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Constantes de Seshadri du diviseur anti anonique des surfa es de del Pezzo 6 0 Amaël BROUSTET 0 2 8 février 2008 n Abstra t.Seshadri onstants,introdu edbyDemailly, apturepositivityofanef a divisoratapoint.We omputeinthisnotetheSeshadri onstantsoftheanti anon- J i albundleateverypointofDelPezzosurfa es.Duringtheproof,weenlightthe roleofrational urvesinour omputations.Wepresentthentwoexempleswhere 0 thepositivityoftheanti anoni albundle annotbedete tedusingrational urves. 1 ] 1 Introdu tion G A Le on ept de positivité lo ale, introduit par J.P Demailly [D1℄, onsiste à . mesurer au travers des onstantes de Seshadri la positivité d'un diviseur nef en h un point. t a m X x X D Dé(cid:28)nition 1.1 Soit une variété proje tive lisse, un point de et un X x D [ diviseur nef sur . La onstante de Seshadri en de est le réel positif : 1 D·C ε(D;x)= inf v x∈C⊂X multxC 5 2 C ⊂ X 2 la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des ourbes irrédu tibles x 1 passant par . 0 6 Pour plus d'informations sur les onstantes de Seshadri, on re ommande le 5 [ ] 0 hapitre de L. x / h Si est un point en position générale,la onstante ne dépend pas du point. t Dans ette note, on al ule en tout point les onstantesde Seshadri du diviseur a m anti anonique des surfa es de del Pezzo lisses. On peut dans notre as donner une dé(cid:28)nition pré ise de la notion de point en position générale. : v µ : X −→ P2 Xi Dé(cid:28)rnition 1.2 Dansxla,.s.u.i,txe, on notera r rr 6 8 l'é la{texm,e.n.t.,dxu}plan 1 r 1 r en points distin ts . Un ensemble de points du r 3 a plan est dit en position générale si au un sous-ensemble de de es points 6 n'est sur une droite, si au un sous-ensemble de d'entre eux n'est sur une 8 onique et si d'entre eux ne sont pas sur une ubique singulière en l'un deux. r 6 7 x X y r Lorsque , un point de sera dit en position générale si son image µ x {x ,...,x ,y} r i 1 r par est distin te des points d'é latement et si les points x sontenposition générale. Si le point n'estpas en position générale, il estalors sur une ourbe ex eptionnelle ou sur la transformée stri te d'une des ourbes x pré édemment itée. On appelle ette ourbe la ourbe distinguée ontenant . Key-words :Seshadri onstants, rational urves. A.M.S. lassi(cid:28) ation :14J26,14J45. 1 On montre le résultat suivant : r 65 −K x Théorème 1.3 Si , la onstante de Seshadri de Xr au point vaut : (cid:5) ε(−K ;x)=2 x Xr si est en position générale, (cid:5) ε(−K ;x)=1 Xr sinon. r =6 −K x Si , la onstante de Seshadri de X6 au point vaut : (cid:5) ε(−K ;x)=3/2 x X6 si est en position générale, (cid:5) ε(−K ;x)=1 X6 sinon. r =7 −K x Si , la onstante de Seshadri de X7 au point vaut : (cid:5) ε(−K ;x)=4/3 x X7 si est en position générale, (cid:5) ε(−K ;x)=1 r = 8 X7 sinon. −K 1 12 Si , les onstantes de Seshadri de X8 valent 2 en au plus points 1 n'appartenant pas au diviseur ex eptionnel et partout ailleurs. Au ours de la preuve du théorème 1.3, nous mettrons en relief le rle des ourbes rationnellesdans le al ul des onstantesde Seshadri. Plus exa tement nous obtenons le résultat suivant : S Proposition 1.4 Si est une surfa e de del Pezzo lisse −K ·C S ε(−K ;x)= inf . S x∈C multxC rationnelle Malheureusement, les ourbes rationnelles ne permettent en général pas de déte ter la positivité sur une variété rationnellement onnexe. On donne à la (cid:28)n de ette note deux exemples de surfa es rationnellement onnexes dont le diviseur anti anonique possède une interse tion positive ave toute ourbe ra- tionnellemaisn'estpaspasnef,nimêmepseudoe(cid:27)e tifdansle asdudeuxième exemple. 2 Constantes de Seshadri du diviseur anti anonique des surfa es de Fano Le théorème suivant ([F℄, théorème 1 page 110) serviradans la suite : x ,...,x n P2 V(d;r x ,...,r x ) 1 n 1 1 n n Théorème 2.1 Soit pointsdistin tsde .Onnote d r x i i l'espa eproje tifdes ourbesPdde(dd+e3g)ré etdemultipli itéaumoins en .C'est 2 un sous-espa e proje tif de et n d(d+3) r (r +1) dimV(d;r1x1,...,rnxn)> −X i i . 