Table Of Content

M M L EDITOR 2019 anuel ópez ateos M L M Matemáticas para Todo anuel ópez ateos M L M CONJUNTOS, y LÓGICA FUNCIONES segunda edición M M L EDITOR 2019 Matemáticas para Todo 1 . Conjuntos y lógica 1 b. Conjuntos, lógica y funciones 2 . Conjuntos, lógica y funciones (segunda edición) Segundaedicióndigital,2019 (cid:13)c2019ManuelLópezMateos Matamoross/n PrimeraSección Sta.Ma.Xadani,Oaxaca C.P.70125 México Informaciónparacatalogaciónbibliográfica: LópezMateos,Manuel. Conjuntos,lógicayfunciones/ManuelLópezMateos—2aede-book. xiv–222p.cm. 1. Matemáticas 2. Resolución de problemas 3. Nivel básico 4. Análisis matemático 5. Conjuntos 6. Lógica. 7. Funciones. López Mateos, Ma- nuel,1945–II.Título. Todoslosderechosreservados.Quedaprohibidoreproducirotransmitir todoopartedeestelibro,encualquierformaoporcualquiermedio,elec- trónicoomecánico,incluyendofotocopia,grabadoocualquiersistemade almacenamientoyrecuperacióndeinformación,sinpermisodeManuel LópezMateos. ProducidoenMéxico https://clf.mi-libro.club aportación voluntaria Índice general Introducción viii Matemáticas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii eorge ólya El señor G P . . . . . . . . . . . . . . . . . x ¿Cómo está la cosa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi ¿De qué se trata? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii 1 El lenguaje de los conjuntos 1 11 1 . . Estar o no estar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Descripción y listas . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 . . Contención e igualdad . . . . . . . . . . . . . . 15 Propiedades de la contención . . . . . . . . . . 20 Propiedades de la igualdad . . . . . . . . . . . 13 23 . . Intersección y unión . . . . . . . . . . . . . . . 26 Propiedades de la intersección . . . . . . . . . 29 Propiedades de la unión . . . . . . . . . . . . . 31 Leyes distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Leyes de absorción . . . . . . . . . . . . . . . . 14 e organ 33 . . Leyes de D M . . . . . . . . . . . . . . . 15 35 . . Diferencia y diferencia simétrica . . . . . . . . 16 38 . . Álgebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 2 Elementos de lógica 44 21 44 . . Verdadero o falso . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 47 . . Todo o nada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v ndice general Í 23 50 . . Conjunción y disyunción . . . . . . . . . . . . . 24 57 . . Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Propiedades de la conjunción . . . . . . . . . . 59 Propiedades de la disyunción . . . . . . . . . . 60 Leyes distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Leyes de absorción . . . . . . . . . . . . . . . . 25 e organ 62 . . Leyes de D M . . . . . . . . . . . . . . . 26 64 . . Implicación y bicondicional . . . . . . . . . . . 27 72 . . Álgebra de proposiciones . . . . . . . . . . . . 3 ¿Cómo razonar? 79 31 79 . . Tautología y contradicción . . . . . . . . . . . . 32 84 . . Reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lógica y conjuntos 92 41 92 . . Proposiciones abiertas . . . . . . . . . . . . . . 42 97 . . Para toda(o) y Existe . . . . . . . . . . . . . . . . 43 uler enn 103 . . Diagramas de E y de V . . . . . . . . . eibniz 104 L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uler 105 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . enn 107 V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uler enn 112 E y V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 122 . . Lógica, conjuntos y diagramas . . . . . . . . . 5 Relaciones 131 51 131 . . Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 52 135 . . Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 146 . . Particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funciones 151 61 151 . . Definición de función . . . . . . . . . . . . . . . 62 160 . . Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 163 . . Composición de funciones . . . . . . . . . . . . 6.4. El conjunto vacío, ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . 166 65 170 . . