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Fabio Siringo Giuseppe G.N. Angi1e11a Concetti fisici e applicazioni della Meccanica Quantistica Copyright © MMV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Raffaele Garofalo, 133 NB 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 88-548-0328-6 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell'Editore. I edizione: dicembre 2005 Indice Prefazione 7 1 Onde e oscillazioni 11 1.1 L'oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Propagazione dell'energia oscillatoria: l'equazione delle onde . . . . . . . . . . 16 1.3 Onde progressive sinusoidali 20 1.3.1 Onde sonore . . . . . 25 1.3.2 Onde elastiche . . . . 26 1.3.3 Onde elettromagnetiche 26 2 Onde o particelle? 31 2.1 Dinamica classica e relativistica . . . . . 31 2.2 Onde o particelle? Entrambe! . . . . . . 35 2.2.1 Massa nulla ( effetto fotoelettrico) 38 2.2.2 Massa finita . . . 41 2.3 Interferenza e diffrazione . . . 45 2.3.1 Doppia fenditura . . . 4 7 2.3.2 Diffrazione alla Bragg . 49 3 Stati stazionari 53 3.1 Buca di potenziale . . . . . . . . . 53 3.2 Stati stazionari in una dimensione . 62 3.3 Oscillatore armonico 71 3.4 Limite classico . . . . . 74 3 INDICE 4 Misura ed indeterminazione 79 4.1 Analisi di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . 80 4.1.2 Significato fisico del pacchetto d'onde 86 4.1.3 Pacchetti reali . . . . . . . 87 4.1.4 Velocità di gruppo .... 91 4.2 Relazioni di Heisenberg . . . . . . . . . . . 94 4.2.1 Indici statistici . . . . . . . 99 4.2.2 Relazioni esatte e generalizzazione .. 101 4.3 Misura di osservabili . . . . . . . . . . . .. 105 5 Applicazioni delle relazioni di indeterminazione 111 5.1 Energia di punto zero . . . . . . . . . . . . . 111 5.2 Metodo variazionale ... 114 5.3 Stabilità della materia 119 5.4 Diffrazione . . . . . . . . . 128 6 L'equazione di Schrodinger 135 6.1 Le due componenti della funzione d'onda 135 6.2 Autostati ed autovalori . . . . . . . 137 6.2.1 Energia . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2.2 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3 Equazione di Schrodinger dipendente dal tempo 141 6.4 Equazione di Schrodinger indipendente dal tempo . 143 6.5 Alcuni esempi . . . . . . . 144 6.5.1 Particella libera . . . 144 6.5.2 Buca di potenziale . 145 6.5.3 Oscillatore armonico 145 7 Simmetrie e principi di conservazione 147 7 .1 Ruolo delle simmetrie in fisica . . . . . 147 7.2 Quantizzazione del momento angolare . 153 7.3 Osservabili compatibili . . . . . . . . . 158 7.4 Classificazione degli stati stazionari .... 160 7.4.1 Esempi di classificazione degli stati 162 . . . . . 7. 5 Atomo di idrogeno . . . . . . . . • • • 168 4 11 VU l v.l:.J 7.6 Livelli rotazionali delle molecole 172 8 Meccanica relativistica 177 8.1 I postulati della relatività . . . . . . . . . . . . . . 177 8.2 Prime conseguenze dei postulati: invarianza dell'in- tervallo . . . . . . . . . 17 9 8.3 Dilatazione dei tempi . . . . . 181 8.4 Contrazione degli spazi . . . . 184 8.5 Quadrivettore energia-impulso 185 8.6 Proprietà di energia ed impulso 190 8. 7 Relatività dei campi elettrici e magnetici 195 A Alcune costanti fisiche 201 B Valori equivalenti di alcune unità di misura 203 C Alcune formule matematiche 205 C. l Trigonometria . . . 205 C.2 Analisi matematica 206 Elenco delle figure 207 Indice analitico 211 5 Prefazione Questo libro rappresenta l'evoluzione naturale di una serie di note redatte inizialmente come ausilio allo studio di Elementi di Strut- tura della Materia, insegnamento semestrale tenuto da uno degli Autori (FS) per il corso di laurea in Tecnologie Applicate alla Con- servazione e Restauro dei Beni Culturali, istituito a Siracusa a partire dall' A.A. 2001 /02. La fisica della materia è in grado di descrivere a livello micro- scopico la fenomenologia dei processi che avvengono in natura, con importanti ricadute tecnologiche oltre che culturali. Tuttavia, l'insegnamento della disciplina è in parte ostacolato ed offuscato dalla circostanza che le leggi della fisica dei processi microscopici diffe - riscono in modo sostanziale dalle leggi della fisica classica che a tutti sono in certa misura familiari. La dinamica dei sistemi microscopici è descritta dalle leggi della Meccanica Quantistica, che oltre ad essere diverse dalle leggi della Meccanica Classica sono meno intuitive e basate su un formalismo matematico piuttosto avanzato. Esistono in letteratura ottimi libri di testo che trattano la meccanica quantistica, ma generalmente utilizzano un formalismo matematico troppo avanzato e consentono la lettura solo agli studenti delle discipline fisico-matematiche. La maggior parte degli studenti di discipline scientifiche (medicina, scienze biologiche e naturali, geologia, farmacia ecc.) deve contentarsi di apprendere alcuni concetti sommari