2 2 i=1 V(d;r x ,...,r x ) d(d+3) > n ri(ri+1) En parti ulier 1 1 n n n'est pas vide si 2 Pi=1 2 . De même, on utiliseraaussi laproposition suivante ([D2℄, théorème 1p39). x,x ,...,x 1 7 Proposition 2.2 Soient huit points du plan tels que : (cid:21) quatre de es points ne soient pas alignés, 7 (cid:21) au une onique ne passe par d'entre eux. Alors il existe une ubique lisse passant par es huit points. 2 2.1 Preuve du théorème 1.3 r 66 −K ε(−K ;x)> Le as . Lediviseuranti anonique Xr esttrèsampledon Xr 1 x x C pour tout point . Si n'est pas en position générale, la ourbe distinguée x −K ·C =1 ε(−K ;x)=1 ontenant véri(cid:28)e X . On en déduit que Xr x Si esten positiongénérale,ilexistealorsunmembreirrédu tibleet réduit D ∈|−K | mult D =2 x Xr véri(cid:28)ant x x . Supposons e i vrai pour le moment, on C x D x a alors pour toute ourbe ontenant di(cid:27)érente du support de D ·C >2mult C. x x D2 = 9−r > 4 r 6 5 D2 = 6 r = 6 ε(−K ;x) = 2 Dr e6p5lus ε(x−K ;x)= 3 si r =6 et x si . D'où Xr si et Xr 2 si . D x Il reste à montrer l'existen e de . D'après 2.1, il existe une ourbe plane D x x 2 i passantpartousles etdontlamultipli itéaupoint estsupérieureà .Il mult D 62 D D su(cid:30)tdevéri(cid:28)erque µr(x) etque estbienirrédu tibleetréduite, x D seraalorsla transforméestri te de . Quitte à ompléterl'ensemble despoints x r=6 D D i , on peut supposer . Si n'est pasirrédu tible et réduite, est l'union de trois droites ou d'une droite et d'une onique. Par la position générique de {x ,...,x ,x} D 1 6 l'ensemble de points , la ourbe ne peut alors passer par tous les points ave la multipli ité pres rite. D L La ourbe étant irrédu tible, son interse tion ave une droite passant µ (x) z ∈D r par et un autre point vaut au moins D·L=mult D+mult D z µr(x) 3 mult D 62 z D et au plus .Onen déduitque µr(x) et que estunpointlissede . r =7 x∈X 7 Le as Pour tout point , la proposition 2.2 implique l'existen e D ∈|−K | x x ε(−K ;x)> d'unmembre x X7 passantpar etlisseaupoint ,d'où Xr 1 x . Si le point n'est pas en position générale,on déduit omme pré édemment ε(−K ;x)=1 que Xr . x Si le point est en position générale, il existe un membre irrédu tible et D ∈ |−2K | x 3 x x réduit dont la multipli ité en vaut . Cela revient à prouver 6 3 l'existen e d'une ourbe plane de degré irrédu tible, réduite de multipli ité µ (x) 2 x 7 i en et de multipli ité au points . Le théorème 2.1 implique l'existen e D 6 d'une ourbe plane de degré et de multipli ités au moins égales à elles x µ (x) i 7 attenduesauxpoints et . Si ette ourbeestirrédu tibleet réduite,son 8 x ,...,x ,µ (x) 1 7 7 interse tion ave une ubique passant par les points et un D 18 neuvième surla ourbe vaut d'aprèsle théorème de Bézout. Onen déduit mult D = 2 i mult D = 3 que xi pour tout et que µr(x) . Il reste à montrer que D ette ourbe est irrédu tible et réduite. Si la ourbe était l'union de deux C C 1 2 ubiques et (éventuellementnonirrédu tiblesounonréduites),lespoints x ,...,x 1 7 étant en position générale, on aurait alors 17=XmultxiD+multµ7(x)D = X XmultxiCj +multµ7(x)Cj 62×8. i67 j=1,2 i67 D D Si n'est pas irrédu tible, est don soit l'union de 3 oniques soit l'union d'une quintique réduite irrédu tible et d'une droite ou d'une quartique réduite Q irrédu tibleetd'une onique.Eninterse tant ettequintique ave une ubique 3 C x ,...,x ,x 1 7 passantpar tous les points et un autre point de la quintique, on obtient d'après le théorème de Bézout XmultxiQ+multµ7(x)Q615−1=14. i67 En ore une fois, on aurait dans e as XmultxiD+multµ7(x)D 616 i67 D equin'estpaspossible.Onpro èdedemêmepourles asoù estl'uniond'une D 3 D x quartique et d'une onique et où est l'union de oniques. Le diviseur est