choucroun, et les ~claircissements de J.-P.Labesse rlts
(~)
Ja~quet-Langlands
CHAPITRE I
GROUPES D'HEISENBERG SUR LES CORPS FINIS
Dans tout ce chapitre on d~signe par k un corps fini. Tousles espaces
vectoriels consid~r~s seront de dimension finie, les groupes qui intervien-
nent seront finis.
Si Vest un espace vectoriel sur k muni d'une application bilin~aire al-
tern~e , ~ valeurs darts un espace vectoriel Z, les groupes d'Heisenberg
associ~s ~ (V,Z, ,) sont les extensions centrales de V par Z dont un 2-cocy-
cle associ~ est bilin~aire et le commutateur de deux ~l~ments est donn~ par
le crochet de leurs images dans V (1.4.1.). On ~tudie certains groupes d'Hei-
senberg munis d'un groupe d'automorphismes ; le eas crucial est celui o~ Vest
de dimension 2 et les automorphismes op~rent par "homoth~ties" (w ou par
"rotations" (w On construit des representations de ces groupes d'Heisen-
berg ~tendus par la m~thode de Weil (~9 ch. I), en calculant explicitement
les op~rateurs. Au w I.~ on g~n~ralise la construction au cas qui interviendra
lots de la construction des representations des groupes ~-@diques.
Le w 1.1 rappelle les r~sultats sur les caract~res quadratiques qui se-
ront utilis~s darts les paragraphes suivants.
.1 .I Caract~res quadratiques.
1.1.1. On d~signe par k un corps fini, d'ordre q = pn si pest sa caract~risti-
que. On appelle caract~re de k tout homomorphisme du groupe additif de k dans le
groupe multiplicatif ~ des nombres complexes de module .I Soit Tr la forme lin~-
aire trace de k sur son corps premier~p = ~/p~. L'application
T k : x~-*exp 27Ci (Tr x)/p
d~finit un caract~re non trivial de k, appel~ caract~re fondamental de k.
Soit W un caract~re non trivial de k. L'application qui ~ nut ~l~ment y de k
associe le caract~re x~-~r(xy) est un isomorphisme du groupe additif de k sur
le groupe X1(k) de ses caract~res.
1.1.2. Lemme I
Soit k nut corps fini de caract@ristique 2. Pour tout caract~re non trivial l ~
de k il y a un unique c (cid:12)9 k* tel que T(x 2) = E~x) ~our tout xe k ; si on
@crit c = c(T) tt_e c(I) = 0 alors c est un isomorDhisme de groupes, ee__d X1(k) sur k;
sit # I , on a T(x) = Z'k(X/C2)),et T(e 2 x) = -I six e k est de la forme x = y~
~_o y + ~ = ,I pour un y dans l'extension %uadratique L ee__d k (y d~si~ne le con~ugu@
e~_~ y).
Preuve. Plus g@n~ralement,, sip est la caract~ristique de k, l'application x ~-~ x p
est un automorphisme de k et d@finit dorc un automorphisme de X 1(k) : on a
x(:1 p) =T(ax) . Comme Wk(xP ) = ~k(X)t ~n voit donc que c p = a I-p si Z(x) = Tk(aX).
Toutes les assertions du lemme sont alors claires, sauf la derni~re, qui est
~quivalente ~ la suivante : Trk/l~ 2 x = I six = y~ , y + ~ = .I ll suffit d'@crire
2 i 2 n
Tr x = ~ x en tenant compte de ce que x = y + y2 pour obtenir Tr x = y + y
04i~n
=y+~= .I
1.1.3. Si Vest un espace vectoriel sur k, le groupe XI(V) de ses caract~res
s'identifie ~ son dual V' d~s qu'on a choisi un caract~re non trivial ~ de k,
par l'application qui, ~ v' ~ V', associe le caract~re ~de V donn@ par
rv,(V) = r(<v',v~).
On appelle moenne normalis@e sur l'espace ~V des fonctions complexes
sur Vla forme lin@aire suivante, invariante par translations (o~ q = Card k) :
f e cV~--~ 5V f(x) dx = q-n/2 ~'f(x) , si n = dimV.
V
La mesure de Dirac ~V V ! sur un sous-espace V' de Vest d@finie par
I ,v
f(v) Sv(V) dv = f(v') dv' pour tout f E ~V
#
V V'
si m = cc--d% V', c'est donc le produit de qm/2 par la fonction caract@ristique
de V'. On ~crit ~V pour S V" O
L'espace C V est muni de la structure hilbertienne ~ f(x) )'---x(g dx.
V
1.1.4. Soit I'~ X1(k ) un caract~re non trivial de k. On appelle transformation
de Fourier sur V relativement au caract~re r l'application
V
C'est une transformation unitaire de ~V sur ~V' et l'inverse est
f(x) = f(x')T(<x,x'~) d~' , si ~ ~C v'
V'
En particulier lorsque l'espace Vest muni d'une forme bilin@aire non d@g@n@r@e,
la transformation de Fourier (relativement ~ un caract~re non trivial ~ de k)
est un automorphisme de @V. Lorsque V = k et que l'on parlera de transformation
de Fourier sur k, il s'agira de la forme xy (~ @tant fix@).
1.1.5. Une application q d@finie sur le corps fini k, ~ valeurs dans le groupe T
des nombres complexes de module I, est appel@e caract~re ~uadrati%ue de k s'il
existe un caract~re ~q de k, dit caract~re associ@ au caract~re quadratique q, tel
que
(I) q(x+y) = q(x) q(y) Tq(Xy) six et yek.
On notera X2(k) l'ensemble des caract~res quadratiques de k.
Plus g@n@ralement, si Vest un espace vectoriel de dimension finie sur k,
on entendra par caract~re quadratique q de V toute application q : V --~Ttelle
qu'il existe une application lin@aire s de V dans son dual V' telle que
q
(2) q(x+y) = q(x) q(y)T~x,ySq~) , x,y a V ,
Z~" @tant un caract~re non trivial donn~ de k. On dit que sq est le morphisme
associ~ au earact~re quadratique q relativement au caract~re ~ . On notera
X2(V) l'ensemble des caract~res quadratiques sur V.
Un caract~re quadratique q ~ X2(V) est dit non d@g@n@r@ si son morphisme
associ@ est inversible, condition qui ne d@pend pas du choix du caract~re ~ .
Pour un caract~re quadratique sur k, ceci signifie ~ # .I
q
1.1.6. Lemme 2
Soit V un espac_e vectoriel de dimension finie sur ,k. On note X2(V) l'ensemble
de ses caraet~res quadratiques, et Sym (V,V')l'esloaee des morlohismes s.ym@triques
e&__d V dans son dual V'. On a alors la d@eomposition de grouloes ab@liens:
o ~x1(v) ~x2(v) ~s~ (v,v,) -~o