cônicas e quádricas - Geometria Anal tica

246 Pages·2012·1.62 MB·Portuguese

cônicas
e
quádricas
5.ª edição
(atualizada)
Na internet você encontra integralmente os três livros do autor:
1) Álgebra Vetorial e Geometria Analítica ( 9ª ed.)
2) Cônicas e Quádricas ( 5ª ed.)

3) Da Sabedoria Clássica à Popular ( 3ª ed.)
Site (com acesso gratuito):
www.geometriaanalitica.com.br
©JCaocpiryJr.iVgehntbtuyri
FICHACATALOGRÁFICA
VENTURI,JacirJ.,1949-
CônicaseQuádricas /JacirJ.Venturi
-5.ªed.-Curitiba
243p.:il.
IncluiApêndiceeBibliografia.
ISBN85.85132-48-5
1.GeometriaAnalítica.2.CônicaseQuádricas.
I.Título.CDD516.3
V469c2003
ISBN85-85132-48-5
Composição/Desenhos:HericaYamamoto
Capa/ProjetoGráfico:BeatrizSusana
ImpressãoeAcabamento:ArtesGráficaseEditoraUnificado
[email protected]
Dedico àEliana,
Fábio,Débora e
Eduardo:
companheirosde
jornada erazão
maiordomeuafeto e
crescimentopessoal.
Dedicotambém
àspessoasquevão
alémdoseudever.

Índice
CAPÍTULO1
TRANSFORMAÇÕESDECOORDENADASNOE 2
01.Translaçãodeeixos............................................................................23
02.Rotaçãodeeixos................................................................................25
03.Aplicaçãodastranslaçõeserotaçõesnoestudodeuma
equaçãodo2.ºgrau..............................................................................28
CAPÍTULO2
APARÁBOLA
01.Definição............................................................................................4.1
02.Elementosdaparábola...................................................................... 42
03.Equaçõescanônicasdaparábola........................................................42
04.Identificaçãodaparábola................................................................... 44
05.Construçãogeométricadaparábola................................................... 45
06.Aplicaçõespráticasdeparábola........................................................ 46
”
07.EquaçõesdaparáboladeVO'=(x,y)............................................. 50
” O O
08.EquaçãodaparáboladeVO'=(x,y)ecujoeixo
O O
desimetrianãoéparaleloaumdoseixosc oordenados.....................63
CAPÍTULO3
AELIPSE
01.Definição............................................................................................69
02.Elementosdaelipse............................................................................69
03.Excentricidade...................................................................................7.0
04.Equaçãocanônicadaelipsedecentronaorigem............................... 71
05.Identificaçãodaelipse........................................................................73
06.Construçãodeum aelipse..................................................................75
07.Aplicaçõespráticasdaelipse............................................................. 75
08.EquaçãodaelipsecujocentroéO'=(x,y)ecujoseixos
O O
sãoparalelosaoseixoscoordenados..................................................82
09.EquaçãodaelipsecujocentroéO'=(x,y)ecujoseixos
O O
nãosãoparalelosaoseixoscoordenados............................................87
CAPÍTULO4
AHIPÉRBOLE
01.Definição....................................................................................... 92
02.Elementosdahipérbole................................................................... 92
03.Excentricidadedahipérbole...............................................................93
04.Equaçãocanônicadahipérboledecentronaorigem.......................... 93
05.Assíntotasdahipérbole......................................................................98
06.Hipérboleeqüilátera..........................................................................1..00
07.Identificaçãodahipérbole..................................................................1..0.0
08.Aplicaçõespráticasdeumahipérbole................................................101
09.EquaçãodahipérbolecujocentroéO'=(x,y)e
O O
cujoseixossãoparalelosaoseixoscoordenados.............................. 106
10.EquaçãodahipérbolecujocentroéO'=(x,y)e
O O
cujoseixosnãosãoparalelosaoseixoscoordenados....................... 111
CAPÍTULO5
CÔNICAS
01.Seçõescônicas.................................................................................1.19
02.Equaçãocompletado2.ºgrau.............................................................1..20
03.Discriminantedaequaçãodo2.ºgrau..................................................120
04.Ordemdastransformações...............................................................1..20
05.Revisando........................................................................................1..2..1
06.Cônicasdegeneradas.......................................................................1..3.5
CAPÍTULO6
EQUAÇÃODATANGENTEAUMACÔNICA
1.ºProblema:Atangenteéparalelaaumaretadada.............................. 145
2.ºProblema: Equaçãodatangenteporumponto
externoàparábola..........................................................1..5..0
3.ºProblema: Equaçãodatangenteemumponto
P=(x,y)pertencenteàparábola................................... 153
OO O
QUADRORESUMO...............................................................................1..60
CAPÍTULO7
QUÁDRICAS
Resenhahistórica...................................................................................1..61
CAPÍTULO8
QUÁDRICAS
01.Definição..........................................................................................164
02.ExemplodeQuádricas.......................................................................164
03.Revisando........................................................................................1.65
04.Superfícies.......................................................................................1..6.6
05.Simetria............................................................................................1..6.7
06.Equaçõesde curvasnoE..3.................................................................1.69
07.Interseçõesdasuperfíciecomoseixoscoordenados....................... 173
08.Interseçãodasuperfíciecomplanos...................................................174
CAPÍTULO9
SUPERFÍCIEESFÉRICA
01.Introdução........................................................................................1.83
02.Definição..........................................................................................1..8.3
03.Cálculodocentroedoraio..................................................................184
04.CasosParticulares............................................................................1..8.4
CAPÍTULO10
SUPERFÍCIECILÍNDRICA
01.Definição..........................................................................................1.98
02.Equaçãodasuperfíciecilíndrica.........................................................198
03.Superfíciecilíndricadegeratrizesparalelas
aoseixoscartesianos........................................................................2.07
CAPÍTULO11
SUPERFÍCIECÔNICA
01.Definição..........................................................................................2..18
02.Equaçãodasuperfíciecônica.............................................................2..18
03.Reconhecimentodasuperfíciecônicaecálculodovértice...................225
APÊNDICE 230