dεo(n− Kirréd;xu) t=iblmeient{r3é,dDuix2t}. C=om4me au paragraphepré édent, on en on lut que Xr 2 3 3. De même qu'au paragraphe pré édent, la D ourbe qui permet (cid:16)d'atteindre(cid:17) la onstante de Seshadri est rationnelle. r = 8 |−K | Le as . Le système linéaire X8 est sans point base, de plus ses membres sont irrédu tibles et réduits grâ e à la position générale des points x ,...,x ε(−K ;x) = 1 1 6. On en déduit que Xr sauf aux éventuels points sin- |−K | guliers des membres de X8 . Mais d'après la position générale des points x ,...,x µ 1 6 r espoints singulierssonten dehorsdu diviseurex eptionnel de et orrespondentauxsingularitésdes ubiquesdupin eaude ubiquespassantpar x i les . Le nombre de ubiques singulières dans un pin eau général de ubique 12 est un problème lassique de−Kgéométrie 1énumérative et vaut . En es points la onstante de Seshadri de X8 vaut 2. Contrairement aux as pré édents, il n'existe en général pas pour les on- −K Γ stantes de Seshadri de X8 de ourbe rationnelle telle que −K ·Γ ε(−K ;x)= X8 . X8 mult Γ x Pour voir ela, on peut notamment utiliser le lemme 3.1. (Γ ) k On peut ependant noter qu'il existe une suite de ourbes rationnelles telles que −K ·Γ ε(−K ;x)= lim X8 k. X8 k→∞ multxΓk C'est une onséquen e dire te de [GLS℄, lemme 3.2.10 : X¯ P2 9 Lemme 2.3 Soit l'é latement de en points en position générale, on note E0 le tiré en arrière de OP2(1), et Ei la préimage du point d'é latement x m ≥ 1 i . Pour tout entier il existe une ourbe rationnelle nodale irrédu tible dans le système |3mE −mE −...−mE −(m−1)E |. 0 1 8 9 4 3 Positivité et ourbes rationnelles 3.1 Un exemple de surfa e rationnelle dont le diviseur anti anonique n'est pas nef mais s'interse te positivement ave toute ourbe rationnelle 9 P2 9 Soient pointsenpositiontrèsgénéraledans desortequepar es points C passe une unCique ubique lµiss:eX −.→OnP 2omplète es neuf points par u1n0dixième toujours sur et on nCot′e C µ l'é latement du plan en e|s−K p|oints. X Latransforméestri te de par estunmembreirrédu tiblede dont l'interse− tKion2 a=veC ′t2o=ute− 1ou−rbKerationnelleeststri tementpositive.Cependant, omme X , X n'est pas nef. 3.2 Un exemple de surfa e rationnelle dont le diviseur anti anonique n'est pas pseudoe(cid:27)e tif mais s'interse te positivement ave toute ourbe rationnelle 13 x ,...,x P2 1 13 Soient points enpositiontrèsgénéraledans desortequ'en- 13 tre autre,µp:aXsse−p→arP 2es points un pin eau de qu1a3rtiques et au une ubique. On note l'é latement du plan en es points. Puisque la trans- C µ 13 formée stri te par de toute quartique passant par es points véri(cid:28)e −K ·C = −1 X X et que es ourbes ouvrent un ouvert dense de , le diviseur anti anonique n'est pas pseudoe(cid:27)e tif. Cependant, le diviseuranti anonique de X s'interse te positivement ave toute ourbe rationnelle, omme le montre le lemme suivant ([GP℄ lemme 4.2 page 74) : (d,α) d α rLemmeα3=.1(aSo,.it..u,na )ouple X, où estunentierPst2ri termentpositif et un 1 r r -uplet H. Onnote l'é latement de en points disPti2n Ets en i position très générale, le tiré xen arrière d'un divisM¯eur hy(Xper)p(lda,nαd)e , la i (0,0) r préimage du point d'é latement . On désigne par l'erspa e de 0 dH− a E module3sdd−es1 −ourbeass<tab0lesnonM¯pointé(eXsd)e(dg,eαn)re etde lasse Pi=1 i i. P i (0,0) r Si alors est vide. C En e(cid:27)et, si est une ourbe rationnellXe (irrédu tibleCet réduitPe2) s'interse tant négativement ave l'anti anonique de , l'image de dans est alors une Γ d a x i i ourbe rationnelle de degré et de multipli ité aux points véri(cid:28)ant 13 3d−Xai 60. i=1 Or une telle ourbe n'existe pas d'après le lemme pré édent. Référen es [D1℄ J.P. Demailly. 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A.B. e-mail : broustetujf-grenoble.fr InstitutFourier, UFRde Mathématiques, Université deGrenoble 1, UMR5582, BP 74, 38402 Saint Martin d'Hères, FRANCE 6