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Índice general Solución a los problemas 176 Bibliografía 206 Índice alfabético 211 Símbolos y notación 218 vii Introducción Matemáticas básicas La matemática, además de una muy compleja disciplina abs- tracta con gran impacto en las ciencias y la tecnología, es una gran herramienta para resolver los problemas que se presen- tan en nuestra vida cotidiana, ya sea en el ámbito profesional o en el doméstico, ya sea en el ámbito personal o de alguna comunidad, ya sea participando en la planificación y optimi- zación de recursos o participando en la toma de decisiones. Conforme nos familiarizamos con los aspectos básicos de las matemáticas mejoramos la educación de nuestro sentido común,locualsignificaquecuandosenosocurrealgoseaalgo sensato. Así, en lugar de actuar a lo loco o decir cualquier cosa ante una situación problemática, en la toma de una decisión, al opinar sobre una acción o al estimar sobre un costo, nuestra opinión sea una opinión educada, una opinión autorizada por el hecho de que sopesamos la situación sobre la que opi- namos. Es decir, nos vamos entrenando para visualizar una situación y emitir nuestra opinión tomando en cuenta sus diversos aspectos. Naturalmente, mientras más complejas sean las situacio- nes en que nos veamos involucrados, requeriremos de fami- liarizarnos con aspectos más avanzados de las matemáticas. Con las matemáticas básicas, las que forman parte de los planes y programas de estudio de la escuela primaria, la se- viii Matemáticas básicas cundaria y el bachillerato, podemos atacar multitud de problemas de las más diversas áreas. ceneval Si examinamos, por ejemplo, la , Guía del examen nacionaldeingresoalposgrado2016(EXANI-III)paraelexamen utilizado en procesos de admisión de aspirantes a cursar es- tudios de especialidad, maestría o doctorado en la Repúbli- 1 ca Mexicana , veremos que las matemáticas requeridas son prácticamente las de la escuela primaria y secundaria, aunque usadas de diferente manera a como se enseñan. Aunque las matemáticas requeridas en el Exani-III son las quecualquierprofesionistadeberíasaber,esdecir,lasdebería dominar cualquier egresado de una licenciatura, cualquiera que ésta sea, sucede que no es así. Multitud de personas van eligiendo su camino académico esquivando las matemáticas, terminan su licenciatura y ¡oh sorpresa! para entrar al posgrado se exige que dominen todo aquello que han tratado de olvidar. Capacitarse para hacer de las matemáticas una herramienta práctica y usarla como si fuera un lápiz no es difícil, se requieren dos cosas, la primera es de carác- ter técnico: hay que manejar las operaciones elemen- tales, es decir la suma, resta, multiplicación y división de enteros, quebrados y decimales, y la segunda es de actitud: abrir la mente, darse a entender y entender al otro, escuchar la crítica y saber opinar de manera críti- ca. Con estas dos condiciones estaremos en capacidad de iniciar el estudio de los aspectos de las matemáticas que usamos para resolver problemas. Ahora bien, hay unaterceracondición,comoentodaactividad,parado- minarla hay que practicar. 1 Guía del examen nacional de ingreso al posgrado 2016 (EXANI-III). 13a edición.México.Ceneval,2015.p.5. ix ntroducción I El señor George Pólya eorge ólya ¿Qué significa resolver un problema? Según G P , “resolverunproblemasignificahallarunamaneradesuperar una dificultad, o rodear un obstáculo, para lograr un objetivo 2 que no podía obtenerse de inmediato” . ¿Cómo resolver problemas? En su popular obra How to eorge olya Solve It (Cómo resolverlo), G P propone un méto- do, llamado de los cuatro pasos, para resolver problemas: 1 . Comprender el problema: ¿Qué nos están preguntan- do?, ¿Cuál es la incógnita? ¿A qué pregunta debemos responder? ¿Podemos expresar el problema con nues- tras propias palabras? 2 . Trazar un plan: Escoger una estrategia, hay multitud: Buscar un patrón, resolver una ecuación, trazar un dia- grama,hacerunatablaounalista,analizaruncasomás sencillo, hacer un modelo algebraico, proponer y recti- ficar (ir atinándole), o alguna otra. 3 . Llevar a cabo el plan: Una vez decidida la estrategia hay que realizarla, que llevarla a cabo, es importante actuar conforme lo hayamos planeado. 4 . Revisarelresultado:¿Seguimoselplan,realizamosbien las cuentas?, ¿La respuesta es sensata, cumple todas las condiciones solicitadas?, ¿No hay otros resultados po- sibles?, ¿El método de solución se aplica a otros casos parecidos o más generales? Hay muchas recomendaciones a partir de los famosos cuatro pasos. Una recopilación importante la pueden encon- illstein ibeskind ott trar en B , L y L , MATEMÁTICAS: Un 2 Pólya, G. Mathematical Discovery, Combined Edition. New York. John Wiley&Sons,Inc.,1981.p.ix x