CÔNICASEQUÁDRICAS
P R E F Á C I O
C
ContaumafábulaqugeroesgdaeusesdoOlimpoestavam
preocupadoscomaevoluçãodohomem.Esteestavasedesenvol-
vendotantopelousodesuainteligênciaqueembrevealcançariaos
imortaisdeuses.
Eraprecisoagir.Otonitroanteetodo-poderosoZeus,senhor
dosdeuses edomundo,vociferou:"Vamosesconderdohomem o
seutalento,eelejamaisnosalcançará".
Masondeesconderotalentodohomem?Posseidon,deus
dosmares,sugeriuasprofundezasdosoceanos.Apolo,deusdaluz,
notopodamontanha.Deméter,deusadaterra,emvalesrecônditos,
Hefesto,deusdofogo,emmagmasvulcânicas.Ares, deusdaguerra,
nasgeleiraseternas.
Impávido,Zeusdeclara:"Nadadisso,omelhoresconderijo
dohomeméodionptreórpiorirohomem.Elejamaishádeprocuraro
queestádentrodesi".
Estafábulanãosóenalteceabuscadoautoconhecimentoe
dodesenvolvimentodasprópriaspotencialidades,mastambém
retrataasagaintelectualdopovogrego.Mesmoaosneófitos,acultu-
rahelenísticaensejaumextraordináriofascínio.
Ainvestigaçãosistemática,racional ecriativanorteiasuas
atividadesna(HipMócartaetmesá,tAicnaaxágoras,Zenão,
Demócrito,Hípias,Tales,Hipasus,Pitágoras,Euclides,Arquimedes,
Apolônio,Eudoxo,Aristarco,Eratóstenes,Ptolomeu,Hiparco,
Diofanto,Papus);na(SócFrailtoess,oPfliaatão,Aristósteles,
Anaxímenes,Anaximandro,Protágoras,Zenão,Epicuro);na
HistóriaP(oHeesrióadoto,Xenofonte,Tucídides);na(Homero,
Píndaro,Hesíodo,Safo);no(ÉsTqeuailtoro,Sófocles,Aristófanes,
Eurípides);nas(FídAiarste,Msíron,Ictínio,Calícrates);na
Medicina(Hipócrates,Empédocles,Alcméon).
Aosgregos(pornascimentoe/ouformação) Pitág,oras
EuclidesA,erdqeuviem-seedpersaAticpaomlôennitoetodo o
desenvolvimentogeométricodas.ECmônuiitcoamsais,ensejaram
atransiçãodafaseintuitiva eempíricadaMatemáticadosan tigos
egípciosebabilôniosparaafasededaMaxaitoemmaáttiiczaa.ção
Mormente,daGeometria,"ummundodeinfinitaharmonia",confor-
measseveraorenomadoescritorargentinoErnestoSábato.
Novolumeanterior, ÁlgebraVetorial eGeometria
Analítica,tratamosdeequaçõeslineares,istoé,equaçõesquesó
possuíamtermosdo1.ºgrauemx,yez.Nopresente(edespretensio-
Jacir.J.Venturi
so)livro-texto,tratar-se-ádeequaçõesdo2.ºgrau,noplanocartesia-