su testi di carattere molto divulgativo che spesso non 7 Prefazione consentono una comprensione dei concetti fisici fondamentali che stanno alla base della moderna meccanica quantistica. D'altra parte, il formidabile accordo tra le previsioni teoriche della meccanica quantistica ed il risultato di tutti gli esperimenti di fisica atomica e molecolare ha reso questa astrusa disciplina di fondamentale importanza per la interpretazione e comprensione di tutti quei fe- nomeni fisici che sono alla base dei processi tecnologici più avanzati in chimica, fisica atomica, fisica dei materiali, fisica nucleare, ecc. Sembra evidente che la conoscenza dei principi fondamentali della meccanica quantistica debba diventare parte del bagaglio culturale di tutti gli studenti delle discipline scientifiche. Ma è possibile trasmettere tali principi utilizzando solo il formalismo matematico appreso nelle scuole superiori? Molti puristi storceranno il naso, ma nella pratica quotidiana il fisico spesso (per suo mestiere) tende a semplificare i complessi problemi che affronta in modo da cogliere gli aspetti essenziali e significativi. L'intuizione è basata sulla capacità di sapere descrivere un processo utilizzando semplici idee piuttosto che formule complicate. Naturalmente per dimostrare la validità delle proprie idee ogni scienziato deve confrontare i dati sperimentali con il risultato di calcoli che a volte sono molto complessi. Ma non è possibile effettuare calcoli senza avere prima la guida di una idea del processo. Questa "idea" , che rappresenta la base della intuizione, forse può essere trasmessa anche rinunziando a tutte le complessità matematiche che non siano strettamente necessarie. L'ambizioso (e probabilmente mancato) obiettivo di questo libro è proprio quello di riuscire ad estrarre i concetti fondamentali dalla aridità del mezzo espressivo matematico, mantenendo per quanto possibile inalterato il rigore tipico delle scienze fisiche, e cer- cando di rispettare le aspettative di una trattazione quantomeno semi-quantitativa. Il testo è mirato ad un insegnamento semestrale del primo bien- nio dei corsi di laurea scientifici: si presuppone che il lettore ab- 8 rreraz1one bia seguito un corso propedeutico di fisica generale (fisica classica) ed un corso di istituzioni di matematica (c omprendente al- meno le definizioni di derivata ed integrale). La semplicità del formalismo impiegato dovrebbe comunque rendere il testo accessi- bile anche con il solo bagaglio fisico-matematico delle scuole superiori. In special modo gli studenti che frequentano l'ultimo anno delle scuole su perio ri potrebbero trovare nel testo uno strumento di approfondimento e completamento delle loro nozioni di fisica moderna. L'ordine con cui gli argomenti sono trattati è dettato da finalità puramente didattiche, e non storiche. Si è preferito disporre gli argomenti nell'ordine più razionale alla luce delle conoscenze attuali, piuttosto che seguire l'ordine storico. Anche l'importanza storica di alcuni esperimenti chiave non è molto enfatizzata: lo scopo del testo è quello di fissare i concetti più importanti che sono alla base delle applicazioni, piuttosto che discutere i dettagli tecnici. I primi quattro capitoli sono una moderna introduzione alla meccanica quantistica, e culminano con i concetti fondamentali di misura ed indeterminazione. Le relazioni di indeterminazione sono poi usate come concetto "guida" per ricavare le principali applicazioni alla fisica atomica e molecolare nei capitoli 5 e 7. Le applicazioni della meccanica quantistica sono certamente molto più ampie e ci auguriamo di trovare il tempo e la volontà di aggiun- gerne altre in una futura ipotetica edizione. Il capitolo 6 contiene alcuni aspetti formali che possono essere interamente saltati senza compromettere la comprensione del capitolo successivo. In realtà, l'inclusione del capitolo è dettata dall'esigenza culturale di menzio- nare l'equazione d'onda. In pratica, al livello introduttivo del testo, tale equazione non è mai utilizzata poiché la sua soluzione richiede (n ei pochi casi in cui è possibile) una certa esperienza nel calcolo infinitesimale. Tuttavia, il capitolo consente al lettore più motiva- to di raggiungere una comprensione un po' più avanzata di quello che è il formalismo standard della meccanica quantistica. Infine, 9 Prefazione il capitolo 8 contiene una introduzione alla relatività ristretta, ed è pertanto, in un certo senso, indipendente dal resto del testo. Le principali formule relativistiche sono riportate e commentate già all'inizio del secondo capitolo. Il lettore che trovi insoddisfacen- te tale estrema sintesi è vivamente invitato a leggere il capitolo 8 prima di proseguire la lettura del secondo capitolo. Siracusa-Catania, Settembre 2005 Fabio Siringo Giuseppe G. N. Angilella 10