no.Emespecial,aparábola,aelipse,ahipérboleeacircunferência.
Sãocurvasobtidaspelainterseçãodeumplanocomumconecircular
de2folhas.Porisso,sãochamadasdeseçõescônicasousimples-
mentecônicas.
Tratar-se-átambémdesuperfíciequádricas,queganham
umaimportânciacadavezmaiornaáreacomputacional(Fractais,
porexemplo).
UmaéqoucáodnrjiucnatodepontosE,cujascoorde3na-
dascartesianas,verificamumaequaçãodo2.ºgraua,nomáximo,
trêsvariáveis.Esferas,parabolóides,elipsóides,hiperbolóides,cilin-
dros(do2.ºgrau)econes(do2.ºgrau)constituemasmaisconheci-
dassuperfíciequádricas.
Umgrandenúmerodeilustraçõesfacilitaoentendimentodo
textoeéimprescindívelquandosealmejaumaconspícuaformação
geométrica.Háindicaçõesdeaplicabilidadeprática,sinopseshistó-
ricasesugestõesparaaresoluçãodeexercícios,nointuitodemoti-
varoalunonaquiloqueestáestudando.Comoescopodidático,os
exercíciosestãodispostosemordemcrescentededificuldade.
Deve-seteremmentequeàresoluçãodosexercíciospre-
cedenecessariamenteumbomconhecime ntodateoria.Porvezes,
preferiu-seaapresentaçãointuitivaaosrefinamentosteóricos,que
viessemobstaculizaracompreensãodonoveluniversitário.
Honraram-nossobremaneira aanálisecriteriosa eas
sugestõesfeitaspeloProf.LeoBarsottinosmanuscritosqueantece-
deramestemanualedequemfomosassistentespor3lustros.Nesta
convivência,aprendemosaadmirá-lonãoapenascomoprofissional
exigenteedeextraordinárioconteúdomastambémcomoexemplo
decoerênciaejustiça.
Ademais,cumprimos oelementardeverdegratidãopelo
desprendimentocomqueosprofessoresFlorindaMiyaóka,OsnyA.
Dacol,DécioKrause,AnaMariaN.deOliveira,LuizCarlos
DomênicoeAdilsonLongensedispuseramaleromanuscritoeapre-
sentarsugestões.Omesmopreitodegratidãoestendemosàplêiade
decolegaseamigosdoDepto.deMatemáticadaUFPR,quenospro-
piciaramumaconvivênciadecrescimentopessoaleprofissional.
Tambémanossaprofundaesinceragratidãoaosabnega-
dosprofessoresPe.OneresMarchioriePe.AndreásWiggerspelos
ensinamentosdeMatemática,Latim eGregonoEnsino
FundamentaleMédioemLages(SC)eantesdetudoexemplosde
altruísmoededicação.
Críticas esugestõeshãodesurgir. Eserãobem-vindas.
Resta-nos oconsolodeterenvidadoesforçosparaempregarutil-
menteonossotempo.
Oautor